Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.2

К.И. Лившиц, Л.Ю. Сухотина, И.Ю. Шифердекер МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НЕКОММЕРЧЕСКОГО ФОНДА ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ ПЛАТЕЖЕЙ

Исследуются статистические характеристики математической модели деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей и релейном управлении капиталом фонда

1. Математическая модель изменения капитала

Под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1 - 4]. Среди некоммерческих фондов особую группу составляют так называемые государственные внебюджетные фонды РФ. Основная особенность деятельности этих фондов состоит в том, что поступление и расходование средств внебюджетных фондов определяется законодательством, которое устанавливает не только размеры страховых взносов, но и временные границы перечисления средств в фонды. Так, в настоящее время перечисление средств во внебюджетные фонды должно осуществляться до 15 числа месяца, следующего за отчетным. Этот факт приводит к тому, что интенсивность потока страховых платежей имеет существенно различные значения в первой и второй половине месяца. В то же время моменты изменения интенсивности потока зависят от многих случайных факторов и не могут рассматриваться как детерминированные. Подходящей моделью является дважды стохастический пуассоновский поток [6] с двумя состояниями интенсивности ^ и ^ = ^2.

Основной характеристикой состояния фонда является его капитал .у(г) в момент времени г. В работе предполагается, что с капиталом фонда могут происходить следующие изменения:

1. В фонд поступают денежные средства. Поступающие денежные суммы (премии) являются независимыми одинаково распределенными величинами с экспоненциальным распределением

Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют дважды стохастический пуассоновский поток с переменной интенсивностью ^(?), которая может принимать два значения ^(г) = ^1 и ^(г) = ^2. Переход из состояния ^(г) = ^1 в состояние ^(г) = ~к2 за малое время Дг происходит с вероятностью а1Аг+о(Аг), а из

(1)

состояния X,(t) = в состояние X,(t) = с вероятностью а2Аг+о(Аг). Финальные вероятности состояний Цг) = ^1 и Цг) = ^2 равны соответственно

а2 - - а1 (2) П1 , п2 . (2)

а1 +а 2 а1 +а 2

2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что расходование денежных средств происходит непрерывно во времени со скоростью b(s), так что за время Аг выплата составляет b(s)A?. Предполагается, что управление расходованием денежных средств имеет релейный характер т.е.

jb0,s < so,

b(s) = <! (3)

lbi, s ^ so,

для некоторого порогового значения капитала s0. Так как фонд не имеет цели получения прибыли, будем считать, что

bo = (1 - 0) a, b = (1 + 0) а, (4)

л ^1а2 + ^2а1 /с\

где Х0 = -±-±-----^ (5)

а1 +а 2

- средняя интенсивность потока страховых выплат и 0 < 0 < 1. Таким образом, при s < s0 фонд расходует в среднем меньше, чем собирает, а при s > s0 расходует в среднем больше, чем собирает.

Наконец, будем считать, что при s < 0 фонд не прекращает своей деятельности, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.

2. Плотность распределения капитала

Обозначим p(s, г) - плотность распределения вероятностей капитала фонда s в момент времени г при условии, что интенсивность поступления денежных средств ^(г) = ^г, i = 1,2. Рассмотрим два близких момента времени г и г+Аг. Пусть в момент времени г+Аг ^(г+Аг) = ^ и капитал фонда s(i) = s. Тогда на интервале времени длиной А1 могли произойти следующие события:

1. Интенсивность ^(г) = ^1 не изменилась, и денежные средства не поступали, т.е. As = -Ь^)Аг. Вероятность этого события равна

(1 - а1Аг)(1 - ^Аг) = 1 - (а1 + ^1)Аг + о(Аг).

2. Интенсивность ^(г) = ^1 не изменилась, имеются денежные поступления, т.е. Ал = -Ь^)Аг + х. Вероятность этого события равна

(1 - а1Аг)^1Аг + о(Аг) = ^1Аг + о(Аг).

3. Интенсивность ^(г) перешла из состояния ^(г) = ^2 в состояние ^(г) = ^1 и А = -Ь^)Аг (денежные средства не поступали). Вероятность этого события равна

а2Аг(1 - ^Аг) = а2Аг + о(Аг).

4. Вероятности иных событий имеют порядок о(Аг2).

Тогда по формуле полной вероятности [5]

pl (s, t + А t) = (1 - (at + ^ )A t) pl (s + b(s)At, t +

+ X{At Jp (s + b(s)At - x,t)ф(x)dx +a2Atp (s + b(s)At, t) + o(At). (6)

Считая функцию _p1(s,?) дифференцируемой по s и г, получим из (6), переходя к пределу при Аг^о

dPlg5’?) -b(s)?) = -(ai +^i)P1(s,t) + ^i Jp1(s-x,t)q(x)dx + a2p2(s,t). Проводя аналогичные выводы для p2(s,i), получим

dp2^S’t) - b(s) t) = -(a 2 +X 2 ) P2 (s’t) + X 2 1P2 (s - x’t)9( x)dx + alPl(S’t ')■

Рассмотрим далее стационарный случай. Пусть p (s) = lim p (s, t), i = 1,2 . Пе-

t ^ГО

ренесем начало отсчета в точку s = so. Тогда для _pi(s) и^(s) в области s < 0 справедливы уравнения

d (s) ^

b0 lds = (ai +^i)Pi (s) -^1 jPl (s - х)Ф(x)dx + a2p (s),

0

ro

ds

а в области s > 0

b0 dPfSS = (a2 +^2 ) Pl (s) j P2 (s - х)ф( x)dx + alPl (s) (7)

dpi (S)

i ds

: (ai +^i)p(s)-Xi JPi(s -х)ф(x)dx- а2p(s),

0

го

(а2 +X2)p(5)-X2 Jp(s-х)ф(x)dx-alpl(s). (8)

L dP2 (s ) b‘— 0

Кроме того, плотности р^) должны удовлетворять условиям нормировки

го

I Р (•?)<* = щ, 1 = 1,2 . (9)

—го

Решение системы (7) в области я < 0 будем искать в виде

Р\ (я) = Л«*1" + А2е*2" > Рг (^) = в1ек+ в2е*2" > (10)

где ¿1, к2 > 0. Подставляя (10) в (7) и приравнивая коэффициенты при ,

получим систему уравнений для определения А1, А2, В1, В2:

А 0о (к, )-а!) + а2В1 = 0, В (г0 (к, ^)-«2) + а1 А = 0,

А2 (г0 (к2, ^1) —а1 ) + а2В2 = 0, В2 (г0 (к2 , ^2 ) — а2 ) + а1 А2 = 0, (11)

где Г (к, = к(Ь г = 0,1. (12)

1 + ка

Первая пара уравнений из (11) образует однородную линейную систему относительно А1, А2. Для существования нетривиального решения системы ее определитель должен быть равен нулю, т.е.

Л = (г0 (кг, )-а1)(г0 (кг, ^)-а,!)-а1а2 = 0

или г0 (кг, \ )г0 , х2) -а1г0 (к!, Х2) -а2г0 (к!, ^) = 0 .

0

Условие существования нетривиального решения второй пары уравнений системы (11) имеет вид (13), где к1 заменяется на к2. Таким образом, к1 и к2 должны быть положительными корнями уравнения

Исследуем функцию/0(2). При z^ю /,^)^-<», а при г» /0(г)^-<». Далее,

так как либо ^ < V либо ^2 < ^0. Отсюда следует, что уравнение /о (г) = 0 имеет три корня: к0 < 0; к1, к2 > 0 и, следовательно, решение в виде (10) существует. При этом из системы (11) коэффициенты В1, В2 могут быть выражены следующим образом:

Рассмотрим теперь область я > 0. Решение системы (8) будем искать в виде

где т1, т2 < 0. Подставляя (17) в (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, получим следующую систему для определения С1, С2,

где гг(отД) определено в (12). Аналогично предыдущему случаю, первая и вторая пары уравнений системы (18) имеют нетривиальное решение, если даь т2 являются корнями уравнения /Кг) = 0, где /1(г) определяется соотношением (14) с заменой Ь0 на Ь1. Можно показать, что уравнение /1(г) = 0 имеет три корня даь т2 < 0, т3 > 0 и, следовательно, решение системы (8) в виде (17) существует. При этом из системы (18) коэффициенты Д1, Д2 могут быть выражены в виде

г/0 (2) = Г0 (Х1 )г0 (Х2 ) - а1г0 (Х2 ) - а2Г0 (Х1) = 0

где

/а (2) = 2

/о (0) _ аі (ьо ^2а) а2 (ьо Х1а)

или, с учетом (4) и (5),

/0 (0) = (а1Х2 + а2^і )аб > 0.

Пусть 2 - корень уравнения

и

Тогда

где

В1 _ У(Ь0 , ^1) А1, В2 _ ЧЬ0 , ^2 ) А2 ,

Ь( 1 + ак) -Х,а

у(й, к) =------------------------—.

Ь(1 + ак) -Х2 а

(15)

(16)

р1 (я) = + С2е”^, р (*) = Ае”1* + * ,

(17)

-Оъ

С1 (г (т1,Х1)-а1) + а2Д = 0, Б1(г1(т1,X2)-а2) + а1С1 = 0,

С2 (г1 (т2, Х1 )-а1 ) + а2 °2 = 0, °2 (Г1 (т2, Х2 )-а 2 ) + а1С2 = 0 (18)

Д = у{Ъх,т)С1; И2 = у{Ъх,т2)С2 .

(19)

Получим теперь недостающие уравнения для определения коэффициентов решений (10) и (17). Во-первых, решения (10), (17) в точке я = 0 должны удовлетворять условиям сшивания

р (я) = + С2ет^, р2 (я) = Це"4* + В2ет2°,

где р(-х) при х > 0 определяются формулами (10), а р(0+0) формулами (17).

Откуда получаем

С. С2 А А2 О. О В. В2

----1— +-----2— =-----— +-----—, --------1— +----— =------— +-----—. (20)

1 + ат. 1 + ат2 1 + ак. 1 + ак2 1 + ат. 1 + ат2 1 + ак. 1 + ак2

Наконец, условия нормировки (9) дают

С1 + ^2 _ А_ + -п = Вк + _В2-п (21)

т1 т2 к1 к2 т. т2 к. к2

Таким образом, для построения решения необходимо определить корни многочленов /о(г) и /(г), а затем решить систему линейных уравнений (11), (18), (20), (21), которая соотношениями (15) и (19) сводится к системе из четырех уравнений. Явный вид получившегося решения не приводится ввиду его громоздкости.

На рис. 1 приведены графики р(у) при следующих значениях параметров: X = 100, Х2 = 10, а = 1, а! = 0,2, а2 = 0,6.

-10 -5 0 5 5

Рис. 1

3. Среднее значение длительности периода неплатежеспособности

Неплатежеспособность фонда наступает при я < 0. Обозначим через ^ (я) -среднюю продолжительность периода неплатежеспособности фонда при условии, что в начале периода капитал фонда равен я(г) = я (я < 0) и интенсивность поступления денежных средств Х(г) = X;, г = 1, 2. Пусть в начальный момент времени г интенсивность Х(г) = Х1. По прошествии времени Дг капитал фонда изменится на случайную величину Дя, а интенсивность Х(г) либо останется равной Х1 с вероятностью 1 - а1Дг + о(Дг), либо примет значение Х2 с вероятностью а1Дг + о(Дг). Усредняя по возможным ситуациям, получим

г1 (я) = Аг + (1 - ^ Аг )(1 - а1 Аг) г1 (я - Ъ0 Аг) +

-л

Х1 Аг(1 - а1 Аг) 111 (я + х)ф(х)йх + а1 Аг) 1г (я - Ъ0 Аг) + о(Аг),

0

где учтено, что при я + х > 0 период неплатежеспособности заканчивается. Считая функцию \ (я) дифференцируемой и переходя к пределу при Дг^0, получим

(5) _ ^

Ь0—1— + (Х1 + а1)1 (^) -Х1 [ 1 (5 + х)ф(х)йх -а1г2 (я) — 1. (22)

& 0

Аналогично,

—Г ( ) -■?

Ь0 -^Т- + (Х2 + а2 % («)-Х2 | Ч ( + х)Ф(х)-Х -а2?1(я) — 1 (23)

- 0

Решение ^ (я) системы (22), (23) будем искать в виде

%(я) = А•* + В + С еь, г = 1,2, к > 0 . (24)

Подставляя (24) в (22) и (23), получим систему уравнений для определения А,, В, С,:

С^ (а^ + кмд (Х^, к)) а^ С2 — 0, С2 (а 2 + кмд (X2, к)) а 2С1 — 0,

А а + В------1— = 0, А2 а + В2------2— = 0,

1 1 ак -1 2 2 ак -1

А^о (^1 ) + а1 (В1 — В2) — 1, А2^0 (Х2 ) + а2 (В2 — В1 ) — 1, А1 = А2, (25)

где и; (X, к) = Ь + Ха , / (X) = Ь; - Ха, I = 0,1. (26)

ак -1

В результате получаем, что шесть коэффициентов А,, Вг, С, при данном к должны определяться из системы семи уравнений. Для того чтобы получившаяся система уравнений была совместной, необходимо, чтобы первые два уравнения системы были пропорциональны. Откуда следует, что параметр к должен удовлетворять уравнению

(а1 + км0 (Х1, к))(а2 + км0 (X2, к)) -а1а2 = 0 . (27)

Можно показать, что уравнение (27) имеет четыре корня к > 0, к2 = 0, к3, к4 < 0. Поэтому в (24) к = кь так как иначе ^ (я) имеет экспоненциальный характер возрастания. Окончательно, с учетом (27), система (25) примет вид

а2С1«о (^1, к) а^Ио (X 2, к) — 0,

С С

А а + В------1— = 0, А-а + В--------2— = 0,

1 1 ак -1 2 2 ак -1

А110 (Х1) + а1 (В1 — В2) = 1, а2/0 (Х2) + а2 (В2 — Вх) = 1, А = А2, (28)

где к = к\ - положительный корень уравнения (27). Решение системы (25) имеет вид

а1 +а 2

А1 - А2 -

10 (Х1 )а2 + /0 (X2)аі

с______________ (Х к ) /0 (Х1) — /0 (Х2 )

сі - аі«о (Х2, к) т,

/0 (Х1 )а2 + /0 (Х2 )а1

с______________ (Х к ) /0 (Х2) — /0 (Х1)

С2 - а2М0 (Х1, кК ..ч , „ ч т,

/0 (Х1 )а2 + /0 (Х2 )а1

Сі С2 (ак-1)

В1 = - А1а--1—, В2 =- А1а-----------------2—, т =-

(ак -1) (ак -1) м0 (Х1, к)а2 + м0 (Х2, к)а1

На рис. 2 приведены графики средних ^(я) при следующих значениях параметров: = 100, Х2 = 10, а = 1, а! = 0,2, а2 = 0,6.

4. Среднее значение длительности периода повышенных платежей

Период повышенных выплат наступает, когда капитал фонда я > я0- Обозначим через 5 тг(.у) среднее значение продолжительности периода повышенных выплат, если в начале периода капитал фонда равен э и Х(г) = Хг, г = 1, 2. По прошествии времени Дг капитал фонда изменится на случайную величину Дэ, а интенсивность Х(г) либо останется равной Х1 с вероятностью 1 - а1Дг + о(Дг), либо примет значение Х2 с вероятностью а1Дг + о(Дг). Усредняя по возможным ситуациям, получим

0

¿2

¿1

-10

-5 Рис. 2

т1 (я) = Лг + (1 - А^Лг - ауАг )ш1 (я - Ь1 Лг) +

ГО

+Х11 т1 (5 + х)ф( х)аХ + а 1 Ат2 (5 - ЬуАі) + о( At).

(29)

Считая функцию т1(э) дифференцируемой и переходя к пределу при Дг^-0, получим при э > э0

(5)

Ь1—1— + (Х1 + а1 )т1 (^)-Хх Гт1 (5 + х)ф(х)аХ-а1т2(5) = 1. (30)

0

Наконец, при Б(г) = э0 и Дэ = -Ь1Дг период повышенных выплат заканчивается за время Дг. Поэтому при э(г) = э0 уравнение (29) примет вид

ГО

шу (50) = At + ХуАг |шу (50 + х)ф(х)^х + о(Аг).

Откуда при Дг ^ 0 получим начальное условие

т(яо) = 0 .

Аналогично для т2(э) получается уравнение

dm1 (5) ds

(X2 + а2)т2(5)-X2 |т2(5 + х)ф(х^х -а2т1 (я) = 1,

(31)

с начальным условием т2 (я0) = 0 •

Решение т;(.у) системы (30), (32) будем искать в виде

ті (я) = А я + Ві + С^, і = 1,2, к < 0 •

Подставляя (34) в (30), (32) и начальные условия (31), (33), получим систему уравнений для определения Лй В¡, С.

С1 (а1 + ки1 (Х1, к)) - а 1С2 = 0, С2 (а2 + ки1 (X2, к)) - а2С1 = 0,

(32)

(33)

(34)

Лу$о + Ву + СуЄ^° — 0, А2+ В + С2єь° — 0,

Ауіу (Ху ) + ау (Ву — В2 ) = 1, А21у (Х2 ) + а2 (В2 — В1) = 1 А1 = А2,

о

о

о

где щ(Х, к), 11(Х) определены в (26). Система (35) будет совместной, если параметр к удовлетворяет уравнению

(а1 + ки1 (Х1, к ))(а 2 + ки1 (Х2, к)) - а1а 2 = 0. (36)

Уравнение (36) имеет четыре корня к1 < 0, к2 = 0, к3, к4 > 0. Поэтому в (34)

к = к1, так как иначе т(э) экспоненциально возрастает. Окончательно, с учетом (36), система (35) примет вид

С1а2и1 (Х1, к) + С2а1м1 (Х2, к) = 0, Л1я0 + В1 + С1еь° = 0,

А2 ^0 + В2 + С2е ° = А1^1 (Х1) + а1 (В1 — В2 ) =

А2^1 (Х2 ) + а 2 (В2 — В1) = А1 = А2, (37)

где к = к\ - отрицательный корень уравнения (36). Решение системы (37) имеет вид

А1 - А2 -

а1 +а2

/[ (Х!)а2 + /і (^2 )а:

С2 — а2и1 (Хі,к)

", Сі — а^(X2,к)

/і (^) - /і (X2 )

/1 (Хі)а 2 + /1(Х 2 )а

-т,

/і(Х2 ) - /і(Хі)

/і (Хі)а2 + /і (^2 )аі

т,

В1 = -А1^0 - С1еі°к, В2 = -А1^0 - С2е*>*, да = -

-¡ок

щ (Х[, к )а2 + (Х2, к )а[

На рис. 3 приведены графики средних да,{я) при следующих значениях параметров: = 100, Х2 = 10, а = 1, а! = 0,2,

а2 = 0,6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глухова Е.В., Змеев О.А, Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск:

Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.

2. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерче- о ского фонда при релейном управлении капиталом // Вестник ТГУ. Приложение.

2006. № 18. С. 302 - 308.

3. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник ТГУ. 2006. № 293. С. 38 - 44.

4. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю, Шифердекер И.Ю. Пуассоновская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 19. С. 302 - 312.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 400 с.

6. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. М.: УДН, 1987. С.67 - 73.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 8 июня 2007 г.

5

Рис. 3