Локальная параметрическая идентифицируемость линейных стационарных систем по однократному наблюдению их решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. А. Бодунов

ЛОКАЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ПО ОДНОКРАТНОМУ НАБЛЮДЕНИЮ ИХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрим зависящую от параметра линейную систему с постоянными коэффициентами:

х = А(р)х, х € Яп, р € Ет. (1)

Пусть х(Ь, хо,р) —решение системы (1) с начальным условием х(0) = хо.

Определение [1]. Будем говорить, что система (1) при р = ро локально идентифицируема по наблюдению решения х(Ь,хо,р) в точке Т > 0, если существует такое Д > 0, что

\\х(Т,хо,р) — х(Т,хо,ро)\\ > 0

при 0 < ||р — ро|| < Д.

Теорема 1. Пусть матрица А(р) непрерывна при р = ро и существует такое Д\ > 0, что

А(р)А(ро) = А(ро)А(р) (2)

при ||р — ро|| < Д1. Для любого хо € Яп, хо =0, и любого Т > 0 система (1) локально

идентифицируема при р = ро по наблюдению решения х(Ь,хо ,р) в точке Т тогда и

только тогда, когда существует такое 6 € (0, Д1], что

(А(р) - А(ро))хо = 0

(3)

для всех р, удовлетворяющих неравенству 0 < ||р — ро|| < 6.

Доказательство. 1. Достаточность. Фиксируем хо € Яп, хо = 0, Т > 0 и обозначаем О(р) = А(р) — А(ро). Ясно, что из (2) следует равенство В(р)А(ро) = А(ро)С(р). Можем записать

х(Т,хо,р) — х(Т,хо,ро) = еА(р)Т хо — еА(ро)Т хо =

= еА(ро)Т

= еА(ро)Т

Жр)Т_ е

х0 = еА(ро)Т

П(р)Т+

Б2(р)Т2

+...

хо =

Е | Р(р)Т | Д2(р)Г2 | '

2

6

В(р)Тхо,

где Е — единичная матрица. Предположим, что система (1) не является локально идентифицируемой при р = ро. Тогда найдется последовательность {рн}, рк = ро, рк ^ ро при к ^ то, такая, что х(Т,хо,рн) = х(Т,хо,ро). Это означает, что

е А(ро)Т

~Е | Р(Рк)Т | Р\Рк)Т2 | '

В(рк)Тхо = 0

2 6

при всех рк. В силу невырожденности матрицы еА(ро)Т из (4) следует, что

(4)

Е | Р(Рк)Т | Д2(Рй)Г2 | -

2

6

В(рк )хо = 0.

© Н. А. Бодунов, 2007

2

Но при малых Црк — ро|| матрица в квадратных скобках невырожденная. Отсюда следует, что при малых ||рк — ро||

а это противоречит условию (3).

2. Необходимость. Пусть система (1) локально идентифицируема при р = ро по наблюдению решения х(Ь,хо,р) в точке Т > 0. Предположим, что условие (3) не выполнено. Это означает, что существует такая последовательность {рн}, рн = ро, рн ^ ро при к ^ то, что

что противоречит условию локальной идентифицируемости. Теорема доказана.

Замечание. Нетрудно проверить, что условие (2) выполняется, если, например, матрица А(р) имеет следующий вид:

где щ (р) — непрерывные при р = ро функции, а А* — попарно перестановочные матрицы.

Известно [2, с. 95], что для любого нетривиального решения х(Ь) системы (1) существует предел

называемый строгим показателем Ляпунова решения х(Ь).

Теорема 2. Пусть матрица А(р) системы (1) непрерывна при р = ро и удовлетворяет условию (2). Если для некоторого хо € Яп, хо = 0,

при 0 < ||р — ро|| < А.2, А.2 Є (0, Ді], то система (1) локально идентифицируема при р = ро по наблюдению решения х(ї, хо,р) в любой точке Т > 0.

Доказательство. Фиксируем Т > 0. Предположим, что система (1) не является локально идентифицируемой при р = ро. Тогда найдется последовательность {рн}, рн = ро, рн ^ ро при к ^ то, такая, что

В [1] было установлено, что при выполнении условия (2) равенство (5) при рк, близких к ро, влечет выполнение тождества

В(рк )хо = 0,

(А(рн) — А(ро))хо = 0.

Но тогда

х(Т,хо,рн) — х(Т,хо,ро)= еА(ро)Т Е +

Р(Рк)Т Р2(Рк)Т2

26

+ ... В(рн)Тхо = 0,

А(р) = $3 аі(р)Аі?

і=1

Х[х(і,хо ,р)\ = х[х(і,хо,ро)}

(4)

х(Т,хо,рн) = х(Т,хо,ро).

(5)

х(і, хо,рн) = х(і, хо,ро),

из которого следует равенство

\[х(Ь,хо ,рн)] = х[х(Ъ,хо,ро)\,

противоречащее условию (4). Теорема доказана.

Для системы (1) строгими показателями Ляпунова ее решений служат вещественные части собственных чисел Хі(р), і = 1, 2,..., п, матрицы А(р).

С учетом этого из теорем 1 и 2 получаем следующий результат.

Теорема 3. Если матрица А(р) непрерывна при р = ро, удовлетворяет условию (2) и при 0 < ||р — ро|| < Дз, Дз Є (0, Ді]

{И,е Хі(р), і = 1, 2,...,п}П{Ке Лі(ро), і = 1, 2,...,п} = 0,

то для любого хо Є Яп, хо = 0, при р, близких к ро, выполнено условие (3).

Эта теорема со всей очевидностью допускает следующее обращение.

Теорема 4. Если матрица А(р) непрерывна при р = ро, удовлетворяет условию (2) и для некоторого хо Є Яп, хо = 0,

(А(р) — А(ро))хо = 0

при всех р, близких к ро, то существует такая последовательность {рн}, рн = ро, рн ^ ро при к ^ то, что

{И,еХі(рн), і = 1, 2, ...,п}П{И,еЛі(ро), і = 1, 2,...,п} = 0.

Summary

N. A. Bodunov. Local parametric identifiability of linear stationary systems via a single-time observation of solutions.

We consider a special case of a system of linear stationary differential equations, depending on a parameter. We obtain necessary and sufficient conditions of local parametric identifiability for the system via an observation of a solution at an arbitrary time moment. We analyze relations between the conditions obtained and the behavior of the spectrum of the system matrix.

Литература

1. Бодунов Н. А., Пилюгин С. Ю., Постников Е. В. Локальная идентифицируемость линейных систем по двухточечному наблюдению // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 1 (№1). С. 11-14.

2. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 240 с.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.