Малый бизнес, пенсии и разностные уравнения Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Аудиторские ведомости. 2024. № 2. С. 280—286. Audit journal. 2024;(2):280—286.

МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ

Научная статья УДК 330.4: 519.86

https://doi.org/10.2441 2/1 727-8058-2024-2-280-286 NIION: 2017-0074-2/24-076

EDN: https://elibrary.ru/YXZNBF MOSURED: 77/27-021-2024-02-276

Малый бизнес, пенсии и разностные уравнения

Елена Сергеевна Бурова1, Канайым Сыргаковна Кыдыралиева2

1 2 Американский университет в Центральной Азии, Бишкек, Кыргызская Республика

1 burova_e@auca.kg

2 kydyralieva_k@auca.kg

Аннотация. Как для государств, так и для домохозяйств жизненно важно грамотно распоряжаться финансовыми ресурсами. От правильного решения задач финансирования и инвестирования зависит не только текущее, но и в большей степени будущее благополучие. Важным и очень удобным инструментом при решении финансовых задач могут быть линейные разностные уравнения. В данной работе они используются при расчете некоторой пенсионной схемы. Разностные уравнения столь удобны, что их можно применять во всех отраслях экономики и науки в целом. В частности, в работе они используются для обсуждения проблем малого и среднего бизнеса. Для повышения интереса к учебному материалу использована известная сказка П.П. Бажова.

Ключевые слова: финансовая грамотность, малый и средний бизнес, использование сказочного сюжета, линейные разностные уравнения, пенсионное обеспечение

Для цитирования: Бурова Е.С., Кыдыралиева К.С. Малый бизнес, пенсии и разностные уравнения // Аудиторские ведомости. 2024. № 2. С. 280-286. https://doi.org/10.24412/1727-8058-2024-2-280-286. ЕР1\1: https://elibrary.ru/YXZNBF.

METHODS AND TECHNOLOGIES

Original article

Small business, pensions and difference equations

Elena S. Burova1, Kanayim S. Kydyralieva2

1 2 American University of Central Asia, Bishkek, Kyrgyz Republic

1 burova_e@auca.kg

2 kydyralieva_k@auca.kg

Abstract. Both governments and households need to manage financial resources wisely. Not only current but also, to a greater extent, future well-being depends on the correct solution of financial and investment problems. Linear difference equations can be an important and very convenient tool for solving financial problems. In this work, they are used in the calculation of some pension programs. Difference equations are so convenient that they can be used in all branches of economics and science in general. In particular, they are used to discuss the problems of small and medium-sized businesses. To increase interest in the educational material, the famous fairy tale by P.P. Bazhov was used.

Keywords: financial literacy, small and medium-sized businesses, the use of fairy tales, linear difference equations, pensions

For citation: Burova E.S., Kydyralieva K.S. Small business, pensions and difference equations // Auditorskiye vedomosti = Audit journal. 2024;(2):280—286. (In Russ.). https://doi.org/10.24412/1727-8058-2024-2-280-286. EDN: https://elibrary.ru/YXZNBF.

© Бурова Е.С., Кыдыралиева К.С., 2024

Премьер-министр Михаил Мишустин, выступая на пленарной сессии Дня финансов на выставке «Россия» 16 января 2024 г., заявил, что российская экономика вышла на траекторию устойчивого роста. По его словам, одним из существенных условий для развития России в будущем является повыше -ние финансовой грамотности и формирования финансовой культуры россиян [1]. Следует от-

Задача 1

метить, что и в Кыргызской Республике обучение населения элементам финансовой грамотности является одной из очень важных задач.

Для успеха в процессе обучения необходимо создавать соответствующие учебные материалы. О том, как сделать эти материалы не только полезными, но и привлекательными, поговорим далее, использовав некую сказочную ситуацию.

Хозяйка Медной горы разрешила Даниле-мастеру взять пять кусков малахита для работы. Пришел он к горе и видит: она окружена тройным забором, причем каждый забор имеет одни ворота, к которым приставлен охранник. Подошел Данила-мастер к первому охраннику и говорит: «Хозяйка Медной горы разрешила мне добыть пять кусков малахита». На что тот отвечает: «Возьми сколько хочешь, но при выходе отдашь мне треть кусков малахита, которые будут при тебе, и еще один». Второй охранник сказал: «Возьми сколько хочешь, но при выходе отдашь мне треть кусков малахита, которые будут при тебе, и еще два». Третий потребовал треть и еще три куска малахита. Сколько кусков малахита должен добыть Данила-мастер, чтобы после того, как он выполнит требования охранников, у него осталось пять кусков малахита ?

Эту задачу несложно решить, начав с конца.

После третьего охранника у Данилы осталось пять кусков, значит, до этого охранника у него было:

(5 + 3) (3/2) = 12 (кусков). Соответственно, перед вторым охранником было:

(12 + 2) (3/2) = 21 (кусок), а перед первым: (21 + 1) (3/2) = 33 (куска малахита).

Задача 2

В следующий раз (смотри предыдущую задачу) Данила-мастер, получив такое же разрешение от Хозяйки Медной горы, пришел к горе и увидел, что там уже забор в девять рядов, у каждого ряда имеются одни ворота. При этом у них «повысился аппетит»: каждый потребовал половину от имеющихся кусков малахита. Кроме этого, первый охранник желает еще один кусок, второй — два куска, .., девятый — девять кусков. Сколько кусков малахита должен добыть Данила-мастер на этот раз?

Эту задачу также можно решить, начав с конца, но это будет утомительная и малопродуктивная работа. Тем более, можно предположить, что в дальнейшем могут быть и 50, и 100 охранников. Удовольствие от таких расчетов явно «ниже среднего».

Решим задачу, использовав разностное уравнение.

Пусть хп1 — это число кусков малахита у Данилы-мастера до охранника с номером п (при этом нумерация охранников идет с конца), хп — число кусков после расчета с охранником с номером п. Тогда эти величины связаны уравнением

Хп = 0,5Хп_! - п.

Для того чтобы решить это уравнение, разделим его на 0,5п, т.е. умножим на 2п:

2пх = 2п-1 х . - п2п

п п-1

и обозначив 2п хп = уп, получим:

Уп - Уп-1 =-п2п •

Так как

Уп -Уо = (Уп -Уп-1) + (-1 -Уп-2) + ••• + (У2 -У1) + (У -Уо) '

получаем:

Уп - Уо =-п 2п + (-(п - 1)2п-1) + ••• + (-2 • 22 ) + (-1 • 2).

Просуммируем правую часть этого равенства. Для этого обозначим его 8п и вычислим разность:

^п - 28п = - Бя.

Получаем:

-= £ - 25п = -п2п + (- (п -1)2п-1) + ... + (-2• 22) + (-1 • 2) + п2ш +

+ (п - 1)2п+... + 2 • 23+1 • 22 =

= п2п+1 - 2п - 2п-1 -... - 22 - 2. Теперь можно воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

-= п2п+1 - 22--1 = (п - 1)2п+1 + 2. п 2 -1

Итак,

Уп - У о = -(п - 1)2п+ - 2.

Вернемся к исходным обозначениям и получим:

2пхп =х0 - (п - 1)2п+ - 2 => х0 = 2пхп + (п - 1)2п+ + 2.

Таким образом,

х0 = 29х9 +(9 -1)29+1 + 2 = 29 • 5 + 8 • 210 + 2 = 10754. Итак, Данила-мастер должен добыть 10 754 кусочка малахита, чтобы получить 5 кусочков.

Увидев решение подобной задачи, один из наших слушателей заявил: «Какой дурак согласится добывать 10 754 кусочка, чтобы получить пять». Тем самым, он, сам того не подозревая, обратился к одной из важнейших тем: роли малого и среднего предпринимательства в экономике.

Для справки. Доля малого и среднего бизнеса в ВВП развитых стран составляет 50— 60%. В Великобритании — 51%, Германии — 53%, Финляндии — 60%, Нидерландах — 63%, в России — 22% [6].

По разным оценкам, в Кыргызстане этот показатель составляет 30—40%.

Президент Российской Федерации В. В. Путин поставил задачу увеличить этот показа-

тель до 40% к 2025 г., но вряд ли это задание будет выполнено. В чем причина?

Президенты Кыргызстана, России и многих других постсоветских стран регулярно заявляют, что чиновники должны прекратить «кошмарить» предпринимателей. Но, как говорят, «воз и ныне там».

Мы уверены в том, что проблемы подобного рода нужно решать путем выработки простых и, самое главное, легко осуществимых «правил игры» между государством и бизнесом. Используем Данилу-мастера для того, чтобы продемонстрировать вариант решения проблемы.

Условно говоря, Хозяйка Медной горы — это государство, Данила-мастер — предпри-

ниматель, охранники — чиновники из различных структур. Из решения предыдущей задачи следует, что в условиях, когда предприниматель должен один на один договариваться с каждой государственной структурой (налоговой, пожарной, санитарной и т.д.) ему нужно добыть 10 754 кусочка малахита, чтобы получить 5 кусочков, при этом государство не имеет ничего.

Задача 3

В процессе обсуждения такой задачи студентам был задан вопрос: «Что делать в такой ситуации предпринимателю?» Один из ответов был весьма прост: «Данила-мастер должен договориться с самым сильным и платить только ему». Очень хорошее предложение и осталось только сказать, что в нормальной ситуации самым сильным является государство, в нашей истории — Хозяйка Медной горы.

Конечно, перспектива добыть 10 754 кусочка малахита, чтобы получить 5 кусочков, Данилу-мастера не устроила, и он пришел к Хозяйке Медной горы в третий раз (см. две предыдущие задачи). Рассказав ей о том, что творится на горе, он предложил добыть 5000 кусочков. Из них 1000 он готов отдать Хозяйке Медной горы за то, что она установит единую плату — по 350 кусочков каждому охраннику и разрешит взять себе оставшиеся 850 кусочков. Будет ли поддержано его предложение ?

Если введены единые простые правила: 350 кусочков — каждому охраннику (здесь опять нумерация охранников предполагается с конца) и 1000 кусочков — Хозяйке Медной горы, то в этой ситуации будет недоволен первый охранник, так как получит 350 кусочков, вместо 10 754 : 2 + 1 = 5378 кусочков, которые он рассчитывал получить.

Будут недовольны:

• второй охранник, он получит 350 кусочков вместо 5376 : 2 + 2 = 2690;

• третий, он получит 350 кусочков вместо 2686 : 2 + 3 = 1346;

• и четвертый, он получит 350 кусочков вместо 1340 : 2 + 4 = 674.

Все остальные охранники, а также Хозяйка Медной горы и Данила-мастер, который получит 5000 - 1000 - 3509 = 850 кусочков малахита вместо пяти, будут в выигрыше. Отметим, что Хозяйка Медной горы, т.е. государство, получает 1000, тогда как в условиях задачи 2 она не получила бы ничего.

«Без инвестиций не может быть экономического роста, а без кредита не получится профинансировать необходимый для расширенного воспроизводства экономики объем инвестиций. В современной рыночной экономике именно банковский кредит выполняет функцию авансирования экономического роста. Соответственно, чем быстрее развивается экономика, тем выше ее кредитоемкость. Например, отношение кредита к ВВП в Китае составляет более 150%, в Японии — более 200%. В России же этот показатель — менее 50% ВВП», — это цитата из труда «Где деньги?» академика Российской академии наук Сергея Глазьева [2].

Таким образом, знаменитый экономист выражает сильную озабоченность показателем 50% в российской экономике. Но этот индекс (кредиты / ВВП) в Кыргызстане равен 21,9% [3]. То есть в Кыргызстане уровень кредитования экономики банковской системой ужасающе низок.

Несомненно, необходим значительный рост кредитования экономики. Опыт экономически развитых стран показывает, что заметную роль в деле аккумулирования денежных средств населения и, соответственно, расширения возможностей для кредитования могут сыграть пенсионные фонды. Для того чтобы продемонстрировать эффективность таких фондов, можно использовать линейные разностные уравнения, которые помогли в задаче про Данилу-мастера [4—7].

Задача 4

Как Вы отнесетесь к следующей пенсионной схеме: в течение 40 лет Вы ежемесячно будете вносить по 1000руб., а в каждый последующий за этими 40 годами месяц в течение 20 лет Вам будут выплачивать по 40 000 руб.?

Решение

На первый взгляд предложение очень привлекательное. Но все зависит от ставки интереса, под которую Вы можете инвестировать свои деньги. Самый простой вариант: вложить в банк.

К примеру, если Вы в конце каждого месяца будете вкладывать по 1000 руб. на счет при 12-процентной ставке интереса, то, сумму, которая накопится на счете за 40 лет можно вычислить, решив задачу:

х„ = (1 + 0,12(1/12)) х„_! + 1000; х = 0; ^ = ?

Далее, накопленные деньги должны быть истрачены в течение 20 лет (= 240 мес.). Поэтому можно найти ответ на вопрос: сколько денег можно снимать в конце каждого месяца, чтобы деньги закончились через 240 месяцев. Напишем математическую формулировку соответствующей задачи:

Уп = (1 + 0,12(1/12)) у„_! - V; у0 = Х480; У240 = 0.

Уравнения, которые здесь нужно решить, являются частными случаями уравнения:

х = ах 1+Ь.

п п-1

Для того чтобы написать формулу для его решения, можно воспользоваться алгоритмом, использованным при решении задачи о Даниле-мастере.

Итак, разделим уравнение

на ап, т.е. умножим на а-

и обозначив

получим

х =ах ,+Ь

п п-1

а пх =а' пх , + Ьа

п п-1

а хп = Уп , Уп-Уп- 1=Ьа~

Так как

Уп-Уо = (Уп - Уп-1) + (Уп-1 - Уп-2 ) + - + (У2 - У1) + (У1 - У0) ,

получаем

Уп-Уо= (Ьа-п) + (Ьа1-п) + ... + (Ьа~2) + (Ь ■ а~1) .

Просуммируем правую часть этого равенства. Для этого можно воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии. Итак:

Ь -п1-ап

Уп-Уо=Ьа

1-а

Вернемся к исходным обозначениям и получим:

-п 7 -п 1 - а п 7 1 - а

а х = х0 + Ьа -=> х = а х0 + Ь--

п 0 1 п 0 1

1-а 1-а

Таким образом, решение задачи:

хп = (1 + 0,12(1/12))Хп_! + 1000; Х0 = 0; Х480 = ?

1 -(1 01)480

х480 = (1,01)480 ■ 0 + 1000-' ' у = 11764772,51.

480 ' 7 1-(1,01)

То есть, если Вы в течение 40 лет (= 480 мес.) будете ежемесячно вносить по 1000 руб., то сразу после последнего вклада при ставке интереса 12% Вы будете иметь 11 764 772,51 руб.

Далее, можно определить, что этих денег хватит на то, чтобы в конце каждого месяца в течение 20 лет можно снимать по V. Итак,

(1 01)24о - 1

У = (1 + 0,01)240 • 11764772,51 - -- = 0 ^

240 0,01

10,893 • 11764772,51 - V • 989,2554 = 0 ^ V = 129 545,59.

Итак, выясняется, что получать можно более чем в 3 раза больше суммы, на которую мы готовы были согласится. Разница обусловлена большой продолжительностью финансовой операции и относительно высокой ставкой интереса.

Заключение

Перед Российской Федерацией и Кыргызской Республикой стоит очень трудная и ответственная задача — обеспечить стабильную траекторию устойчивого экономического роста. Одним из необходимых этапов решения этой задачи является повышение финансовой грамотности населения. О том, какого рода учебные материалы для этого можно использовать, говорится в данной работе. При этом мы используем сюжет с Данилой-мастером и Хозяйкой Медной горы [8]. Некоторые ревнители чистой науки могут говорить, что это лишнее. В качестве ответа приведем известную притчу.

Одному правителю приснился страшный сон. Во сне он увидел, как один за другим у него выпали все зубы. Сильно этим обеспокоенный, он призвал своего толкователя сновидений. Тот очень внимательно выслушал рассказ правителя и сказал: «Мой господин, я должен сообщить тебе плохую весть. Так же, как ты потерял все свои зубы, ты потеряешь одного за другим всех своих близких». Это толкование разгневало правителя. Толкователь сновидений, не сумевший сказать ничего хорошего, был брошен в тюрьму. Затем царь позвал другого толкователя снов. Тот, выслушав рассказ о сновидении, сказал: «Мой господин, у меня для тебя хорошие вести. Ты будешь жить дольше, чем другие члены твоей семьи. Ты переживешь их всех». Царь обрадовался и щедро наградил толкователя за эти слова. Придворные были в изумлении: «Твои слова почти не отличались от слов твоего предшественника. Так почему же он был наказан, а ты получил награду?» Удачливый толкователь снов на это ответил: «Вы правы. Мы оба одинаково истолковали сновидение. Но дело не только в том, что сказать, но и в том, как это сказать».

Список источников

1. Мишустин М.В. Финансовая грамотность // URL: https://www.kommersant. ru/doc/ 6454459

2. Глазьев С.Ю. Где деньги? // URL: https://www.vedomosti.ru/opinion/columns/202 2/10/03/943519-gde-dengi

3. Отношение объема кредитов к ВВП // URL: www.tazabek.kg/news:2000242?f=cp

4. Кыдыралиев С.К., Урдалетова А.Б. Основы финансовых вычислений. Практикум. Бишкек: КРСУ, 2015.

5. Кыдыралиев С.К., Урдалетова А.Б. Введение в линейные разностные и дифференциальные уравнения: учеб. пособие. Бишкек: БГИЭиК, 2000.

6. Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М., 1999. 432 с.

7. Уотшем Т.Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ, 1999. 527 с.

8. Бажов П.П. Каменный цветок // URL: https://skazki.irlc.msu.ru/russkie-avtorskie-skazki/kamennyij-czvetok.-gornyij-master

References

1. Mishustin M.V. Financial literacy // URL: https://www.kommersant.ru/doc/6454459

2. Glazyev S.Yu. Where is the money? // URL: https://www.vedomosti.ru/opinion/columns/202 2/10/03/943519-gde-dengi

3. The ratio of loans to GDP // URL: www.tazabek.kg/news:2000242?f=cp

4. Kydyraliev S.K., Urdaletova A.B. Fundamentals of financial computing. The workshop. Bishkek: KRSU, 2015.

5. Kydyraliev S.K., Urdaletova A.B. Introduction to linear difference and differential equations: textbook. stipend. Bishkek: Bgiek, 2000.

6. Thomas R Quantitative methods of analysis 8. Bazhov P.P. Stone flower // URL: https:// of economic activity. M., 1999. 432 p. skazki.irlc.msu.ru/russkie-avtorskie-skazki/ka-

7. Watsham T.J., Parramow K Quantitative mennyij-czvetok.-gornyij-master methods in finance. Moscow: UNITY, 1999. 527 p.

Информация об авторах

Е.С. Бурова — старший преподаватель Американского университета в Центральной Азии;

К.С. Кыдыралиева — старший преподаватель Американского университета в Центральной Азии.

Information about the authors

E.S. Burova — Assistant Professor at the American University of Central Asia; K.S. Kydyralieva — Assistant Professor at the American University of Central Asia.

Сведения о вкладе каждого автора

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 15.03.2024; одобрена после рецензирования 17.04.2024; принята к публикации 15.05.2024.

The article was submitted 15.03.2024; approved after reviewing 17.04.2024; accepted for publication 15.05.2024.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЮНИТИ-ДАНА» ПРЕДСТАВЛЯЕТ

Маркетинг: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки «Экономика» / под ред. Н.Д. Эриашвили, Ю.А. Цып-кина. 5-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2023. - 183 с.

ISBN 978-5-238-03770-7

Рассматриваются возникновение маркетинга, его концепции и среда функционирования. Раскрываются система маркетинговых исследований, функции маркетинга и набор маркетинговых инструментов. Исследуется организация маркетинговой деятельности предприятия. В отдельной главе уделено внимание этическим аспектам маркетинга.

Для студентов и преподавателей вузов, специалистов в области маркетинга, рекламы, менеджмента.

МАРКЕТИНГ