CC BY
35
УДК 517.977
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
ЛОКАЛЬНО ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ ТИПИЧНЫ
H. А. Бодунов1, С. А. Колбина2, С. Ю. Пилюгин3
I. С.-Петербургский государственный электротехнический университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
2. С.-Петербургский электротехнический государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
3. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение. В общей теории управления системы типа «вход-выход» являются одной из основных абстрактных моделей (см. [1-3]).
Если исследуемая модель зависит от параметров, одной из наиболее изучаемых задач является задача о параметрической идентификации, т.е. об определении параметров системы по наблюдениям выходного сигнала (см., например, [4]).
В предлагаемой заметке мы показываем, что если размерность пространства параметров не больше, чем размерность пространства выходных сигналов, то типичная система локально параметрически идентифицируема [5] для почти всех значений входного сигнала и параметра.
Приведен пример, показывающий, что если число параметров больше размерности выходного сигнала, то соответствующее утверждение неверно.
2. Основная теорема. Рассмотрим систему типа «вход-выход», в которой входному сигналу x € R" сопоставляется выходной сигнал y € Rm. Будем считать, что рассматриваемая система зависит от параметра p € Rl.
Таким образом, моделью рассматриваемой системы является отображение
f : R" х Rl ^ Rm. (1)
Будем считать для определенности, что отображение (1) принадлежит классу C™ (R" х Rl, Rm).
Задача о параметрической идентификации состоит в определении неизвестного параметра p по результатам наблюдения выхода y [4].
Мы будем изучать свойство локальной параметрической идентифицируемости системы, формулируемое следующим образом.
Две пары (xi,pi), (x2,P2) € R" х Rl называются различимыми по наблюдению,
если
f (xi,Pi) = f (x2,P2).
Будем говорить, что система локально параметрически идентифицируема в точке Po € Rl при входном сигнале xo € R", если существует такое с > 0, что пары (xo,po) и (xo,p) различимы по наблюдению при всех p, удовлетворяющих неравенству 0 < \p -po| < с.
© Н. А. Бодунов, С. А. Колбина, С. Ю. Пилюгин, 2012
Это определение является модификацией на случай модели вида (1) определения локальной параметрической идентифицируемости, введенного в [5] при изучении моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений.
Как обычно, будем называть подмножество топологического пространства множеством II категории по Бэру, если оно содержит пересечение счетного набора открытых и плотных подмножеств.
Свойство элементов пространства называется типичным, если этим свойством обладают все элементы некоторого множества II категории.
В данной заметке мы показываем, что свойство локальной параметрической идентифицируемости типично (как по отношению к отображениям, задающим модель, так и по отношению к парам (хо,ро)).
Будем рассматривать пространство С(Мп хМг, Мт) с тонкой топологией Уитни, в которой база окрестностей отображения / состоит из отображений д, удовлетворяющих неравенствам
dkf dkg
dkl xdk2p ' dkl xdk2p
< eki,k2 (x,P)
при к! = (к[1),...,к[п)),к2 = (к^,...,^), к{1) + ... + к[п) + к™ + ... + к(21) = к, к = 0,1,..., для положительных функций ек1гк2 на КпхМг. Будем обозначать возникающее пространство буквой С.
Хорошо известно, что пространство С является пространством Бэра, то есть любое множество II категории плотно в нем.
Теорема. Пусть I < т. Тогда существует множество II категории £сС, обладающее следующем свойством: если / е С, то система, задаваемая отображением /, локально параметрически идентифицируема в точке ро е Мг при входном сигнале хо е Мп для пар (хо,ро), принадлежащих открытому и плотному подмножеству пространства Мп х Мг.
Доказательство. Предположим, что система вида (1) не является локально параметрически идентифицируемой в точке ро е Мг при входном сигнале хо.
В этом случае существует такая последовательность значений параметра рк е Мг, что рк = ро,рк ^ Ро при к ^оо и /(хо,рк) = /(хо,ро).
Представим
д/
0 = /(х0,рк) - /(х0,ро) = -7г(хо,Ро)(Рк-ро) + о(\рк -ро\)- (2)
др
Последовательность векторов
рк - ро
Vk =
\Pk -Pol
принадлежит единичной сфере в R; пусть v — предельная точка этой последовательности. Деля равенство (2) на \pk - Pol и переходя к пределу по соответствующей v последовательности индексов, мы получаем равенство
df
— (x0,po)v = 0. (3)
Так как = 1, равенство (3) означает, что
df
rank— (х0,ро) < /• (4)
dp
Рассмотрим 1-струйное расширение f (см. [6]), то есть отображение
F : М" х Ml ^ Мт х Rm" х Rml,
которое сопоставляет точке (x,p) тройку
/ df df \ F(x,p) = yf(x,p), —(х,р), ) (5)
(мы естественным образом отождествляем матрицы
df( , df ox op
с элементами евклидовых пространств соответствующих размерностей).
Пусть Д* — подмножество пространства Mml, соответствующее матрицам ранга, меньшего l, а Д = Мт х Мт" х Д*.
Хорошо известно (см., например, [6, с. 24]), что
Д* = Д* и ...и Д*_1,
где Д*, подмножество Mml, соответствующее матрицам ранга j, является гладким подмногообразием в Mml коразмерности (m - j)(l - j).
Из неравенства l < m (см. условие нашей теоремы) вытекает, что каждое из подмногообразий Д*,..., Д*_1 имеет положительную коразмерность в Mml. Поэтому произведения
Д- = Мт х Мт" х Д**, j = 0,...,l - 1,
являются гладкими подмногообразиями положительной коразмерности.
Из сильной теоремы трансверсальности Тома [6, 7] вытекает, что при любом j = 1,...,l - 1 существует такое подмножество L- II категории по Бэру в пространстве C, что для любого отображения f е L- его 1-струйное расширение (5) трансверсально к гладкому подмногообразию Д-.
В этом случае (см. [8]) множество F-1(Дд) является гладким подмногообразием пространства М" х Ml, коразмерность которого равна коразмерности Д-.
Так как коразмерности подмногообразий До,..., Д1_1 положительны, множество
М = (М" х Ml) ч (F-1(До) и ... и F^^l-i))
является открытым и плотным подмножеством пространства М" х Ml. Положим
L = Lo n ... nLl_i. Ясно, что L — подмножество II категории по Бэру в пространстве C.
Если / е С, а (х0,р0) е М., то
д/
-^-(х0,ро){А*и...иА11, (6)
а это означает, что система / локально параметрически идентифицируема в точке ро при входном сигнале хо (в противном случае выполнялось бы неравенство (4), противоречащее соотношению (6)). Теорема доказана.
3. Пример. Отметим, что при выполнении неравенства I > т («слишком много параметров») утверждение доказанной выше теоремы может не выполняться.
Чтобы не загромождать изложение излишними техническими деталями, рассмотрим случай I = 2 и т = 1 (перенос рассуждений на случай произвольных I и т очевиден).
Рассмотрим в пространстве параметров координаты р = (р\,р2); пусть
/ (х,р)=р1. (7)
Рассмотрим возмущение
д(х,р)=р1 + С(х,р1,р2) (8)
отображения (7), удовлетворяющее следующему условию: существует такое г > 0, что если
\хо\р°°\, \р1\<т (9)
и
Н(р1,р2) =р° + С(хо,р°,р1) - С(хо,р1,р2),
г
\Н(Р1,Р2)\ < - И
эн др1
<\ (Ю)
при р\, \р2 \ < г.
Рассмотрим произвольную точку (хо,ро), удовлетворяющую неравенствам (9). Равенство
д(хо,р) = д(хо,ро)
равносильно равенству
р1 = Н (р1,р2 ).
Стандартные оценки из доказательства теоремы о неявной функции (см., например, [9]) показывают, что существует такая функция
р1 = Р р), Ы<г,
что
Р (р2 ) = Н (Р (р2),р2)
и Р(р2) р°1 при р2 ^ р0. Это означает, что
д(хо,р(р2),р2) = д(хо,р°,р2)
то
при всех p2 e (-r, r), то есть система, соответствующая отображению (8), не является локально параметрически идентифицируемой в точке po при входном сигнале xo.
Осталось заметить, что множество точек (xo,po), удовлетворяющих неравенствам (9), открыто, а условия (10) выполняются для отображений (8), принадлежащих открытому множеству в соответствующем пространстве C.
Таким образом, множество систем, обладающих свойством, описанным в доказанной выше теореме, не плотно в C (в то время как оно плотно при l < m).
Литература
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.
2. Bolton W. Control systems. Oxford, UK; Burlington, MA: Newnes, 2002. 181 p.
3. Zak S. H. Systems and control. Oxford: Oxford Univ. Press., 2003. 770 p.
4. Bohlin T. Practical grey-box process identification. London: Springer, 2006. 351 p.
5. Бодунов Н. А. Введение в теорию локальной параметрической идентифицируемости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 144 с.
6. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. M.: Наука, 1982. 303 с.
7. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. 290 с.
8. Demazure M. Bifurcations and catastrophes. Geometry of solutions to nonlinear problems. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2000. 301 p.
9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. M.: Mир, 1977. 232 с.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.
