CC BY
1СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
2. Levin J.J. The asymptotic behavior of the solution of a Volterra equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. 14. 534-541.
3. Винокуров В.Р. Асимптотическое поведение решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1967. 3, № 10. 1732-1744.
4. Levin J.J. Nonlinear Volterra equation not of convolution type //J. Diff. Equat. 1968. 4. 176-186.
5. Burton T.A. Volterra Integral and Differential Equations. N.Y. a.o.: Acad. Press, 1983.
6. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. Бишкек: Илим, 2002.
7. Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А.А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.
8. Кордуняну К. Применение дифференциальных неравенств в теории устойчивости // An. sti. Univ. Iasi. Sec. 1. A. 1960. 6. 47-58.
9. Wazewski T. Systemes des equations et des inequalites differentielles ordinaires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications // Ann. soc. math. Pol. 1950. 23. 112-166.
10. Руш Н, Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ., под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980.
Поступила в редакцию 08.07.2022
УДК 512.572
МАКСИМАЛЬНЫЕ PI-ЭКСПОНЕНТЫ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР
М. В. Зайцев1
В статье построена серия примеров конечномерных алгебр, у которых PI-экспонента совпадает с размерностью. При этом все эти алгебры не являются простыми.
Ключевые слова: тождества, коразмерности, неассоцативные алебры, PI-экспонента.
We construct a series of examples of finite-dimensional algebras such that their PI-exponent coincides with the dimension. All these algebras are not simple.
Key words: identities, codimensions, nonassociative algebras, PI-exponent. DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-3-11
Пусть F — поле нулевой характеристики и A — алгебра над F. С алгеброй A связана целочисленная последовательность cn(A), n = 1, 2,..., которая характеризует количество ее полиномиальных тождеств. Известно, что если A конечномерна, dim A = d, то члены этой последовательности удовлетворяют соотношению
0 < Cn(A) < dn+ (1)
(см. [1, 2]), что позволяет определить пределы
ёхр(А) = lim sup у/сп(А), ехр(А) = lim inf л/сп(А),
га—s-oo га—s-oo
называемые верхней и нижней PI-экспонентами алгебры A соответственно, и можно определить (обычную) PI-экспоненту
ехр(А) = lim ^сп(А),
1 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: zaicevmv@mail.ru.
Zaicev Mikhail Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Higher Algebra.
если ехр(А) = ехр(А). В конце прошлого века Ш. Амицур предположил, что для любой ассоциативной PI-алгебры A PI-экспонента exp((A) существует и является целым числом. Гипотеза Амицура была подтверждена в [3, 4]. При этом оказалось, что в случае алгебраически замкнутого поля и конечномерности A равенство exp(A) = dim A выполняется тогда и только тогда, когда A проста. Аналогичный эффект наблюдается и в лиевском случае: если L — конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем, то exp(L) существует и является целым числом, не превосходящим dim L, а равенство exp(L) = dim L эквивалентно простоте алгебры L [5].
Упомянутые результаты позволяют поставить следующий вопрос: верно ли что если A — конечномерная алгебра, dim A = d и exp(A) = d, то A проста? В данной работе получен отрицательый ответ на поставленный вопрос. Все необходимые сведения по количественной PI-теории можно найти в монографии [6].
Введем необходимые понятия и обозначения. Пусть F{X} — абсолютно свободная алгебра над полем F с бесконечным множеством порождающих X. Совокупность всех тождественных соотношений алгебры A образует идеал Id(A) в F {X}. Обозначим через Pn подпространство полилинейных многочленов от свободных порождающих x1,...,xn Е X в F{X}. Тогда Pn ПId(A) — это множество всех полилинейных тождеств степени n алгебры A.
Симметрическая группа Sn действует на Pn следующим образом:
а о f (xi, ...,Xn) = f (xa(i),.. .,X(n)).
Подпространство Pn П Id(A) инвариантно относительно действия Sn, что позволяет рассматривать индуцированное действие этой группы на факторпространстве
Pn (A) =
P Pn
Pn n Id(A) •
Упомянутая ранее последовательность коразмерностей cn(A) определяется как
cn(A) = dim Pn (A).
Верхнюю оцеку роста cn(A) для любой алгебры A дает, например, формула (1), а для получения нижних оценок мы будем использовать структуру FSrj-модуля Pn(A).
Напомним строение неприводимых представлений группы Sn (см., например, [7]). Пусть Л = (Л1,..., Л^) Ь n — разбиение числа n, т.е. Л1 ^ ... ^ Л4 > 0 — целые числа и Л1 + ... + Л4 = n. Диаграммой Юнга D\ называется таблица из n клеток с Л1 клетками в первой строке, Л2 клетками во второй строке и т.д. Таблицей Юнга T\ называют диаграмму Юнга D\ с расставленными в ее клетках числами 1, 2,...,n. Стабилизатором строк Rtx называется подгруппа в Sn, состоящая из подстановок, переставляющих числа только в пределах строк таблицы Rtx . Аналогично стабилизатор столбцов CTx состоит из а Е Sn, переставляющих числа только в пределах столбцов. Элемент группового кольца
eT\ = ( Е а)( Е ("I)7-
V V<ERTX V 7£CTX
является квазиидемпотентом и порождает минимальный левый идеал, т.е. FSneTx — неприводимый Sn-модуль. Размерность FSneTx можно вычислять при помощи формулы крюков (см., например, [7] или [6]). Нам понадобится только нижняя оценка для разбиений специального вида. Пусть n = kd (при фиксированном d и произвольном k), и пусть Л = (kd) = (k, ...,k). Из формулы крюков следует,
d
что
^гч n! n! n!
d\ = dimFSneTx ^ ,,7 , Al. , ^ -—7 ^
((к + Щ* ^ (к!)* ^ и*2 (к!)*' Обобщенный биномиальный коэффициент можно оценить следующим образом:
n n dn
(k! )d \k,...,kj (n + 1)d'
откуда следует, что
d\ > -—7dn. (2) (n + l)d y J
Перейдем к построению основных конструкций. Пусть т ^ 2 — целое число и Ат — пространство с базисом Ъ,а1,..., ат. Зададим умножение на Ат следующим образом:
Ъ2 = Ъ, Ъа1 = а1, а1 = а1, (Ц(ц+1 = а^+1 V 1 ^ г ^ т — 2, ат-1ат = а1
при нечетном т. При четном т дополнительно положим ЪЪа2 = аь Все остальные произведения предполагаются равными нулю.
Условимся использовать следующие обозначения. Во-первых, будем опускать скобки в левонор-мированных произведениях, т.е. хуг = (ху)г, ху ... гЬ = (ху ... г)Ь. Во-вторых, при альтернировании по некоторому набору аргументов в (неассоциативном) произведении мы будем ставить один и тот же символ над этими аргументами. Например,
Хух = хуг — гух, (Ху)(хг) = (ху)(хг) — (гу)(хх) — (хх)(уг) + (гх)(ух).
Рассмотрим сначала алгебру Ат с нечетным т. Тогда а1а2 ... ат = а1а2 ... ат + а2 ... ата1 + аз ... атаа + ... + ата1... ат-1 = а1 + а\ + а2 + ... + ат-1, а1(аа ... ат) = 2а1 + а2, откуда (ЪЪ)(а1а2 ... ат) = (ЪЪ)(а1 а2 ... ат) = 2а1 и (Ъ(ЪЪ))(а1а2 ... ат)(о,{а2 . ..ат) = 4а1.
Обозначим ¡1 = (ЪЪ)(а1... ат), ¡г = (Ь!г-1 )(а1. ..а,т) для Ь ^ 2. Тогда
¡г = 2г а1 = 0. (3)
Положим
Н1 = (хо 1у)(х1 1 ... хт), Н2 = (х0 ^Н1)(х1 2 ... . . .,Нг = (х<0^Нг-1 )(х1 ) ... хт)
в алгебре Г{X} и
Н = 8ушш08ушш1... 8ушшт(Ь,1), где Вушш^- означает симметризацию по набору х1... ,хт . Соотношение (3) означает, что р(Нг)=0,
р : y — b, Х0"1 — ai,..., х$ — am, 1 ^ i ^ t,
где р — подстановка
— ^ го т.е. Нг не является тождеством алгебры Ат.
Рассмотрим действие Бп на РП+1, где п — (т + 1)Ь, а группа Бп действует на переменные х1 , 0 < ] < т, 1 < г < Ь.
Из строения квазиидемпотентов группового кольца группы Бп следует, что Нг порождает в Рп+1 неприводимый ^5п-модуль, соответствующий разбиению Л = ((т + 1)г). Следовательно,
сп+1(А) = <ИтРп+1(А)> (Ш + 1)Л
(n + 1)(m+l)2 +m+l'
как вытекает из (2). Стандартные рассуждения (см., например, [8]) дают нижнюю оценку
exp(Am) ^ т + 1 = dim Ат (4)
для нечетных т.
Для четных т ^ 4 те же рассуждения, только с заменой (3) на соотношение ft = ai = 0, дают нам такую же нижнюю оценку (4). Учитывая (1), мы получаем следующее утверждение. Теорема. Для всех целых т ^ 3 выполняются равенства
exp(Am) = т + 1 = dim Am.
Заметим, что ни одна из алгебр Am не является простой. Например, подпространство < ai, ..., am > — идеал коразмерности один.
Работа поддержана Российским научным фондом, грант № 22-11-00052.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bahturin Yu, Drensky V. Graded polynomial identities of matrices // Linear Algebra Appl. 2002. 357. 15-34.
2. Giambruno A., Zaicev M. Codimension growth of special simple Jordan algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 2010. 362. 3107-3123.
3. Giambruno A., Zaicev M. On codimension growth of finitely generated associative algebras // Adv. Math. 1998. 140.145-155.
4. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of Pi-algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.
5. Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66. 23-48.
6. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2005.
7. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Наука, 1982.
8. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Тождества супералгебр Ли с нильпотентным коммутантом // Алгебра и логика. 2008. 47. 617-645.
Поступила в редакцию 06.07.2022
УДК 532.591, 531.5.031
МЕТОД РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ, УЧИТЫВАЮЩИЙ НАЛИЧИЕ КРИВИЗНЫ ТРЕЩИНЫ
А. В. Звягин1, Д. Д. Новов2
Статья посвящена разработке численного метода определения коэффициента интенсивности напряжений для плоских задач механики разрушения, учитывающего наличие кривизны линии трещины. Получены новые представления бигармонических функций, с помощью которых были построены аналитические решения задач об упругой плоскости, ослабленной трещиной в виде дуги окружности. На основе этих решений реализован численный метод. Проведено сравнение численного значения коэффициента интенсивности напряжений с известным аналитическим.
Ключевые слова: механика разрушения, механика трещин, криволинейная трещина, метод граничных элементов, метод разрывных смещений, коэффициент интенсивности напряжений.
The paper is devoted to the development of the displacement discontinuity method for plane problems of fracture mechanics in consideration of the curvature of crack lines. In this paper, some new representations of biharmonic functions are found. This is necessary to obtain the analytical solutions of problems for an elastic plane weakened by a crack in the form of a circle arc. A numerical method is proposed on the basis of these analytical solutions. The numerical values of the stress intensity factor are compared with its known analytical value.
Key words: fracture mechanics, crack mechanics, curvilinear crack, boundary element method, displacement discontinuity method, stress intensity factor.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-3-12
1. Введение. Задачи, связанные с трещинами, представляют особый интерес и находят практическое применение при строительстве зданий и сооружений, в геомеханике горных пластов, при поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, оценке последствий горных ударов и землетрясений.
1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvyagin.aleksandr2012@yandex.ru.
Zvyagin Alexander Vasil'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
2 Новов Денис Дмитриевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: novovden@yandex.ru.
Novov Denis Dmitrievich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
