CC BY
148
Математическое моделирование
И.Д. КОТЛЯРОВ
Математическая формализация теорий мотивации Абрахама Маслоу и Фредерика Герцберга
С использованием кусочно-линейных функций построены математические модели теорий мотивации Маслоу и Герцберга.
Теория Абрахама Маслоу [2] является наиболее известной и широко используемой моделью мотивации, хорошо подтвержденной на практике. Теория Фредерика Герцберга [3], уступая ей по известности, столь же хорошо согласуется с результатами практических исследований и к тому же проливает свет на отдельные аспекты человеческой мотивации, оставленные без рассмотрения в теории Маслоу. Однако, несмотря на всю известность этих моделей, они, насколько осведомлен автор, использовались только на качественном уровне. Попыток описать их при помощи математического аппарата не предпринималось [1]. Настоящая статья представляет собой попытку дать формальное математическое описание качественных моделей Маслоу и Герцберга.
В соответствии с теорией Маслоу [2, 3] мотивация человека (иными словами - если несколько упростить ситуацию - направленность его действий) определяется его потребностями. В свою очередь, потребности человека делятся на пять уровней и могут быть представлены в виде иерархической пирамиды. Потребности более высокого уровня начинают влиять на мотивацию только в том случае, если достигнута достаточная степень удовлетворения потребностей более низкого уровня; в противном случае мотивация человека определяется исключительно потребностями более низкого уровня.
Для упрощения модели введем предположение, что человек (работник) имеет возможность удовлетворять потребности только за счет своего денежного дохода. Несмотря на свою чрезмерную упрощенность, такой подход, на наш взгляд, имеет право на существование: когда работодатель поощряет сотрудника в неденежной (и даже в нематериальной) форме, поощрение, как правило, все равно имеет денежное выражение. Иными словами, работодатель мог включить это поощрение в денежный доход сотрудника, а мог выдать его в неде-
нежной форме - в последнем случае такое поощрение, по сути, представляет собой изъятие из потенциального совокупного денежного дохода работника. То есть, в конечном счете, работник расплатился за удовлетворение своих потребностей посредством этого неденежного поощрения за счет вычета из своего гипотетического совокупного денежного дохода (равного сумме нормативного денежного дохода этого работника и стоимости поощрения в денежном выражении).
Введем следующие обозначения:
М - мотивация человека;
Р - денежный доход человека, ден. ед.;
Лг - степень удовлетворения потребностей /-го уровня, ден. ед. Этот показатель характеризует доход человека, при котором достигнут такой уровень удовлетворения потребностей /-го уровня, что при Р > Л/ на мотивацию человека начинают влиять потребности (/+1)-го уровня. При этом потребности /-го уровня продолжают воздействовать на его мотивацию;
В/ - степень насыщения потребностей /-го уровня, ден. ед. Эта величина равна тому доходу, при котором человек достиг полного удовлетворения потребностей /-го уровня, и они перестают воздействовать на его мотивацию;
М/ - вклад потребностей /-го уровня в совокупную мотивацию. Показывает, как совокупная мотивация работника зависит от потребностей /-го уровня (точнее, от степени удовлетворенности этих потребностей).
Логично предположить, что вклад М/ потребностей /-го уровня в совокупную мотивацию максимален, когда сотрудник только начинает удовлетворять потребности /-го уровня (т. е. в соответствии с нашими обозначениями, когда Р равен или чуть больше Лг-1). В дальнейшем, с ростом дохода и вызванной этим фактом возможностью приобретения последующих благ для удовлетворения соответствующих потребностей, предельная полезность каждой последующей единицы блага уменьшается (согласно закону убывающей предельной полезности), степень неудовлетворенности этих потребностей снижается и потребности /-го уровня начинают меньше влиять на мотивацию.
В соответствии с высказанными выше качественными соображениями представляется справедливым выразить М/ в виде экспоненциальной функции от Р, Л / и В/:
_ Р - Л,-1
М1 = Се В-Р , (1)
С, - постоянная для /-го уровня потребностей.
Уточним, что формула (1) ни в коем случае не является ни строгой, ни подкрепленной результатами эмпирических исследований -она построена на основе качественных соображений и потому нуждается в дополнительной проверке. Вполне может оказаться, например, что С представляет собой не постоянную, а некоторую функцию.
Легко заметить, что формула (1) лишена экономического смысла при D < Am и D > Bi. Ее необходимо привести к такому виду, в котором:
1) она имела бы экономический смысл при любых значениях D;
2) в ней учитывался бы дискретный характер модели Маслоу -спонтанное «включение» (при достижении соответствующей величины дохода D) потребностей более высокого уровня в формирование совокупной мотивации.
Как представляется, эту задачу можно решить при помощи модифицированной функции Хэвисайда, которую мы обозначим как Heav(x):
Г0, х < 0
Heav(x) = J . (2)
[1, х > 0
Отметим, что функция Heav(x) может быть выражена при помощи стандартной функции табличного процессора Microsoft Excel ЗНАК(х) (что может быть удобно для практических целей; в традиционной математической нотации этой функции соответствует функция sgn(x)):
Heav(x) = 1 - ЗНАК(1 - ЗНАК(х)). (3 )
Таким образом, вклад потребностей i-го уровня в совокупную мотивацию будет описываться формулой вида:
_ D-4-,
= Ce B-D Heav(D - Ai-1 )Heav(Bi - D) . (4)
При всей своей громоздкости формула (4) соответствует двум
сформулированным выше требованиям.
В теории Маслоу не говорится, какой вид имеет зависимость совокупной мотивации от вкладов нее потребностей разных уровней. Отталкиваясь от принципа максимальной простоты, можно предположить, что эта зависимость носит аддитивный характер, т. е.
M = £Mt, (5)
i= 1
или, в соответствии с формулой (4),
М = £ Се Б-В Ивау(Р - Л,-1 )Ивау(Б1 - В). (6)
I=1
Предложенная формула (6), как представляется, служит адекватным математическим описанием качественной теории мотивации Маслоу. Для дальнейшего совершенствования этого математического описания можно предложить уточнение фактического вида зависимости М, от В, Л i и Б.
D - A
(-1
Отметим, что формула вида (6) подходит для формализации любой теории мотивации, построенной на иерархии потребностей, - будет изменяться лишь число групп потребностей. Например, в теории Альдерфера число слагаемых будет не 5, а 3. Соответственно, формулу (6) можно в таком случае записать в виде:
М = £ ^ (В, Л-1, Б) Неау(В - Л-1) Неау(Б, - В), (7)
/=1
где п - число выявленных групп потребностей; £■ - функции, описывающие вклад /-й группы потребностей в совокупную мотивацию.
Точный вид этих функций устанавливается экспериментально.
Отдельно отметим, что теория Маслоу (и, шире, прочие содержательные теории мотивации) в принципе допускает и другие варианты математической формализации - например векторный (изначально разработанный автором настоящей статьи для собственной модели мотивации, но включающий в себя теорию Маслоу в качестве частного случая [1]). Однако именно предлагаемый в настоящей работе математический аппарат наиболее соответствует качественной структуре теории Маслоу, а именно дискретности перехода с одного уровня потребностей на другой.
В соответствии с теорией Герцберга [2] следует различать две большие группы факторов влияния работы и рабочей обстановки на психологическое состояние человека.
1. Гигиенические факторы (связаны с окружающей средой, например, политика администрации, санитарно-технические условия работы, заработок и т. д.). Если их уровень недостаточен, то у человека возникает неудовлетворение работой. При достижении ими определенного уровня (и превышении его) это неудовлетворение исчезает, но удовлетворение не появляется. Повышение уровня гигиенических факторов не может мотивировать человека на что-либо.
2. Мотивации (связаны с характером и сущностью работы -продвижение по службе, признание и одобрение итогов работы и т. д.). Уровень мотивации, недостаточный для сотрудника, не приводит к неудовлетворению от работы, достаточный же - вызывает удовлетворение последнего и мотивирует его на повышение эффективности своей работы. Во избежание терминологической путаницы мы будем обозначать мотивации термином «стимулы».
Логично предположить (хотя в самой модели Герцберга это нигде явно не указывается), что работнику в принципе присущ некий базовый уровень мотивации - видимо, обусловленный тем, что работа ему необходима как источник средств для существования. Работа может быть нелюбимой, низкооплачиваемой и т. д., но сотрудник не имеет возможности полностью отказаться от необходимости работать, разве что поменять место работы и/или род деятельности. Таким образом, работнику изначально присуща некоторая мотивация, некий уровень заинтересованности в наличии рабочего места и в выполне-
нии порученной ему работы. Насколько автору известно, это важное предположение (естественно вытекающее из самой сути теории Герц-берга) нигде подробно не рассматривалось, притом что его использование существенно упрощает процесс построения математической модели.
Очевидно, что базовый уровень мотивации свой у каждого сотрудника. Обозначим его как Мь.
Совокупный уровень мотивации сотрудника в этом случае будет определяться воздействием на него гигиенических факторов и стимулов.
Введем следующие обозначения:
Б, - стимулы /-й группы;
БЬ, - предельный уровень стимулов /-й группы (если фактическое значение стимулов этой группы превышает данный предельный уровень, то мотивация сотрудников растет);
п - число групп стимулов;
И] - гигиенические факторы]-й группы;
ИЦ - предельный уровень гигиенических факторов ]-й группы (если фактическое значение гигиенических факторов этой группы ниже данного предельного уровня, мотивация сотрудников падает);
т - число групп гигиенических факторов.
Тогда совокупный уровень мотивации сотрудника М будет рассчитываться по следующей формуле:
М = Мъ + £ ВД -БЦ)Неау(8, -БЦ)-
т '=1 (8)
-IК ] (ИЬ, - И, )Неау(Ж, - Я. X
]=1
где функции Е,(8, - БЬ,) и К](ИЬ]- - Я,) описывают характер воздействия на совокупную мотивацию сотрудника отклонения соответственно стимулов и гигиенических факторов от заданных предельных уровней. Точный вид этих функций неизвестен, однако можно осторожно предположить, что они подчиняются психофизическому закону Вебера-Фехнера [4], в соответствии с которым ощущение от внешнего воздействия возрастает пропорционально логарифму силы этого воздействия. В этом случае формула (8) примет следующий вид:
п 8 т ИЬ
М = Мь +12,1§-^ Неау(8, - БЦ) - £ YJ 1§—. Неау(ИЦ. - Я.). (9)
,=1 ]=1 И ]
Формула (9) представляет собой адекватное математическое описание модели мотивации Герцберга (разумеется, при условии адекватности нашего предположения о возможности использования закона Вебера-Фехнера).
При математической формализации модели Маслоу нами для описания зависимости вклада в совокупную мотивацию некоторой
группы потребностей от интенсивности этих потребностей (или, иначе, от степени их неудовлетворенности) была выбрана экспоненциальная функция (формула (1)). Однако при описании модели Герцбер-га для той же зависимости была взята логарифмическая функция. Какова причина выбора различных функций для описания одного и того же процесса? Не является ли выбор двух разных функций для математической формализации двух разных, но описывающих одно и то же явление - человеческую мотивацию - теорий указанием на неадекватность разработанных математических моделей?
Ответ на этот вопрос достаточно прост - в настоящее время нам неизвестен точный вид зависимости мотивации от интенсивности вызывающей ее группы потребностей. Одним из возможных путей устранения этой неопределенности является использование аналогий «мотивация - ощущение от внешнего воздействия» и «интенсивность (неудовлетворенность) потребности - сила внешнего воздействия», что позволит применить уже упомянутый выше закон Вебера-Фехнера. Однако зависимость силы ощущения от воздействия внешнего стимула от силы этого стимула пока тоже точно не известна -закон Вебера-Фехнера является всего лишь аппроксимацией для определенных относительных значений сил стимулов. Существуют и другие аппроксимации этой зависимости - например так называемый закон Стивенса. Нельзя исключить вероятность того, что будут сформулированы и другие законы, описывающие этот феномен и пригодные для определенных интервалов сил стимулов и/или разных типов стимулов.
Общим местом (впрочем, тоже с определенными исключениями) во всех психофизических законах является факт убывания влияния силы стимула на силу ощущения (этот факт перекликается, например, с хорошо известным в экономической теории законом убывающей предельной полезности). Одним из возможных математических описаний этого факта является использование логарифмической зависимости, как, например, в законе Вебера-Фехнера. Допустим вариант степенной функции с показателем степени, меньшим 1, - как в законе Стивенса для ряда разновидностей стимулов. Наконец, для отражения факта убывания силы мотивации с ростом удовлетворения вызвавшей эту мотивацию потребности можно использовать экспоненциальную функцию с отрицательным показателем степени (точнее, с показателем степени, представляющим собой функцию, принимающую неположительные значения, - как в случае с формулой (1)).
До тех пор пока не будет найдена точная зависимость силы мотивации от интенсивности вызвавшей ее группы потребностей, все эти решения являются приемлемыми на качественном уровне, т. к. они соответствуют упомянутому выше факту убывания влияния силы стимула на силу ощущения.
Надо отметить, что использование кусочно-линейных функций нетипично для работ по математическому моделированию экономи-
ческих и управленческих процессов (хотя они давно и успешно применяются в прикладной математике). Однако эти функции идеально подходят для формализации теорий мотивации, т. к. позволяют учесть мгновенный характер «включения» определенных групп потребностей в процесс формирования общей мотивации (или «выключения» из него) при достижении определенного уровня их интенсивности.
Наконец, может возникнуть вопрос: зачем подбирать математический аппарат для описания разнообразных качественных теорий мотивации, если можно разработать обобщенную математическую теорию мотивации, включающую в себя эти разнообразные модели в качестве частных случаев (попытка построить такую теорию уже была предпринята автором настоящей статьи - см., например, [1])? Дело в том, что эти различные качественные теории мотивации разрабатывались в различных ситуациях и для решения разных задач. Данные ситуации и задачи существуют по сей день, для их анализа и решения нет необходимости использовать некую обобщенную теорию мотивации, вполне достаточно адаптированной для их специфики частной модели. Однако частная модель может эффективно использоваться в управленческой практике только в том случае, если она допускает количественную оценку анализируемых процессов, т. е. если она снабжена необходимым математическим аппаратом. Отсюда и следует необходимость математической формализации хорошо зарекомендовавших себя моделей Маслоу и Герцберга.
Литература
1. Котляров И. Д. Применение количественных методов для анализа мотивации к труду / И.Д. Котляров // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Экономика и управление, 2006. № 2. С. 278-285.
2. Маслоу А.Г. Мотивация и личность / А.Г. Маслоу. - СПб.: Евразия, 1999.
3. Мескон М. Основы менеджмента / М. Мескон, М. Альберт, Ф. Хедоури. М.: Дело, 1992.
4. Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б.М. Яворский, А. А. Детлаф. - М.: Наука, 1979.
© Котляров И.Д., 2008 г.
