Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна из металлокомпозита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В.Д. Кургузов, Ю.В. Немировский

Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна

*

из металлокомпозита

V.D. Kurguzov, Yu.V. Nemirovsky

Mathematical Model of Dynamic Extract of Plastic-Rigid Metal Fiber from Metal Composite

Построена математическая модель совместного деформирования волокна и связующего под действием динамических нагрузок. Материалы волокна и связующего являются жесткопластическими с линейным упрочнением. Сформулирована система дифференциальных уравнений, описывающих движение абсолютно твердого волокна и пластического деформирования связующего. Разработан численноаналитический метод, позволяющий определить остаточные смещения волокна после снятия внешней нагрузки. Предложена процедура итерационного уточнения касательных напряжений в зоне контакта волокно-связующее и границы зоны пластичности в связующем на каждом временном шаге. Ключевые слова: жесткопластическое волокно, динамическая вытяжка, металлокомпозит.

The mathematical model is constructed for describing joint deformation of a fiber and a binder under the influence of dynamic loadings. Materials of a fiber and a binder are plastic-rigid with linear hardening. The researchers formulate the system of differential equations describing movement of absolutely firm fiber and binder’s plastic deformation. The developed numerically-analytical method allows us to define residual displacement of a fiber after removal of external loading. Procedure of iterative specification of shear stress in a zone of fiber-binder contact and borders of a plasticity zone in binder on each time step is offered.

Key words: plastic-rigid fiber, dynamic extract, metal composite.

Задача построения адекватной математической модели движения жесткопластического стержня в среде с сопротивлением возникает при изучении динамических процессов глубокой вытяжки (заглубления) металлических композитов с дискретными волокнами при динамическом импульсном воздействии на арматуру [1-3].

Металлический стержень длиной L, круглым поперечным сечением радиуса R1 помещается внутрь круглой трубы внутренним радиусом R2 и заливается полимерным связующим. К одному из торцов стержня приложен динамический импульс внешней нагрузки P = p(t), нижний торец трубы жестко заделан (рис. 1). Задача рассматривается в осесимметричной постановке. Требуется определить остаточные смещения стержня после снятия внешней нагрузки.

Материал связующего считается жесткопластическим с линейным упрочнением с возможностью разрушения при достижении касательным напряжением предела прочности тс и с дальнейшим деформированием, характеризуемым ниспадающим участком с модулем Gs на диаграмме чистого сдвига. Диаграмма т - у деформирования материала связующего приведена на рисунке 2а, где Gt - каса-

тельный модуль; тТ - предел текучести; тс - предел прочности; ус - деформации, соответствующие пределу прочности; ух - деформации, соответствующие полному разрушению. Материалы стержня и трубы также являются жесткопластическими с диаграммами а - е деформирования, показанными на рисунке 2б, в общем случае с различными пределами текучести ат, пределами прочности ас и касательными модулями Е.

Рис. l. Расчетная схема задачи

* Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционных проектов СО РАН № 72, 115.

69

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

а)

-^\arctg G, \arctg Gs \ У

ys

Рис. 2. Диаграммы деформирования материалов: а - связующего, б - стержня

Введем в рассмотрение продольное усилие в стержне N (г, /) = Р1а1 (г, t), где ^ = л Я2 - площадь поперечного сечения; ст1 (г, t) - напряжения. Тогда уравнение движения стержня можно записать в виде

дЫ1( г, t)

dz

• = FlPlwl(t) + ЬТ(R1, t),

(1)

d2 w

d2 w Gt dw

P----------------------2T = Gt --------------------------------------— +-:-+

dt dr r dr

R < r < Rp (t). (2)

цесс разрушения, характеризуемый ниспадающей ветвью на диаграмме т - у (рис. 2а). В связующем появляется область разупрочнения с границей Яи(() (рис. 1), в которой тг1 = тс - (уг -ус) / Ох. Уравнение движения в области разупрочнения имеет вид д2 Р~дгг

1 d w 1 dw (тс +rc / Gs)

G„ dr2 G rdr

где м>1 (ґ) - смещение стержня; Ь = 2жК1 - периметр поперечного сечения; р1 - плотность материала стержня.

Без ограничения общности будем считать, что наименьшим пределом текучести обладает связующее, а наибольшим - труба, т.е. по мере возрастания внешней нагрузки сначала в пластичность переходит связующее, затем - стержень, а потом - труба. Обозначим через ґ0 момент перехода связующего в пластичность. На рисунке 1 граница зоны пластичности обозначена через Кр. При дальнейшем возрастании нагрузки граница зоны пластичности Яр = Яр(ґ) будет перемещаться по радиальной координате в сторону возрастания г и разобьет связующее на две области: пластическую К1 < г < К (?) и

абсолютно жесткую Кр (ґ) < г < К2.

Зависимость т - у при пластическом деформировании связующего имеет вид тгг = тт + , где

Gt - коэффициент упрочнения (см. рис. 2). Уравнение движения пластической части связующего имеет вид

r (3)

R < r < Ru (t).

В пластической области, которая теперь занимает интервал Ru (t) < r < Rp (t), выполняется уравнение (2), на границе раздела Ru(t) ставится условие склейки решений (2) и (3), начальные условия берутся с предыдущего шага по времени. В системе уравнений (1)-(3) появляется еще одна неизвестная функция Ru(t), которая находится с помощью итерационной процедуры.

В качестве примера рассмотрим задачу о выдергивании стального стержня длиной L = 100 мм, радиусом R1 = 5 мм, плотностью р = 7,8 -103 г/мм3. Внешнюю нагрузку зададим в виде синусоидального по времени импульса P(t) = P0 sin a 0t. Характеристики материала связующего: плотность

р = 2,5-10-

г/мм3

предел

текучести

гт = 200 Н/мм2, предел прочности тс = 230 Н/мм2, касательный модуль Gt = 300 Н/мм2, Gs = 0 . Амплитуду внешней нагрузки примем равной Р0 = 1070 , где 70 = ЬЬ]гт, продолжительность импульса -1 мсек (ю0 =я). Предположим, что напряжения в стержне вплоть до момента разрушения связующего не превосходят предел текучести, т.е. стержень в процессе деформирования остается абсолютно жестким.

Таким образом, получаем систему уравнений (1), (2), которая вместе с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет найти w1(f), м>(г, 0, Яр(0. После дискретизации (1), (2) по времени получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которой используется итерационный процесс.

Обозначим через tn = t0 + nAt момент времени,

соответствующий слою по времени с номером п. По достижении касательными напряжениями (Я1, ^+г) предела прочности тс начинается про-

Рис. 3. Распределение смещений по радиальной координате

Момент времени ^ перехода связующего в пластичность найдем из условия Р(^) = ЬЬ1тт , откуда ^ = 0,032 мсек. Зададим шаг по времени Af = 0,001. Интегрируя уравнения (1), (2), получим, что касательные напряжения в связующем на границе Я1

достигнут предела прочности тс за 10 шагов по времени. Стержень в этот момент времени окажется вытянутым из связующего на 0,035 мм. Распределение смещений в связующем по радиальной координате на последовательных шагах по времени показано на рисунке 3, где цифры 3, 4, ..., 10 у кривых соответствуют номерам шагов. Внутренний радиус трубы принят равным К2 = 7 мм, радиус пластиче-

ской зоны Яр на последнем шаге п = 10 - 5,716 мм, при г > Яр смещения равны нулю.

Предложенный численный метод может быть положен в основу методики экспериментального определения диаграммы касательные напряжения -деформации сдвига для материала связующего по экспериментам на динамическую вытяжку волокна из металлической матрицы.

Библиографический список

1. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - риалы / под ред. К.К. Чамиса. - М., 1978. - Т. 7, М., 1955. ч. 1.

2. Мун Ф. Удар и распространение волн 3. Рахматуллин Х.А., Жубаев П., Ормонбеков Т. Рас-

в композиционных материалах // Композиционные мате- пространение волн деформаций. - Фрунзе, 1985.