CC BY
38
ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТАВРОВЫХ НЕИДЕАЛЬНЫХ
СТЕРЖНЕЙ
LOCAL STABILITY OF T-SHAPED IMPERFECT BARS
A.B. Ильяшенко A.V.Ilyashenko
ГОУ ВПО МГСУ
В настоящей статье описан алгоритм расчёта сжатого начально искривлённого тонкостенного стержня таврового профиля, испытывающего действие внецентрен-ной нагрузки.
The algorithm of analysis of initially curved thin-walled bar with T-shaped profile under eccentric load is considered in the distinctive paper.
Задача о местной потере устойчивости сжатых тонкостенных стержней с исходными неправильностями в виде начальных прогибов пластинчатых элементов, представляется безусловно интересной при расчётах на несущую способность стальных конструкций. Метод расчёта на местную устойчивость центрально сжатых несовершенных профилей открытого профиля основан на принципе возможных перемещений и описан в работах [1]-[3]. В данной статье рассмотрим методику определения критической нагрузки при локальной потере устойчивости внецентренно сжатого начально искривлённого стержня таврового сечения. Работа полок имитируется совместно работающими тремя элементами-пластинками с одним упруго защемлённым краем и другим - свободным (рис.1). При этом короткие нагруженные грани пластинок опёрты шарнирно. Аппроксимирующие функции начальных и приобретённых прогибов пластинчатых элементов профиля и выражения, описывающие виртуальные работы ¿уГ^
всех внешних и внутренних усилий на j - ых возможных перемещениях для k - ой пластинки-полки, представлены в выше отмеченных публикациях. Наибольшие эксцентриситеты ex, ey приложения нагрузки возникают в середине по длине профиля.
Полагается, что этот участок стержня в пределах отрезка l, равного длине продольной полуволны, образовавшейся в результате искривления пластинок тавра, принимается в качестве расчётного. А поперечное сечение равно самому ослабленному локальной потерей устойчивости и определяется местом, характеризующимся наибольшими амплитудами стрелок начальных погибей пластинок. Полагая, что радиус кривизны изогнутой, вследствие внецентренно действующей нагрузки, оси профиля достаточно велик (а в докритической стадии общее искривление стержня ещё незначительно), приближённо считаем, что рёбра расчётного участка остаются прямолинейными. Таким образом, указанные выше допущения дают возможность аппроксимировать прогибы точек срединных поверхностей внецентренно сжатых начально искривлённых пластинок с помощью уже полученных функций в [1].Приобретённые прогибы
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
искривлённых пластинок, образующиеся в начальной стадии местной потери устойчивости, практически очень малы. Поэтому, квадратами, кубами и смешанными произведениями стрелок составляющих добавочных прогибов, можно пренебречь.
До момента местной потери устойчивости можно воспользоваться формулами сопротивления материалов для внецентренно сжатых элементов с недеформируемым профилем с целью выявления характера распределения напряжений по сечению стержня. Из рис.1 видно, что эти сжимающие напряжения в пластинке-полке распределены по трапеции. Вследствие малости толщины пластины по сравнению с другими её размерами, напряжения по толщине полагаем равными. Тогда в любом продольном волокне срединной поверхности пластинки тавра значения напряжений вычисляются с помощью простых зависимостей:
^ = -рК - - (К - К)^ , (1)
где р - среднее сжимающее напряжение в сечении стержня, определяемое выражением
Р
р = ■
(2)
сеч
Здесь Р - внецентренно сжимающая сила; ^сеч - площадь поперечного сечения стержня; кк, кк - безразмерные коэффициенты, определяемые отношением напряжений соответственно на начальной и конечной гранях к - ого пластинчатого элемента профиля (по формулам сопротивления материалов для внецентренно сжатого стержня с недеформируемым профилем) к среднему сжимающему напряжению р ; 5 - ширина пластинки.
Рис. 1
Напряжённое состояние внецентренно сжатой пластинки-полки
Так как в начальный момент местной потерн устойчивости составляющие виртуальных работ &Гк*, содержащие постоянные интегрирования Ак2, Ак3, Ак4, Ак5, весьма малы, принимаем последние равными нулю. Тогда, исходя из формул для напряжений (Тка [1] , последние в докритическом диапазоне определяются зависимостью
="Ак1 - Ак67 (3)
Сравнивая выражения (1) и (3) , получаем для к - ой пластинки - полки:
Ак1 - рК ; Ак6 = Р К - К) . (4)
Полагается, что выражение (4) справедливо и для начального момента локальной потери устойчивости. В результате несложных преобразований получим формулы для определения сумм работ всех внутренних и внешних усилий во внецентренно сжатой начально деформированной пластинке-полке на бесконечно малых возможных перемещениях. В целях сокращения выкладок введём следующие обозначения:
К = К - Кк] , (5)
где ЗТк* (у =1,2) - виртуальная работа внутренних и внешних усилий к - ой пластинки (для таврового сечения к =1,2,3) на возможном перемещении (¿>РТ)у в момент местной потери устойчивости при центральном сжатии стержня;
Ку - сумма всех членов, содержащих параметр р в ¿уГ* [2].
Тогда виртуальные работы &Г* в начально искривлённой пластинке-полке профиля, испытывающего внецентренное сжатие, будут иметь следующий вид:
= К + рТ Е2^ - 8Ж+(3^2 -16^+28)кк ]л 81
к +
[ - 2^ + 4)ЛкН + (^ - 2^ + ™)Нк ]/к2 ; (6) 21 2 3 п
= К* + Р^ [ Й- - + 4)К + - 2л + 1/к1 + 21 2 3 п
+ ~^ (~31+ 4 к к 2 , (7)
где 5 и tk - соответственно ширина и толщина к - ой пластинки;
/ку ( у = 1,2) - стрелки составляющих приобретённого прогиба пластинки стержня;
к* = (К - К ) ; кк = (К + К) .
+
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
Кроме того, одна из пластинок, составляющих стержень, выбирается в качестве «основной» (функция дополнительных прогибов которой содержит наибольшее число членов) с тем, чтобы через её параметры выразить все характеристики (постоянные интегрирования, прогибы и др.) остальных пластинок. Для этого пластинка обозначается условно символом « a ». Итак, получаем систему вариационных уравнений, описывающих критическое состояние внецентренно сжатого несовершенного тонкостенного стержня таврового профиля, составленного из пластинок-полок. Для этого в одноимённой системе уравнений, записанной для случая центрального сжатия [2], заменим (Tkj на (T* :
г у+ у Фцдг*e = 0 Л f 1 + Л f 01 k2 0
k=lvJ al k=14/ al
< (8)
Y + V ^L^r^ = 0
Laf°1k1 + Л 2 0 ,
k=14/ a 2 k =14/ a 2
где fa1, f2 - стрелки составляющих приобретённого прогиба «основной» пластинки
« a ».
Выразив с помощью геометрических и статических граничных условий [2] (учитывающих совместную работу пластинчатых элементов тавра) стрелки составляющих приобретённых прогибов fkj для всех трёх пластинок профиля через соответствующие параметры основной пластинки (fa1, fa2 ), и определив значение частных произ-
f „ „
водных типа -, получим систему линеиных однородных уравнении относительно
Öfai
неизвестных fa1, fa2. Тогда решение системы уравнений (8) сводится к исследованию главного определителя, составленного из коэффициентов линейных вариационных уравнений при стрелках fkj . Определитель раскрывается соответственно в квадратное
уравнение относительно параметра р . Варьируя величину l, также входящую в полученное уравнение, находим из последнего наименьшее значение параметра нагрузки
„м ~ 7
ркр, а значит, и соответствующую ему величину продольной полуволны l, возникшей
в результате локальной потери устойчивости. Очевидно, что величина р"рh™ax (значение максимального напряжения в пластинках профиля) должна быть не больше предела текучести стт материала стержня.
Литература
1. Ильяшенко A.B., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби. Труды института НИИпромстрой. Строительные конструкции и материалы. Защита от корро-зии.Уфа,1981, стр.110-119.
2. Ильяшенко А.В. К расчёту тонкостенных тавровых, уголковых и крестообразных профилей с начальной погибью. Сбор.науч.тр. НИИпромстроя. Свайные фундаменты. Уфа,1983, стр.110-122.
3. Ильяшенко А.В. О закритическом состоянии сжатых несовершенных тонкостенных стержней открытого профиля. Сб.трудов международной научно-практической конференции. Теория и практика расчёта зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. М, МГСУ 2009, стр.162-165.
The literature
1. Ilyashenko A.V., Efimov I.B. Strain-stress distribution after the local buckling of initially curved thin-walled compressed bars. Proceeding of institute Nllpromstroy. Building construction and materials. Corrosion protection.Ufa, 1981, pp.110-119.
2. Ilyashenko A.V. About analysis of initially curved thin-walled compressed bars of open cross section. Proceedings of the institute Nllpromstroy. Piled foundation. Ufa, 1983, pp.110-122.
3. Ilyashenko A.V. About the post-buckling behaviour of imperfect thin-walled bars of open cross section. Proceedings of the international scientific practical conference. Theory and practice of investigation of buildings, constructions and members. Analytic and numerical methods. M. MGSU 2009, pp.162-165.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, местная потеря устойчивости, внецентрен-ное сжатие, начальные несовершенства, прогиб, критическая нагрузка, пластинка, несущая способность, тавровый профиль
Key words: Thin-walled bar, the local buckling, eccentric compression, initial imperfections, deflection, critical load, plate, load-carrying capacity, T-shaped profile
Тел.: 8-903-629-40-16.
E-mail автора: avi 56@mail.ru
Рецензент: Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой Информатики и прикладной математики ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета
