МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ЦИСТЕИН - ОКСИГЕНИРОВАННЫЕ КОМПЛЕКСЫ КОБАЛЬТА (II) С О-ДИСАЛИЦИЛИДЕНФЕНИЛЕНДИАМИНОМ И ЦИТОЗИНОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 544.431.8 + 681.5 DOI: 10.6060/rcj.2020642.9

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ЦИСТЕИН - ОКСИГЕНИРОВАННЫЕ КОМПЛЕКСЫ КОБАЛЬТА (II) С 0-ДИСАЛИЦИЛИДЕНФЕНИЛЕНДИАМИНОМ И ЦИТОЗИНОМ

С.С. Етмишева, У.Г. Магомедбеков, У.Г. Гасангаджиева, Х.М. Гасанова

СОФИЯ СЕЙПУЛЛАЕВНА ЕТМИШЕВА - ст. преподаватель кафедры неорганической химии Дагестанского государственного университета. E-mail: sophi05@yandex.ru.

УХУМААЛИГАДЖИЕВИЧМАГОМЕДБЕКОВ - д.х.н., профессор, заведующий кафедрой неорганической химии Дагестанского государственного университета. E-mail: ukhgmag@mail.ru.

УМУКУСУМ ГУСЕЙНОВНА ГАСАНГАДЖИЕВА - к.х.н.,, доцент кафедры неорганической химии Дагестанского государственного университета. E-mail: ugga74@mail.ru.

ХАДИЖАТМАГОМЕДОВНА ГАСАНОВА - к.х.н.,, доцент кафедры неорганической химии Дагестанского государственного университета. E-mail: hmgas@mail.ru

367000, Россия, Республика Дагестан, Махачкала, ул. Гаджиева, д. 43-а. Дагестанский государственный университет.

Приведены результаты по анализу математической модели кинетики возникновения химических осцилляций в гомогенной системе цистеин - оксигенированные комплексы кобальта (II) с о-дисалицили-денфенилендиамином и цитозином. На основе качественного анализа модели, представленного в виде системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений, установлено, что реализуется одно стационарное состояние типа «неустойчивый фокус». Из этой особой точки возможна бифуркация в предельный цикл (бифуркация типа Андронова-Хопфа), что указывает на реализацию автоколебательного режима. Численное интегрирование модели показало, что она имеет решение в виде предельного цикла и процесс протекает в колебательном режиме при концентрациях цистеина и катализатора, соизмеримых с их экспериментальными величинами.

Ключевые слова: цистеин, комплексы кобальта (II), кинетика, осцилляция, модель, анализ.

A MATHEMATICAL MODEL OF AUTOOSCILLATIONS IN THE SYSTEM OF CYSTEINE-OXYGENATED COBALT (II) COMPLEXES WITH 0-DISALICYLIDENEPHENILENEDIAMINE AND CYTOSINE

S.S. Etmisheva, U.G. Magomedbekov, U.G. Gasangadzhieva, Kh.M. Gasanova

Dagestan State University, 43-a, Gadzhieva st., Makhachkala, Republic of Dagestan, Russia

Results of the analysis of the mathematical model of kinetics of the occurrence of chemical oscillations in a homogeneous system cysteine — oxygenated cobalt (II) complexes with o-disalicylidenephenylenediamine and cytosine are presented. Based on the qualitative analysis of the model, presented as a system of two nonlinear differential equations, it has been established that one stationary state of the "unstable focus " type is realized. From this singular point, a bifurcation into a limit cycle (bifurcation of the Andronov-Hopf type) is possible, which indicates the realization of the self-oscillatory mode. The numerical integration of the model showed that it has a solution in the form of a limiting cycle and the process proceeds in an oscillatory mode at cysteine and catalyst concentrations comparable with their experimental values.

Key words: cysteine, cobalt (II) complexes, kinetics, oscillation, model, analysis.

Введение

Интерпретация экспериментальных результатов по исследованию химических осцилля-ций и проведение анализа особенностей протекания колебательных химических реакций основаны на принципах нелинейной динамики, неравновесной термодинамики и математического моделирования [1, 2]. Использование современных методов математического моделирования при рассмотрении критических явлений в химической кинетике позволяет решать широкий круг вопросов, связанных, прежде всего, с конкретизацией влияния управляющих параметров на механизм протекающих процессов [3].

Нами экспериментально установлено [4], что процесс гомогенного окисления цистеина (Cys, R) в присутствии в качестве катализатора (cat) координационных соединений кобальта (II) с о-ди-салицилиденфенилен-диамином (ДСФДА), цито-зином (Cyt) и молекулярным кислородом протекает в колебательном режиме.

В настоящей статье представлены результаты по составлению и анализу математической модели кинетических закономерностей возникновения химических осцилляций в исследуемой системе.

Формирование механизма гомогенного окисления цистеина в присутствии оксигенированных комплексов кобальта (II) с ДСФДА и Су1 проведено исходя из литературных данных [8-15] и некоторых предположений. Рассмотрение окислительно-восстановительных процессов, протекающих в исследуемой среде проводилось при рН > 7, следовательно, при этих условиях происходит ионизация по кислотной группе и реагент находится в виде ДОИ за счет диссоциации по кислотной группе [8]. На образование при окислении цистеина промежуточных форм типа ДО ' и ЯБОИ" указано в работах [8-10], а на возможность образования частиц типа ИО2' и ИО2~ отмечено в работе [9]. Координационные соединения переходных элементов в низших степенях окисления при соответствующем координационном окружении обратимо присоединяют молекулярный кислород, образуя форму Мек022+ (Мек - связанные в комплекс ионы Мп2+, Бе2+ или Со2+, а связанный в комплекс кислород выступает в качестве окислителя) [5, 11-15].

С учетом этих фактов предложена схема протекающих окислительно-восстановительных процессов в исследуемой системе в следующем виде:

1. RSH"+ Сок O2

2+

k

rs- + ho;+ сок

2+

Обоснование и составление математической модели

Построение и анализ математической модели кинетики процессов, протекающих в исследуемой системе, проводились на основе известного алгоритма [3, 5-7], включающего: составление кинетической схемы на основе элементарных стадий протекающих процессов; представление математической модели в виде системы автономных дифференциальных уравнений; упрощение и преобразование математической модели к безразмерному виду; проведение анализа и исследования полученной математической модели и интерпретация решения в терминах кинетической модели; сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

2. rsh - + ho\-

3. rs~ + ho'2-

4. rsoh - + ho2-

5. RST + H2O + O2

6. rsoh ~ + rsoh ~

rs' + ho ^ rsoh -+ y2 o.

2^2

^ rs~ + ho + o2

RSOH + HO;

2rs- + h2o + y2 <j2

7. ho; + ho;

j. Со? + O2-

H2O2 + O2

+CokO2

2+

9. H2O2

^ н 2о+12 о2,

где ДОИ~ , ДО' и ЯЯОИ~ - различные формы превращений цистеина, Сок2+ и СокО22+ - неоксигени-рованные и оксигенированные формы комплексов кобальта (II), имеющие следующее строение:

H3C\

O =O"

O -If-— O —H / /

HC

3

/

C H

/с f

H—O -—-jH—O

N(Cyt)

C

^CH,

H3C\

L

o —h /---- o—h ^ / / / CH3

с-n^--/---n- -

ир^

A^NWoC'

с —N....../—^N—с

H—O-----jH—O

N(Cyt)

v h,

Cok + C0O2 +

(L - лиганд, N(Cyt) - атом азота цитозина)

к

k

к

В соответствии с этим алгоритмом кинетика сложной химической реакции, отвечающая определенной заданной схеме превращений в виде следующих уравнений (1) [3, 16, 17]. кг

1,] = г = 1..^ (1)

описывается системой дифференциальных уравнений в виде (2) [16, 17]:

а[х.] * , „V.

-¿Т = Е(VI - Vlr)kr п(Х^] 1Г (2)

Г=1 1

где X; - вещества, viГ - стехиометрические коэффициенты; viГ = 0, если Х; не входит в число веществ,

вступающих в реакцию на г-й стадии и V [ = 0, если

веществ нет среди продуктов, образующих на г-й стадии.

Полученная на основе соотношения (2) система обыкновенных дифференциальных уравнений соответствует математической модели исследуемого процесса, поэтому изучение эволюции химических систем сводится к качественному анализу рассматриваемой модели и (или) её решению аналитическим путем или численными методами.

Дифференциальные уравнения, которые учитывают изменение концентрации всех компонентов реакционной среды во времени, выведенные в соответствии с кинетической схемой процесса (3), имеют следующий вид:

1. С[ЯБН'= - кг[Ят~][Сок022 +] - к2[ЯБН'][Н02]

2. с1[Сок022+№' = - к,[К8Н-][Сок022+]+ к8[Сок2+][02]

3. ё[ЯБ ~ ]/Л'= к1[ЯБН'][Сок022 +] - к3[ЯБ т ][Н02] +

+ к4[ЯБ0Н-][Н02'] - к[ЯБ ~ ][Н202][02]+ +2кб[К50Н-][К50Н-]

4. ё[Н02 ]/Ж'= к1[ЯБН'][Сок022 +] - к2[ЯБН'][Н02] -

- к3[ЯБ ~ ][Н02] - к4[ЯБ0Н'][Н02] + + к[ЯБ ~ ][Н202][02] - к7[Н02]2

5. С[Сок2+]/СГ = к1[ЯБН-][Сок022+] - к8[Сок2+][02]

6. ё[Н202]Ш= к2[ЯБН'][Н02] + к4[ЯБ0Н'][Н02] +

+ к7[Н02]2- к9[Н202]

7. С[ЯБ0Н-]/СГ = к3[ЯБ т ][Н02'] - к4[ЯБ0Н'][Н02'] +

+ к[ЯБ ~ ][Н202][02] - кб[Я80Н-][Я80Н-]

8. ё[02]Ш = к3[ЯБ ~ ][Н02'] - к4[ЯБ0Н'][Н02] +

+ к5[ЯБ т ][Н202][02]+ кб[Я80Н'][ЯБ0Н~]+ +к7[Н02] - к8[Сок2+][02] + к9[Н02]

9. сСН^т' = к4[Я80Н-][Н02] - к3[ЯБ т ][Н202][02] +

+ кб[ЯБОН'][ЯБОН'] + к9[Н202] (4)

Проведение анализа такого типа систем указанными методами, и, особенно, трактовка получаемых результатов, довольно затруднительно (система содержит девять нелинейных дифференциальных уравнений), поэтому было сделано ряд упрощений математической модели с целью умень-

шения числа дифференциальных уравнений в системе (4).

При реконструкции динамики исследуемой системы по временным последовательностям данных получено [4], что размерность фазового пространства для всех условий эксперимента соответствует пяти. Вследствие этого получаем, что количество компонентов реакционной смеси, которое необходимо учитывать при анализе кинетического механизма и, следовательно, число дифференциальных уравнений в анализируемой модели также соответствует пяти.

Дальнейшая редукция системы дифференциальных уравнений была проведена с учетом следующих моментов. Во-первых, нам известны исходные концентрации реагента и катализатора, что позволяет, исходя из уравнений материального баланса, выразить через них концентрации веществ, в которые в ходе реакций они превращаются. Во-вторых, используя принцип квазистационарности Боденштейна - Темкина, можно предположить, что концентрации Н2О2, ЯБ0Н', а также различных форм катализатора будут приблизительно постоянными (это вытекает из стадий 2, 7 и 9 - для Н2О2, реакций 3, 4, 5 и 6 - в случае частиц ЯБ0Н' и реакций 1 и 9 - для ионов Сок022+ и Сок2+). Можно считать постоянной концентрацию молекулярного кислорода (эксперимент проводится в открытой по отношению к воздуху ячейке [18] и концентрация кислорода определяется её растворимостью в реакционной среде).

После проведения этих упрощений число дифференциальных уравнений уменьшается до двух, и соответствующую математическую модель можно представить в следующем виде:

ас

= К(са -схс -к3схсу +

аг у

+ к 2(са - сх )су + к 4су - к с + 2к б

асх

_у

аг'

'- = к1 (са - сх )сЬ - к3схсу - к2 (са -

- сх с - к 4 су + к с - к 7 су су

(5)

где I - время, Сх = [ЯБ • ], Су = [Н02], Са = Ся (исх), С = С

СЬ Сеа1 (исх)

Для проведения качественного анализа и численного решения систему (5) необходимо привести её к безразмерному виду. С этой целью введем новые обозначения:

х = о)Сх, у = г}Сг, г = уС2, t = Ы , а = СА, Ь = Сь, со = кз/к2, ц = кук^ ё = к2, тогда система кинетических уравнений (4) примет вид:

dx dt

dy = dt

а 8

xx

k (a--)b + k2 (a--)

а а

y x y y x — - къ— — + k4 — - k5— + 2k6

Л

Л 8

x

к (a--)b — k2 (a —

а

а л

Для приведения системы уравнений к наиболее простому безразмерному виду введем обозна-чения:^ = к3к1/к2, / = к2/к3, р = к/к2, р = к7к1/к2, у = к6/к1, а = к5к2/к3к1ш

Тогда, проведя соответствующие преобразования, исследуемую систему дифференциальных уравнений (6) можно записать в следующем безразмерном виде: дх

= [(a - jux)b + (a - jux)y - xy + py -ox + 2у]е;

dt'

dp = (a - jux)b - (a - jux)y - xy - py + ox - (py2 (7)

С целью установления особенностей динамики рассматриваемого сложного химического процесса необходимо провести в первую очередь качественный анализ системы из двух дифференциальных уравнений нелинейного типа, представленной в качестве математической модели.

Качественный анализ математической модели

Согласно существующей процедуре [6, 16, 17] при проведении качественного анализа левые части дифференциальных уравнений в системе (7) приравниваем нулю и получаем систему алгебраических уравнений в следующем виде:

[(a - jux)b + (a - jux) y - xy + py -ox + 2у] = 0

(a - xj)b - (a - jx) y - xy -py + ox -py2 = 0 (8)

Можно показать, что исследуемая система

,, „ abo дифференциальных уравнений при у =-

jb - o

имеет единственную неподвижную точку (стацио-

ч _ ab + 2у нарное состояние) с координатами x =-—;

jb + o

y = 0.

При анализе устойчивости стационарного состояния [7,17] необходимо построить матрицу Рауса - Гурвица (9). Для обсуждаемого примера эта матрица имеет вид:

A =

(-jb -o) -Л a - je - x + p - ju + o - (a - jx) - x - p- Л

= 0 (9)

Характеристическое уравнение, при этом,

представляется в виде: где

Л2 - ТЛЛ +АЛ = 0,

Т =

. 1 ab + 2у. ab + 2у

(jb + o + a + p +--) - j-

jb + o jb + o

и А= 2ajb + 2jbp +

(2o- 2j2b)(ab + 2у) jb + o

(10) , (11) . (12)

а л

x y

Л

а

r \2 Л

V/y

(6)

k^ k ^ + k^ k-j а л Л а

Решения уравнения (10) при T2 - 4А < 0 в обозначениях T и А представляются в виде:

л Т л/Т2 - 4А Л] = — +-/

2 2

Т у1т 2 - 4А и Л2 =---i (13)

2 2

Для случая, когда одно из решений уравнения

г лч л Т у1т2 - 4Д (в нашем случае А2) имеет вид А2 =___:_/,

2 2

возможна реализация неустойчивого состояния с особой точкой типа «неустойчивый фокус» [16, 17]. Из этой особой точки возможна бифуркация в предельный цикл (бифуркация типа Андронова-Хопфа), что является свидетельством возможности реализации в исследуемой системе химических неустойчивостей в виде возникновения химических осцилляций [7, 17].

Численное интегрирование математической модели

Следующим этапом анализа математической модели является численное решение системы дифференциальных уравнений. Это тем более важно, что результаты, получаемые на основе численного интегрирования, позволяют проверять заключение, сделанное об устойчивости системы и возникновении критических состояний методами качественного анализа.

Для численного интегрирования анализируемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, представленной в качестве математической модели протекающих процессов в колебательном режиме, использована программа Mаthcаd с подпрограммой Ик^ар! [19].

Для выявления особенностей процесса гомогенного окисления цистеина расчетным путем определены пределы концентрации аминокислоты и катализатора, при которых возникают автоколебания. Для этого, согласно существующей процедуре, в качестве управляющих параметров определены исходные концентрации реагента - цистеина (а), а также катализатора - оксигенированных комплексов кобальта (II) с ДСФДА и Су1 (Ь); в качестве переменных были выбраны промежуточные вещества превращения цистеина и продукты неполного восстановления координированного и растворенного кислорода в виде: х = []; у = [НО' ]. (О возможности образования такого типа интер-медиатов указано в монографии [10] и отмечено нами в работах [20, 21]).

Решения для различных значений концен- а = 3,0-10-5; у = 8,0-10-5; р = 3,0-105 представлены траций реагента (а) и оксигенированных комплек- на рис.1 (а, б, в, г). сов кобальта (б) при (е = 3,6-10-4; и = 16,5; р = 8,0;

У

1x10

5x10

0

5x10

0 20 40 60 80 100

0.4 0 2

XI 0

- 0.2 - 0.4

X,

(I)

0 20 40 60 80 10С X;

5x10

5x10

У1

(II)

X;

0.2 0.1 0

— 0.1

- 0.2 - 0.3

У,

0 20 40 60 80 100

1x10

5x10

■ 5x10

(I)

XI

0 20 40 60 80 100

0.2 0.1

0

-- 0.1 - 0.2

- 0.3

5x10

5x10

У1 (II)

X,

- 02

- 0.1 -

1x10

5x10

0 20 40 60 80 100

- 5x10

XI

0 20 40 60 80 100

(I)

- 0.1-

- 02

- 5x10

5x10

У

(II)

П'

X,

- 5 — 10

- 15

- 20

1x10

У - 1x10

-2x10

0 20 40 60 80 100

-3x10

0 20 40 60 80 100

0 - 5 — 10

- 15

- 20 - 3x10"

- 1x10

1x10

(I) (II)

Рис. Зависимость изменения концентрации частиц Xi = ' ]; Yi = [.НО2] от времени ^ (I). Фазовый портрет

систем в координатах Xi - Yi, (II)

а) а = 5,0-10-4; Ь = 2,5-10-5; б) а = 5,0-10-4; Ь = 2,6-10-5; в) а = 5,0-10-4; Ь = 2,7-10-5; г) а = 5,0-10-4; Ь = 1,9-10-5

а

5

5

б

4

5

0

5

5

5

г

х

в

4

У

0

5

5

г1

х

г

4

5

5

0

X

4

4

г

г

У

Результаты расчетов, представленные на рисунке, показывают, что колебательные решения реализуются при концентрациях реагента и катализатора Ccat = 5,0-10-4 и Сь = (2,5 + 2,6)-10-5 соответственно; эти величины сопоставимы с опытными значениями концентраций цистеина и оксиге-нированных комплексов кобальта (II), при которых возникают химические осцилляции.

Таким образом, можно заключить, что численное интегрирование обсуждаемой математической модели для различных начальных условий свидетельствует о том, что рассматриваемая математическая модель имеет решение в виде предельного цикла и процесс протекает в колебательном режиме при определенных исходных концентрациях цистеина и катализатора, сопоставимых с количествами, при которых экспериментально наблюдаются концентрационные колебания. Сравнение экспериментальных и расчетных данных позволяет констатировать, что обсуждаемая математическая модель удовлетворительно описывает процессы возникновения химических осцилляций при гомогенном окисления цистеина в присутствии оксигенированных комплексов кобальта (II) с о-дисалицилиденфенилендиамином и цитозином.

Работа выполнена на базе Научно-образовательного центра ДГУ «Нелинейная химия» с использованием оборудования Центра коллективного пользования ДГУ «Аналитическая спектроскопия».

Литература

1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. М.: Книжный дом «ЛИБРИКОМ». 2016. 280 с.

2. Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д., Гордеев Л.С., Вертегел А.А. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001. 408 с.

3. Быков В.И., Цыбенова С.Б. Нелинейные модели химической кинетики. М.: КРАСАНД. 2011. 400 с.

4. Етмишева С.С., Магомедбеков У.Г., Гасангаджиева У.Г. Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2018. Т. 61. Вып. 8. С. 40-46; DOI: 10.6060/ivkkt.20186108.5765.

5. Магомедбеков У.Г. Окисление биосубстратов в колебательном режиме. Махачкала: ИПЦ ДГУ. 2002. 132 с.

6. Быков В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. М.: КомКнига. 2006. 328 с

7. Мазуров М.Е. Идентификация математических моделей нелинейных динамических систем. М.: ЛЕНАНД. 2019. 284 с.

8. Биохимия / Под ред. Е.С. Северина. М.: ГЭОТАР. 2004. 779 с.

9. Сычев А.Я., Исак В.Г. Успехи химии. 1995. Т. 64. №12. С.1183-1209.

10. Торчинский Ю.М. Сульфгидрильные и дисульфид-ные группы белков. М.: Наука. 1971. 228 с.

11. Братушко Ю.И. Координационные соединения 3d переходных металлов с молекулярным кислородом. Киев: Наукова Думка. 1987. 168 с.

12. Магомедбеков У.Г., Етмишева С.С., Хасанов И.И. Вестник Чеченского государственного университета. 2013. Вып. 1. С. 116-120.

13. Магомедбеков У.Г. Гасангаджиева У.Г., Гасанова Х.М., Гаджибалаева З.М., Магомедова Р.А. Известия Вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2008. № 6 (146) С. 48-52.

14 Магомедбеков У.Г., Гасангаджиева У.Г., Гасанова Х.М., Магомедбеков Н.Х. Вестник Дагестанского государственного университета. Ест. Науки. 2010. Вып. 6. С. 112-114.

15. Магомедбеков У.Г., Гасангаджиева У.Г., Гасанова Х.М., Магомедбеков Н.Х. Вестник Моск. ун-та. Сер.2. Химия. 2011. Т.52. №6. С.443-448.

16. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука. 1997. 320 с.

17. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений М.: ЛЕНАНД. 2017. 552 с.

18. Досон Р., Эллиот Д., Эллиот У., Джонс К. Справочник биохимика. М. Мир. 1991. 554 с.

19. Pojman J.A. Studying Nonlinear Chemical Dynamics with Numerical Experiments. Department of Chemistry & Biochemistry. University of Southern Mississippi. 1997. P. 339-348.

20. Магомедбеков У.Г., Гасангаджиева У.Г., Гасанова Х.М. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 2. Химия. 2013. Т. 54. № 6. С. 330-341.

21. Магомедбеков У.Г., Гасангаджиева У.Г., Гасанова Х.М., Магомедбеков Н.Х. Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева). 2009. Т. 56. № 6. С. 74.