CC BY
13
Том 212
1971
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ЗАЗОРЕ ЭМУ ПОПЕРЕЧНОГО ПОЛЯ С ГЛАДКИМ ЯКОРЕМ И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ КОМПЕНСАЦИОННОЙ ОБМОТКОЙ
А. Н. Айферт, А. И. Вильнер (
(
(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин
и общей электротехники)
В настоящее время в Советском Союзе и за рубежом ведутся большие работы по созданию электрических машин с гладким якорем. Интерес к ним обусловлен их высокой коммутационной устойчивостью и лучшими динамическими свойствами. Однако все опубликованные работы относятся к созданию и исследованию различного назначения двигателей постоянного тока и распространить приводимые рекомендации на проектирование ЭМУ с гладким якорем из-за присущих им особенностей не представляется возможным.
Опыт создания таких ЭМУ показывает, что они обладают рядом преимуществ по сравнению с существующими серийными ЭМУ: при хорошей коммутации и коэффициенте усиления на уровне серийных усилителей — лучшее быстродействие, практическое отсутствие шумов и вибраций магнитного характера [1, 2], а при сосредоточенной компенсационной обмотке [3], кроме юго, большая выходная мощность в одном объеме, линейность выходных характеристик при форсировке напряжения и некоторая экономия обмоточной меди.
Для исследования рабочих свойств ЭМУ с гладким якорем и вопросов, касающихся проектирования этих машин, необходимо знать картину распределения магнитного поля в воздушном зазоре. В литературе имеется ряд работ, посвященных расчету магнитных полей в зазоре двигателей постоянного тока с гладким якорем [4, 5] и др. Наиболее полные исследования проведены в [5]. Автору удалось получить решение задачи, используя метод Г. А. Гринберга [6]. Область воздушного зазора ЭМУ с гладким якорем сложнее (рис. 1) ввиду наличия расщепленных полюсов, ряда дополнительных обмоток, участвующих в создании магнитного поля машины (компенсационная и подмагничивающие обмотки), а также наличия реакции якоря по продольной и поперечной осям. Поэтому в настоящей работе приведен вывод основных уравнений для расчета магнитного поля с учетом особенностей ЭМУ. В качестве метода исследования, так же, как и в работе [5], принят метод Г. А. Гринберга.
При решении задачи сделаны следующие основные допущения:
1. Поле в воздушном зазоре — плоскопараллельное.
2. Магнитная проницаемость стали бесконечно велика по сравнению с проницаемостью воздуха.
3. Кривизной поверхностей статора и ротора пренебрегаем. Форма полюсов — прямоугольная.
4. Обмотки, лежащие в больших и средних пазах, стянуты на одну
Рис. 1
линию, так что полные токи обмоток расположены в бесконечно тонком слое, причем предполагается, что токовый слой расположен по всей высоте полюса ввиду незначительности зоны паза, не занятой обмоткой.
5. Применяется принцип наложения, то есть магнитное поле каждой обмотки рассматривается раздельно.
6. Щетки ..расположены на геометрической нейтрали, так как в ЭМУ с гладким якорем сдвиг щеток нецелесообразен.
Принятые допущения не отличаются от обычно применяемых при исследованиях магнитных полей в электрических машинах. При этих допущениях магнитное поле в области воздушного зазора, занятой токовым слоем, будет удовлетворять дифференциальному уравнению Пуассона
(п-
а в областях, не занятых токовым слоем, уравнению Лапласа д2А(х, у) ¿*2А(х, у) ¿х2 ^ ду2
где
О, (2)
А(х, у) — векторный потенциал магнитного поля,
1(х, у) —закон изменения плотности тока на участке с токовым слоем,
|10 — магнитная постоянная вакуума.
Так как картина распределения магнитного поля в воздушном зазоре повторяется со сменой полярности под каждым полюсом, то достаточно рассмотреть магнитное поле ¡машины на одно полюсное деление. На рис. За и 36 представлены исследуемые области для реакции якоря первого и второго каскадов усиления. Как видно из рисунков, эти области отличаются только расположением больших и средних пазов. Поэтому достаточно рассмотреть поле любой реакции якоря, например, второго каскада (рис. 3 б). Изменив размеры соответствующих областей и величину плотности тока, можно по тем же уравнениям рассчитать магнитное поле первого каскада усиления.
То же самое можно сказать о полях, создаваемых статорными обмотками. В этом случае достаточно рассмотреть, например, поле обмотки управления (рис. 2 б). Поля создаваемые другими обмотками, можно получить, изменяя размеры пазов, занятых и не занятых обмоткой, а также изменяя величины создаваемых обмоткой намагничивающих сил (н. е.).
Рис. 2 а
I
О
Роу
Рко
г
Т)
ЭЩ э
Рис. 2 6
1-/
О
Рис. За
«I
1-2 1-3
о:о1о:о1охо:о1о:о1ожо1о^^
я
Л7
Рис. 3 6
Магнитное поле обмотки управления
Исследуемая область воздушного зазора представлена на рис. 2 б. Разобьем рассматриваемую область на прямоугольные участки так, как это показано па рисунке. Исходя из принципа наложения, плотность тока в обмотке якоря равна нулю и магнитное поле во всей области воздушного зазора удовлетворяет уравнению (2). Граничные условия в каждом из прямоугольников имеют следующий вид:
Прямоугольник I
нх1у=г = 0 .
Н
х1У у!х = о
Н
х1у-
= ^(х)
{3(х), О,
О,
нУ!х= - = о ,
О < X < а; а < х < с; с < х < ^ — с; Т — с < х < т — а; — а < X < т.
(3)
Прямоугольник II
Н
у I Х!
с = Н
у1х .х -с
Н
X I у
О,
(4)
Н
XI у
о - Мх).
Прямоугольник III
н
У ' X
н
о = Нх| у= - / = 0 , Ро.у;
у Iх™а ' Нх I у
I
*8(Х).
(5)
Прямоугольник IV
НУ!Х = -= Нх|у=_/ - 0 ,
Н
■у . X у I х^ т - а
Н,
О. V.
(6)
XI у= о —
Здесь Г1 (х), 1г(х), iз(x), и {4(х) — неизвестные функции распределения касательных составляющих напряженности магнитного поля на границах прямоугольников при у = 0;
1 дА(х, у)
Нх =
Ро
У
касательная составляющая напряженности магнитного поля;
1 <?А(х, у)
Ну =
дх
(7)
(8)
— нормальная составляющая напряженности магнитного поля; Ёо-у — н. с. обмотки управления,
Определим функции, характеризующие распределение векторного потенциала в каждом из прямоугольников. Прямоугольник I.
Решение краевой задачи для уравнения (2) при граничных условиях (3) ищем в виде
Ап(1)(х5 У) = 2 А'п (у) СОБ-^— X ,
П = 1
(9)
где
Ап(1)(у)
т
НА»
(1)(х, у)соэ
пт.
X • (Зх .
Согласно методу Г. А. Гринберга, умножим уравнение (2) на
- Пт: л
-J- cos —— х • dx и проинтегрируем от 0 до т. В результате
преобразований [5] получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
^i-(-^)SA»'-'(y) = 0. (.0,
Проведя аналогичные преобразования с выражениями (3), получим для уравнения >(10) следующие граничные условия
Нх|у = *= 0, (11)
нх| V -о = —( f,(x) ■ cos Пти X - dx = ЕпМ .
о
Решение уравнения (10) имеет вид
Ап(1)(У) « Вп<» sh у +Cn(1)ch у. (12)
Постоянные В^1) и Сп(1) определяются из граничных условий (И). После нахождения постоянных для функции распределения векторного потенциала в прямоугольнике I получим
3)
А„(%х? У)=_ V 1Л()__Еп(.)-:--COS —X. (13)
п 1 Hi- П7Г т
sh- о
х
Для дальнейшего решения необходимо знать распределение векторного потенциала и его первой производной на общей границе прямоугольников (при у = 0).
Из уравнения (13) имеем
АпМ(х, 0) = - J N EnO>cth —~8. cos-^-x , (14)
П = 1 пт: х х
1 дАпт(х, у)
П ч v = о —--з-
} Нч> ду
= 2 En(1)cos -^х. (15)
V = о х
Прямоугольник II Так же, как и в предыдущем случае, решение уравнения (2) при граничных условиях (4) будем искать в виде ряда
со К.
Ак(2)(х, У) = S Ак(2)(у) • cos (х - с), (16)
к - 1 D
где
т—с
Ак(2,(у) = ~ Г Ак(2>(х, у) • cosJ^ (х - с) • dx.
b J К 4 b
С
Умножив уравнение (2) и граничные условия (4) на
2 кг - ч л
-Т—COS—Г— (X—с) • dx
b b 7
и проинтегрировав от с до т—с, после преобразований получим дифференциальное уравнение
dJAw (24v) / к- \2
k Ш 1 K Ak(2)(y) = 0 (17)
¿у2 ^ Ь
при граничных условиях
Нх1 у-- - Ь = ^
с
Нх|у = о = Гь(х) • С08^(х - с) • с!х = Ек<2>. (18)
С
Решение уравнения (17) имеет вид
Ак(2)(у) = Вк<2> 8И у + Ск<2) СИ у . (19)
Определив из граничных условий (18) постоянные ВК'2) и Ск<2; для функции распределения векторного потенциала в прямоугольнике И, получим
Ь
ch
+ h> к.
Ак<2»(х, у) = v ^ —Ек(2)-^- cos -^-(х - с).
к - 1 Ктс ^т: D
sh —г— h D
Из выражения (20) находим значение функции и ее первой производной на общей границе прямоугольников (при у = 0)
Ак<2>(х, 0) = J>0-A-EkW cth h • cos-^(x —с), (21)
Нх
1 дАк<2>(х, у)
[х0 д у
00 Vt
= 2 Ек<2) cos —--- (х — с). (22)
У» * = * Ь
Прямоугольник III
Решение уравнения (2) в прямоугольнике III при граничных условиях (6) ищем в виде ряда
Л (3) оо п
Ар<3>(х, у) = -1- Д Ар(3)(у) • cos х, (23)
где
а
Ар<3>(у) = J Ар(3)(х, у) - cos-^x • dx ,
о
а
А0(3)(У) = J А«(х' У) • dx-
о
Умножая уравнение (2) и граничные условия (5) на
2 ртг
cos —— х • dx
а а
и интегрируя от 0 до а, получим следующее дифференциальное уравнение
d2V3)(y) _[' -ELYV> (у) = - — F-±± to COS p., (24)
dy2 V a j P a i v
при граничных условиях
Н
X I у =
/ = 0,
Н-
у-о
f3(x) • cos
X . dx = ED<3>. а Р
Решение уравнения (24) имеет вид Ар(3> (У) = Вр(3) sh^y-f Cp(3)ch y + 2а[А°Ео; У
/(рт)*
COS pi
При р = 0 уравнение (24) перепишется
d2A0(3)(y) JL F
dy* ~~ а
Решение уравнения (27) имеет вид
А0(3)(У) = В0 + С0у - . у2 .
а • I
(26)
(27)
(28)
Постоянные Вр(3) и Ср(3) определяются из граничных условий (25), С0 при подстановке в (25) р = 0, а В0 непосредственного участия в решении задачи не принимает, поэтому находить ее нет необходимости. Определив постоянные, входящие в уравнения (26) и (28) для распределения векторного потенциала в прямоугольнике Ш, получим
Ар(з)(х, у) =
Н-оЕс
У
[Х0Е
О \г2
м
Уа +
в,
+
2
Р = i
ch
(У + 0
1*0
ртс
•Еп(3)
sh _H!L i
Ena2
'(P*)
— COS pic
p-
cos —- X .
(29
Здесь
Eo
Co.
2-F
а
Функция векторного потенциала и ее первая производная на общей гра нице (при у~0) имеют следующий вид:
В,
Ар(3)(х, 0) = + 2
-р
ЕР(3) et h / - [х0 cos р .
рг
X cos —-— х ,
X (30)
н.
= 1 dAp(3'(x, у) t»o дУ
Е0
+ S Ер® • cos —х . (31)
Прямоугольник IV
Вывод функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа (2) для! векторного потенциала в прямоугольнике IV при граничных условиях (6), производится аналогично тому, как это сделано для прямоугольника III и имеет следующий вид:
Ар<4>(х, У)
У<оЕо
2
^оЕо 2 | В0 У I о
41
2
р = 1
где Е0, Е,
Еп(4)
ртг "Р
ch (у + I)
sh-B^
+ i^O
Е0а2
cos
ртг
(х-х+а),.
(32)
(4)
функции, представляющие собой неизвестные граничные условия для уравнений типа (24) и (27) в прямоугольнике IV при у = 0.
Функция векторного потенциала и ее первая производная на общей границе (при у = 0) имеют вид
Ар(4)(х, 0)
В,
2
р-1
РО^Г EpWcth-B^Z +4ÄS
рте
/(pir)
р 71,
cos—(х—x-j-a)„ а \ / -
(33)
н.
1 ÖApW(x, у)
1*0
ду
у =о 2
2 Ep(4)cos (х — х + а). ,=i Р а '
(34)
Для решения задачи необходимо определить составляющие напряженности магнитного поля на поверхности статора и якоря (при у = 0 и у = 6 в прямоугольнике I). Неизвестные коэффициенты Еп<*>, входящие в функцию векторного потенциала прямоугольника I (13),, можно определить из условий сопряжения — равенства функций и их первых производных на общей границе прямоугольников И, III и IV с прямоугольником I.
Из условия равенства функций на общей границе, используя выражения (14), (21), (30) и ¡(33), можно записать
В
p« 1 оо
2
^■JL еo)cth PJL i
u птг р а
COS p т:
COS
ртг
X ==
X Enn)cth 8 . cos x, 0 < x < a,
n= 1
П1Г
(35>
S 1*0 k = 1
b D m ,t kic k*: ,
Ek(2)cth —г— h • cos —г— (x — c) =3
kr.
V i*0 —— En(1)cth 8 . cos x, с < x < x - c, (36)
- Птс X X
n = 1
B,
+ 2
P = 1
1*0
E0<4>cth / +
1*0
Ena<
/(ртг)-
£Os
(X - X fa)
- 2 h, —Ep^cth-^- 8 • cosх, x —a < x < т. (37)
nti T "
Умножая обе части выражения (35) на cos х ■ dx и
а а
интегрируя от 0 до а, можно выразить неизвестные коэффициенты Ер(3) через Еп(,):
V" - -fr«** • tt-^-^-th-E./ ¿-E-En...c.h-5=a. dp.«,
* n = 1
(38)
где
a
dp„(:i) = J cos x ■ cos x ■ dx =
0
a
Sin - |p —n--I Sin tc| p+ n
при
Птс рт:
___' +
, a ~ : \ a -
dpn<3>=-f при = (39)
Z V cl
Аналогичным способом можно выразить коэффициенты Ек(2) и Ер(4) через Епш:
Ек(2) = - -^—th - v JLEnO)cth-^-8 • dkll<2>. (40)
Bo b n Т КП ' v 7
n -- i
где
-—с
dkn(2) = ( cos —(x — с) * cos nJ" x • dx =
sin -- ( k-+ • cos~(k + n) sin-^ik- n-M • cos-^-(k — n)
ктс , nit
I17U
при
Птс , ктс
* ' Ъ 1
л Ь тс ч пт: к тс (41)
dkn = ^ COS — (к - п) при = ,
Е (4) = _ /• fj -^En<'>cth --3.don(4)4 (42)
р /ртс a a2 a n4J1 п т р
где
dp„(4>= cos
(x
a)cos П" x • dx
I a \ / a \
Sin те \ n — n — j sin те^п — n~ I
( P'
2 [ J* + *
nr. DTC
при - Ф
1 П'
dpn(4) = cos 77 (P — ") пРи —
С другой стороны, для касательной составляющей напряженности магнитного поля на общей границе, на основании граничных условий (3) можно записать
-г а
^ ft(x) ■ cos х • dx= — I f3(x) • cos~~~~ x • dx +
X X X
0
2 fCf/ , пт: 2 — I f2(x) • cos-x • dxH---
0
Пт:
f*(x) ■ cos-x • dx. (44)
Здесь учтено, что на участках а<х<с и т —с<х<т —а касательная составляющая напряженности магнитного поля обращается в нуль. Подставляя в равенство (44) вместо функций Ь(х), Ь(х), !3(х) и 1А(х) их значения из уравнений (15), (22), (31) и (34), получим
У En<!)cos х ) cos —-—х • dx =
n - i ~
а
i(
р it
'у-—Ь 2 Ep(:^cos —— х icos-^- х • dx
о
т—С
Р - 1
П г
+
кг,
v Ek<2>cos —г— (х - с) к - - 1 Ь
П7: А I
cos- х • dx +
(45)
Щ- + 2 EP(4)cos (X - X + а)
г п - 1
COS
Пт:
х * dx.
После преобразований выражение (45) можно привести к виду
9 оо О а. о ОС
Еп(1) = — 2 EP<3)dpn(3) + 2 Ek<2>dkn<2> + — V Ep^dpnW " р - 1 k - 1 " p - 1
+
2E,
П'
sin
ПК
a.
(46)
Подставляя в (46) вместо неизвестных коэффициентов Ер(3), Ек(2) и Ер,4) их значения из ¡(38), (40) и (42) для определения коэффициентов Еп(1>, получим следующую бесконечную систему уравнений:
29. Зак. 4917.
449
4 00 Я 0) т т. :с ктг
Еп(1) = - 2 ■8 2 ( к • 111 ^ Н■ й"п№ • -
- 4- д ^8 Д р • * пг/ • ^ • -
- 4г 2 с«1 8 £ р ■/. V4' • +
т = 1 р == 1
" 2аЕ0 ,и р^ Ф1Ь а
!
Т"
р
- 5 I . с1рп«>+ -^¡п а. (47)
р « 1 а Птс т
Как показывают исследования, решение задачи имеет место при п = 1, 3, 5, ... , к= 1, 3, 5, ... , р = 1, 2, 3, 4, ... . В этом случае члены в правой части системы, относящиеся к прямоугольникам III и IV, равны. Поэтому систему уравнений (47) можно представить как
Еп(1) = <*Ь ^ 8 2 к • ш ЛГ 11 • Йкп(2) •
и т=1 Ш к 1 и
8 Ет(1) ,, ттс „ ~ ,, ри , л ,,, л _
~ ^ 2 —— ° 2 Р ' "Г" 1 ' йрп( ) ' йрт(3) +
Ш = 1 р = 1
+ ± _• С10П(3» - ^ 8,п а. (48)-
л р*Г1 р *
Составляющие напряженности магнитного поля в воздушном зазоре, дающие окончательное решение задачи, определяется по формулам (7) и (8) с использованием выражения для векторного потенциала в прямоугольнике I (13):
Нх [ у = о == От
00 Пт
Нх| у О == 2 Еп(1)соз —X,
п — 1
Ну|у-.= 2 Еп0)-(49)
п -1 эи-^а
Ну | у - о — 2 Е^сШ^- 8 • эш —— х.
П ^ 1 " ^
Таким образом, определив из бесконечной системы уравнений (48) неизвестные коэффициенты Еп(1), можно по уравнениям (49) рассчитать напряженность поля обмотки управления.
Магнитное поле реакции якоря
Исследуемая область воздушного зазора представлена на рис. 3 б. Как и в случае поля обмотки управления, разобьем рассматриваемую область на прямоугольные участки. В отличие от предыдущей задачи основной воздушный зазор (прямоугольник I) необходимо подразделить на три прямоугольника, выделив отдельно токовый слой (рис. 3 бу
прямоугольник I—2), так как в нем магнитное поле должно удовлетворять не уравнению Лапласа (2), а уравнению Пуассона (1).
Граничные условия в каждом из прямоугольников имеют вид:
Прямоугольник I-1. у!х=о = Hylx- т = О,
Нх|у- ö = О, ' xly - f2I(x).
Прямоугольник 1-2
Н
ylx-0
н
Н
xly- я + ^
Нх у — et
ylx- = О,
= f2.(x), f2I(x).
Прямоугольник 1-3.
Н
ylx=0 :
НХ|у
н
у|х= Т — О,
= f23(x),
Нх|у.о = i,(x)
f3(x), 0 < x < а;
О а < х < с;
|1>(х), с < х < т — с;
О т — с < х < т
f4(x), х — а < х < т.
(50)
(51)
(52)
Прямоугольник II
Ну1х~с
Hylx—-с = Hxly=-h = 0,
Н
xly - f3(x). Прямоугольник III
Ну|ч==0 — Н
НХ|у—/
yix=a Hx|v=0 = f(x).
Прямоугольник IV
- О,
Н
ylx =
а 1 жу1х= "
Hx|v-o = f*(x).
нх1у=~/
О,
(53)
(54)
(55)
Здесь, как и в предыдущей задаче, функции fi(x), f2(x), f3(x), f4(x), 1*21 (x), Ггз(х) характеризуют неизвестное распределение касательных составляющих напряженности магнитного поля на границах раздела прямоугольников.
Определим функции, характеризующие распределение векторного потенциала в каждом из прямоугольников. Задача отыскания функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа в прямоугольниках II, III, IV при граничных условиях (53) — (55), аналогична уже рассмотренной в случае поля управления (вывод функции для прямоугольника II), поэтому для искомых функций можно записать
Ак<2>(х, у) = 2 Ро к =1
ктс
Fk<s>
ch (у + h)
U ^ U
sh-:— h
cos—г— (х
С), (56)
29*
451
ch —(у + l)
Ар<3>(х, у) — 2 ~~ FP<3) --- cos (57)
" 1 Р" sh I
а
ch-^(y+ О D,
А0(4)(х5 У) = 2 h, Fp<4> ---COS -i- (X - , + a) .
~ i P'* nr: tl
p ^ H sh-^- I
a
(58)
где коэффициенты FK<2), Fpi3) и Fp<4> имеют тот же смысл, что и Ек<2\ Ер(3) и Ер(4) в случае поля управления.
Вывод функций, удовлетворяющих уравнению (2) в прямоугольниках 1-1 и 1-3, аналогичен выводу функции (13) в случае поля управления. Распределение векторного потенциала в этих прямоугольниках определяется следующими выражениями:
ch ■ n'v ■ (у — о)
00 т Пг
■ Ап^Чх, у) = - У Вп*1)_ cos--X, (59)
п-1 и пт: '
sh —-— ч
П™ , ^ « Пт: \ пт:
- X,
п = 1
АП(1_3)(х, у) = S ( ^о Fn(I)sh —г' У +Cn(3)ch —cos
(60)
где коэффициенты Вп(1), Сп(3) и Fn(1) определяются неизвестными граничными условиями при у=<х+р, у = а и у=0 соответственно.
Таким образом, особенностью рассматриваемой задачи является определение функции распределения векторного потенциала в прямоугольнике 1-2, которая должна удовлетворять уравнению Пуассона (1). Умно-
2 U7Z А
жая уравнение (1) на -cos-х • dx и интегрируя в пределах от
0 до т, можно получить следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка [5]:
d3An(y) / m: \2 --dp--) An(y) ^ Qw (61)
где
2 Гп. _ , . пт: ь
m
о
(62)
Здесь, как и в работе [5], принято, что плотность тока 3 по высоте проводников не изменяется и что в пределах от 0 до ----онд
. • т ЬП1 ~ , ЬП1 равна +1, от _____Я. до -рг-- +_изменяется по
2 2 2 2
~ Ьш
прямолинейному закону от +] до — а от ---^--__ до т равна
Решение уравнения (61) имеет вид
Ап«-2>(х, у) = V
П - 1
Bn(2) sh — (У- ее) + Cn(2)ch — (у - а)
ПК
Qn
ПК
COS - X
где коэффициенты Вп(2) и Сп<2) определяются из граничных условий при у —а и у = а + р.
Функции (59), (60) и (63) можно выразить только через неизвестные коэффициенты РУ1^ используя условия сопряжения функций (равенство функций и их первых производных) на границах раздела прямоугольников 1-1, 1-2 и 1-2, 1-3. После преобразований эти функции запишутся в виде
А„с-1>(х, у)
И
>
п= 1
F ' гп
+ Qn' • Nnch—(у - о)
Апс-2)(х, у)
со
X
П = 1
« n- .
sh-о
пк
cos-х ,
X
пк
+
ch
(У-5)
F '
f n
и П7Г *
sh-о
+ Qn'Mnch
n-
Qn'ch
Пк
(у - *) + Qn'
COS
ПК
An(I-3)(x, y)
oo
s
П -- 1
F '
rn
ch U7Z (y — 8)
sh — — о
Qn'MpCh —у [cos—5»- x,
где
sh
пк
Пк
M,
(3 + - sh— T
N,
Q,/
и П7г Ä
sh-о
u ПК . , П7С
sh- (я -+- ?) — sh- а
sh-^5
Qn; Fn' = !J-o
П1Т
Fn«1».
(64)
x , (65)
(66)
Таким образом, для окончательного решения задачи необходимо найти неизвестные коэффициенты Fn(I). Для этого, как и в случае поля обмотки управления, воспользуемся методом стыкования.
Найдем выражения для функций и касательных составляющих напряженности магнитного поля на общей границе прямоугольников II, III и IV с прямоугольником 1-3 (при у = 0)
An('-3>(x, 0) = - ^ ( pn'cth + Qn'Mnlcos-.7'- x ,
n ■ 1
J_ _öAnO-3)(x, y)
Нч>
dy
П 1t
У
- О п =» 1
Ak(2>(x, o) = v H ^
У F^'cos — k-
Hx(2)
к = 1
öAk(2>(x, y)
b kr
Fk(2) cth —g— h ' cos -(x — c) i
(68) (69).
dy 1=2 pk(3)cos
|y О к .. 1
k-
(x - c), (70)
A0<3>(x, 0) = V FD(3)cth -21- l ■ cos -21- x
P v -'j p~ p а а
Hx<3>
У = °
An(4)(xi o)
1 ö AD(3)(x, y)
V <Л)
а
- о
У Fr,(:i>cos
Jmmi Г
P 1
P-
X .
Hv'4»
p = i P77
1 <?Ap(4)(x, y)
FD(4)cth p а
/cos (x — - 4- a), а
= о
Po
dy
= У Fp(4)cos (x
(71)
(72)
(73) a). (74)
у " ; !
Приравнивая функции на общей границе прямоугольников II, III и IV с прямоугольником 1-3 [выражения (67), (69), (71) и (73)] и произведя преобразования, аналогичные проведенным при выводе выражений (38), (40) и (42), для коэффициентов FI;(2), Fr,i3) и FP<4) получим
Fk<2> = ~ "Б2" 1Гh 2 ( Fn'cth "Т"öQn'' Мп)" dkn<2)' (75)
F"(3) = - -V P-th Fn'cth S f Qn' Mn • dpn<3), (76)
FP(4) =
2_ p« a2 ¡J-0
а2 ¡а,
Il-
ii-1
th-El/ £ (Fn'cth^l S
Qn'Mn) ■ V4)' (77)
где коэффициенты с1,;п(2), <Зрп(3) и dJm,4) определяются по выражениям (39), (41) и (43) соответственно.
С другой стороны, для касательной составляющей напряженности магнитного поля в прямоугольнике 1-3 при у = 0 справедливо равенство (44), так как граничные условия на этой поверхности остались без изменения. Поэтому, подставляя в это равенство вместо функций Г1 (х), 13(х) и Г4(х) их значения из (68), (70), (72) и (74), после преобразований получим следующую бесконечную систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов Р^11
Fn(1)
4 °° / F W тт. т?" v ^^ cth —S
„ rn- П.1 2 k-th-j- h-dkn^X k-i) Iii »• / i. 1 о
8
X dkm(2) - v
a m = 1
Fm(1) m - cth m
rn-
/ k 1 "Qr
л\
rn
X s P • th • dpn(3) .dpm<3).
p 1 d
Здесь использовано то обстоятельство, ЧТО Коэффициенты (1рп^ и (1рп^ равны при одинаковых значениях р и п. Решение, как и в случае поля обмотки управления., имеет место при п=1, 3, 5, к=1, 3, 5, ,р = К 2, 3, 4.
Определив неизвестные значения коэффициентов Рп<1> из системы (78), можно рассчитать и дающие окончательное решение задачи значения нормальных и касательных составляющих напряженности магнитного поля в воздушном зазоре по формулам
Н-
V / и _-_
1 эЬ--о
+
|-*Ч> П т.
п -
- х ,
Н
О0
и
П= 1
П т
Рп(1)
и П7: -БП - О
[Х0П
II ТС
¡СОБ -X,
Н
У ~ *
со
п= 1
сИ
Пт:
Рп(1)
~ УдсИ-т кш -х,
Н-
V а
ОС
и
Л. —: 1
эЬ
Р (П гп
О 1
И "Г 4
н.
у-а
СО
П = 1
{Х0Пь
П т:
СОБ - X ,
Рп(1)
сЬ 0 + 7)
бЬ- о
тМп ^ , Пт. --—(ХсИ-а
(79)
Птг
ЗШ - X,
Нх1у-0= 2 Рп(1)С05^
х,
п 1
Н-
2 (Р^мь
П - 1
О -
Мп ^ \ Пт: —~ Уп 51П —Г- х
^оП-
Изложенный метод дает возможность рассчитать магнитные поля, создаваемые обмотками управления, поперечной подмагничивающей, сосредоточенной компенсационной, а также магнитное поле реакции якоря первого и второго каскадов усиления. Наложением полей отдельных обмоток и реакций якоря обоих каскадов можно получить результирующую картину магнитного поля в воздушном зазоре машины при любых нагрузках и степени компенсации.
Исследования показывают, что при решении бесконечных систем уравнений (48) и (78) достаточно ограничиться двадцатью членами. Ввиду большого объема вычислительных !работ все расчеты были выполнены на цифровой вычислительной машине М-20.
Для исследования влияния параметров геометрии воздушного зазора и токового слоя на распределение магнитного ноля варьировались: воздушный зазор (б), толщина токового слоя (¡3), зазор между токовым слоем и пакетом «якоря (у), раскрытие (в) и глубина пазов статора (/. И), ширина щеток (вщ). Кроме того, для конкретной машины сделан ряд расчетов при различном числе витков поперечной подматничиваю-щей обмотки, форсировке напряжения и широком изменении нагрузки для последующего сравнения с экспериментальными данными.
На рис. 4 в качестве примера приведены результаты расчета магнитного поля опытного образа ЭМУ поперечного поля с гладким якорем /и сосредоточенной компенсационной обмоткой, имеющего следующие параметры:
Рн = 1,2 ювт, Ин = 60 в., п - 5000 об/мин,
б = 1,7 мм, у = 0*2 мм, (3 = 0,86 жм,
т = 144 мм,
в =20 мм, / -32 мм, Ь = 13 мм.
На рисунке кривая 1—нормальная составляющая напряженности магнитного поля на поверхности статора, кривая 2 — нормальная составляющая напряженности на поверхности якоря, кривая 3 — касательная, составляющая напряженности магнитного поля на поверхности статора.
и --------- * гУ
^^^Л Г-
¿V., /Л
£? Л А/ и )С/ \--.--- У \ А . к
V" VI
Рис. 4. а) Кривая напряженности поля обмотки управления, б) Кривая напряженности поля реакции якоря первого каскада, в) Кривая напряженности поля поперечной подмагничивающей обмотки
е) Результирующая кривая поля машины при холостом ходе, ж) Результирующая кривая поля машины при номинальной нагрузке
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Скороспешкин, Г. Г. Константинов. Основные характеристики ЭМУ поперечного поля с гладким якорем. «Изв. ТПИ». т. 172. 1967.
2. А. И. Скороспешкин, Г. Г. Константинов, Ю. В. Горст. Исследование пульсаций и виброакустических характеристик серийных ЭМУ поперечного поля и 3-МУ с гладким якорем, «Изв. ТПИ», т. 190, 1968.
3. А. И. Скороспешкин, А. И. Вильнер, Б. И. К о с т ы л е в. Выбор компенсационной обмотки в ЭМУ с гладким якорем. «Изв. ТПИ», т. 212.
4. Л. Д. О с н о в и ч, 3. А. О с н о в и ч. Расчет магнитного поля электрических машин постоянного тока с цилиндрическим печатным или гладким якорем. Электричество, № 7, 1968.
5. И. И. К у р к а л о в. Магнитное поле в зазоре машины постоянного тока с беззубцовым якорем. Сб. «Бесконтактные электрические машины», V, Рига, 1967.
6. Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории элек-трических и магнитных явлений. Изд. АН СССР, 1948.
