CC BY
42
УДК 621.396.67
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИИ ВОЛНЫ НА КОНЕЧНОЙ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ГРЕБЕНКЕ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ АНТЕНН ВЫТЕКАЮЩЕЙ ВОЛНЫ
А.В. Останков
Реализована модель для анализа излучающих свойств двухмерной структуры в режиме преобразования поверхностных волн в объемные. Структура представляет собой плоский диэлектрический волновод, расположенный над конечным числом прямоугольных неэквидистантно размещенных в экране разноразмерных канавок. В предположении возбуждения неоднородной волной диэлектрического волновода задача дифракции сведена методом Фурье к системе линейных уравнений относительно мод канавок
Ключевые слова: конечная металлодиэлектрическая гребенка, плоский диэлектрический волновод, неоднородная волна, метод Фурье, модель
Несмотря на бурное развитие электродинамических симуляторов анализ и синтез дифракционных структур с характерными размерами, соизмеримыми с длиной волны, по-прежнему представляет серьезную проблему. Одной из перспективных структур, на основе которой могут быть реализованы СВЧ антенны вытекающей волны или функциональные элементы (квази-)оптической системы обработки сигналов, является накрытая диэлектриком проводящая гребенка с конечным числом резонансных канавок [1]. В работе [2] двухмерная структура "плоский диэлектрический волновод - металлическая гребенка" проанализирована методом временной области в предположении строгой периодично -сти гребенки. Однако в настоящее время значительный интерес представляют и непериодические гребенки.
Цель работы - сформулировать математическую модель дифракции неоднородной волны плоского диэлектрического волновода на конечной гребенке с канавками прямоугольного профиля, размеры которых и шаг следования могут быть переменными в направлении распространения возбуждающей волны.
Модельная геометрия структуры показана на рисунке. Гребенка образована конечным числом (Ы) канавок прямоугольного профиля с произвольными размерами (акх Нк, к = 1...Ы). Канавки выполнены в неограниченном идеально проводящем экране и позиционированы по оси Ох в общем случае неравномерно (хк - координаты центров). Над гребенкой (на расстоянии г) размещен слой однородного диэлектрика (ет - относительная диэлектрическая проницаемость) конечной толщины (т).
Пусть вдоль диэлектрического волновода распространяется неоднородная медленная Е-волна основного типа. Поле такой первичной волны с учетом затухания при удалении от волновода, отражения от экрана и обеспечения граничных условий на металле для £Х-компоненты записывается в области 3 как
Останков Александр Витальевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, E-mail: avostankov@mail.ru
H уо (x,z)=H о -cos[Y о (z +о.5т+r )]-e
УРоx
(1)
где Н0 - амплитуда волны, р0 - постоянная распространения волны в направлении Ох, удовлетворяющая характеристическому уравнению (см. приложение)
увтСпох)'
Yо ^т •(l—e j2Yоr )+—По—(1+e j2YоГ )
По
Y о Є
(2)
=2cos(nc)T);
Y о
—V—Ро; По —V£о 'єт —Ро; — 2п/Х0,х0— длина
волны в свободном пространстве. Зависимость от времени ехр(-_/'ю/) здесь и далее опущена.
Поле дифракции над структурой ( > т/2, частичная область 1) целесообразно представить в виде интегрального Фурье-разложения по плоским волнам:
+ад
Н «(X, 2) — | А(Р)-е1 (Р)( г-05т)е }вхс1в, (3)
—ад
где Лф) - спектральная плотность амплитуд поля дифракции, пропорциональная амплитуде парциальной плоской волны с постоянными распростра-
нения
Р (вдоль оси Ox) и y(P) =4ко —Р2 (вдоль Oz).
Поле рассеяния в диэлектрическом слое (2| < т/2, область 2) и в воздушном зазоре (—т/2 — г < 2 < —т/2, область 3) следует также описать интегралом Фурье с привлечением концепции Бриллюэна:
✓
Г * II 1 1 x2Rr h2 (Я г • ‘ x3 h3
ш
Модельная геометрия анализируемой структуры
1
(2)
Н(X,2) — 7|А(Р)е1П(Р) 2 + £2(Р)е
(4)
= М в\ (Р)е-----+ в2(Р)е ----- I урх ГЮ
--Цс1(Р)е Л(Р)( г+05т) +С2(Р)е-Л(Р)( г+05т) ]е
где п(Р)=д/ко -8т-Р2 - постоянная распространения (вдоль оси Ог) парциальной волны в диэлектрическом слое.
Поле дифракции внутри к-й канавки конечной решетки опишем дискретной совокупностью волноводных мод с амплитудами .0® и постоянными
распространения
^їп) — Vк0 —(тп/ак)2 (по оси 07):
НУк)(х,2) — Х^Пк)со8[СПк)(2+0.5т+г +Ьк)\/пк (х), (5)
т—0
где /^к) (х) - модальная функция, обеспечивающая выполнение граничных условий на металлических стенках:
/тт\ х)—
—/соє[(дал/ак)(х—хк +ак/2)], | х—хк|<ак/2,
0, |х—хк |>ак/2.
(6)
Компоненты электрического поля над гребенкой и в ее канавках определяются в соответствии с уравнениями Максвелла.
Тангенциальные компоненты поля (с учетом первичной волны) должны удовлетворять условиям непрерывности на границах частичных областей (г = т/2, -т/2, -т/2-г). Формализация этих требований и исключение коэффициентов В12(Р),С12(Р) позволяет получить парную систему функциональных уравнений следующего вида
| А(Р)-и(Р)-е іРхЛр+Н 0е;Рох —
—ад
+ад
—х^^ст^./ткч х), к—1...Ы,
т—0 +ад
| А(Р).у(Р).ц(Р)-е 1Рхф—
—ад
N +ад
—і! Ж Пї)8іП(с Пк)Лк)-/тк)( х),
(7)
(8)
к—1т—0
где |и(р)|— С08[п(Р)т]-е л(Р)г —8Іп[п(Р)т]х
П(р) \^іп[у(Р)г] 1+у(Р)Єт|іС08[у(Р)г] у(Р)єт 11'С08[у(Р)г]/ п(Р) Іяіп[у(Р)г]
Умножая обе части уравнения (8) на модальную функцию е—іРх и интегрируя по х в бесконечных пределах [3], несложно получить с учетом замены Р' на р выражение для спектральной плотности амплитуд искомого поля А(Р):
і N +ад
а(Р)—. 1 -ц^тк)с тк)8іп(с тчит)(в),(9)
где I тк) (Р)—0.5ак .е—1 (Рхк +тп/ 2) х
х{8Іпс[(Рак + дал)/2]+(—1)т8Іпс[(Рак — тп)/2]}.
Используя разложение функции е;Рх по ортогональной на интервале | х - хк|< ак/2 системе функций /тк)(х), несложно избавиться от текущей координаты х и в уравнении (7):
| А(Р)и(Р)/(ч)(РУР—0.5ач Д(ч)со8(^\)(1+Л0)—
(10)
——Н 0 I.
(Я)/|
0*^ ^0.
,),
где д =1..Ы, ^ = 0...ад; Дп - символ Кронекера;
1(ч)(Р) - комплексное сопряжение к 7® | Ч=т .
После исключения из уравнения (10) неизвестной спектральной плотности А(Р), описываемой выражением (9), получаем результирующую систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд волноводных мод, возбуждаемых в канавках гребенки:
N ад
ХХотокт^тЧ)^+
к=1т=0
+_/'0.5д1кдт (1+д а созктч)] = (11)
Лк^т^А_г^мкииа*>эт "к>
=]И 0 7(ч)(Р 0),
где - коэффициенты, определяющие взаимную электродинамическую связь канавок [3]:
т(к,я) —
1
——•! О ТТ "
и(Р)
•I тк)(Р).4ч)(Р) ЛР; (12)
2п.у(Р).Ц(Р) к—1т—0
2п -адУ(Р)-Ц(Р)
рассчитываются численно непосредственным интегрированием по переменной Р; для обеспечения сходимости целесообразно ввести потери в диэлектрическом волноводе (1тех ~ 10-4), обеспечивающие конечную добротность "всплесков" подынтегральной функции в окрестности |Р| = Ро. Из формул (12) следует, что стт^1 =ст^т) (для периодической гребенки
к тому же стт^ =ат+г,ч+г), где г - целое); это позволяет сократить время расчета в 2..Ы раза.
Система уравнений (11) редуцируется путем ограничения числа волноводных мод канавок (да,5 = 0...М): достаточно учесть все распространяющиеся моды и одну-две затухающие. Используя найденные из (11) амплитуды волноводных мод, несложно рассчитать плотность амплитуд А(Р), поле дифракции (3) как вблизи структуры, так и в дальней зоне. В частности, расчет ненормированной диаграммы направленности по мощности может быть выполнен по формуле (методика изложена в [3])
(©)=60л-Х0 -| А(к0 81п©)-у(к0 б1п©)|2, (13)
где А(Р = к0-81п©) рассчитывается в соответствии с формулой (9), © - угол наблюдения, отсчитываемый по часовой стрелке от нормали к гребенке.
+ад
—ад
+ад
Таким образом, разработана и алгоритмически реализована математическая модель для анализа излучающих свойств двухмерной структуры - конечной совокупности размещенных в экране прямоугольных канавок, накрытой плоским диэлектрическим волноводом, работающей на эффекте преобразования поверхностных волн в объемные. В предположении возбуждения структуры заданной неоднородной волной диэлектрического волновода задача дифракции сведена к системе линейных алгебраических уравнений невысокого порядка относительно мод канавок. Модель позволяет учитывать неэквидистантный способ размещения, в общем случае, разноразмерных канавок.
Приложение
Пусть наличие конечной гребенки как локальной неоднородности в экране не влияет на величину постоянной времени р0 первичной волны. Тогда для ее отыскания достаточно проанализировать задачу распространения Е-волны диэлектрического волновода, размещенного над экраном (см. рисунок).
т/2
1
У
—т/2 —т/2—r
К выводу характеристического уравнения
A=B1e /Пот/2 + B2e—/Пот/2,
Y0 A=—(Bxe /Пот/2 — B2e~J"0UJ-);
—/Пот/2),
при z=—т/2 —
B1e
-/Пот/2
+ B2e
/Пот/2 =Cj + C2,
■( B,e—/Пот/2 — B2e/Пот/2) =y о (Cj — C2).
(П.1)
(П.2)
(П.3)
(П.4)
Обеспечим выполнение граничного условия на металле (при г=-т/2 - г ):
откуда
Cje—/Y0r — C2e/Y0r = 0,
Cj = C2e2/Y0r.
(П.5)
Из уравнений (П.1)-(П.4) исключим неизвестные Вх, В2, а затем, используя (П.5), и Сх; получим
2 А=С2{е ;л°т[(1+е12у°г)-^ (1-е12у»г)]+
П0 (П 6)
+e-ln°т[(1+el2y°г)+l°^(1-el2Y°г)]};
2 А=С2 -^{е 1П0т[(1+е12у 0Г)-^ (1-е12у0г)]-
Y0S'
^ п V '" (П.7)
- 1П0т [(1+е12у0г) +^ (1-е12у0г)]}.
Наконец, приравняв правые части уравнений (П.6) и (П.7), получим уравнение относительно неизвестной постоянной распространения р0:
151п(П0т)[ ^ (1-е12у0г) +^(1+е12У0Г )] = 2сОБ(П0т).
—e
по
Y0&c
Запишем выражения для магнитного поля собственной волны структуры в областях 1, 2 и 3:
(1) = Ае 1У0 (г-т/2)е 1Р0х
Hyl) = Ae
H y2) = Be/По z + B2e—/n°z )ejP°x,
H(3) = (Qe/Y0( z+T/2) + C2e—/Y0( z+T/2))e/P0x
Найдем в соответствии с уравнением Максвелла
(n) =________L
£Xn) =
dH (п)
—/ИЄ0ЄП dz
тангенциальные составляющие электрического поля.
Удовлетворим условию непрерывности тангенциальные составляющие ИУ^п), БХп) поля на границах частичных областей. При г=т/2 получим
Литература
1. Евдокимов А.П. Новое направление в технике антенных решеток / А.П. Евдокимов, В.В. Крыжановский // Изв. высш. уч. завед. - Радиоэлектроника. — 1996. — Т. 39. — № 9-10. — С. 54-61.
2. Сиренко Ю.К. Численное моделирование электродинамических характеристик / Ю.К. Сиренко, А.И. Вязь-митинова, В.Л. Пазынин, К.Ю. Сиренко // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2007. — Т. 12. — № 1. — С. 24-34.
3. Александров Н.Л. О некоторых методах расчета конечных волноводных решеток / Н.Л. Александров, Ю.П. Виниченко // Радиотехника и электроника. - 1991. -Т. 36. - № 10. - С. 1939 - 1945.
Воронежский государственный технический университет
THE MATHEMATICAL MODEL OF DIFFRACTION OF A WAVE ON FINAL METAL DIELECTRIC CREST FOR DESIGNING OF AERIAL OF A FLOWING WAVE
A.V. Ostankov
The model is realized for the analysis of radiating properties of two-dimensional structure in a mode of transformation of superficial waves in the volume. The structure represents the flat dielectric wave guide, located over final number rectangular irregular placed in the screen of different dimension flutes. In the assumption of excitation by a non-uniform wave of a dielectric wave guide the diffraction problem is shown by a method of Fourier to system of the linear equations concerning fashions of flutes
X
z
x
2
3
Key words: final metal dielectric crest, flat dielectric wave guide, non-uniform wave, method of Fourier, model
