Марковские процессы с изменяющимся числом состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальный алгоритм относится к итерационным методам и состоит в том, что на k-м шаге изменяется только одна из независимых переменных:

x(k+D = x(k> + д x(k>,

X(k+1) = xf, j * r, j * q

Значение Д x(k) выбирается из анализа условий

Куна-Такера. Нарушение этих условий в точке x(k) может произойти по двум причинам:

1) если (5y/5xr)(k) >0, то

Д x(k) = max{-xr ;-(8y/5xr)(k) /(S2y/5x?)(k)};

2) если (5y/5xr)(k) <0, то

Д x(k) = min{xq; -(5y/5xr)(k) /(52y/5x2)(k)} .

Вычисляем новые значения независимой и зависимой переменных:

x(k+1) = x(k) + Д x(k),

xqk+i)=x qk)-д x(k).

Если значение x(k) выбиралось из соображений обращения независимой переменной xr или условной производной по ней в нуль, система зависимых и независимых переменных остаётся прежней, в противном случае независимая переменная xr и зависимая xq меняются ролями. После этого переходим к (k+1) итерации. Алгоритм завершается, если условия Куна-Такера выполнены либо после некоторого наперёд заданного числа итераций (в [2] приведены примеры, когда применение данного алгоритма приводит к последовательности точек x(k), приближаю... * щейся к оптимальному решению x , но не достигающей его). Как правило, условия Куна-Такера оказываются выполненными через конечное число шагов. Достоинством метода является и то, что все

точки последовательности x(k) принадлежат области допустимых решений.

2. Наблюдения фрагментов в различные моменты времени

Пусть имеются наблюдения фрагментов в различные моменты времени:

PIl(tl),Pl2(t 2),...,P* Im(tm).

Для нахождения синтезируемой матрицы в момент времени t, близкий к рассматриваемым, можно воспользоваться решением задачи минимизации (как для устранения ошибок измерения). Сформулируем эту задачу так, чтобы вес каждого фрагмента был тем

больше, чем ближе момент его измерения tk к моменту прогнозирования t. Для этого в задачу I ё( ё! ёдабёё ааааа! еїуооебеаі oa(t-ti):

y(x Р) = Е Е (xj-a(t-t i)eipI‘) ^ mirn

ieRk jeli 7 xP

где Е a (t -1 i) = 1, a(s) — четная неотрицательная

ieBk

функция, достигающая максимума при s = 0 и монотонно убывающая на интервале (0, да).

Это позволяет учесть те ситуации, когда t совпадает с одним из моментов t1, t2, ... tm. Более того, можно говорить об оценке синтезируемой матрицы на отрезке времени [tmn, W], где tmin = min |tb ... tm}, tmax = max {t1, ... tm}. Такой подход допускает наличие ошибок измерений и не требует на этот случай никакой модификации.

Литература: 1. БасмановА.Е., Дикарев В.А. Синтез стохастической матрицы по системе её фрагментов. 1997. 8с. Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.97, № 76-УІ 97. 2.Евдокимов А.Г. Минимизация функций и её приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. X.: Вища шк., 1985. 288 с. 3. СухаревА.Б., ТимоховА.В., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 382 с.

Поступила в редколлегию 25.03.98 Басманов Алексей Евгеньевич, аспирант кафедры ПМ ХТУРЭ. Научные интересы: вычислительная математика. Адрес: 310166, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 40-93-36, (0572) 97-23-77.

УДК 519.21

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

РОДЗИНСКИЙ А.А.

Изучены условия, которым должна удовлетворять матрица согласования при “стыковке” марковских процессов с различным числом состояний. Сформулированы и решены задачи о фокусировке таких процессов. Полученные результаты могут быть использованы в радиоэлектронике, экономике, экологии и медицине.

1. Неоднородный марковский процесс

При рассмотрении многих прикладных задач часто приходится иметь дело с такими системами, эволюция которых может быть описана с помощью

соответствующим образом подобранного марковского процесса с изменяющимся числом состояний. В работе изучаются такие процессы. Для понимания сущности этого вопроса обсудим сначала теорему из [1], которая будет использоваться в данной работе. Рассмотрим неоднородный марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний. Предположим, что инфинитезимальная матрица Л^) процесса непрерывна в некоторой левой полуокрестности W точки to .

Теорема. Пусть Лф) удовлетворяет условиям: а) существует такой её столбец j о, что все элементы удовлетворяют условию

с

Jx ij0 (s)ds

s0

да, S0

(1)

и порядки роста всех элементов jo -го столбца одинаковы. Последнее означает, что для всех i,j= =1,

РИ, 1998, № 1

73

2,... существуют пределы aij = lim ^ij0(s)^kL(s) и

s ^ to J0

такие числа 0<a<¥, что a< aik <b;

б) собственный вектор p (s)=(pi(s),P2(s),...)

матрицы л (s) (транспонированной к A(s)), отвечающий её нулевому собственному значению, имеет

при s^ t0 -0 предел такой, что р* >0, i=1,2,... .

Тогда для любого начального распределения вероятностей {Pj (So)}, заданного в произвольной точке So eW,

lim Pi(s0,s) = p*, i = 1,2,...

s^ t0 - 0

(2)

В этой ситуации to называют точкой фокусировки [1] . Если интегралы из (1) сходятся, но достаточно велики, то независимо от начального распределения вероятностей

lim Pj(s0,s) є (P* - a*,p* + a*X

s ^t0 - 0

lim Pj(s0,s) є (p* - a*,p* + a*). (3)

s^t0 - 0

Пусть a>0 — нижняя грань a* по всем начальным распределениям. Чем больше интегралы из (1), тем

меньше a. В случае (3) to называют точкой s-фокусировки [1].

2. Процессы с изменяющимся числом состояний

При рассмотрении таких процессов прежде всего возникает задача об их согласовании (стыковке). Она состоит в следующем. Пусть на временных промежутках [ So, s- -d], [ s- + 8, S2 ], S>0 заданы инфинитезимальные матрицы Л ^s), Л 2 (s), определяющие на них процессы Пь П 2 c числом состояний n- и П2 соответственно. Пусть, для определенности, П2 - П1 =1. Предположим, что каждому состоянию процесса П поставлено в соответствие определённое состояние процесса П 2 . Тогда процесс П 2 содержит “лишнее” состояние Eo — ему не соответствует ни

одно состояние процесса П. При рассмотрении конкретных процессов (физических, экономических, биологических и др.), которые можно описать с помощью марковских процессов с переменным числом состояний, указанное соответствие обычно естественно определяется эволюцией процесса. Спрашивается, как следует определить инфинитезимальную матрицу Л12 (матрицу согласования), непрерывную на [s- - 8,s2 +8], удовлетворяющую условиям

Лі(s- -8) = Л12(s- -8), Л2(s- +8) = Л12(s- +8) (4) так, чтобы возникающий при этом на [s0,s2] процесс являлся в каком-то смысле оптимальным (естественным) продолжением процесса [ П1 ] на временной промежуток [ s- +8, s2 ]? При рассмотрении физических процессов матрица Л12 обычно является

решением некоторой вариационной задачи. При рассмотрении экономических процессов эту матрицу часто ищут, исходя из ограничений, позволяющих минимизировать суммарные затраты на капиталовложения, максимизировать прибыль или обеспечить преимущественное развитие выделенных групп пред -приятий и пр.

Рассмотрим несколько случаев построения согласующей матрицы Л12 . Наряду с матрицей Л1 (s)

будем рассматривать на [s0,s1-d] матрицу Л^)

порядка (n1 + 1) х (п1 + 1), которая получается из

Л1 (s) добавлением к ней нижней строки и правого столбца, все элементы которых равны нулю.

1. Пусть распределение вероятностей {Pj(s0,t)} процесса П1, определяемое начальным распределением вероятностей {p j (s 0)} (заданным при t= so) является по каким-то причинам предпочтительным по сравнению с остальными. Значит, в этом случае

матрицу Л12 следует строить так, чтобы с её помощью “преимущественно” пропускалось распределение {Pj(s0,t)}. Аналогично ставится задача отыскания Л12 (s), если речь идёт о преимущественном

пропускании распределений {Pj(s0)}, отвечающих некоторому множеству начальных распределений вероятностей {Pj (s0)}.

При рассмотрении физических задач эволюция матрицы Л12 (s) обычно определяется процессом поглощения (или выделения) энергии. Мерой таких энергозатрат является некоторый функционал (часто квадратичный), зависящий от Л12 . Если, например, этот функционал имеет вид (Л12 f, f) (сим-вол(...) означает скалярное произведение), отыскание Л12 сводится к решению следующей вариационной задачи. Требуется найти матрицу Л12 порядка

(п1 + 1) х (П1 + 1), удовлетворяющую условиям (4) и условию

t1 +8

J (Л12 (s)p(s0 ,s),p(s0, s))ds = min.

t1 -8

Здесь минимум находится по всем инфинитезимальным матрицам (n- +1)х( n- +1).

2. Пусть решение вопроса о том, какое из начальных распределений {Pj (so)} или {pj (so)} предпочтительнее, зависит от направления векторов с компонентами Pj (so) и pj (so). Чтобы решить, какое

направление предпочтительнее, на поверхности S п-мерного координатного пространства (п — число состояний), определяемой уравнением

£ xj = 1, xj > 0, следует задать функцию j

74

РИ, 1998, № 1

ф(хьх2,...), |ф(хьх2,...)dx1;dx2... = 1. Если, ска-Z

жeм, ф(Рі(§о),Р2(Sq),...) < ф(Рі^о),Р2(Sq),...),то на-

правление p(s0) предпочтительнее, чем p(s0). В этом случае отыскание матрицы согласования сводится к решению вариационной задачи

s1 +S

J J Ф[Лі2 (s^(xi,x 2,...), Pi (So, s), Р2 (Sq , s)dsdxi x

Z si-s

x dx2...] = min.

3. Матрица Л 2 может (помимо времени) зависеть от случайного параметра. Этим параметром может быть, например, начальное распределение вероятностей {Pj(si + S)}. В этом случае построение матрицы

Л12 является по сравнению с пунктом 2, вообще говоря, более трудной задачей.

4. Матрица Л 2 может быть не задана. Её требуется построить так, чтобы матрица Л12 удовлетворяла на [si - S, S2 + S] некоторым минимаксным условиям и условию Л^! - S) = Л^ (si - d). В точке

Si + d на матрицу Л12 какие-либо условия не накладываюся. Это аналог задачи со свободным правым концом [3].

Перечисленные задачи не исчерпывают, разумеется, всех возможных случаев построения матрицы Л12. Из них, однако, видно, что её отыскание является отдельной, достаточно трудоёмкой задачей. Далее будем считать, что процесс с изменяющимся числом состояний задан полностью, т.е. что на всех временных промежутках, соединяющих фрагменты процесса с разным числом состояний, матрицы согласования, отвечающие этим промежуткам, известны.

3. Фокусировка процессов с изменяющимся числом состояний

i. Рассмотрим при t > 0 процесс n(t) с изменяющимся числом состояний такой, что на каждом из непересекающихся отрезков

[sk,tk], k = 0,i,... s0 = 0, tk ^ да, (k ^ да) число состояний процесса постоянно. Считаем, что процесс Пk, совпадающий с n(t) на [Sk,tk] (k=0,i,...), является частью однородного процесса, имеющего

стационарное распределение

{п k,j} . Пусть Л k,k+i(t) -

матрицы согласования процессов Пk, Пk+i, k = 0,i, Из упомянутой теоремы сле-

дует, что матрицы Л kk+1 можно возмутить так,

чтобы каждая из возмущенных матриц Л k ,k+i(t) фокусировала процесс n(t) ( при изменении t на

[tk, Sk+i]) на распределение {пk+i,j}.

Рассмотрим процесс П (t), получающийся из n(t) заменой в нем согласующих матриц

Л k, k+i(t), k 0,i,... на матрицы Лkk+i(t). Про-

цесс П (t) обладает следующим свойством: каким бы ни было начальное распределение процесса вероятностей {pj(s0)}, распределение вероятностей pj(s0,t)

процесса Пд) на промежутках [Sk+i, tk] (k=i,2,...) будет совпадать с соответствующим этому промежут-

ку стационарным распределением {пk+i,j}. Полученный в результате таких возмущений процесс обозначим через Па (t). Вероятности состояний

{pij(s0,t)} этого процесса при t є^, tk] удовлетворяют условиям

|Pj(So,t) -пk,j| <а, j = i,2,...

независимо от начального распределения {pj(S0)}.

2. Изменим постановку рассмотренной выше задачи. Пусть теперь последовательность отрезков

[Sk, tk] ( k=i,2,...) сгущается ( при k ^да) к точке

t < да . Остальные предположения предыдущего пун-

кта об исследуемом на^0, t*] процессе ПД), а также

введенные там обозначения остаются прежними. В этом случае основные выводы пунктов i, 3 о фокусировках и а -фокусировках на стационарные рас-

пределения {пk+i,j} остаются в силе. Это следует из результатов, изложенных в пункте i.

Литература: i. Дикарев В. А. Точки фокусировки и теоремы о существовании предельных вероятностей. i995. ii с. Деп. в ГНТБ Украины 28.02.95, № 526-Ук 95.

2. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, i989. 320 с. 3. Гельфанд Н. М, Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, i96i. 220 с.

Поступила в редколлегию 23.03.98

Родзинский Анатолий Александрович, аспирант каф. прикладной математики ХТУРЭ. Научные интересы: случайный анализ и его приложения. Увлечения: компьютер, английский язык. Адрес: 3i0726, Украина, Харьков, пр. Ленина, i4, тел. 40-94-36.

РИ, i998, № i

75