CC BY-NC
25
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-4-390-33-46 УДК 629.543:532
О.П. Орлов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
МАСШТАБНЫЕ ЭФФЕКТЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОРПУСА И ГРЕБНОГО ВИНТА ОДНОВАЛЬНОГО ТАНКЕРА ПОЛНЫХ ОБВОДОВ
Объект и цель научной работы. Объектом исследования являются безразмерные гидродинамические и кинематические характеристики корпуса судна и его гребного винта, изменяющиеся в зависимости от масштаба геометрически подобных объектов (модель - судно, проявление масштабного эффекта). Целью работы является получение сравнительных данных о гидродинамических характеристиках модели и судна, подверженных масштабному эффекту, и поиск путей возможного совершенствования методов физического моделирования и прогнозирования их. Материалы и методы. Масштабные эффекты определены по результатам сравнительных экспериментальных исследований сходственных гидромеханических характеристик судна в условиях модельных и натурных испытаний применительно к одновальному танкеру полных обводов водоизмещением 100 000 т. Испытания модели проведены в опытовом бассейне в двух средах - в воде и в растворе полимера.
Основные результаты. Получены комплексные фактические данные о взаимоувязанных масштабных эффектах коэффициентов полного сопротивления, упора и момента, попутного потока, влияния корпуса и поля скоростей в месте расположения гребного винта. Показано, что при испытаниях модели в растворе полимера можно полностью смоделировать ряд гидродинамических характеристик корпуса судна и его гребного винта, зависящих от вязкостных свойств жидкости. Заключение. Результаты работы позволяют проверить существующие методы прогнозирования масштабных эффектов отдельных гидродинамических характеристик корпуса и винта, определить основные направления и последовательность рационального совершенствования методов моделирования и прогнозирования ходовых качеств кораблей и судов и могут быть использованы для тестирования результатов, получаемых при математическом моделировании гидромеханических характеристик кораблей и судов. Ключевые слова: масштабный эффект, физическое моделирование. Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-4-390-33-46 UDC 629.543:532
O. Orlov
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
HULL AND PROPELLER HYDROMECHANICS OF TANKER WITH AMPLE LINES: SCALE EFFECTS
Object and purpose of research. This paper studies non-dimensional hydrodynamic and kinematic parameters of model and full-scale hull and propeller in terms of scaling effects. The purpose of this study is to obtain comparative data on scale-sensitive hydrodynamic parameters of real ship and its model, as well as to identify possible ways for improving the methods of their physical modeling and prediction.
Materials and methods. Scale effects were determined as per comparative experimental data for similar hydromechanics parameters of ship obtained from model tests and full-scale trials of a single-shaft tanker with ample lines (displacement 100,000 t). Model tests were performed in two media: water and polymeric solution.
Для цитирования: Орлов О.П. Масштабные эффекты гидродинамических и кинематических характеристик корпуса и гребного винта одновального танкера полных обводов. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; 4(390): 33-46.
For citations: Orlov O. Hull and propeller hydromechanics of tanker with ample lines: scale effects. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019; 4(390): 33-46 (in Russian).
Main results. The study yielded comprehensive experimental data on interdependent scale effects for total resistance, thrust and torque coefficients, as well as for wake fraction, hull efficiency and relative rotative efficiency. It has been shown that model tests in polymeric solution can fully reproduce a number of fluid viscosity-dependent hydromechanic parameters of hull and propeller.
Conclusion. The results of this work enable verification of existing methods for scale effect predictions of certain hy-
drodynamic parameters for hull and propeller, making it possible to outline main directions and steps for refining propulsion
performance modeling and prediction methods. These findings could also be used to check mathematical simulation results
for hydromechanic parameters of ships and vessels.
Keywords: scale effect, physical modeling.
Author declares lack of the possible conflicts of interests.
Введение
Introduction
При проектировании кораблей и судов с требуемыми ходовыми и специальными качествами проектантам необходимо иметь достоверные данные о сопротивлении воды движению судна в натурных условиях, о скоростях в потоке, обтекающем корпус, включая течение в пограничном слое и вязкостном следе, а также об упоре и моменте на гребном винте. В практической деятельности упомянутые характеристики обычно определяются на основе экспериментов на геометрически подобных моделях в специализированных гидродинамических лабораториях - опытовых бассейнах. При обработке результатов опытов с моделями необходимо знать, обеспечивается ли полное соответствие структур потоков и гидродинамических сил, действующих на модель, судно или гребной винт. Если такое соответствие обеспечено, потоки и гидродинамические силы называются динамически подобными. В этом случае на геометрически подобных объектах картины границ потока, линий тока, вихре- и волнообразования, а также векторы сил в сходственных точках на корпусе и гребном винте будут пропорциональны геометрическим размерам корпусов, винтов и скорости натекающего потока [1].
Для обеспечения динамического подобия сил, действующих на корпус и гребной винт, а также потока около движущегося судна в опытах на моделях необходимо одновременное выполнение специальных условий, равенства критериев подобия. Их несколько, и они известны [1, 3]. В первую очередь это числа Фруда Fn = U00/(gL)0,5 и Рейнольдса Rn = (U0L)/v (g - ускорение силы тяжести; v - кинематический коэффициент вязкости; U0 - скорость движения, L - длина модели или судна). При равенстве чисел Фруда будут одинаковыми коэффициенты волнового сопротивления и картины волнообразования, генерируемые корпусами движущихся модели и судна. При равенстве чисел Рейнольдса будут одинаковы коэффициенты вязкостного со-
противления и безразмерные течения в пограничном слое и вязком следе. Чтобы выполнить условие динамического подобия работы движителя, необходимо обеспечить равенство еще двух критериев подобия, относительной поступи гребного винта -J = U0(1-W)/(nD) (I - относительная поступь, W -эффективный (расчетный) попутный поток, п -число оборотов гребного винта, D - диаметр винта), а также кажущейся относительной поступи Jv = U0/nD. При сопоставлении результатов модельных и натурных испытаний нужно быть уверенным, что при испытаниях модели в лаборатории обеспечивается условие равенства нулю суммарных сил, действующих на модель с работающим винтом, движущуюся прямолинейно с постоянной скоростью, как это происходит на натуре.
В опытовом бассейне с обычной водой при испытаниях моделей можно обеспечить только равенство чисел Фруда. Равенства чисел Рейнольдса и относительных поступей обеспечить нельзя, поэтому коэффициенты сопротивления модели и судна, скорости в месте расположения гребного винта, коэффициенты упора и момента винта могут заметно различаться. Явление расхождения коэффициентов сопротивления, безразмерных скоростей в области вязкостного потока судна и его модели, коэффициентов упора и момента принято называть масштабным эффектом. Все отмеченные гидродинамические характеристики корпуса и винта, полученные в опытах на моделях, приходится корректировать, чтобы определить их значения, соответствующие натурному судну. Все масштабные эффекты обусловлены изменением сил трения на обтекаемой поверхности. Изменение сопротивления трения корпуса приводит к изменению сопротивления формы и скоростей в потоке за корпусом судна, натекающем на гребной винт. Изменяются физические условия работы винта. В изменившихся условиях на лопастях винта развивается свой пограничный слой, который порождает масштабный эффект коэффициентов упора, момента и вызванных работой движителя скоростей. Согласованные измене-
ния коэффициентов попутного потока, упора и сопротивления определяют коэффициенты засасывания, влияния корпуса и полезного действия. Значимость проблемы масштабного эффекта при исследовании ходовых качеств судов растет с увеличением размеров транспортных судов.
При прогнозировании ходовых качеств судов наиболее важным является учет масштабных эффектов коэффициентов сопротивления корпуса, попутного потока в месте расположения гребного винта, коэффициентов упора и момента. Именно поэтому отмеченные направления долгое время остаются важными в деятельности Международной конференции опытовых бассейнов (МКОБ). Прогнозирование масштабных эффектов сопротивления - задача, имеющая удовлетворительное решение для всех типов судов. Приближенные методы прогнозирования других упомянутых гидродинамических характеристик пока разработаны только для одновальных судов. МКОБ рекомендует производить количественные оценки масштабного эффекта вязкостного сопротивления лопастей гребного винта с использованием следующих эмпирических формул [2]:
ACd = CDM - CDS, (1)
где
CDM = 2(1 -2t / c) [0,044 / (Re c0)1/6 -5/ (Re c0 )2/3 ]; (2)
CDS = 2(1-2t / c) [l, 89 + 1,62log(c / kp)]-2,5. (3)
В формулах (1)-(3) CDM и CDS - коэффициенты вязкостного сопротивления элементов лопастей винта модели и судна на эквивалентном радиусе r/R = 0,75; t - толщина лопасти, м; с - хорда лопасти на эквивалентном радиусе (r/R = 0,75), м. Местное число Рейнольдса Rec0 определяется по результатам испытаний модели винта в свободной воде. Оно не должно быть меньше 2*105, kp = 30*10-6 м, при стандартной шероховатости поверхности лопасти натурного винта. Методика МКОБ 78 регламентирует следующий порядок определения поправок коэффициентов упора и момента:
ЪКТ = -0, 3(Cdm - Cds)(H / D)0,75 (cZ / D); (4)
SKQ = 0, 25(Cdm - Cds )(cZ / D). (5)
Из соотношений (4) и (5) следует, что коэффициент момента на натурном винте становится меньшим, чем на модели, а коэффициент упора -больше. Если учесть, что коэффициент упора на
Kt, 10KQ
Kq ß0
sv - ■ "N " S \\
Kt 4'v "s. N \
s 4 \ \\
V \ \\
N 1 \l J \
- Re > 4-1( ----Re > 0,8-------Re > 1,1- )5 105 ri
05 s \\
0 0,5 1,0 J
Рис. 1. Экспериментальные кривые действия модели гребного винта, полученные при различных числах Рейнольдса
Fig. 1. Experimental performance curves for propeller model at different Reynolds numbers
порядок больше коэффициента момента, а поправки SKT и SKq близки по абсолютной величине (порядка 0,0015-0,0025), то согласно прогнозам по методу МКОБ упор практически не изменяется. В таком случае при переходе от модели к натуре коэффициент полезного действия винта П0 = (Kt/Kq)x(J/2k) должен заметно возрастать. В отечественной технической литературе [3] приводятся результаты экспериментального исследования масштабного эффекта коэффициентов упора и момента в условиях модельных испытаний в опы-товом бассейне. Они представлены на рис. 1 и свидетельствуют о том, что коэффициенты упора и момента изменяются однонаправленно - вместе увеличиваются или уменьшаются, а коэффициент полезного действия сохраняет постоянное значение, во всяком случае, в области рабочих поступей. Очевидно, что результаты прогнозирования масштабного эффекта коэффициента упора по методу МКОБ требуют дополнительной проверки.
Что касается масштабного эффекта попутного потока, то МКОБ рекомендует следующую формулу для приближенного определения расчетного попутного потока одновальных судов:
Wts = (t + 0,04) + (Wtm -1 -0,04) x (Cvs / Cm), (6)
где WTS - расчетный попутный поток судна; WTM -расчетный попутный поток модели; t - коэффициент засасывания; 0,04 - поправка, которая учитывает усредненное влияние руля, установленного за гребным винтом, на попутный поток; CVS - коэф-
фициент вязкостного сопротивления судна с учетом влияния шероховатости; CVM - коэффициент вязкостного сопротивления модели.
В Крыловском центре на моделях для самоходных испытаний за винтом всегда устанавливается руль, и его влияние автоматически учитывается во всех характеристиках, получаемых в опытах. Сомнение в обоснованности и правильности рекомендаций по корректировке коэффициента упора в методе МКОБ сделало целесообразными и полезными дополнительные исследования масштабного эффекта гидродинамических характеристик гребного винта на основе прямого сопоставления результатов испытаний модели и судна. На крупнотоннажных судах полных обводов масштабные эффекты сопротивления и момента почти на порядок превышают возможные погрешности измерений в опытах, поэтому исследования масштабных эффектов предпочтительнее проводить именно на судне полных обводов.
Принципиальная возможность полного моделирования сил и потоков вязкостной природы без выполнения условия равенства чисел Рейнольдса модели и судна
General feasibility of complete simulation for viscous forces and flows without equality of model and full-scale Reynolds numbers
В работе [4] показано, что для полного моделирования сил на корпусе и потока жидкости около него достаточно обеспечить при испытаниях моделей судов в растворе полимеров равенство коэффициентов вязкостного сопротивления модели и судна.
Рис. 2. Теоретический чертеж танкера «Победа» Fig. 2. Lines drawing of Pobeda tanker
Поскольку волновое сопротивление строго моделируется, будут одинаковы и коэффициенты полного сопротивления. Иными словами, при моделировании вязкостного сопротивления и вязкостного течения около и за корпусом в растворе полимера, физические свойства которого (плотность и вязкость) остаются такими же, как в воде, в качестве критерия подобия можно принять коэффициент сопротивления судна, а не число Рейнольдса. Жидкость с раствором полимера по определению остается ньютоновской, потому что закон распределения осредненных во времени скоростей по нормали к поверхности в ламинарном подслое остается линейным [5]. Из-за прилипания макромолекул к обтекаемой твердой поверхности в растворе полимера изменяется физическое состояние обтекаемой поверхности [6]. Возможности представленного метода моделирования были, дополнительно к обычным испытаниям в воде, использованы при анализе масштабного эффекта гидродинамических характеристик корпуса и попутных потоков реальных судов.
Объект исследования и первичные результаты натурных испытаний
Full-scale trials: investigation object and raw experimental data
В отечественной практике были проведены ходовые натурные испытания крупнотоннажного танкера полных обводов типа «Победа» водоизмещением 100 000 т. Одной из целей испытаний являлось определение коэффициентов расчетного (эффективного) попутного потока W нового судна в натурных условиях. Вместе с тем полученные в результате выполнения натурных опытов фактические данные в совокупности с результатами модельных испытаний представлялись перспективными для определения масштабного эффекта коэффициентов упора, момента, сопротивления, поля скоростей в месте расположения движителя за корпусом судна и других характеристик, подверженных масштабному эффекту. Этот танкер принят в качестве основного объекта исследования. Длина судна L = 235 м, диаметр гребного винта D = 6,5 м, число лопастей - 4, площадь смоченной поверхности корпуса Q = 10 703 м2, коэффициент полноты 5 « 0,8, масштаб модели - 1:32,5. Теоретический чертеж корпуса танкера представлен на рис. 2.
Сотрудниками Крыловского центра Г.И. Каневским и О.Н. Беззубиком организованы, подготовлены и проведены натурные ходовые испытания
Таблица 1. Режимы натурных испытаний, первичные результаты измерений и коэффициенты попутного потока Wq, определенные с использованием результатов натурных измерений момента: 1-6 - танкер «Маршал Василевский»; 7-9 - танкер «Победа»
Table 1. Conditions of full-scale trials, raw measurement data and wake fractions Wq, based on full-scale torque measurements: 1-6 - Marshal Vasilevsky tanker; 7-9 - Pobeda tanker
1 2 3 4 5 6 7 8 9
U0, м/с 6,466 7,38 8,013 8,013 8,13 8,41 5,29 6,733 7,5
Fn 0,135 0,154 0,167 0,167 0,169 0,175 0,11 0,14 0,156
Rnx109 1 ,01 1,16 1,25 1,25 1,27 1,32 0,829 1,05 1,17
Q, кНм 625,3 834,5 949,1 955,6 942,8 1015,4 399,1 638,9 781,3
n, 1/с 1,167 1,867 2,005 2,03 2,025 2,093 1,288 1,635 1,852
Wq 0,35 0,342 0,35 0,341 0,353 0,354 0,367 0,368 0,358
двух танкеров типа «Победа» - головного («Победа») и одного из серийных («Маршал Василевский»). В опытах измерялись:
■ скорости прямолинейного установившегося
движения Щ, уз;
■ число оборотов п гребного винта, об/мин;
■ крутящие моменты Q на гребном винте, кНхм.
На танкере «Маршал Василевский» измерения
произведены на шести скоростях в диапазоне чисел Фруда от 0,135 до 0,175. Измерения на танкере «Победа» выполнены на трех скоростях хода в диапазоне чисел Фруда от 0,11 до 0,156. Режимы натурных испытаний, первичные результаты измерений и коэффициенты попутного потока WQ, определенные с использованием результатов натурных измерений момента автором проекта гребного винта В.Г. Миш-кевичем, представлены в табл. 1. Коэффициент расчетного попутного потока WQ в диапазоне обследованных скоростей хода на каждом из судов практически не зависит ни от числа Рейнольдса, ни от числа Фруда. На танкере «Победа» он оказался несколько больше, чем на танкере «Маршал Василевский».
В первичных результатах натурных испытаний, переданных автору коллегами, в опыте № 7 моменту Q соответствовало численное значение 349,079 кНм. При этой величине момента коэффициент попутного потока W был равен 0,26, а поступь J = = ^(1-0,26)/^ = 0,468. Это сильно отличалось от всех других результатов измерений в опытах, и указывало или на промах в измерениях, или на описку в величине момента Q. Анализ всех результатов натурных опытов в совокупности показал, что реальное числовое значение момента Q должно быть равным 399,079 ~ 399,1. Указанная величина момента (399,1 кНм, таблица 1) была использована при анализе результатов натурных опытов.
Условия, объем и основные результаты испытаний модели танкера в опытовом бассейне
Conditions, scope and main results of tanker model tests
Для сопоставления с результатами натурных измерений использованы результаты экспериментальных исследований модели танкера и его вин-
О - вода
• - раствор полимера
----прогноз (натура)
О - расчет с использованием результатов измерений момента на натуре, Ст = 0,002354
Рис. 3. Изменение коэффициента сопротивления модели танкера «Победа» в зависимости от числа Фруда в воде, растворе полимера и на натуре. Экспериментальные данные сопоставлялись при числе Фруда, равном 0,154
Fig. 3. Resistance coefficient of Pobeda tanker model versus Froude number in water, in polymer solutions and in real conditions. Test data were compared at Froude number Fn = 0.154
Kt, 10KQ 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
гЛ \
У Л0 А
KQ
рО^н / \
, / KT ^ •От*
/
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 J
О - вода
• - раствор полимера
♦ - коэффициент момента в условиях натурных
испытаний Kqs = 0,01994 О - коэффициент упора в условиях натурных испытаний Kts = 0,1475
Рис. 4. Кривые действия изолированного гребного винта в воде и в растворе полимера
Fig. 4. Performance curves of isolated propeller in water and polymeric solution
t, W 0,8 0,6 0,4 0,2 0
1 1 1 1 W CD С
О ? 63 э!осР°с 1 1 СТО W
• •< » • • 1 • \ . • ?
t . 8 1 с« эо8 ^ » ф
• •о Г 1 1 1 1
0,4 0,5
0,6
0,7
0,8
О - вода
• - раствор полимера
♦ - W = 0,3537 натура, среднее арифметическое
по 9 опытам Д - t = 0,227, раствор полимера, натура, расчет по формуле (8)
Рис. 5. Коэффициенты взаимодействия винта с корпусом танкера «Победа» в условиях модельных испытаний и на натуре
Fig. 5. Model and full-scale propeller-hull interaction coefficients of Pobeda tanker
та, полученные в опытовом бассейне Крыловского центра в двух средах - в обычной воде и в растворе полимера.
В процессе модельных испытаний были определены:
■ коэффициенты буксировочного сопротивления модели (рис. 3);
■ кривые действия гребного винта в свободной воде (рис. 4);
■ коэффициенты попутного потока (определенные по равенству коэффициентов упора, а не момента, как на натуре) и засасывания (рис. 5);
■ осевые скорости натекающего потока в плоскости диска гребного винта в номинальном и эффективном потоках (рис. 6).
Опыты в растворе полимера WSR-301 проводились при концентрации С0, равной 6х10-6 ррм (6 миллионных весовых частей полимера в одной весовой части воды). Все экспериментальные исследования в опытовом бассейне в воде и растворе полимера проведены на модели длиной 7,23 м (выполненной в масштабе 1:32,5). Диаметр модели гребного винта - 0,2 м. Коэффициент полноты танкера 5 ~ 0,8. Чтобы точнее выполнить требуемое условие геометрического подобия, при проведении самоходных испытаний модели за гребным винтом был установлен руль. Все испытания в воде и растворе полимера выполнены на одной и той же модели, по стандартным методикам Крыловского центра, и для измерений использовано одинаковое измерительное оборудование. На рис. 3-5 показаны также соответствующие гидромеханические характеристики, измеренные на натуре или рассчитанные применительно к условиям натурных испытаний. В период проведения модельных испытаний в опы-товом бассейне геометрия гребного винта танкера «Победа» еще не была разработана, поэтому опыты выполнялись с «магазинным» гребным винтом (№ 6233; Ю = 0,2 м; ЕЮ = 0,7). Коэффициенты упора и момента модели винта № 6233 в воде и растворе полимера при одинаковых поступях оказались одинаковыми (рис. 4). Известно, что растворенные в воде полимеры практически не оказывают влияния на течение и на касательное напряжение на обтекаемой поверхности в ламинарном пограничном слое. Поэтому отмеченное совпадение коэффициентов упора и момента свидетельствует о том, что на полированных лопастях винта физически маленького размера (г = 0,1м) течение в пограничном слое было преимущественно ламинарное.
Результаты буксировочных и самоходных модельных испытаний на эксплуатационной относи-
тельной скорости хода судна Fn = 0,154 (рис. 3, 5), полученные в режимах свободного самохода, использованы для сопоставления со сходственными результатами натурных испытаний и определения соответствующих масштабных эффектов. Масштабные эффекты коэффициентов упора и момента гребного винта определялись путем сравнения результатов модельных и натурных испытаний при относительных поступях, также соответствующих условиям свободных самоходов: J = 0,319 (в воде) и J = 0,4 (в растворе полимера и на натуре) (рис. 4).
Методология исследований взаимосвязанных масштабных эффектов гидродинамических характеристик корпуса и винта
Research methodology for interconnected scale effects of hydrodynamic parameters of hull and propeller
Безразмерные гидромеханические характеристики корпуса судна и его винта, изменяющиеся вследствие масштабных эффектов, имея одинаковую физическую природу, вполне определенно взаимосвязаны между собой. Различные виды взаимосвязей между ними могут быть получены из условия равенства полезной тяги винта и сопротивления корпуса при постоянной скорости движения модели или судна, представляющего собой своеобразную запись первого закона Ньютона:
T х (1-t) = Rx, (7)
где T - упор; t - коэффициент засасывания; T<(1 - t) -полезная тяга; Rx - сопротивление корпуса.
Приведем (7) к безразмерному виду:
1-t = [(CT /2KT)х J2]х(О/D2),
(8)
где СТ = (2Ях)/(ри0 - коэффициент полного сопротивления; КТ = Т/(рп2Б4) - коэффициент упора; Jv = и0/пБ - кажущаяся относительная поступь винта; Б - диаметр винта; п - число оборотов винта; О - площадь смоченной поверхности корпуса. Уравнение (8) дает наглядное представление о функциональной взаимосвязи между коэффициентом засасывания и коэффициентами сопротивления, упора, критерием подобия Jv и диаметром винта. Оно одинаково справедливо для условий и модельных и натурных испытаний. Из (8) следует уравнение (9):
-Ux 0,8 0,6 0,4 0,2
О •
э в
с > ® S © «
et»«' > ® i > • \ % < С в > ' * а
1 в • 5 r = о0 0,75 > " \ ® « С ° ¡Ев »
•S f
0
90
180 ео
- вода, номинальный поток
- вода, эффективный поток
- раствор полимера, номинальный поток раствор полимера, эффективный поток
Рис. 6. Прогнозирование поля скоростей в месте расположения гребного винта танкера «Победа» путем испытания модели в растворе полимера
Fig. 6. Wake field prediction for Pobeda tanker based on model tests in polymeric solution
В соответствии с (9), для геометрически подобных объектов (модель - судно) можно получить
KTS = KTM х
(Cts / Ctm )х[(1 1M )/(1-ts )]х"
х( JvS / JvM )
. (10)
KT = [CT /2(1-t)]х j2 х (О/D2).
(9)
Коэффициент засасывания 1 и кажущаяся относительная поступь Jv близки по величине в условиях стандартных (в воде) модельных и натурных испытаний, а коэффициент полного сопротивления Сга в натурных условиях намного меньше, чем при модельных испытаниях. Следовательно, в натурных условиях коэффициент упора КТ8 должен быть заметно меньше, чем в условиях модельных испытаний. Принимая во внимание, что Jv = J/(1-W), из уравнения (10) можно получить иное, по сравнению с (6), уравнение для определения или проверки правильности оценок коэффициента эффективного попутного потока:
(1-Ц'т )2 = {_СТ / (2 КТ х (1-/) )]х J 2 х (О / Б222. (11)
Формула (11) одинаково справедлива и в лабораторных условиях, и на натуре. Из формулы для определения КПД % = (КТ/Ке)х(//2л) следует
Кт = (2пКе%)/^ (12)
Приравнивая коэффициенты упора из уравнений (9) и (12), получим уравнения для оценок
коэффициента сопротивления или коэффициента момента:
CT = \(4п х KQ х(1-t) х n0 )] /\J x J2 x(Q / D2) ] ; (13)
KQ =\CT x J x J2 x(Q / D2)] / [4rc x(1- t)x n0 ]. (14)
Если, как в настоящей работе, известны результаты измерений крутящего момента на винте в условиях натурных испытаний и относительные поступи J и Jv, то, спрогнозировав CTS и tS на основании результатов стандартных модельных испытаний, из уравнения (14) можно получить уравнение для определения КПД винта в условиях натурных испытаний:
По = [CtsхJxJv x(^/D2)]/[4AKQх(1—t)]. (15)
Уравнения (8), (9), (11), (13)-(15) удобны для анализа безразмерных гидромеханических характеристик корпуса и гребного винта. Они физически обоснованы, одинаково справедливы для условий модельных и натурных испытаний и определяют конкретные соотношения между гидромеханическими характеристиками и критериями подобия геометрически подобных объектов. В частности, они наглядно показывают, что все гидромеханические характеристики винта и потока изменяются пропорционально изменению коэффициента сопротивления корпуса СТ.
Определение коэффициентов сопротивления корпуса судна, упора и полезного действия гребного винта в условиях натурных испытаний Determination of hull resistance coefficient, propeller thrust coefficient and propeller efficiency in full-scale trials g
По результатам измерения физических характеристик, представленных в табл. 1, рассчитаны коэф-
фициенты момента, кажущиеся относительные Jv и относительные J поступи, характеризующие условия динамического подобия работы винта за корпусом судна, коэффициенты упора и полезного действия в натурных условиях. При расчетах коэффициентов момента Кд плотность воды в Черном море, в котором проводились натурные испытания, принята равной р = 104 кг*с2/м [1].
При выполнении модельных испытаний в условиях свободного самохода в растворе полимера коэффициенты расчетного попутного потока и относительные поступи J оказались одинаковыми, а кажущиеся относительные поступи Jv практически такими же, как при натурных испытаниях. Это позволило по результатам испытания модели в растворе полимера по формуле (8) рассчитать коэффициент засасывания t = 0,227. Принимая величину коэффициента засасывания на модели в растворе полимера и на натуре одинаковой, по формуле (15) можно определить КПД По в условиях натурных испытаний, а по формулам (13) и (9) - рассчитать коэффициенты сопротивления Ст8 и упора Кт8. При расчетах КПД использовано прогнозируемое значение Ст8 = 0,0024. Результаты соответствующих расчетов представлены в табл. 2.
Расхождения в рассматриваемых гидродинамических характеристиках при различных скоростях хода в основном обусловлены погрешностями измерений в условиях натурных испытаний. Они всегда больше, чем в условиях лабораторных измерений, поскольку существуют некоторые факторы, например наличие поверхностных течений в море (рис. 7), влияние которых на измеряемые физические величины просто невозможно объективно оценить.
Рассмотренные материалы позволяют без ущерба для точности прогнозов масштабных эффектов принять в исследовании в качестве исходных результатов натурных испытаний осредненные
Таблица 2. Расчет КПД по, коэффициентов сопротивления CTS и упора KTS в условиях натурных испытаний: 1-6 - танкер «Маршал Василевский»; 7-9 - танкер «Победа»
Table 2. Calculations of full-scale efficiency по, resistance coefficient CTS and thrust coefficient KTS: 1-6 - Marshal Vasilevsky tanker; 7-9 - Pobeda tanker
1 2 3 4 5 6 7 8 9
J = U0(1-WQ)/nD 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
Jv = U0/nD 0,615 0,608 0,615 0,607 0,617 0,618 0,632 0,633 0,623
KqSx102 2,02 2,04 1,99 2,02 1,94 1,96 2,03 2,02 1,926
CTSx103, формула (13) 2,41 2,49 2,37 2,47 2,3 2,31 2,29 2,27 2,28
KTSx10, формула (9) 1 ,49 1,508 1,469 1,49 1,437 1,446 1,499 1,49 1,45
По, формула (15) 0,468 0,385 0,475 0,456 0,490 0,487 0,492 0,496 0,504
безразмерные коэффициенты и критерии подобия по всем девяти опытам на обоих танкерах. Осред-ненные по результатам всех измерений и расчетов значения исследуемых гидродинамических характеристик привели к следующим результатам: Wqs = 0,3537; Kqs = 0,01994; Cts = 0,002354; Kts = 0,1475; Js = 0,4; Jvs = 0,6188; П0 = 0,472. Полученные результаты по коэффициенту сопротивления судна CTS = 0,002354 согласуются с результатами прогнозов CTS = 0,0024 (Г.И. Каневский, В.Г. Мишкевич, В.К. Турбал); расхождение составляет 2 %. Коэффициент полезного действия в условиях натурных испытаний оказался таким же, как в опытах в растворе полимера (табл. 3).
Масштабные эффекты интегральных гидродинамических характеристик корпуса и гребного винта
Integral hydrodynamic parameters of hull and propeller: scale effects
Общие представления о масштабных эффектах гидродинамических характеристик корпуса судна
Таблица 3. Сравнительные данные модельных и натурных испытаний Table 3. Model test results vs sea trials
Условия опытов. Гидродинамические характеристики Модель, вода Модель, раствор полимера Натура, средние по 9 измерениям и расчетам Масштабные эффекты, [(4)/(2)-1]х100 %, опыты в воде, % Масштабные эффекты, [(4)/(3)-1]х100 %, раствор полимера, %
1 2 3 4 5 б
Би, опыт 0,154 0,154 0,153 - -
Ял, опыт 8,24х10б 8,24х10б 1,1бх109 - -
Jv, опыт 0,5S 0,б2 0,б188 +б,б9 -0,19
J, опыт 0,319 0,397 0,4 +2б,39 +0,75б
Кд, опыт 0,02б4 0,0228 0,01994 -24,47 -12,54
КТ, опыт, натура, формула (9) 0,21б 0,170 0,1475 -31,71 -13,23
WT!Q, опыт 0,45 0,3б 0,3537 -21,4 -1,75
1, формула (8) 0,171 0,227 0,227 +32,75 0
П0, модель - опыт, натура, формула (15) 0,415 0,471 0,472 +13,73 +0,212
СТ, опыт, натура, формула (13) 0,0042 0,0027 0,002354 -43,95 -12,81
(1-0/(1-Ж) 1,507 1,208 1,19б -20,б4 -0,993
[(1-0/(1-Ж)]хпо 0,б254 0,5б85 0,5б45 -9,74 -0,704
Рис. 7. Поверхностные течения в Черном море Fig. 7. Surface currents in the Black Sea
и гребного винта дают сравнительные данные модельных и натурных испытаний, приведенные в табл. 3.
Поступи J и Jv при модельных испытаниях в воде (0,319 и 0,58) были меньше, чем в растворе полимера (0,397 и 0,62) и в условиях натурных испытаний. В условиях модельных испытаний в растворе полимера (свободный самоход) J = 0,397, Jv = 0,62, они оказались практически одинаковыми со среднеарифметическими величи-
нами по всем девяти испытаниям судов в натурных условиях (I = 0,40 и I,, = 0,6188, табл. 3). Скорость движения модели при обеспечении условий свободного самохода и0 = 1,3 м/с, числа оборотов винта в воде - 11,2 1/с, в растворе полимера - 10,48 1/с.
Поскольку рабочие поступи I и 1У в натурных условиях оказались такими же, как при модельных испытаниях в растворе полимера, смоделирован масштабный эффект расчетного попутного потока, и обеспечены условия динамического подобия работы гребного винта за корпусом судна. Полученные данные о согласованном изменении коэффициентов попутных потоков и относительных поступей при переходе от модели к натуре вследствие масштабных эффектов указывают на возможность их физического моделирования.
Величины коэффициентов моментов Кд = = 0,01994 в натурных условиях оказались заметно меньше, чем у винта в растворе полимера - 0,0228 и тем более в воде - 0,0264.
Уменьшение коэффициента момента при переходе от условий испытаний модели в воде к испытаниям на натуре обусловлено двумя масштабными эффектами:
■ попутного потока в месте расположения винта и соответствующим увеличением относительных поступей I от 0,319 до 0,397 и от 0,58 до 0,62;
■ сил на лопастях винта вследствие масштабного эффекта течения в пограничном слое на лопа-
10Kq _ W
_o10ke
a Kt
2 3 4 CT-103
Рис. 8. Изменение коэффициентов эффективного попутного потока W, упора KT и момента Kq в зависимости от коэффициента полного сопротивления СТ
Fig. 8. Actual wake fraction W, thrust coefficient KT and torque coefficient Kq versus total resistance coefficient СТ
стях винта при сохранении постоянного значения относительной поступи I = 0,4.
Увеличение осредненной по диску гребного винта относительной скорости иА = (1-нате-кающего на винт потока в растворе полимера до 0,64и0, по сравнению с 0,55 и0 в воде, приводит к уменьшению коэффициента момента от 0,0264 до 0,0228. Масштабный эффект коэффициента момента винта, проявляющийся при сохранении постоянного значения поступи I = 0,4, приводит к дополнительному уменьшению коэффициента момента от 0,0228 до 0,01994. Упоры не измерялись в процессе натурных испытаний. Однако совместное рассмотрение результатов натурных испытаний с имеющимися результатами модельных испытаний в растворе полимера позволили определить упор винта в условиях натурных испытаний (подробнее в разделе «Определение коэффициентов сопротивления корпуса и упора в условиях натурных испытаний»).
Среднее значение коэффициента упора КТ8 = 0,1475. Сравнение полученного значения коэффициента упора в условиях натурных испытаний (Кта = 0,1475) с коэффициентом упора на модели в воде (Кш = 0,216) и в растворе полимера (КТМ = 0,170) подтверждает высказываемые ранее утверждения о значительном уменьшении Кга вследствие масштабного эффекта. Уменьшение коэффициентов упора и момента в условиях натурных испытаний по сравнению с результатами испытаний в растворе полимера 0,1475/0,170 = = 0,868 = 0,87 и 0,01994/0,0228 = 0,874 = 0,87 оказалось практически одинаковым (рис. 4). Как отмечено ранее, коэффициенты упора, момента и расчетного попутного потока пропорциональны коэффициенту полного сопротивления - (9), (11) и (14). Закономерности изменения КТ = _ДСТ), Кд = /(СТ) и W = /(СТ) в графической форме представлены на рис. 8.
По результатам рассматриваемых модельных и натурных испытаний рассчитан коэффициент засасывания / и получены представления о нем в условиях модельных испытаний в воде, в растворе полимера и на натуре. Фактические коэффициенты засасывания в условиях проведения модельных и натурных испытаний определены по формуле (8), из которой следует, что коэффициент / сохранит свое значение при постоянном сомножителе [(СТ /2КТ)х!„2]. Проверим, выполняется ли это условие, с помощью данных табл. 4.
Как видно из результатов расчетов, при обеспечении условий равенства относительных посту-
Таблица 4. Фактические коэффициенты засасывания в условиях проведения модельных и натурных испытаний, определенные по формуле (8)
Table 4. Actual thrust deduction factors in model tests and full-scale trials (calculated as per Formula 8)
Характеристики, условия опытов С7х103 [(CT /2Kj-)xJv2]xl03 Jv, опыт t - формула (8)
Модель, вода 4,2 3,27 0,58 0,171
Модель, раствор 2,7 3,05 0,62 0,227
Среднее по судам 2,354 3,05 0,6188 0,227
пей винта и J в условиях модельных (в растворе полимера) и натурных испытаний сомножитель [(Ст /2Кт)*3,2] и коэффициенты засасывания одинаковы. Коэффициент засасывания на модели в воде на режиме свободного самохода отличается от коэффициентов засасывания на модели в растворе полимера и на натуре - он меньше. Тот факт, что вследствие масштабного эффекта гидромеханических характеристик судна коэффициент засасывания при переходе от модели к натуре должен увеличиваться, известен [3]. Там же отмечено, что это увеличение обычно не превосходит 10 % величины и его можно практически не учитывать. Последний вывод получен в 50-е гг. прошлого века применительно к меньшим по абсолютным размерам надводным скоростным водоизмещающим кораблям и судам. На крупных судах полных обводов коэффициент засасывания может быть гораздо больше, чем в условиях модельных испытаний в воде, и это изменение надо учитывать. Закономерности изменения коэффициентов засасывания 1 модели в воде и в растворе полимера в зависимости от относительной поступи = и0/пБ оказались практически одинаковы (рис. 5). Результаты расчетов коэффициента засасывания в условиях натурных испытаний и в опытах на модели в воде и растворе полимера согласуются.
Полученные материалы показали, что вследствие масштабного эффекта при переходе от модели в воде к модели в растворе полимера коэффициент засасывания t увеличивается, а коэффициент эффективного попутного потока Ж уменьшается. Эти же коэффициенты в растворе полимера и на натуре одинаковы, что приводит к уменьшению коэффициента влияния корпуса судна (1—)/(1-Ж) в натурных условиях по сравнению с его численным значением в условиях модельных испытаний в воде. В результате уменьшается и коэффициент полезного действия комплекса «винт - корпус» (табл. 3).
Масштабный эффект осевых скоростей в потоке за корпусом судна
Axial speeds in ship wake: scale effect
В настоящее время некоторыми классификационными обществами разрабатываются требования по уменьшению излучаемых уровней шума и вибрации судов при движении с целью обеспечения более благоприятной обстановки для флоры и фауны морей и океанов. Гребные винты судов являются одним из наиболее интенсивных источников излучения шума и вибрации в водной среде. Для проектирования менее шумных гребных винтов необходима дополнительная информация о неравномерности местных скоростей эффективного потока, натекающего на винт в натурных условиях. В опытовых бассейнах Крыловского центра в пределах площади диска винта определены скорости номинального и эффективного потоков в воде и в растворе полимера как приближенного аналога натурных испытаний. Результаты опытов в виде распределения безразмерных (отнесенных к скорости движения модели) осевых скоростей вдоль окружности на относительном радиусе r/R = 0,75, в области наиболее нагруженных частей лопастей гребного винта, в потоке на правом борту показаны на рис. 6. Они дают представление о степени изменения скоростей в потоке, натекающем на гребной винт, под влиянием как масштабного эффекта, так и работающего движителя. Номинальные и эффективные скорости, измеренные на пяти радиусах, были проинтегрированы в пределах площади диска винта. Получены следующие результаты:
■ коэффициент номинального попутного потока ¥ в воде равен 0,55;
■ коэффициент эффективного попутного потока W (в условиях свободного самохода в воде) равен 0,44;
■ коэффициент номинального попутного потока ¥ в растворе полимера равен 0,40;
■ коэффициент эффективного попутного потока W (в условиях свободного самохода в растворе полимера) равен 0,355.
Результаты определения коэффициентов эффективных попутных потоков в растворе полимера согласуются с результатами, полученными при проведении самоходных испытаний в опытовом бассейне и в натурных условиях. В настоящее время и в обозримом будущем моделирование поля скоростей в потоке, натекающем на гребной винт, путем испытания моделей в растворе полимера останется наиболее надежным средством получения объективной информации, необходимой для обоснованного проектирования менее шумного гребного винта.
Сравнение масштабных эффектов коэффициентов упора, момента и попутного потока, с прогнозами, полученными по методам Международной конференции опытовых бассейнов
Scale effects for thrust coefficient, torque coefficient and wake fraction: experimental data vs estimates obtained as per ITTC methods
Сравнительные данные о величинах коэффициентов упора, момента, расчетного попутного потока и КПД гребного винта модели и судна, определенные в работе и рассчитанные по методам МКОБ, показаны в табл. 5.
Рассчитанные с использованием формул (1)-(5) поправки коэффициентов упора и момента для винта танкера «Победа» (t = 0,002375 м, cm = 0,0796 м, Rec0 = 3,4466x105, (H/D)r = 0,75R = = 0,6626, Z= 4, cs = 2,587 м) привели к следующим результатам: SKT = -0,0018, SKQ = +0,00227. Откорректированный по методу МКОБ коэффициент момента Kq = 0,0205 близок к результатам рассмотренных опытов на судне «Победа», Kq = 0,01994 (уменьшение на 10 % по сравнению с результатами испытаний модели в растворе полимера и превышение результатов натурных испытаний на 3 %). Надбавка к упору, определенная по методу МКОБ, по абсолютной величине находится в пределах погрешностей измерений в опытах и на порядок отличается от оценок масштабного эффекта коэффициента упора, полученного в настоящей работе. К тому же она противоположно направлена. По методу МКОБ KTS = 0,1718 - на 1 % больше, чем в опытах в растворе полимера, и на 16,5 % больше, чем на натуре (KTS = 0,1475). Величины коэффициентов расчетного попутного потока W, определенные по результатам натурных испытаний и вычисленные по формулам (6) и (11), практически совпали (0,3537, 0,3532 и 0,3547 соответственно). Полученные в работе результаты позволяют сделать вывод о том, что на рассматриваемом типе судна по методам МКОБ правильно прогнозируются изменения коэффициентов попутного потока WT и момента Kq, обусловленные масштабными эффектами. Вместе с тем физически неверно, и в численном отношении неудовлетворительно прогнозируются масштабные эффекты коэффициента упора KT и КПД По винта.
Таблица 5. Сравнительные данные о величинах коэффициентов упора, момента, расчетного попутного потока и КПД гребного винта модели и судна (по методам Международной конференции опытовых бассейнов)
Table 5. Model vs full-scale propeller: thrust and torque coefficients, calculated wake fraction and efficiency (determined as per ITTC methods)
Гидродинамические характеристики Модель в воде Модель в растворе полимера «Победа», средние по 9 измерениям МКОБ: поправки SKT, SKQ МКОБ: прогнозы Расхождение с натурными данными
1 2 3 4 5 6 7
KQ 0,0264 0,0228 0,01994 0,00227 0,0205 1,028
Kt 0,216 0,170 0,1475, -0,0018 0,1718 1,165
W 0,45 0,36 0,3537 - 0,3532 0,998
По 0,415 0,471 0,472 - 0,534 1,134
Новые возможности прогнозирования коэффициентов упора и момента гребного винта натурного судна, основанные на результатах стандартных буксировочных испытаний в воде, и самоходных испытаний в растворе полимера
New prediction capabilities for full-scale propeller thrust and torque coefficients based on test data (standard towing tests in water and self-propulsion tests in polymer solution)
Взаимосвязи между безразмерными гидродинамическими характеристиками корпуса судна и его гребного винта в условиях свободного самохода при прямолинейном движении модели с постоянной скоростью (формулы (8), (9), (11), (13)-(15)) позволяют предложить физически более строгий алгоритм определения искомых коэффициентов упора и момента по результатам модельных испытаний в опытовом бассейне. Непосредственно из опытов в растворе полимера становятся известными: коэффициент расчетного попутного потока WTS = 0,36 (рис. 5), относительная JS = 0,4 и кажущаяся относительная Jvs = 0,62 поступи, коэффициент засасывания tS ~ 0,3 (рис. 5) и КПД % = 0,471 (рис. 4) натурного судна. Предварительно определив с использованием результатов стандартных модельных буксировочных испытаний в воде коэффициент сопротивления «голого корпуса» CTS, пересчитанный с модели на натуру (рис. 3), по формуле (9) можно рассчитать коэффициент упора KTS натурного судна:
KTS = [0,0024/(2х0,77)]х0,622х253,32 = 0,1517.
Поскольку KTS/KTM = Kqs/Kqm (рис. 4) на рабочей поступи Js = Jm = 0,4, то Kqs = (Kts/Kjm)xKqM:
KQS = (0,1517/0,17)X0,0228 = 0,0203.
Полученные результаты согласуются с результатами натурных опытов (табл. 2).
Численные значения KTS = 0,1517 и Kqs = = 0,0203 несколько выше (на 2,8-1,8) % результатов натурных значений (табл. 3), что обусловлено использованием в расчетах прогнозного значения CTS = 0,0024, на 2 % большего по величине, чем осредненное по результатам опытов CTS = 0,002354.
Заключение
Conclusion
На рассмотренном типе одновального судна полных обводов (танкер «Победа») определены взаимоувязанные масштабные эффекты всех гидродинамических и кинематических характеристик корпуса судна и его гребного винта (табл. 3). В опытах в растворе полимера определены масштабные эффекты локальных скоростей в эффективном потоке за корпусом судна, натекающем на винт (рис. 6).
Установлено, что при переходе от модели к натурному судну коэффициенты упора и момента уменьшаются в одном направлении и в одинаковой пропорции. КПД винта остается одинаковым в условиях модельных и натурных испытаний. Физические особенности масштабных эффектов гидродинамических характеристик корпуса и винта удалось прояснить благодаря установленным взаимосвязям между ними (формулы (8), (9), (11), (13)-(15)) и проведению испытаний модели в растворе полимера. Развитие метода физического моделирования гидромеханических характеристик судна путем испытания моделей в растворе полимеров представляется перспективным. Методы МКОБ позволяют с достаточной для практических расчетов точностью оценивать масштабные эффекты коэффициентов попутного потока и момента, но неверно прогнозируют масштабный эффект коэффициента упора и КПД винта: расхождение между результатами прогнозов и натурных опытов составляет более 10 %.
Библиографический список
1. Войткунский Я.И. Сопротивление воды движению судов. Л.: Судостроение, 1964. 412 с.
2. Бовис А. Морская гидродинамика. Подводная лодка. СПб.: ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2013. 218 с.
3. Басин А.М., Миниович И.Я. Теория и расчет гребных винтов. Л.: Судпромгиз, 1963. 760 с.
4. Орлов О.П., Пашин В.М. Развитие принципов физического моделирования вязкостного течения в турбулентном пограничном слое и следе кораблей и судов / Академик А.Н. Крылов. К 150-летию со дня рождения. СПб.: ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2013. С. 33-64.
5. Reischman M.M., Tiederman W.G. Laser Doppler anemometer measurements in dragreducing channel flows // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 70. Part. 2. P. 369-392.
6. Орлов О.П. Физическая природа явления уменьшения сопротивления трения в слабых растворах поли-
меров при турбулентном течении в пограничном слое // Труды Крыловского государственного научного центра. 2016. Вып. 92(376). С. 59-92.
References
1. Ya. Voitkunsky. Resistance of ships. Leningrad: Sudostroenie, 1964. 412 pp. (in Russian).
2. A. Bovis. Hydrodynamique navale: Le sous-marin. St. Petersburg: Krylov State Research Centre, 2013. 218 pp. (Russian translation).
3. A. Basin, I. Miniovich. Theory and calculation of propellers. Leningrad: Sudpromgiz, 1963. 760 pp. (in Russian).
4. O. Orlov, V. Pashin. Evolution of modeling principles for viscous flow in turbulent boundary layer and wake of ships and vessels // To the 150th anniversary of Academician A. Krylov. Compendium of papers. St. Petersburg: Krylov State Research Centre, 2013. P. 33-64 (in Russian).
5. M.M. Reischman, W.G. Tiederman. Laser Doppler anemometer measurements in dragreducing channel
flows // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 70. Part. 2. P. 369-392.
6. O. Orlov. Physical nature of frictional resistance reduction in dilute polymer solutions in turbulent boundary layer flows // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2016. Issue 92(376). P. 59-92 (in Russian).
Сведения об авторе
Орлов Олег Павлович, д.т.н., профессор, главный научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: +7 (812) 415-45-26. E-mail: krylov@krylov.spb.ru.
About the author
Oleg P. Orlov, Dr. Sci., Professor, Principal research Scientist, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskov-skoe sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-45-26. E-mail: krylov@krylov.spb.ru.
Поступила / Received: 30.05.19 Принята в печать / Accepted: 22.11.19 © Орлов О.П., 2019
