CC BY
53
машинный эксперимент с решениями прямой
задачи эллипсометрии О.В. Майорова, Е.Е. Орлова, Е.Б. Липкович, Л.К. Шандалова, Е.К. Скалецкий, З.С. Царев
Методами машинного эксперимента исследованы аналитические свойства решений прямой задачи эл-липсометрии для амплитудно-фазовых Р-Д характеристик поля световой волны от углов падения ф для разных зеркал (п,к) в модели идеальных границ раздела сред.
Введение
Эллипсометрия относится к наиболее прецизионным экспериментальным методам поляризационно-оптического материаловедения. На опыте измеряются амплитудно-фазовые соотношения поля световой волны, отраженной от объекта исследования, по которым судят о его оптических параметрах.
Поле линейно поляризованного света (в Е,Н компонентах) на фронте волны с азимутом а ориентации компонента Е относительно плоскости падения под углом ф можно разложить на ортогональные волны ^(ф) = £Сов(а) и Ер(ф) = ЕБ1п(а).
Согласно граничным уравнениям системы Максвелла в форме коэффициентов Френеля Яр и Я для плоских волн на идеальных поверхностях раздела сред, эти компоненты поля по-разному преобразуются в отраженной и преломленной волнах, а их наложение оказывается распределенным по эллипсу поляризации с амплитудными (Р) и фазовыми (Д) параметрами, которые входят в основное уравнение эллипсометрии Друде (ОУЭ) [1] вида:
R= tg )exp{iA} =
Rp R
Ep отр Ep пад _ E p тр
Ep пад
Es ~ отр Es пад Es тр
Es пад
exp{i[Ap -A* + A* -A*
г IL отр пад пад о
(1)
Это ОУЭ (1) для идеальных границ сред с комплексным относительным показателем преломления т(п,к), который для воздуха равен т=п+1к, принимает вид: [тСо$(р) - Cos((T)][Cos((^) + тСо$(рт)]
R = ■
[mCos(<) + Cos(<pT)][Cos(ф) - mCos(<pT)]
=| R | exp{iA}.
(2)
По закону Снеллиуса в ковариантной комплексной форме Sin(<T) =
Sin(<)
m
Следовательно, Сos(рт) = т2 - Н'т (р), и уравнение (2) может принять вид:
т
1 - 7
Я =—, (3)
1 + Z
где комплексная функция Z = Ctg(ф)>/У = Ctg(ф)^/| Y | exp{i arg(Y)} = Z1,
-Zi=Z2.
ß=|a|/2
1-Z,=1+Z2
a<0
Z1= -Z2
1+Z,
Рис.1. Вектора на комплексной плоскости Т.
На рис.1 представлены комплексные вектора, входящие в выражения (2) и (3), по которым строятся искомые решения прямой задачи эллипсометрии (1): Y = m 2Co sec2(^) -1 = [(n2 + к 2)Co sec2 -1] - i[2nkCo sec2(^)] = a + ib
|Z, |=| Z2 |= Ctgф)^,
arg(Z1) = 2arg(YX
arg(Z2 ) = n + arg(Z1)
| Y = [(n2 + к2)Cosec2(<?)-1]2 + 4n2к2Cosec2(^),
a = arctg(t), если a, b > 0 arg(Y) = < n + arctg(t), если a < 0
2n + arctg(t), если a > 0, b < 0
b a
- 2nk
при — = t = — 2 2 2
n2 + к2 - Sin 2(ф)
Для функции (3) на комплексной плоскости 2 (см. рис.1) также справедлива теорема двойственности:
R = R,2 =
|*2|=T^, ^|RJ=J1 ZJ
R
|1 + Z
(4)
arg(R2) = - arg(R1) = arg(Z1 + 1) - arg(1 - Z1)
Физический смысл этих двойственных представлений (4) отвечает условию ^<1, в соответствии с явлением Брюстера (гашением планарных компонент поля в световой волне).
По теореме косинусов для соответствующих треугольников (рис.1) получим
^в) = уЁ+СЩ ^ ¡¡„(в) = ^ Ща) = - 1
2
arg(1 - Z1) = arcCtg
2
л/Т
+12
|ZJ
Sin(ß)
- Ctg (ß)
a
arg(1 + Z1) = 2 + arcCtg
f
|ZJ Sin(ß)
+ Ctg (ß)
А(ф) = arg(1 - Z1) - arg(1 + Z1) = arcCtg
Co sec(a) Ctg 2(^)|Y|
- Ctg (a) I = arcCtg (В(ф)),
¥(ф) = arctg | R |= arctg
1+1 Y|Ctg'(„)- 2jT\ag (у)С°т = arctgjÄ^
1+1Y | Ctg 2ф) + ifTCtg (<p)Cos(ß) при А и В, имеющих аналитический вид:
ад =
Лф) =
Co sec(a)
- Ctg (a) I,
Ctg (ф) | Y | 1+1 Y | Ctg 2ф) - 2^T|Ctg (p)Cos(ß) 1+1 Y | Ctg2 (ф) + (q>)Cos(ß)
(5)
Таким образом, в форме триго-экспоненциального представления комплексных чисел, в отличие от алгебраической [2], получены формулы описания единственных решений ОУЭ (1).
Свойства решений Оуэ-Друде в модели Френеля
Рассмотрим основные свойства решений прямой задачи эллипсометрии для априорных значений оптических констант материалов (п, к) методом машинного эксперимента с ними в интервале углов 0<ф<п/2.
В прикладной эллипсометрии внешнего и внутреннего отражения наиболее важными являются вопросы о свойствах непрерывности этих решений в классе С2 от углов падения.
На рис. 2, 3 представлены теоретические параметры Р(ф) и Д(ф) эллипса деполяризации поля световой волны, отраженной от металлоподобных (п=3/2, к=1), диэлектрических (со средним поглощением п =3/2, к=0.00001), водных (п=4/3) и предельных зеркал каустики (п=1, к=0.001).
В табл. 1 представлены.машинные решения для стекла типа НС-11.
ф,гр. Р(Ф) Д(ф) п(ф) к(ф)
45 17,15732071726271 179,9992508572483 1,514000000364482 1,056385001720708Е-05
50 10,0431241905181 179,998055114987 1,514000000378354 1,398172616161333Е-05
55 2,423181428724282 179,9884032527683 1,514000000382072 1,837601060139721Е-05
60 5,378600975665154 7,152178886847112Е-03 1,514000000363202 2,415746664221474Е-05
65 13,03646594295895 3,863374360509647Е-03 1,514000000296046 3,205206448264269Е-05
70 20,3073607777009 3,122428157013702Е-03 1,514000000120983 4,34978388058164Е-05
75 27,07849627389975 2,851078124796647Е-03 1,513999999669244 6,184182405549603Е-05
80 33,36580972014567 2,740149845066923Е-03 1,513999998269366 9,713808882325512Е-05
85 39,28229002364552 2,696562211979318Е-03 1,513999990506046 1,997494160794956Е-04
Таблица 1. Решения ОУЭ для стекла типа НС-11.
В табл. 1 значения п отличаются от априорной константы 1.514, начиная с десятого знаке после запятой («мечта экспериментатора»!).
Видно, что экстинкция совпадает с априорным значением 0.00002 только при углах псевдо-Брюстера! Видно также, что вне зоны «удовлетворительных» значений параметров имеет место четкая тенденция их явной зависимости от углов падения.
Табл. 2 содержит решения прямой задачи ОУЭ (п=1.5) при углах псевдо-Брюстера.
к фпс.Бр
0,000003 56,3099
0,000009 56,3099
0,000027 56,3099
0,000081 56,3099
0,000243 56,3099
0,000729 56,3099
0,002187 56,31
0,006561 56,3106
0,019683 56,313
0,059049 56,3374
0,177147 56,5554
0,531441 58,3625 Таблица 2. Решения прямой
Р(фпс.Бр.)
0,0000971
0,0002534
0,0007466
0,0022351
0,0067038
0,0201109
0,0603323
0,1809935
0,5428878
1,6261674
4,8131155
13,039952
Д(ф)
121,55
101,567
93,9038
91,3056
90,443
90,171
89,9785
90,0546
90,2034
90,614
91,7688
93,8178
задачи по ОУЭ для стекла (п=1.5)
Из рис. 2 видно свойство несовпадения в общем случае минимума фазовой функции с точками перегиба амплитудной функции, за исключением средних значений показателей экстинкции.
Рис.2. Вариации функции f(k)=A(9№)-n/2 от логарифма показателя поглощения (Ink)
На рис.3 представлены результаты машинного моделирования решений ОУЭ для сильно поглощающих веществ (n=1.514, k=1).
Поляризационные углы металлоподобного материала (n=1.514, k=1)
Рис. 3а. Апостериорное воспроизведение априорных металлооптических констант
n(Fi), k(Fi)
Fi, deg.
Рис. 3б. Результаты численного моделирования в системе n=1.514 и k=1
Отметим, что графики рис.3 демонстрируют теоретическую угловую зависимость оптических констант материалов от углов падения, что противоречит физическим предпосылкам ОУЭ (1).
Общий вывод, который можно сделать из нашего тщательно поставленного, численно выверенного и достаточно полно проведенного машинного эксперимента, состоит в том, что свойства обратного конформного преобразования решений ОУЭ Друде-Френеля не только не равносильны, но даже не эквивалентны прямому преобразованию его комплексных решений от нескольких переменных, в частности, априорных оптических констант:
та'рпогу > > та'ро§1епогу. ф та'рпогу .
Свойство несовпадения углов псевдо-Брюстера для амплитудных и фазовых функций, продемонстрированное на рис.2, для стекломатериала, в общем случае, для различных материалов (для 1<п<10), проиллюстрировано на рис. 4. Из этих данных видно, что совпадение наблюдается для экстинкций из небольшого интервала от нескольких тысячных до сотых долей значений ее величины.
Номограмма отклонений Delta-90, в град. —Ряд1
100
-Ряд 2
50 -Ряд3
Ряд 4
0 1 • Ж Ж Ж Ж" Ж ж * ж ж -ж-Ряд 5
0,00 0001 /0,0001 0,01 1 100 Ряд 6
-50 / к, в лог .масшт. -Ряд 7
-Ряд 8
-100 Ряд 9
Рис. 4. Семейство вариаций Д(фмин)-90° по показателю п от аргумента k
На рис.5 представлены свойства решений прямой задачи эллипсометрии для стекла в зависимости от всевозможных значений экстинкции.
Значения фазовой функции
Дельта в экстремуме Пси(Фи) 160 "
140 Показатель
120
преломления
100 ^ п =1.5
-Л-й-6-6-д-6-О-л—°—д
80
60^
Угол псевдо Брюстера (в град.) 40 Экстремум
20 ^ Пси(Фи)
...........-—^0--
0,000001 0,0001 0,01 1 Экстинкция100
в лог.масшт.
Рис.5. Теоретические свойства решений прямой задачи эллипсометрии для стекла.
Данные рис. 5 получены для углов псевдо-Брюстера по амплитудной функции. Видно, что закон Брюстера нечувствителен к экстинкции диэлектриков и полупроводников, так как определяется в основном вещественной составляющей показателя преломления за исключением металлооптических материалов. Подобным свойством обла-
дает и минимум амплитудной функции, который растет над одним и тем же углом псевдо-Брюстера в интервале сотых и десятых долей значения экстинкции, а при больших значениях начинает сдвигаться в сторону больших углов положения минимума амплитудной функции.
Выводы
Из представленных данных следует ряд самых общих (не гипотетических) и важных для прикладных исследований свойств решений прямой задачи ОУЭ в модели идеальных границ Френеля:
• угол псевдо-Брюстера индифферентен к низкому уровню экстинкции с точностью до 15 знака после запятой вплоть до k ~ 0.002;
• уровень экстремума амплитудной функции соизмерим со значением экстинкции в радианной мере для диэлектрических и полупроводниковых материалов;
• с ростом экстинкции минимум амплитудной функции также растет со сдвигом в область больших углов псевдо-Брюстера по сравнению с 90=arctg(w), начиная со значительных значений к ~ 0.2;
• фазовая функция в точках экстремума амплитудной ведет себя неустойчиво при сверхмалых экстинкциях (шаг прогонки дискретных решений по углам падения составлял 0.0001°) и, наоборот, проявляет тенденцию стабилизации вблизи значения 90° и слабую зависимость от величины экстинкции;
• совокупное поведение свойств 5Д(к) = Д(фш;п) - п/2 в семействе по показателю преломления допускают табулирование и представление в виде номограмм для анализа экспериментального поведения данных ^(ф)-Д(ф) в зоне углов псевдо-Брюстера;
Литература
1. Drude P. Über die gesetze der reflaxion und ozechund des lichthe an der grenze absorbierender krystalle.//Ann.Physik, B32, s.584-600, 1887.
2. Горшков М.М. Эллипсометрия. М.: Радио, 1974. 200 с.
3. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И., Семененко Л.В., Соколов В.К Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1978. 424 с.
