CC BY
8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ УСАДКИ
Сафаров Жасур Эсиргапович
д-р техн. наук, проф., Ташкентский государственный технический университет,
Республика Узбекистан, г. Ташкент E-mail: _ jasursafarov@yahoo. com
Хужакулов Улугбек Каримкулович
соискатель, Ташкентский государственный аграрный университет,
Республика Узбекистан, г. Ташкент E-mail: [email protected]
Султанова Шахноза Абдувахитовна
PhD, доц., Ташкентский государственный технический университет,
Республика Узбекистан, г. Ташкент E-mail: sh. sultanova@yahoo. com
MATHEMATICAL FORMULATION OF THE ONE-DIMENSIONAL SHRINKING MODEL
Jasur Safarov
DSc., professor Tashkent State Technical University Republic of Uzbekistan, Tashkent
Ulugbek Khujakulov
researcher, Tashkent State Agrarian University, Republic of Uzbekistan, Tashkent
Shakhnoza Sultanova
PhD, Ass. professor, Tashkent State Technical University Republic of Uzbekistan, Tashkent
АННОТАЦИЯ
В статье приведены описания одновременных процессов тепломассопереноса с эффектом усадки при сушке продуктов якона с высоким содержанием влаги. Условия усадки были разработаны на основе простого механизма объема выпаренной воды, который происходит во время сушки. В этой модели эффекты усадки включили в модели тепломассопереноса, не прибегая к каким-либо внешним наложенным эмпирическим корреляциям.
ABSTRACT
The article describes the simultaneous processes of heat and mass transfer with the effect of shrinkage during the drying of yacon products with a high moisture content. Shrinkage conditions have been developed based on a simple mechanism for the volume of evaporated water that occurs during drying. In this model, shrinkage effects were incorporated into heat and mass transfer models without resorting to any external superimposed empirical correlations..
Ключевые слова: сушка, клубни якона, математическая модель, тепло, влага.
Keywords: drying, yacon tubers, mathematical model, heat, moisture.
В проведенных исследованиях при первом приближении мы представляем простую одномерную изменяющуюся во времени модель тепломассопереноса, которая предполагает, что плоды имеют однородную структуру. Диффузионная модель разработана для описания процесса сушки, которая включает условие усадки и поддерживает прямое требование сохранения в главном уравнении [4; 9; 1; 5; 6].
В этой модели одновременный перенос влаги и тепла вместе с граничными условиями используется
для оценки скорости переноса тепла и влаги, не прибегая к какой-либо внешней эмпирической корреляции. Конвекционная система координат введена для того, чтобы зафиксировать поверхности в численных расчетах. Условия усадки были разработаны на основе простого механизма объема выпаренной воды, который происходит во время сушки [2; 3; 8]. Полная модель будет реализована в компьютерной программе (MATLAB) и применена к типичным данным для плодов якона и их сопоставлению с существующими работами.
Библиографическое описание: Сафаров Ж.Э., Хужакулов У.К., Султанова Ш.А. Математическая формулировка одномерной модели усадки // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 8(77). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/10643
Во время сушки тепло передается в основном за счет конвекции от воздуха к поверхности продукта и за счет теплопроводности от поверхности к центру продукта [7; 13; 14; 10; 11; 12]. Между тем влага распространяется наружу к поверхности и испаряется в воздух. Такой спаренный механизм обеспечивает основу для одновременной передачи тепла и влаги. Образцы конечной толщины Ьф содержание влаги М (х, поперек плиты и температура Т (х, 0 выражаются хорошо известной системой уравнений в частных производных для переноса влаги и энергии [5] как:
дм д ( дм\
р п =^ = д(кд^); 0 < х < ¿(0.
^ Р дЬ дх\ дх/ К '
(1) (2)
В начале процесса сушки содержание влаги, температура и толщина продукта считаются однородными, начальные условия, таким образом, выражается:
М = М0 ,Т = Т0,1=10,вЬ = 0.
(3)
При наложении симметрии в центре продукта отсутствуют градиенты концентрации температуры и влажности, поэтому выполняются следующие условия:
дмпдт
— =0 и — =0, при х = 0.
д х д х
(4)
значению £=1, пересмотренной формулировке уравнений (1) и (2) в виде независимых переменных состояний (£, /), при замене (х, /) становится:
О0 д2м $ (И дм
дм _
дЬ = Ь2(Ъ) д$2 ' Щ) М '
_ $ аьдт
дЬ = +
дт _ а д2т , „„д. ~ Ь2(Ь) д$2 Щ) М д$.
(7)
(8)
Используются безразмерные масштабированные переменные: репрезентативная шкала времени диффузии т, положение границы раздела 5 (т), масштабированное содержание влаги М и масштабированная температура Т определяются как:
т = е2,5(Т) = 1-^, ь0
М = —, и Т = -
мо Тв
Т-То
т0
(9)
В безразмерной формулировке граница раздела х=Ь(0 уменьшается с сушкой от х=1 до неприводимого конечного состояния х=х/, соответствующего растительному сырью, достигающему сухого состояния. В результате система для влажности и температуры:
1 д2м
дм _
дт = б2(т) д$2 1 д2Т
дт
дт
= ¿е
1 (б дм б(т) (т '
_ 1 (б дт
б2(т) д$2 ' б(т) (т д$.
(10) (11)
Теплопередача на границе поверхности происходит путем конвекции в выше находившемся воздухе, обычно моделируемый с использованием коэффициента теплопередачи к. Некоторое тепло также поглощается влагой при переносе в паровую фазу, а граничное условие на поверхности определяется выражением:
д т д м
кТх-Я0РБ1м=-к(ТП
поверх.
- Твозд.) прих = ¿(0,
(5)
где X - теплота испарения.
Граничное условие влажности на поверхности становится:
°Р51м = -,1™(Споверх. - СвоздХ при х = ¿(0.
(6)
Постоянная диффузии. Одномерная математическая модель будет использоваться с условием усадки, связанным с постоянной диффузией Б0 и температуропроводностью к. Уравнения представлены уравнениями (1) и (2) вместе с уравнениями граничных условий (3)-(6). Осложняющим фактором для решения является изменяющаяся область образца, причем граница раздела х = Ь уменьшается с сушкой. Для отслеживания положения интерфейса удобно фиксировать его местоположение в изменяющейся координатной сетке. Используя преобразование £=х/(Ь (ф, поверхность раздела соответствует фиксированному
Начальные условия, связанные с постоянными условиями:
т = 0: Т({, 0) = 0, М($, 0) = 0,5(0) = 1.
(12)
Принятие симметрии граничных условий в средней плоскости сушильного среза дает:
и © = 0.
(13)
На поверхности влажность и температурные граничные условия сушильного тела в контакте с сушильным воздухом выражаются:
дмм = -5(т)БЬ(£(Твозд)Г(М) - 1);
(14)
Щ = -5(Т)Ми(Тповерх.
+ (15)
Поверхностную концентрацию Споверх. и поверхностную температуру Тповерх., безразмерную форму уравнения/(№) и Д (Тповерх.) для температуры воздуха Твозд.=60 °С определяют как:
Г(М) = 84,55-
062\238л
(16)
М0 )
2,38
2,38
и Р(ТповерХ) = 0,0364 ТП:оверх. +
+0,0108 ТтВеЩ. +0,0119. (17)
В приведенном выше описании несколько безразмерных управляющих параметров определяются как:
Sh = Нт1°Свозд., Nu=^;
DoMoPs к
а г- XMo
Le = —и Я = ■
Do
Ср(ТВОЗД-То)
(18)
Коэффициент диффузии в зависимости от температуры. Принимая коэффициент диффузии в зависимости от температуры О(Т), уравнение (1) становится:
дМ _ f dL(t)dM D д2М 1
dt L(t) dt df L2(t) df2 L2(t) df df
(19)
Используя ту же безразмерную переменную масштаба, что и выше, уравнение (19) становится:
дМ _ 1 Ту д2М .. 1 йз(т) дМ 1 дт=г,дмдт
~д7 = ТЙТ) д2 $2(т)д4
(20)
с ъ = 1 .
О0 йТ
Уравнение для тепла такое же, как уравнение (11), имеет вид:
<:й±д1 пи
дт = Ьв 52(г)д^2 + ^ йгд^ . (21)
Начальные условия, связанные с постоянными условиями:
т=0: Т(%, 0) = 0, 0) = 1, б(0) = 1. (22)
Принимая симметрию граничных условий в средней плоскости сушильного среза, дает:
и (дМ) = 0.
(23)
На поверхности влажные и температурные граничные условия сушильного тела в контакте с сушильным воздухом:
дММ = -S(T)| (0(ТПоверхЖМ) - 1); (24)
дТ = s(T)Nu(TU0BeVx. -1) + Ш±е-1дММ• (25)
Коэффициент диффузии зависит от влажности и температуры. Принимая коэффициент диффузии, зависящий от влажности и температуры D(T, M), уравнение (1) становится:
дМ _ f dL(t) дМ D д2М 1 дМ дТ ~
' + л Т7Т + _ „оТТ ~DT •
дЬ L(t) dt L2(t) д$2 L(t)2
Используя ту же безразмерную переменную масштаба, как упомянуто выше, уравнение (26) дает:
дМ
_ 1 д2М г f ds(t) дм
дТ = '¡¡2^)и'д^2+ * ' ~ +
1 дМ дТ
, D- +
s(t) dt s2(t) Т
1 дМ дМ % (27)
s2(t)
К D дБ дБ
с D = —, Dm = —^ и D-s = —.
D0 М дМ Т дТ
Уравнение для тепла такое же, как уравнение
(11):
дМ .
~T = Le
дт
1 д2Т £ ds дТ s2(t) д%2 ^TTIf •
(28)
Начальные условия, связанные с постоянными условиями:
т = 0: Т(?,0) = 0,М(?,0) = 1,5(0) = 1. (29)
Принимая симметрию граничных условий в средней плоскости сушильного среза, дает:
i^SM и (ддМ) = 0.
(30)
На поверхности влажные и температурные граничные условия сушильного тела в контакте с сушильным воздухом:
дМ
= -5(т)5-£(р(ТПоверх) f(M) - 1); (31)
дТ
— = -s(T)Nu(TmBeVx.
»+1*1-1% (32)
Для плодов якона и других плодов с высоким содержанием влаги усадка является одним из основных изменений, происходящих в процессе сушки. Это сложное явление уменьшает толщину образца и, таким образом, влияет на перенос тепла в среду и перенос влаги на поверхность. Газовая фаза (воздух или пар) отсутствует, и материал состоит только из твердой и жидкой фазы. Уравнение для усадки получается из общего баланса консервации массы жидкости в пище при отсутствии образования пустот.
Учтите, что область полутолщины непористого продукта якона изменяется во времени с Ь=Ь(0 и определяется интегрированием локального уровня влажности и значения плотности твердого пищевого продукта. Принимая первоначально декартову структуру со средой фиксированной единичной площади А и толщиной Ь (/), которые содержат жидкие и твердые композиции, полутвердость определяется как:
A.L(t)= Г _dV,
JVm(t)
(33)
где Ут(?) - материальный регион продуктов. Скорость изменения свойства ликвидности определяется как:
dL dt
1 d
A dt JVm(t)
d.V.
(34)
Из теоремы Рейнольдса о переносе [4] общая величина у (х, определяется как:
дм
Tjv_mxKx,t)dV = Sv^dV + iSm(t)^v.ndS,
(35)
dt JVm(t)
дф
JVm(t) ~öt
где 8т ({) - площадь охватывающей поверхности; п - единица, нормальная к поверхности; V - скорость поверхности.
Первое слагаемое в правой части уравнения (35) представляет собой скорость изменения объема в пределах ¥т(У, а второе слагаемое представляет собой скорость жидкости, транспортируемой через поверхность. В рамках этой модели усадки поток жидкости, который транспортируется через поверхность, определяется как:
Отметим, что — =0 в x=
дх
=0, это дает условие усадки, которое должно быть применено при х=Ь
как:
dL= [Аддм]
dt Vpw дхJ
(39)
Таким образом, уравнение (39) обеспечивает требование сохранения для уменьшения объема, возникающего в результате объемной потери влаги, а процедура численного решения непосредственно включает в себя основное уравнение. Это дополнительное условие усадки требуется для определения положения поверхности контакта с плодов якона. В преобразованных и безразмерных переменных условиях усадки (39):
v.n = объем потока, покидающего поверхность, единицу площади,
v.n =
массовый поток жидкости,покидающеи поверхность плотность жидкости
Используя основополагающее предположение закона Фика и предполагая, что вся жидкость испаряется в воздушный поток на поверхности:
„дм
PsD-fTT
. (36)
Принимая (35), используя (36) и фиксированную единичную площадь Л=1, массовый баланс жидкости в поверхности определяем как:
dL _ d г
dt = dt JVm(t) '
dV = f±DdMdS. (37)
sm(t) pw дх
Для одномерного случая условие усадки определяется толщиной среза (0<х<Ь). В этом случае усадка происходит в направлении поперечного сечения и определяется как:
— = D——^ в 4=1, (40)
dt Pw s(r) ъ ' v '
где D = 1 если, D = D0 или D = D если, D = D(T) или D = D если, D = D(T,M).
Скорость, с которой поверхность раздела уменьшается, напрямую зависит от начального отношения плотности ps/pw и начального содержания влаги Mo.
Таким образом, описаны одновременные процессы тепломассопереноса с эффектом усадки при сушке продуктов якона с высоким содержанием влаги. Условия усадки были разработаны на основе простого механизма объема выпаренной воды, который происходит во время сушки. В этой модели эффекты усадки были включены в модели тепломассо-переноса без каких-либо внешних наложенных эмпирических корреляций. Было получено численное решение модельного уравнения и предсказано распределение температуры и влажности с учетом эффекта усадки с использованием сохранения.
d pw д х
(38)
X=L
X=L
х=0
Список литературы:
1. Губа О.Е., Абуова Г.Б., Дербасова Е.М. Расчет температурных полей в высушиваемой частице при распылительной сушке термолабильных материалов путем реализации математической модели тепломассопереноса // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2016. - № 4. - С. 7-11.
2. Джураев Х.Ф. Сушка плодов сельскохозяйственных культур: моделирование, оптимизация, разработка высокоэффективных аппаратов: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. - Ташкент : ТХТИ, 2005. - 45 с.
3. Додаев К.О. Основы моделирования и оптимизации основных технологий переработки томатов : дис. ... д-ра техн. наук. - Ташкент : ТХТИ, 2006. - 263 с.
4. Лыков А.В. Теория сушки. - М. : Энергия, 1968. - 471 с.
5. Лыков М.В. Сушка в химической промышленности. - М. : Химия. - 432 с.
6. Нурмухамедов Х.С. Научные основы создания процессов и аппаратов для сушки и гранулирования зерни-стиволокнистых материалов : дис. ... д-ра. техн. наук. - Ташкент : ТХТИ, 1993. - 440 с.
7. Самандаров Д.И., Сафаров Ж.Э., Султанова Ш.А. Исследование вибрационного числа на основе эффективной диффузии влаги и ее влияния на удельное энергопотребление // Universum: технические науки. - М., 2020. - № 3 (72). - С. 26-29.
8. Сафаров Ж.Э., Хужакулов У.К., Султанова Ш.А. Исследование сорбционных и десорбционных свойств клубней якона // Universum: технические науки. - М., 2020. - № 1 (70). - С. 75-78.
№ 8 (77)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
• 7univer5um.com
август, 2020 г.
9. Шаззо Р.И. Продукты питания из растительного и мясного сырья инфракрасной сушки // Хранение и переработка сельхозсырья. - 2005. - № 1. - С. 50-52.
10. Development of technology and technology for carriage and drying of cocons of here / J.E. Safarov, Sh.A. Sultanova, D.I. Samandarov, A.B. Saydullaev // International scientific and technical journal «Innovation technical and technology». - 2020. - Vol. 1. - № 1. - Р. 26-29.
11. Khujakulov U.K. Kinetic dependences of the drying process // International scientific and technical journal «Innovation technical and technology». - 2020. - Vol. 1. - № 1. - Р. 15-21.
12. Sultanova Sh.A. Development of drying unit for medicinal plants // International scientific and technical journal «Innovation technical and technology». - 2020. - Vol. 1. - № 1. - Р. 30-34.
13. Sultanova Sh.A., Safarov J.E. Experimental study of the drying process of medicinal plants // International Journal of Psychosocial Rehabilitation (Scopus). - 2020. - Vol. 24. - Issue 8. - P. 1962-1968.
14. Sultanova Sh.A., Safarov J.E. Research technologies drying medicinal herbs // International scientific and technical journal «Innovation technical and technology». - 2020. - Vol. 1. - № 1. - Р. 22-25.
