Локально предельная теорема в одной задаче о времени ожидания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия "Математика"

Випуск 1, 1993 г

УДК 519.21

Фомин А.С

ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ О ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ

В настоящей работе дается некоторое обобщение предыдущего результата автора 14]. С его использованием уточняется один из известных результатов работы [2], а именно, вместо установленной ранее асимптотической нормальности случайной величины В'1(*п-Цп) для нее доказэна локальная предельная теорема.

Пусть генеральная совокупность содержит и различных элементов; Ип - объем выборки с возвращением, при котором получено апИ различных элементов, 0*а„<п. Обозначим:

где £р (0 < р < 1) — независимые случайные величины (сл.в.) с геометрическим распределением:

яер=К}=як'1р, я=1-р, к=1,2........р» -а-, -Ь*.

В работе [2] показано, что

Известно (см. [1]), что

6-0,

-у-, где |0 |<1. (1)

р

ГП

П

Аналогично устанавливается, что

В той же работе [2] доказана асимптотическая нормальность сл.в. В“1(*п~цп)• Этот результат отдельно доказывается для следующих трех случаев:

0<а <1 а -*0 6 -*0

о<р <1 Ї 2) Л® : 3) Пп.® •

В работе (3] доказана локальная предельная теорема с оценкой остаточного члена для случая 1). Настоящая статья посвящена доказательству локальной теоремы для случаев 2) и 3). Основной результат - это

Теорема 1. Пусть при п-*®

І) V Vе! тр- • 0< е1 <і 4Ь

или

(3)

2) (>„* 0; Рп> сг-§— . 0 < Ег< 1.

Тогда, как в первом, так и во втором случае, при п-*®

(4)

1

И> - --------- ехр

Ь7

2 В2

-» 0.

Теорему 1 мы получили из следующего результата.

Пусть - п-я серия целочисленных независимых сл.в.,

зп= к|С; в^«5п;

*-1.2.....и: 1 - В'3 X К"’-

к=1

Тогда имегт место Теорема 2. Пусть при п-»®

1) Вп^ю;

2; 2 Р<п)=0(В;|); к=1 п

существует абсолютная постоянная К>0 такая,что если для любого целого

31 « к! «Й-, ,,,С‘г(шоа Ч» « ‘ЧЙ-Ф • Ат .

(Н-А„)2

то равномерно по N « и при п+®

1

В • *{Б = М---------

П П г—

Ы

ехр {-

2 В2

= 0(1)

(5)

Теорема 2 доказана б работе 14] для частного случая:

М ^п)=0. к=1,2,...,п, Ап=0. Неслокно передоказать ее и для

общего случая:М ?*п)=т. , к=1,...,п, А =М Б = £ пи . Действи-

п п кх1 к

тельно, рассмотрим выражение

1

Вп *{£5п “ - -у== е1Р

2 В2

Из формулы Лапласа-Пуассона

Ы

и формулы обращения

Г о

-Их- 4-

!♦

2%

1 00 -ПН

у{бп = (<} = — I е ф (г) <п,

2% "®

где фпШ=фа и) - характеристическая функция сл.в. Бп, обоз-

п

начая также *{Бп = Ю=*п(»1) и 1=В‘1(Ы-Ая), получим

А = —

п

2*

* -1ги 00 -их- 4-

вп I е Фп(г) си - ! е 2

-ТС —оо

Введя новую переменную Ь=2тсу, изменив пределы интегрирования и проделав очевидные преобразования, получим

1

2тг

г -2x11; (хВ +А )

Ф (2«) сп - I е

00 -ггПх-гтс2!2

сп

Проделав обычную для такого доказательства группировку,

имеем:

-2*П(хВ +А )

А„= -*- • н 5 е » » Фп(2Л) <П ч

2% |

вя -2*1гхБ„ г -2x1 гд -2х2г2в2

+ — ■ I е фп(2игЬ) е п- е • п

2% ик Н В-1 I

п п

1 -2тИх-2и?1г

- ---- I е (11 =

2% I -ЬI >Н

П

где Л2, и Л3 есть соответственно первый, второй и третий интегралы в предыдущем соотношении.

|«13| оценивается непосредственно, |«13|=0(1). Интеграл |«1г| оценивается стандартным образом с использованием леммы 1 (см. [5, с. 137]>.

Первый интеграл

В -2тсП(хВ +А )

-т.~ — ■ - I е п п ср (2*1;) сП =

2*

Вп 2

Вп ' Н * 1ФГ1 (2*1)1 <П

Вп 2

Подробная оценка этого интеграла сделана в работе [4], где показано, что Л1=0(1). Это заканчивает доказательство теоремы 2.

Теперь легко доказать теорему 1. Для этого, используя условие (3) теоремы 1, а также соотношения (1) и (2),несложной проверкой убеждаемся, что выполнены условия 1 ),2) и 3) теоремы

2. А это означает.что для сл.в. *п также имеет место локальная предельная теорема.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феллер В. Введение е теорию вероятностей и ее праяогенгя. м.: нир,1968. т.:.

2. Ваш I.E., Billingsley P. Asymptotic distributions for the coupon collector's problem // Ann. Math. Stat. 1965. 36. t*. 1835-1839.

3. НвОиев И. Локальная предельная теорема с оценками остаточного члена в задаче времени ожидания // Исследования по вырождающимся дифференциальным уравнениям и предельным теоремам теории вероятностей. Ташкент, 1985. С. 43-47.

4. Фомин А.С. Локальная теорема для серий независимых, разно-распределенных в серии, целочисленных случайных величин // Вероятностные задачи прикладной математики. Петрозаводск, 1964. С.70-75.

5. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

Труда Петрозаводского государственного университета Серия "Математика" Еыпуск 1, 1993 г.

УДК 511.45 Широков Б.М.

ОМ A LENGTH OF THE CONTINUED FRACTION'S PERIOD

В статье дана оценка количества чисел d из отрезка натурального ряда, для которых непрерывная дробь для имеет большой период.

Let L(d) be the length of the continued fraction’s period of Vd for d that isn’t a square of an integer. Let p be a prime number, N, P,Q,k,r, я -natural numbers.

FYom the resulte of E.V.Podsypanin [1] it follows

L(d) = 0{Vd log d).

From the results of E.P.tiolubeva (2) it follows

where x is a character of the quadratic field Q(\/3), u(d) is a number of prime divisors of d.

In the paper [3] has been proved that for any real К > 0 and for

sufficiently great N the number of integers d, N < d < 2N, for which

L(d) > Ky/d don’t exceed cN/\ogK witb absolute constant c.

The irrational

where P anu Q sutisfy to the congruence

P7 = d (mod <7) (2)

is called reduced if 0 < ( < 1 and conjugate number £' < —1,

С = (P - Vd)/Q. By other words, £ is reduced if

0 <P<Vd, \fd-P<Q<Vd + P