Масштабные ряды плоских контурных изображений и их применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.135.073

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-5-73-79

МАСШТАБНЫЕ РЯДЫ ПЛОСКИХ КОНТУРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

1 9

© В.И. Мартьянов1, М.Д. Каташевцев2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены основные принципы применения результатов анализа сжатых изображений для ускорения поиска образцов в исходных объектах. В частности, эти результаты могут иметь большое практическое значение для автоматизации обработки видеорядов диагностических дорожных лабораторий, поскольку камеральная обработка видеорядов - весьма дорогостоящая и длительная процедура, приводящая к многочисленным ошибкам (человеческий фактор).

Ключевые слова: контурное изображение, масштабные ряды, генерализация, дуга графа, связи дуг, алгоритмическая сложность, алгебраические системы, изоморфное вложение.

SCALING SERIES OF SKETCH IMAGES AND THEIR APPLICATIONS V.I. Martyanov, M.D. Katashevtsev

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper considers the basic application principles of the scaling image analysis results for the optimization of template matching in source objects. In particular, these results can be of great practical importance for the automation of the digitizing process of road video data provided by diagnostic mobile laboratories since footage office analysis is a high priced and time-consuming procedure causing multiple errors (a human factor).

Keywords: sketch image, scaling series, generalization, graph arc, arc relations, algorithmic complexity, algebraic systems, isometric embedding

Введение

Как отмечалось в заключении статьи [5], следующим этапом аналога «генерализации» топографических карт будет ввод относительных размеров дуг и проведения операций сжатия изображений, когда дуги, меньшие определенных размеров, стягиваются в точки, что «убирает» детали и позволяет проводить предварительный анализ для более простых изображений. А результаты анализа сжатых изображений могут быть использованы для ускорения анализа исходных изображений. Рассмотрим одну из возможных формализаций «сжатия» на основе ввода масштабных рядов.

Реализация масштабных рядов предполагается на основе функции Metric, введенной в статье [2]. Основными результатами являются:

1) если сжатый образец изоморфно вложен в сжатое изображение (предполагается, что образцы и изображения используют один и тот же масштабный ряд), то исходный образец может быть изоморфно вложен в исходное изображение тогда и только тогда, когда прообраз каждой дуги образца может быть изоморфно вложен в прообраз соответствующей дуги изображения;

2) построение изоморфного вложения сжатого образца в сжатое изображение на практике существенно уменьшает алгоритмическую сложность построения изоморфного вложения исходного образца в исходное изображение.

Формализация

Математические модели, рассмотренные в статье [2], используют четырехосновные

1Мартьянов Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры автомобильных дорог, e-mail: [email protected]

Martyanov Vladimir, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Professor of the Department of Automobile Roads, e-mail: [email protected]

2Каташевцев Михаил Дмитриевич, программист 1-й категории кафедры автомобильных дорог, e-mail: [email protected]

Katashevtsev Mikhail, I Category Programmer of the Department of Automobile Roads, e-mail: [email protected]

алгебраические системы (а.с.) [3, 4] вида

W = < A, R,V, М; Sector, Angle, Metric, Relation > , (1)

где основное множество А - совокупность дуг; основное множество R - совокупность связей дуг; основное множество V - совокупность допустимых углов или секторов окружности (например, от 0 до 360 градусов или долей градусов, представленная начальным отрезком натуральных чисел от 0 до D); М - множество относительных мер длины дуг, представленное начальным отрезком натуральных чисел от 1 до Е, одноместная функция Sector. A ^ V, которая определяет количество градусов (или долей градуса) дуги, как сектора окружности; одноместная функция Angle. R ^ V, которая определяет количество градусов (или долей градуса в соответствии с заданием множества V) угла пересечения дуг; одноместная функция Metric-. А ^ М, сопоставляющая каждой дуге ее относительную величину; трехместное отношение Relation соединяет связь дуг reí е R с соответствующими дугами, т.е. Relation - подмножество декартова произведения R х A х A, причем, если Relation(rel, a, b) и Relation(rel, ai, b1), то a=a1 и b=b1.

Рассмотрим эту формализацию, добавив в качестве основного вполне упорядоченное множество ScaleLine, которое соответствует масштабному ряду (аналог масштабного ряда топографических карт 1:500, 1:1000 и т.д.), а также два дополнительных отношения: Scale, которое связывает дуги с элементами ScaleLine, и Include, которое связывает дугу arc с ее образом arc1 при сжатии изображения, т.е. при переходе к следующему (большему на единицу) элементу масштабного ряда.

При практической реализации удобно считать вполне упорядоченное множество ScaleLine отрезком натуральных чисел [1,...,n] (это представление будем использовать в статье для упрощения обозначений). Поэтому, в частности, ниже будем использовать конструкции вида: s1 = S2-1 и s2 = s1+1, где s1 и s2 принадлежат множеству ScaleLine.

Предполагаем, что анализируемое изображение и образцы имеют представления для всех элементов масштабного ряда ScaleLine.

Таким образом, совокупность всех дуг A четырехосновной а.с. (1) может быть представлена в виде

А = А1 и А2 и ... и An, (2)

где множества A¡ состоят из дуг, относящихся к i-му элементу масштабного ряда.

Определение 1. В дальнейшем множества дуг A¡ будем называть i-й компонентой изображения.

Замечание 1. Для общего подхода, охватывающего все варианты сжатия изображения, включая рассмотрение под углом (что, конечно, не соответствует генерализации для топографических карт, где используется ортогональная проекция, но весьма важно для практики, достаточно вспомнить о зрении живых организмов, где обрабатываются зрительные образы правого и левого глаза), представление масштабного ряда ScaleLine отрезком натуральных чисел [1,...,n] или даже частично упорядоченными множествами недостаточно. В дальнейшем для формализации масштабных рядов будут использоваться многоосновные а.с., включающие частично упорядоченные множества и дополнительные множества с определенными на них отношениями.

Первое отношение

Scale С Ах ScaleLine (3)

определяет принадлежность дуги отрезку масштабного ряда ScaleLine, т.е., если Scale(a, s1),

Scale(a, s2) и si < s < s2, то Scale(a, s).

Как отмечалось выше, первое отношение Scale обладает следующим основным свойством. Пусть

Ai = {arci, arc2, ..., arc} - (4)

совокупность всех дуг /-го множества из объединения (2). Тогда всегда Scale(arck, i) для всех к. Другим основным свойством отношения Relation является следующее:

Relation может связывать только дуги, принадлежащие одному элементу масштабного ряда, т.е., если Relation(rel, a1, a2), то существует элемент s из ScaleLine такой, что Scale(a1, s), Scale(a2, s).

Второе отношение

Include С A х A (5)

определяет вложение дуги a1 в дугу a2 большего элемента масштабного ряда, т.е., если In-clude(a1, a2), то существует s из ScaleLine такой, что Scale(a2, s), Scale(a1, s) и Scale(a1, s-1).

Определим основные свойства отношения вложения Include, которые математически формулируются следующим образом:

1) если Include(a1, a2), Include(a1, as), то

a2 = as; (6)

2) если s1 = s2 - 1, Scale(a1, s1), то существует дуга a2 такая, что

Scale(a2, s2) и Include(a1, a2); (7)

3) если s1 = s2 - 1, Scale(a1, s2), то существует дуга a2 такая, что

Scale(a2, s1) и Include(a2, ai). (8)

Переформулируем основные свойства отношения вложения Include более понятным образом, через отображения F, определяемые отношением вложения Include из множеств A,■ в множества Aj+1 .

Определим последовательность функций сжатия Fс Ai ^ A+1 следующим образом:

F(arci) = arc2 ^ Include(arci, ac), (9)

где дуга arc1 - из множества A,, а дуга arc2 - из множества Aj+1.

Лемма 1. Функция сжатия F, заданная формулой (9), всюду определена, однозначна (т.е. инъективна) и является эпиморфизмом.

Доказательство следует из определения отношения Include и свойств (6)-(8). Замечание 2. В силу леммы 1 в дальнейшем во многих случаях вместо отношения Include будем использовать совокупность отображений F, которые будем называть сжатиями при переходе от i-го к i+1-му элементу масштабного ряда, где i >= 1 и i < n.

Следующее основное свойство (*) определяет сохранение отношения связности Relation дуг при сжатии, если Fj(arc1) = arcs, Fj(arc2) = arc4 , arcs + arc4 и Relation(rel, arc1, arc2), то Relation(rel, arcs, arc4).

Определение 2. Подмножество дуг B = {b1, b2,..., bs} i-й компоненты A; (2) назовем связным, если для любых двух дуг b, bj существует последовательность дуг c1, c2, ..., cu из B

такая, что каждая пара дуг cv, cv+i являются связанными, ci = bi, cu = bj.

Прежде всего необходимо доказать, что прообраз и образ связного множества остается связным, что и показывает следующая лемма.

Лемма 2. Пусть подмножество дуг B = {b1, b2, bs} i-й компоненты Ai (2) является связным, причем i >1. Далее пусть B1 (B2) подмножества дуг i-1 компоненты A--1 (соответственно, /+1 компоненты A/+i), которые будем называть прообразом (соответственно, образом) подмножества дуг B относительно функций сжатия (9), которые строго определим следующим образом:

Bi = {b | b e Ail, F--i (b) eB},

(соответственно, B2 = {b | b e Ai+1, b = Fi (bj) для некоторого bj e B}).

Тогда подмножество дуг B1 (соответственно, B2) является связным.

Доказательство. Пусть di, d2 - произвольные дуги из B1 (соответственно, B2). Тогда по определению B1 (соответственно, B2) в подмножестве дуг B существуют дуги b,, bk такие, что F--1 (d1) = b, Fi-1 (d2) = bk (соответственно, Fi (b) = di, Fi (bk) = d2).

Так как подмножество дуг B является связным, то существует последовательность дуг ci, c2, ..., cu из B такая, что каждая пара дуг cv, cv+1 являются связанными, c1 = bi, cu = bk.

Определим последовательность дуг e1, e2, .., eu из B1 (соответственно, B2) следующим образом:

а) ei = di, eu = d2 (отметим, что F--i (ei) = ci, F-i (eu) = cu (соответственно, Fi (ci) = ei, Fi (bk) = d2).

б) F--i (ej) = cj (соответственно, Fi (cj) = ej) для всех j из отрезка [2, u-1]).

Тогда последовательность дуг ei, e2, .., eu из Bi (соответственно, B2) такая, что каждая пара дуг ev, tv+i являются связанными по основному свойству (*) отношения Relation(rel, arci, arc2), и ei = di, eu = d2, что показывает связность подмножеств дуг Bi (соответственно, B2). Лемма доказана.

Важным является следствие, что прообраз подмножества, состоящего из одной дуги, относительно функций сжатия Fi (9) является связным.

Основные результаты

Теперь можем приступить к доказательству того, что, если сжатый образец изоморфно вложен в сжатое изображение (предполагается, что образцы и изображения используют один и тот же масштабный ряд), то исходный образец может быть изоморфно вложен в исходное изображение тогда и только тогда, когда прообраз каждой дуги образца может быть изоморфно вложен в прообраз соответствующей дуги изображения (первая основная цель данной работы).

Во избежание громоздкого «всеобщего случая» будем рассматривать изоморфное вложение одного образца (этого достаточно по результатам работы [5]), представленного многоосновной а.с.

S = < As, Rs, Vs, Ms; Sector, Angle, Relation >, (10)

в изображение, представленное многоосновной а.с.

W = < Aw, Rw, Vw, Mw; Sector, Angle, Relation >. (11)

Далее,пусть

As = Asi и As2 и ... и Asn (Aw = Awi и Aw2 и ... и Awn), (12)

где множества Asj (соответственно, Awj) состоят из дуг, относящихся к j-му элементу мас-

штабного ряда (2). Будем считать, что последовательность функций вложения

F: Ai ^ Am (13)

определена на множествах дуг As и Aw. Тогда совокупность дуг As2 (соответственно, Aw2) является сжатием совокупности дуг As1 (соответственно, Aw1) и F1(As1) = As2 (соответственно, F1(Awi) = Aw2).

Определение 3. Пусть Z As2 ^ Aw2 - произвольное отображение. Отображение

£: As1 ^ Aw1 назовем экстраполяцией отображения Z, если для любой дуги arc из As1 выполняется условие: пусть £(arc) = arci, тогда Z (F1(arc)) = F1(arc1).

Теорема 1. Пусть Z: As2 ^ Aw2 - изоморфное вложение сжатой совокупности дуг As2 из S (10) в сжатую совокупность дуг Aw2 из W (11). Тогда изоморфное вложение Z может быть экстраполировано до изоморфного вложения £: As1 ^ Aw1 тогда и только тогда, если для любой дуги arc из As2 прообраз (относительно функции сжатия F1) дуги arc может быть изоморфно вложен в прообраз (относительно функции сжатия F1) дуги Z (arc).

Доказательство. Предположим, что прообраз каждой дуги F1'1(arc) образца As2 может быть изоморфно вложен в прообраз соответствующей дуги изображения F1 -1(Z (arc)) изображения Aw2. Обозначим через £arc такое изоморфное вложение, что £ак: Fi-1(arc) ^ Fi-1(Z (arc)).

Положим вложение £ = £arc1 и £arc2 и ... и £arcL, где As2 = {arc1, arc2, ..., arcL}. Тогда £ является изоморфным вложением, причем экстраполированным с изоморфным вложением Z: As2 ^ Aw2 (следует из того, что £arc: F1-1(arc) ^ F1-1(Z (arc))), и условие достаточности для теоремы доказано.

Докажем условие необходимости. Пусть £: As1 ^ Aw1 является изоморфным вложением из совокупности дуг образца As1 в совокупность дуг изображения Aw1 экстраполированным с изоморфным вложением Z: As2 ^ Aw2. Тогда ограничение вложения £ на F1 ~\arc) будет изоморфным вложением в F1 '1(Z (arc) для всех дуг arc из совокупности As2. Теорема доказана.

Замечание 3. Конечно, программная реализация масштабных рядов и обеспечение эффективной работы функций сжатия F,■ (13) (а также обратных функций F,■-1) требует значительных усилий, которые должны быть «вознаграждены» повышением эффективности поиска изоморфных вложений образцов, что и будет показано ниже.

В качестве исходных будем использовать основные результаты работы [5].

Теорема А [5]. Пусть каждая из многоосновных а.с. R1, R2, ..., Rm вида (1) имеет не более n дуг и представляет связное изображение. Тогда анализ связного изображения, представленного многоосновной а.с. D, имеет верхнюю границу сложности, не превышающую 0(((w + t)*w) + m), где w (t) - количество дуг (соответственно, связей дуг) изображения, представленного многоосновной а.с. D.

Пусть многоосновные а.с.

Sh = < Ash, Rs, Vs, Ms; Sector, Angle, Relation >, (14)

(Wh = < Awh, Rw, Vw, Mw; Sector, Angle, Relation >) (15)

получены из многоосновной а.с. S (10) (соответственно, W (11)) уменьшением множества дуг до относящихся только к h-му элементу масштабного ряда (12), где h изменяется от 1 до n. Положим также, что количество дуг в множестве Awh равно dh.

Для наших целей будет удобна теорема А в следующей формулировке.

Теорема Б. Построение изоморфного вложения многоосновной а.с. Sh (14) в многоос-

новную а.с. Wh (15) имеет верхнюю границу сложности, не превышающую O((dh + t)*dh), где dh(t) - количество дуг (соответственно, связей дуг) многоосновной а.с. Wh (15).

Замечание 4. Возможность использования одной и той же совокупности связей Rs (Rw) для всей совокупности многоосновных а.с. Sh (соответственно, Wh) следует по основному свойству (*), которое сохраняет отношение связности Relation дуг при сжатии. Хотя, конечно, при сжатии некоторые связи дуг могут становиться ненужными, и учет этого улучшил бы оценку теоремы Б.

Определение 3. Коэффициентом сжатия i-го вложения F: Ai ^ Aj+i (13) будем называть отношение количества дуг множеств Ai и Am, которое в дальнейшем будет обозначаться E.

Теорема 2. Пусть Z As2 ^ Aw2 - изоморфное вложение сжатой совокупности дуг As2 из S (9) в сжатую совокупность дуг Aw2 из W (10). Тогда построение изоморфного вложения Asi ^ Awi, экстраполированого с Z, имеет верхнюю границу сложности, не превышающую O((Ei + t)*d2), где d2(t) - количество дуг (соответственно, связей дуг) многоосновной а.с. W2 (15).

Доказательство. В силу теоремы 1 необходимо проверить для любой дуги arc из As2 (дает коэффициент d2) изоморфное вложение ее прообраза в прообразы дуги Z (arc) (дает коэффициент (Ei + t)). Умножив данные коэффициенты, получим оценку теоремы.

Замечание 5: а) оценка сложности вычислена с большим запасом, так как, например, в качестве коэффициента d2 можно было взять количество дуг именно As2, а не количество дуг Aw2; б) совмещение деревьев интерпретаций многоосновных а.с. Si и S2 существенно улучшило бы оценки теоремы 3, но имеет большие технические трудности и не может быть представлена в этой работе.

Теорема 3. Использование изоморфного вложения сжатого образца, представленного многоосновной а.с. S2, уменьшает сложность построения изоморфного вложения исходного образца, представленного многоосновной а.с. Si.

Доказательство. Прямое применение оценок теоремы Б дает верхнюю границу сложности изоморфного вложения исходного образца, представленного многоосновной а.с. Si, не превышающую O((di + t)*di), где di = d2 * Ei, а верхняя граница сложности изоморфного вложения исходного образца, представленного многоосновной а.с. Si с использованием изоморфного вложения сжатого образца, представленного многоосновной а.с. S2, дает оценку O((d2 + t)* d2) + O((Ei + t)*d2) = O((d2 + Ei + 2 * t) * d2) заведомо меньшую, так как коэффициент сжатия на практике для более или менее сложных изображений всегда более 10. Теорема доказана.

Заключение

1. Программная реализация предложенного подхода будет иметь существенно большую эффективность, чем приведенные оценки теоремы 3. Это связано с тем, что использование изоморфного вложения сжатых образцов предполагает:

- совмещение деревьев интерпретаций для всего масштабного ряда образцов, что существенно облегчает проверку изоморфной вложимости пробразов дуг относительно функций сжатия F;

- исключение «лишних» дуг при сжатии, т.е. параметр t оценок эффективности для сжатых образцов (а тем более для прообразов дуг) будет заведомо меньшим.

2. Полученные результаты могут иметь практическое значение для автоматизации обработки видеорядов диагностических дорожных лабораторий. Автоматизация обработки видеорядов диагностических дорожных лабораторий имеет большое практическое значение, так как камеральная обработка видеорядов - весьма дорогостоящая и длительная процедура, приводящая к многочисленным ошибкам (человеческий фактор). Обработка видеорядов может производиться на основе методов, предложенных в статье [5].

Статья поступила 28.02.2016 г.

Библиографический список

1. Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. Комбинаторные задачи высокой сложности и анализ плоских контурных изображений // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2013. Т. 6. № 4. С. 31-47.

2. Каташевцев М.Д. Анализ плоских контурных изображений с метрикой // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2014. Т. 9. № 9. С. 39-48.

3. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1967. 324 с.

4. Кокорин А.И., Пинус А.Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий // Успехи математических наук. 1978. Т. 33. Вып. 2. С. 49-84.

5. Каташевцев М. Д. Волновая скелетизация // Вестник ИрГТУ. 2013. № 7 (78). С. 89-93.

References

1. Mart'ianov V.l., Katashevtsev M.D. Kombinatornye zadachi vysokoi slozhnosti i analiz ploskikh konturnykh izobrazhenii [Combinatorial problems of high complexity and analysis of sketch images]. Izvestiia Irkutskogo gosudarstvennogo uni-versiteta. Seriia: Matematika - The Bulletin of Irkutsk State University. "Mathematics" series, 2013, vol. 6, no. 4, pp. 31-47.

2. Katashevtsev M.D. Analiz ploskikh konturnykh izobrazhenii s metrikoi [Analysis of sketch images with metrics]. Izvestiia Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Matematika - The Bulletin of Irkutsk State University. "Mathematics" series, 2014, vol. 9, pp. 39-48.

3. Mal'tsev A.I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 324 p.

4. Kokorin A.I., Pinus A.G. Voprosy razreshimosti rasshirennykh teorii [Solvability problems of extended theories]. Uspekhi matematicheskikh nauk - Successes of mathematical sciences, 1978, vol. 33, issue 2, pp. 49-84.

5. Katashevtsev M. D. Volnovaia skeletizatsiia [Wave skeletonization]. Vestnik IrGTU - Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2013, no. 7 (78), pp. 89-93.