Амплитудные инварианты френеля-врюстера. I. свойства решений ОУЭ Друде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2008. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 535.5

И. Е, Скалецкая, Т. К. Крутицкая, В. Е, Холмогоров, А. В. Бармасов

АМПЛИТУДНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ФРЕНЕЛЯ БРЮСТЕРА.

I. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОУЭ ДРУДЕ

Эллппсометрпя относится к наиболее прецизионным экспериментальным методам поляризационно-оптического материаловедения. На опыте с высокой точностью (не хуже ±30 угловых секунд) измеряются амплитудно-фазовые Ф(<^>) — Д(<^>) характеристики поля световой волны, отраженной от объекта исследования, по которым судят о его оптических параметрах.

Поле линейно поляризованного когерентного излучения (с Е и Н компонентами) на фронте волны с азимутом ориентации a-компонента Е относительно плоскости падения с углом падения tf раскладывается на ортогональные волны Ep(ip) = Есos а и Es(ip) = Е sin а.

Согласно граничным уравнениям системы Максвелла в форме коэффициентов Френеля Rp и Rs для плоских волн на идеальных поверхностях раздела сред, эти компоненты поля по разному преобразуются в отраженной и преломленной волнах, а их наложение оказывается распределенным по эллипсу поляризации с амплитудными (Ф) и фазовыми (Д) параметрами, которые входят в основное уравнение эллипсометрии (ОУЭ) Друде [1]:

~ т г . Rp

Д = tg Ф exp {гД} = —

Кп

Е

sfTI

es,

-Bf.,

ESTI

ES,

exp

{•[

Д1

Ap + As

апад ' ana.

Д

,]} ■ (1)

ОУЭ (1) для идеальных границ сред с ния т{п, к) = п + гк на воздухе принимает вид [2]:

комплексным показателем преломле-

_ [mcosw — cosФт\\со&ш + mcos<pT1 , г.л1 R = 7і-------------- ,,-------------- , = IR\ ехр{гД}.

cos^>-

[m cos {p + cos <^T][cos tp — m cos <^T]

По закону Снеллпуса в ковариантной комплексной форме sin<^>T — sin2y> и уравнение (2) можно записать в виде

(2)

в111^. Следовательно,

R:

1

(3)

1+Z'

где комплексная функция Z = ctg^V^ = ctgip^J\Y\ ехр{г arg 1'} = Z\;2 - двойственная.

На рис. 1 представлены комплексные вектора, входящие в выражения (2) и (3), по которым строятся искомые решения прямой задачи эллипсометрии (1):

Y = m2cosec2ip — 1 = [(n2 + fc 2) cosec 2 уз — 1] — i[2nkcosec2ipj = a + ib \Zi \ = \Z-2\ = ctg<^-\/|l'|, arg Z\ = \ arg Y, arg Z-2 = ж + arg Z\

|1'| = -\/[(n2 + k2)cosec2ip — l]2 + 4n2fc2cosec2y>,

{a = arctgi, a, b > 0

7г + arctgi, a< 0 , при £ = t = пЯ+^2"8*іпЯ v ■

2-K + arctgt, а > 0, b < 0

© И. E. Скалецкая, Т. K. Крутицкая, В. E. Холмогоров, A. В. Бармасов, 2008

Рис. 1. Векторы па комплексной плоскости Z

R = л 1,2

(4)

Для функции (3) на комплексной плоскости Z (рис. 1) также справедлива теорема двойственности:

'т = ш » \^\ = шШ

arg R-2 = — arg Ri = arg(Zi + 1) = arg(l — Z\).

Физический смысл этих двойственных представлений (4) отвечает условию |/?i| iC 1. в соответствии с явлением Брюстера гашением плапарпых компонент поля волпы.

По теореме косинусов для соответствующих треугольников па рис. 1 получим:

|l - Zi | = у 1 + |Г| ctg2 tp - :

|l + Zi \ = \Ji + |l'| ctg2 tp +:

/1 + cos а ,

cos ß = у-------------------О Sill ß =

\Zi\

I Ctg tp cos ß,

| ctg tp cos ß,

1 — cos а

arg(l — Z\) = arcct.g

sin ß

2

ctg ß ) ,

О cos а ■

vTTF

arg(l + Zi) = -7 + arcct.g ( + ctg/9 ) ,

2 \sin/i )

Д(tp) = arg(l — Z\) — arg(l + Zi) = arcct.g ( ™>°C|y| — ctK° ) = arcct.g (В (tp)).

/1 + ll'l ct.g2 tp — 2\/|l'| ct.g tp cos 3 / ,, 4

Ф(Ы = arct.g Д = arct.g \ -------------------- . ------------= arct.g \/A(tp).

Xl l + \Y\ctg2<p + 2^\Y\ctg<pcosß

(5)

при А и В. имеющих аналитический вид:

. ( COSCCCJ \

В Up) = ----—r-т? — ct.g а .

Vrtg-V|Y| Ь )

= 1 + |1'| ct.g2 tp - 2 N/jT[ct.g tp cos ß ^ 1 + |1'| ct.g2 tp + 2 ^/[F[ct.g tp cos ß

Таким образом, в наиболее общей форме экспоненциального представления комплексных чисел, в отличие от алгебраической [3], получены формулы единственных решений ОУЭ.

Рассмотрим основные свойства решений прямой задачи эллипсометрии для априорных значений оптических копстапт материалов (п. к) методом машинного эксперимента с ними в широком интервале углов 0 < ф < ж/2.

В прикладной эллипсометрии внешнего и внутреннего отражения наиболее важными являются вопросы о свойствах непрерывности этих решений в классе С2 от углов падения. На рисунках ниже представлены теоретические параметры Ф (ф) и Д (ф) эллипса деполяризации поля световой волпы. отраженной от металлоподобпых (п = 3/2. к = 1), диэлектрических

(со средним поглощением п = 3/2, к = 0,00001), водных (п = 4/3) и предельных зеркал каустики (п = 1, к = 0,001).

В табл. 1 представлены точные машинные решения для нейтрального стекла марки НС-11.

Таблица 1

Решения ОУЭ для стекла типа НС-11

ф, град. Щф) Д (ф) п(ф) ЧФ)

45 17,15732071726271 179,9992508572483 1,514000000364482 1,056385001720708-10^5

50 10,0431241905181 179,998055114987 1,514000000378354 1,398172616161333-10^5

55 2,423181428724282 179,9884032527683 1,514000000382072 1,837601060139721-10^5

60 5,378600975665154 7,152178886847112-10^3 1,514000000363202 2,415746664221474-10^5

65 13,03646594295895 3,863374360509647• 10^3 1,514000000296046 3,205206448264269-10^5

70 20,3073607777009 3,122428157013702-10^3 1,514000000120983 4,34978388058164-10^5

75 27,07849627389975 2,851078124796647-10^3 1,513999999669244 6,184182405549603-10^5

80 33,36580972014567 2,740149845066923-10^3 1,513999998269366 9,713808882325512-10^5

85 39,28229002364552 2,696562211979318-10^3 1,513999990506046 1,997494160794956-10^4

Здесь значения п отличаются от априорной константы 1,514, начиная с десятого знака после запятой. Экстинкция совпадает с априорным значением к = 0, 00002 только при углах псевдо-Врюстера. Легко заметить, что вне зоны «удовлетворительных» значений параметров есть четкая тенденция слабой зависимости оптических констант от углов падения.

Таблица 2 содержит решения прямой задачи (1) при углах псевдо-Врюстера (т. е. п = 1, 5).

Таблица 2

Решения прямой задачи ОУЭ для стекла (п = 1, 5)

к фпс.В Ф(^пс.в) Д (ф)

0,000003 56,3099 0,0000971 121,55

0,000009 56,3099 0,0002534 101,567

0,000027 56,3099 0,0007466 93,9038

0,000081 56,3099 0,0022351 91,3056

0,000243 56,3099 0,0067038 90,443

0,000729 56,3099 0,0201109 90,171

0,002187 56,31 0,0603323 89,9785

0,006561 56,3106 0,1809935 90,0546

0,019683 56,313 0,5428878 90,2034

0,059049 56,3374 1,6261674 90,614

0,177147 56,5554 4,8131155 91,7688

0,531441 58,3625 13,039952 93,8178

На рис. 2 представлены характерные графические функции из данных таблицы 2. Из графика следует далеко не очевидное свойство несовпадения в общем случае положения минимума амплитудной функции (углы псевдо-Врюстера) с точками перегиба фазовой функции Д (<£>), которые при отражении на воздухе происходят на высоте 90°, за системным исключением среднего диапазона значений экстинкции. Вопрос о зонах (п, к) подобного совпадения, в частности, и для стекол является весьма актуальным для эллипсометристов. Из данных рис. 2 следует, что эта область - область средних значений показателя светоослабления (к -от десятитысячных до десятых долей единицы).

Рис. 3 и 4 представляют результаты машинного моделирования более интересных решений ОУЭ Ф(у?) и Д(у>) для сильно поглощающих веществ (п = 1, 514, к = 1).

Рис. 2. Вариации функции /(&) = Д(<рв) — тг/2 от логарифма показателя поглощения 1п&

Рис, 3. Точные аналитические решения прямой задачи для ОУЭ (1) по формулам (5)

Решения прямой задачи эллипсометрни для амплитудной функции Ф представлены па рис. 3. При столь экзотически большом значении к (показатель светоослаблепия для стекла па четверть больше показателя поглощения германия) видно, что амплитудная функция Ф(<^), во-первых, эффективно сдвигается по положению минимума па 10° по сравнению со значением угла Брюстера для прозрачного стекла (рв = агЛ§ 1, 514 = 6, 55° и, во-вторых, значительно увеличивает свое минимальное значение (до половины своего максимума в 45°). Для металлов, как известно, подобные изменения являются более значительными и по сдвигу и по подъему.

На рис. 4 представлены точные аналитические решения обратной задачи ОУЭ (1) по данным предыдущих решений прямой эллипсометрической задачи. Естественно, ожидается полное апостериорное воспроизведение априорных данных. Из представленных здесь данных выявляется. строго говоря, теоретическое свойство угловой зависимости оптических копстапт материалов от углов падения, которое противоречит заложенным в эту задачу физическим предпосылкам материальности п и к, как оптических копстапт.

Общий вывод, который можно сделать из этого строго поставленного численного машинного эксперимента, состоит в том, что свойства обратного конформного преобразования решений

Рис. 4■ Расчет оптических копстапт (п = 1.514 и к = 1) по вычисленным по ним Ф(<,з) и Д(<^)

Рис. 5. Семейство вариаций Д(<,зМИ11) — 90° по показателю п от аргумента к

ОУЭ Друде Френеля по только по равносильны, по даже по эквивалентны прямому преобразованию комплексного показателя преломления от двух переменных:

т ,х priori ~¥ Ф — Д -¥ т a posl.orori / Ш а priori-

Свойство посовпадопня углов псовдо-Брюстора для амплитудных и фазовых функций, представленное па рис. 2 для стекломатериала, в общем случае реальных значений 1 < п < 10 демонстрируется зонами рис. 5. Из этих данных видно, что совпадение наблюдается для экс-типкций из небольшого интервала от нескольких тысячных до нескольких сотых долой единицы.

На рис. 6 представлены свойства решений прямой задачи эллиисометрии для стекла в зависимости от всевозможных значений экстипкции. Здесь данные получены для углов псовдо-Брюстора по амплитудной функции. Видно, что закон Брюстера по чувствителен к экстипкции диэлектриков и полупроводников. так как определяется, в основном, вещественной составляющей показателя преломления, за исключением металлооптических материалов. Подобным свойством обладает и минимум амплитудной функции, который растет над одним и том же углом псовдо-Брюстора в интервале сотых и десятых долой значения экстипкции. а при больших

ИЗ

0.000001 0.0001 001

Рис. 5. Теоретические свойства решений прямой задачи эллипсометрии для стекла

зпаче1шях начинает сдвигаться в сторону больших углов положения минимума амплитудной функции.

Из представленных данных следует ряд самых общих и важных для прикладных исследований свойств решений прямой задачи ОУЭ в модели идеальных границ Френеля:

• угол псевдо-Брюстера индифферентен к низкому уровню значений показателя свето-ослаблепия с точностью до 15 знака после запятой, вплоть до к ~ 0,002:

• уровень экстремума амплитудной функции соизмерим со значением показателя свето-ослаблепия в радиашгой мере для диэлектрических и полупроводниковых материалов:

• с ростом значений показателя светоослаблепия минимум амплитудной функции также растет со сдвигом в область больших углов псевдо-Брюстера по сравнению с pit = arctgn, начиная со значительных значений к ~ 0, 2:

• фазовая функция в точках экстремума амплитудной функции ведет себя неустойчиво при сверх малых значениях показателя светоослаблепия (шаг прогонки дискретных решений по углам падения составлял 0,0001°) и, наоборот, проявляет тенденцию стабилизации вблизи значения 90° и слабую зависимость от величины поглощения:

• совокупное поведение свойств SA(k) = A(pmin) — тг/2 в семействе по показателю преломления допускают табулирование и представление в виде номограмм для анализа экспериментального поведения даппых Ф(<,з) — А(р) в зоне углов псевдо-Брюстера.

Summary

Skaletskaya I. Е., Krutitskaya Т. К., Khulmuguruv V. Е., Barmasov А. V. Fresnel-Brewster

amplitude invariants. I. Properties of solutions of Drude fundamental equation of ellipsometry.

With the help of computer experiment, the analytical properties of solutions Drude’s fundamental equation of ellipsometry for amplitude-pliase Ф — Д characteristics of the field of light wave at different angles of incidence p for various mirrors (n, k) in the model of Fresnel ideal boundaries of the interface of media are investigated. The fact of non-co-ordination of solutions of direct and inverse Drude problems for the same model of Fresnel ideal boundary of optical system in the air is established.

Литература

1. Drude P. Uber die Geset.ze der Reflaction und Ozecliund des Licht.he an der Grenze absorbierender Krystalle // Ann. Pliysik. (B). 1987. V. 32. S. 584 600.

2. Горшков М. М. Эллипсометрия. М., 1974. 200 с.

3. Ржаное А. В., Сииташеи К. К., Ссмсисико А. И. и др. Основы эллипсометрии. Новосибирск, 1978. 424 с.

Принято к публикации 18 декабря '2007 г.