CC BY
23
УДК 681.316
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ТРАНСФОРМАТОРА НА ОСНОВЕ РАСЧЕТОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПОПОВ Г.В., д-р техн. наук, ТИХОНОВ А.И., канд. техн. наук, КЛИМОВ Д.В., ассист.
Рассмотрена технология моделирования динамических режимов трехфазного трансформатора с использованием результатов расчета магнитного поля в трансформаторе методом конечных элементов. Приведен математический аппарат динамической модели трансформатора, реализованный в средах MathCad и MatLab. Приведены результаты моделирования конкретного трансформатора.
Ключевые слова: трехфазный трансформатор, двухмерное магнитное поле, номинальная нагрузка.
THE MATHEMATICAL MODEL OF DYNAMIC TRANSFORMER WORKING CONDITIONS ON THE BASIS OF MAGNETIC FIELD CALCULATIONS USING FINITE ELEMENT METHOD
POPOV G.V., Ph.D., TIKHONOV A.I., Ph.D., KLIMOV D.V., assist.
The article deals with the modeling technology of dynamic three-phase transformer conditions using output computation of the magnetic field in a transformer with the help of finite element method. The mathematical tool of dynamic transformer model realized in MathCad and MatLab environments is given. The results of a particular transformer modeling are supplied.
Key words: three-phase transformer, two-dimensional magnetic field, rated load.
Для решения задачи модернизации САПР трансформатора в целях создания проекта, в полной мере отвечающего жестким требованиям современного рынка, необходимо предусмотреть в системе проектирования трансформатора возможность моделирования динамических режимов. Для исследования работы спроектированного трансформатора в различных динамических режимах, в том числе и аварийных, при несимметрии магнитной системы и нагрузки, при нелинейности магнитных свойств стали магнитопровода и т.п. необходимо использовать для расчета результаты моделирования магнитного поля. Повышенная точность расчетов может быть обеспечена при решении полевой задачи численными методами, например, методом конечных элементов. Причем полевая задача, вообще говоря, должна решаться в трехмерной постановке. Однако вполне приемлемая точность может быть обеспечена и при решении ее в двухмерной постановке.
Рассмотрим математическую модель силового трансформатора (рис. 1) в динамическом режиме, основанную на сплайновой аппроксимации трехмерных матриц потокосцеп-лений обмоток, полученных из расчета двухмерного магнитного поля методом конечных элементов при варьировании намагничивающих сил стержней.
Принимая допущение о равенстве плотностей тока в первичных и вторичных обмотках трансформатора, считаем, что обмотки, расположенные на п-м стержне, создают единую НС, определяемую как
Jn =
ilnWin
+ i
2nW2n
(2)
Fn = Jn(S1n + S
2n /
(1)
°1п ^ °2п
где іп - средняя плотность тока в области обмоток п-го стержня; і1п, і2п - мгновенные значения токов в первичной и вторичной обмотках п-го стержня; W1n, W2n - число витков первичной и вторичной обмоток п-го стержня; Б1п, Э2п - площади сечений первичной и вторичной обмоток п-го стержня.
а)
б)
Рис. 1. Принципиальная схема трехфазного трансформатора (схема У/У): а - нормальный режим; б - появление КЗ витков
Варьируя іп в пределах от -ц до +]т, где V - некоторая максимальная величина средней плотности тока при различных сочетаниях значений ^ Ь, ]3, методом конечных элементов рассчитываются значения потокосцеплений обмоток трансформатора ТА, ¥в, ¥с, ¥а, Ть, ¥с
[1, 2]. По результатам серии расчетов формируются матрицы, которые можно записать как функции вида
^ А = ^2^)
= ^(Р,>р2>Рэ)
^ С = ^(Р1>Р2>РЭ)
^ а = ^Л.Рэ),
= ^(Р|. Р2 , Рэ), ^ , Р2, Рэ).
(3)
Визуализация матрицы Ть = 1(Рі,Р2,Р3) при фиксации одной из переменных представлена на рис. 2.
Рис. 2. Потокосцепление трехфазного трансформатора ТЬ = ((Рі, Р2, Рз) при Рз=0
Полученные матрицы потокосцеплений аппроксимируются трехмерными кубическими сплайнами, по которым при любых сочетаниях токов в обмотках можно найти как потокосцеп-ления обмоток, так и все частные производные функций (3).
Динамический режим работы трансформатора для схемы (рис. 1,а) описывается системой уравнений
иАВ = 'АГА
ивс = Вб
0 = 'а(га + ^1 -ІЬ(гЬ + ^нь) -О = Іь(Гь + ^ь,
d^ а d^Б
dt ІвГв dt .
d^Б : . d^с
dt ■о 1 с; р 1
на) + ^а +1 dia dt +-на dt
^ , diь
- -нь_тг,
(4)
^Ь + I
1-й
ЬІь
-нЬ
dt
dt
ІА + ІБ + ІС = 0 ^а + ІЬ + Іс = 0,
где Рн и Ьн - активное и индуктивное сопротивления нагрузки; индексы А, В, С относятся к первичной обмотке; индексы а, Ь, с - ко вторичной.
В системе уравнений (4) присутствуют
слагаемые , где т - индекс обмотки (А, В,
С, а, Ь, с). Учитывая (3), можно записать
и 1 ГТ dt
=1
dРn
п=1 дРП
dt
Учитывая, что
Рп = І1п^1п + І
2п^2п ,
(5)
(6)
каждое п-е слагаемое уравнения (5) преобразуем к форме
dР
17Тт игп
dt
5^т + І2п^2п)
дРп
= W1I
дРп
dІ1n
дРп dt "2п" дРп dt
dt
5^т di
(7)
2п
где 11п, 12п - мгновенные токи первичной и вторичной обмоток п-го стержня.
Введем обозначения:
ч
: Wi
дГ|_
5Рп
(8)
dt
где Ьу - коэффициент индуктивной связи нй и ]-й обмоток; Рп - намагничивающая сила (НС) стержня, на котором располагается ]-я обмотка.
Получим
^ = I (9)
]=Л,Б,С,а,Ь,о
Для расчета коэффициентов Ьу используются функции определения величины соответствующих частных производных в данной точке трехмерного сплайна, аппроксимирующего соответствующую матрицу потокосцеплений. Эти величины вычисляются аналитически, а не численно, что позволяет избежать высокочастотных шумов, вызванных погрешностями конечно-элементного расчета поля. Правда, есть вероятность возникновения недопустимых погрешностей сплайновой аппроксимации в форме осцилляций, что повышает требования к выбору опорных точек. Такой расчет коэффициентов позволяет учесть влияние конструктивных особенностей трансформатора на проходящие в нем электромагнитные процессы.
С учетом преобразования (9) система уравнений (4) принимает вид системы дифференциальных уравнений в форме Коши:
^] = М>], 00)
где
иЛБ - 'лгл + Бв
ивс - Бв + Сс
'ь (гЬ + КнЬ) — 'а (га + Кна 'о (го + Кно) — 'ь (гЬ + КнЬ I 0 0
[и] =
(11)
М =
СІД Сів СІО Сіа СІЬ Сіо
Сі Сі Сі Сі Сі Сі
^ДД - ^БД Д ОТ - г~ от от ^ДО - ^БО
^БД - ^ОД ^ББ - ^ОБ ^БО - ^ОО
Д .О - $ ^аБ - ^ЬБ ^аО - ^О
Д О - Д .о ^ЬБ - ^оБ ^ЬО - ^оО
сі Сі Сі
0 0 0
(12)
^Да - ^Ба Ь Д - ^БЬ Д О - ^Бо
^Ба - ^Оа ^БЬ - ^ОЬ ^Бо - ^Оо
^аа — ^Ьа + ^на ^аЬ — ^ЬЬ — ^нЬ ^ао — ^Ьо
^Ьа — ^оа ^ЬЬ — ^оЬ + ^нЬ ^Ьо — ^оо
0 0 0
Сі Сі Сі
(13)
Последние два уравнения системы (4) записаны в форме
<с С Ь СІ |от
Сі Сі
СІ +СІЬ
Сі Сі
сій п — = 0, Сі
Сіо „ ° = 0. сі
(14)
Это вполне допустимо, так как сумма токов фаз в обмотках трансформатора по первому закону Кирхгоффа равна нулю в любой момент времени. Это значит, что нулю равняется и сумма скоростей изменения токов в фазах в любой момент времени.
Система уравнений (10) может решаться любым методом численного интегрирования, например, методом Рунге-Кутта. На каждом шаге интегрирования по (6) определяются НС стержней в данный момент времени, затем определяются частные производные потокосцеплений обмоток по намагничивающим силам стержней, после чего вычисляются коэффициенты матрицы [Ц.
При этом алгоритм расчета динамических режимов трехфазных трансформаторов с использованием МКЭ для расчета магнитного поля будет состоять из трех основных этапов (рис. 3).
Расчет магнитных параметров трансформатора
Определение геометрических параметров трансформатора
Создание области конечно-элементной модели
Расчет магнитного поля трансформатора
Аппроксимация сплайнами матрицы потокосцеплений
=>
Я:
Расчет электрических параметров трансформатора
Определение электрических параметров схемы замещения трансформатора
Построение действительной электрической цепи с магнитной связью контуров
Определение коэффициентов матриц [У], [Ц, [ДОЛ]
Решение системы дифференциальных уравнений в форме Коши (10)
Обработка полученных результатов (расчет электрических величин, построение графиков и т.д.)
Рис. 3. Алгоритм расчета переходных процессов трехфазного трансформатора
Для тестирования модели были использованы данные трехфазного силового трансформатора ТМ-1600/10. По известным параметрам магнитной системы была сгенерирована конечно-элементная модель, серия расчетов которой позволила сформировать зависимости (3), аппроксимированные трехмерными сплайнами (рис. 2). НС обмоток варьировалась в широких пределах для учета возможности сильного насыщения магнитопровода, которое может происходить при аварийных режимах работы трансформатора.
Тестирование модели проводилось по действующим значениям величин, достигаемых после завершения переходных процессов.
В качестве результатов моделирования на рис. 4 приведены кривые изменения токов в обмотках трансформатора при включении его на номинальную нагрузку.
а)
б)
Рис. 4. Графики токов при включении трансформатора ТМ-1600/10 на номинальную нагрузку: а - токи в первичной обмотке; б - токи во вторичной обмотке
На рис. 5 приведены кривые изменения токов в обмотках в аварийном режиме трехфазного короткого замыкания (У/У) (схема опыта приведена на рис. 1,а). Трансформатор работает в нормальном режиме с номинальной нагрузкой до момента времени 1 = 0,3 с, в точке 1 = 0,3 происходит трехфазное короткое замы-
т
кание на стороне обмотки НН. Задача решается при условии U-i = const, сопротивление цепи между зажимами вторичной обмотки равно нулю.
Главное достоинство данного метода расчета состоит в возможности моделирования процессов с явной несимметрией. Так, на рис. 6-7 приведены кривые токов в обмотках при возникновении короткозамкнутых витков в обмотке НН.
Таким образом, использование системы при проектировании трансформаторов позволит не только выполнять поверочные расчеты рабочих характеристик в статических режимах работы проектируемого объекта, но и оценить надежность трансформатора в моменты аварийных ситуаций с учетом динамики их развития и, как следствие, - повысить качество проектов [3]. Использование же системы в целях диагностирования [4, 5] состояния трансформаторов поможет обслуживающему персоналу при принятии оперативных решений, а также позволит создавать системы интеллектуального мониторинга на основе метода сравнительного анализа, что, в свою очередь, позволит продлить срок службы трансформатора.
Рис. 5. Графики токов при трехфазном КЗ трансформатора ТМ-1600/10: а - токи в первичной обмотке; б - токи во вторичной обмотке
Рис. 6. Графики тока в КЗ витках в обмотке НН трансформатора ТМ-1600/10 при аварийном режиме появления виткового КЗ.
а)
Рис. 7. Графики расчетных токов ТМ-1600/10 при аварийном режиме появления виткового КЗ во вторичной обмотке: а - токи в первичной обмотке; б - токи во вторичной обмотке.
Список литературы
1. Тихонов А.И. Библиотека конечноэлементного моделирования магнитного поля. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200600161.
2. Технология численного исследования электрических машин с использованием библиотеки конечноэлементного моделирования магнитного поля / А.И. Тихонов, С.Ю. Кучеров, И.М. Лашманов и др. // Вестник ИГЭУ. -2006. - Вып. 3. - С. 5-8.
3. Климов Д.А., Попов Г.В., Тихонов А.И. Методы автоматизированного моделирования динамических режимов трансформаторов. - Иваново, 2006.
4. Попов Г.В., Тихонов А.И., Климов Д.А. Компьютерная система имитации динамических процессов в силовых трансформаторах // Электро. - 2004. - № 2.
5. Климов Д.А., Попов Г.В., Тихонов А.И. Диагностирование силовых трансформаторов на основе системы имитации динамических режимов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2007. - № 1.
Тихонов Андрей Ильич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент кафедры электромеханики, e-mail: admin@fizika.ispu.ru
Попов Геннадий Васильевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина» доктор технических наук, профессор кафедры безопасности жизнедеятельности, телефон (4932) 26-99-39, e-mail: popov@bid.ispu.ru
Климов Дмитрий Александрович,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина» ассистент кафедры безопасности жизнедеятельности телефон (4932) 26-99-39, e-mail: popov@bid.ispu.ru
