Локальная стабилизация линейногообъекта управления импульсным сигналом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 А. Н. Чурилов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№ 1)

ЛОКАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕИНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫМ СИГНАЛОМ*

Рассмотрим систему управления, описываемую функционально-дифференциальным уравнением

dx

— =Ax + bf, а = с* х, / = Ma. (1)

Здесь A — постоянная вещественная v х v-матрица, b и c — постоянные v-мерные векторы-столбцы, звездочка обозначает транспонирование. Первые два уравнения (1) описывают линейный объект управления. Вектор x размерности v является вектором состояний, а f и а — скалярные функции, которые интерпретируются как вход и выход объекта соотвественно. Последнее уравнение (1) представляет собой уравнение регулятора. Предполагаем, что в качестве регулятора выступает импульсный модулятор, формирующий последовательность импульсов конечной длительности. При этом M является оператором, преобразующим непрерывные функции в кусочно-непрерывные и имеющим ряд специфических свойств [9-2]. Предполагаем, что оператор M обладает свойством каузальности, т.е. для любого момента времени t из соотношения ai (s) = a2(s) при s ^ t следует, что Mai (s) = Ma2(s) при s ^ t. Кроме того, он формирует возрастающую последовательность чисел {tn}^=2 (моментов импульсации) таких, что to = 1 и tn ^ при n ^ œ. Момент времени tn зависит лишь от значений входного сигнала a(s) при s ^ t. На интервале [tn, tn+i) функция f (t) = Ma(t) описывает форму n-го импульса. Предположим, что она непрерывна справа и сохраняет знак на любом тактовом интервале [tn, tn+i). В простейшем случае импульсы на выходе модулятора имеют прямоугольную форму:

f(t) i9 при t G [t„,tn)U[tn + rn, tn+i),

() \A„ при t G [tn, te + Tn),

где tn, An, тп —вещественные параметры, определяющие положение переднего фронта импульса, его амплитуду и ширину. Эти параметры (как и параметр tn ) являются функционалами от входного сигнала a(t), а закон их изменения называется законом модуляции: говорят, что импульсная последовательность f(t) модулируется сигналом

a(t).

Допустим, что система (1) имеет нулевое состояние равновесия, т.е. решение вида x(t) = 0. Предположим также, что заданный линейный объект может быть неустойчивым, т. е. матрица A может иметь собственные значения, расположенные в замкнутой правой полуплоскости. Тогда имеет смысл задача импульсной стабилизации — требуется подобрать характеристики модулятора таким образом, чтобы нулевое состояние равновесия системы (1) было устойчивым. Устойчивость системы (1) можно понимать и в ином смысле. Можно поставить задачу глобальной стабилизации, которая обеспечивает устойчивость нулевого состояния равновесия в целом, т. е. его область притяжения

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №02-01-00542), Совета по грантам Президента РФ (грант №00-15-96028) и государственной поддержке ведущих научных школ.

© А. Н. Чурилов, 2003

должна совпадать со всем фазовым пространством. (Такая стабилизация изучалась, например, в [4].) Тем не менее, для систем с импульсной модуляцией подобная постановка вопроса является чрезмерно ограничительной. Очевидно, для достижения глобальной стабилизации при использовании импульсов конечной длительности сигнал на выходе модулятора должен быть неограниченным. Тем самым обязательно должна присутствовать модуляция амплитуды импульсного сигнала. Для видов модуляции с ограниченной амплитудой (при широтной, частотной, фазовой модуляции) глобальная стабилизация недостижима. Вместе с тем, в этом случае можно ставить важную для практики задачу о выборе таких параметров модулятора, при которых нулевое состояние равновесия устойчиво «в большом», т. е. оно асимптотически устойчиво и обладает достаточно большой областью притяжения. При этом наиболее сложной является задача оценки этой области притяжения.

Задача стабилизации «в большом» для ограниченных управлений изучалась в ряде работ (см., например, [5, 6]), в том числе и для случая, когда в качестве регулятора выступает широтно-импульсный модулятор [7].

Рассмотрим последовательность средних значений импульсов на выходе модулятора:

in+1

Vn = J f (t) dt.

tn

Пусть функция a(t) = C = const. Рассмотрим f (t) = MC и предположим, что при любом C величина vn не зависит от n. Тогда vn = ^>(C), где <£>(C) —некоторая функция, которая называется статической характеристикой модулятора.

Сделаем важное предположение — допустим, что в окрестности точки а = 0 статическая характеристика модулятора <£>(а) линейна:

<£>(а) = уа, |а| ^ Д,

где у и Д — некоторые положительные числа. Пусть, кроме того, для любого тактового интервала [tn, tn+1) существует число tn G [tn, tn+1] такое, что

Vn = ¥>(a(tn)). (2)

Приведем примеры видов модуляции, для которых перечисленные свойства статической характеристики модулятора имеют место [6-3].

Пример 1. Рассмотрим импульсный модулятор, осуществляющий широтно-импульс-ную модуляцию первого рода (ШИМ-9) В этом случае tn = nT, где T — постоянное положительное число (период импульсации),

= i signa (nT ) при nT < t < nT + Tn, f ( ) [0 при nT + Tn < t< (n +1)T. ()

Ширина импульса Tn определяется из соотношения

Tn = F (a(nT )),

где F (a) — непрерывная неотрицательная четная функция. В наиболее распространенном случае

'T|а|/Д при |а| > Д,

F (а) = ,

IT при |а| > Д,

где Д — заданное положительное число. Тогда

. . (ст/Д при |а| < Д,

= 1 • I I ^ л

I вщпст при |а| ^ Д,

^ = 1/Д и условие (2) выполнено при ¿п = пТ.

Пример 2. Рассмотрим широтно-импульсную модуляцию второго рода (ШИМ-4). Как и в предыдущем примере, ¿п = пТ, а /(¿) удовлетворяет (3). Ширина импульса тп определяется как наименьший неотрицательный корень уравнения

|а(пТ + т )| = Ф(тп),

принадлежащий отрезку [0, Т]. Здесь Ф(£) = ¿Д/Т. Если такого корня нет, то тп = Т. Легко видеть, что статическая характеристика модулятора имеет такой же вид, как для ШИМ-1, причем ¿п = пТ + тп.

Кроме того, линейный участок вблизи нуля имеет статическая характеристика линейного интегрального широтно-импульсного модулятора [2, 1], а также некоторых видов комбинированных модуляторов (ампитудно-широтного или широтно-частотного).

Предположим, что число ^ таково, что матрица А + гурвицева, т.е. все ее собственные значения лежат строго слева от мнимой оси. Тогда нулевое состояние равновесия нелинейной системы

—— = Ах + (£>(<т), а = с*х

асимптотически устойчиво. Выясним, при каких условиях тем же свойством будет обладать импульсная система (1) и оценим область притяжения.

Для решения поставленной задачи применим метод усреднения [2, 3] и методы теории абсолютной устойчивости. В качестве основного аппарата исследования будем использовать метод линейных матричных неравенств. Линейные матричные неравенства давно и широко используется при исследовании нелинейных систем управления (см., например, [8, 9]). Традиционный подход к задачам абсолютной устойчивости состоит в сведении условий разрешимости матричных неравенств к некоторым неравенствам, включающим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы. (Наиболее известный результат такого рода носит название леммы Якубовича—Калмана или частотной теоремы.) Подобные неравенства обычно называют частотными. В 90-е годы в работах [10, 11] был предложен иной подход, связанный с анализом матричных неравенств непосредственно в пространстве состояний. Задача решения матричных неравенств была поставлена как задача выпуклого программирования и был предложен численный метод ее решения (метод эллипсоидов). Успеху этого направления исследований существенно способствовало развитие методов внутренней точки для решения задач выпуклого программирования, которые оказались очень эффективными с вычислительной точки зрения. Наиболее полное описание методов внутренней точки было дано в [12]. Первое систематическое изложение этих новых подходов применительно к задачам теории управления содержится в [13]. Развитию метода линейных матричных неравенств посвящен сборник [14] и десятки статей различных авторов. Заметим, что существующие алгоритмы обычно не позволяют описать все множество решений линейного матричного неравенства (это множество является выпуклым в линейном пространстве решений). За конечное число шагов они приводят

либо к одному из возможных решений задачи, либо к утверждению о том, что решения отсутствуют.

В настоящее время разработаны эффективные программные средства, позволяющие как проверять условия разрешимости, так и находить сами решения линейгых матричных неравенств теории управления. К наиболее известным пакетам программ для решения задач этого класса относятся пакет LMI Control Toolbox [15], входящий в стандартную поставку системы Matlab, а также некоммерческий (свободно распространяемый) пакет LMITOOLS, имеющий версии для систем Matlab и Scilab [16, 17]. В частности, проверка всех приводимых далее алгебраических критериев стабилизации была реализована с помощью LMI Control Toolbox и общих приемов моделирования, изложенных в [18].

Обозначим Tn = tn+i — tn. В дальнейшем будем предполагать, что

¿oT < T„ < G,

где T, ¿o — некоторые положительные числа. Рассмотрим сначала случай, когда tn = tn. Он имеет место для той разновидности импульсной модуляции, которая называется модуляцией первого рода. Определим симметричную линейную матрицу-функцию, которая зависит от вещественных симметричных v х v-матриц H:

Lo(H) =

HA + A*H HAb Hb b*A*H 0 0 b*H 0 0

Обозначим а = 2Т/л/тг, </ = Т/л/3, и = —с*Ъ, н\ = —с*АЪ. Определим симметричную матрицу, зависящую от скалярного параметра т:

Li(T ) =

М

* - а2A*cc*A a2KiY*c —мс + а1 кА*с а2 K1c*A т/q2 — а2 к| -а2кк1

—Мс* + а2кс*А —а7 kik 1 — т — а2 к2

Теорема 1. Пусть = и существуют симметричная V х V-матрица Н и число т, удовтетворяющие системе из двух линейных матричных неравенств

Определим эллипсоид

Lo(H) <Li(t),

Hc

А 2

> 0.

Q = {x G Rv | x*Hx < 1}.

Тогда, если для какого-либо числа n ^ 0 выполнено x(tn) G П, то

lim x(t) = 0, lim vn = 0.

(4)

(5)

(6) (7)

Доказательство. Преобразуем систему (1), используя схему усреднения [2, 3]. Определим кусочно-постоянную функцию «(£) = при ^ £ < ¿„+1 и функцию

г

«(*) =1 [/(*) - «(*)]

0

Сделаем в системе (1) замену переменных y = x — bu, e = c*y. Тогда первые два уравнения (1) можно переписать в виде

dy

— = Ау + Abu + bv, а = а + ни. (8)

dt

Определим квадратичные формы V(y) = y*Hy и

F(y, u, v) = — (v — ^c*y)2 + т(v2 — u2/q2) + a2(c*Ay + c*Abu + c*bv)2.

Неравенство (4) означает, что существует число J > 0 такое, что

2y*H(Ay + Abu + bv) + F(y, u, v) < — ¿(||y||2 + u2 + v2) (9)

при всех y, u, v. Из неравенств (4), (5) очевидно следует, что т > 0, H > 0. Из неравенства (5) получаем Д2 > c*H-1c. Отсюда справедлива импликация

y е п |c*y| < Д. (10)

Из (9) на решениях системы (8) имеем

^ + F(y,u,v) < _г(||у||2+и2+«2). (И)

Как показано в [2, 3], при сделанных предположениях справедливы интегрально-квадратичные ограничения

in + l 2 in+1 _ ^ 2 in+1

I [ä(t) - ~a{tn)fdt < f J dt, f u(t)2dt^±v2nTl

tn tn tn

Пусть при некотором п выполнено ж(£п) € О. Так как м(£п) = 0, имеем у(4п) = ж(£п). В силу (10) получаем |е*у(£п)| < Д и, значит, «п = ^<г(£п) = ^¿г(£п). Отсюда и из приведенных ранее интегрально-квадратичных неравенств следует, что

«п + 1

I F(у(*), «(*),«(*)) Л > 0. (12)

Тогда V(у(^п+1)) < V(у(4п)), откуда уп+1) € О. С помощью (11) несложно прийти к выводу о сходимости несобственного интеграла

2 + u2 + v2) dt.

Отсюда следует, что «п ^ 0 при п ^ то. Используя неравенство |м(£)| ^ Т|«(£)| [2, 3], получаем м(£) ^ 0 при 4 ^ +то. В силу того, что ) € О при к ^ п, заключаем, что вектор-функция у(4) ограничена вместе со своей производной, откуда у(4) ^ 0 при 4 ^ +то. Теорема доказана.

Теперь перейдем к рассмотрению общего случая, когда точка ¿п не обязательно совпадает с началом тактового интервала ¿п. Допустим, что при всех 4 функция /(¿)

удовлетворяет оценке |/(*) | ^ /о, где /о — некоторое число. Рассмотрим также функцию и>(£) = —с* ехр(А*)6 (импульсную переходную функцию линейного объекта). Рассмот-

рим число

т

ао = Д — /о ^ И*)|

и предположим, что это число положительно. Определим симметричную матрицу, зависящую от скалярных параметров т и е:

¿2(т,е) = ¿1(т) —

0 0 0 0 0 0

0 0 ^2к2Т2 + е

Определим число в = а^кТ и (V + 2)-мерный столбец

— К1

— к

Теорема 2. Пусть существуют симметричная V х v-матрица Н и числа т, е, удовтетворяющие системе из двух линейных матричных неравенств

¿2(т,е) — Ьо(Н) вд*

вд

> 0,

(13)

Нс

2

> 0.

(14)

Определим эллипсоид по формуле (6). Тогда справедливо утверждение теоремы 1. Доказательство. Из (1) следует, что при * ^ выполнено

г

а(£) = а(*„) + ^ Ц* — в)/(в) ¿5.

Из сделанных предположений видно, что если |а(*„)| ^ а о, то |а(*)| ^ Д при ^ * ^ + Т. В частности, |ст(£п)| ^ Д, откуда = ). Из неравенства (14), как и в

доказательстве предыдущей теоремы, заключаем, что если х(*„) € О, то |а(*„)| ^ а о и

=

Определим числа

4Т2

е1

1 +

^2к2

2 в2 2 2 2 от Н--, £2 = е + у« х -/

и квадратичную форму

^(у, и, V) = —(V — ^с*у)2 + т(V2 — и2/д2) + е1(с*Ау + с*А6м + *6«)2 + е2-у2.

Убедимся, что (13) влечет (9). Используя дополнение Шура [10], перепишем неравенство (13) в виде двух неравенств: е > 0 и

Ьо(Н) <Ь2(т,е) — в2дд*/е.

А*с

д

е

о

2

е

п

Правую часть последнего неравенства запишем в виде

-^2cc* + £lA* СС*А -£lXlA*C ^c - £ikA* c

—£1X1 c*A — т/q2 + £ix2 £1 kki

MC* — £ 1 КС* A £1 KKl —1 + T + £ 1K2 + £2

Таким образом, получено неравенство (9).

Как и в доказательстве теоремы 1, путем замены переменных перейдем к системе (8). Обозначим

n(t) = à(t) — a(t„), £(t) = à(t) — à(t„ )

при tn ^ t < tn+1. Тогда n(t) = C(t) + Ku(tn). Как показано в [2, 3], выполнено |u(t)| ^ T|v(t)| при всех t. Отсюда имеем

in(t)i < ш + |k| T |v(t)i

при всех t.

Если x(tn) = y(tn) G О, то при tn ^ t < tn+1 справедлива цепочка соотношений [v(t) — Mt)]2 = M2n(t)2 < [|£(t)| + |к|T|v(t)|]2. Отсюда, выделяя полный квадрат, получим

£2V2 — (v — Mà)2 > (£2 — M2К2T2)v2 — 2|K|TM2|e||v| — M2e2 >

Тогда справедливо интегрально-квадратичное ограничение (12).

Для завершения доказательства теоремы 2 следует воспользоваться рассуждениями из доказательства теоремы 1.

Summary

Churilov A.N. Stability conditions for a class of systems with impulsive action. A system of functional integral equations with impulsive action is considered. (In other terms it can be named a control system with pulse-frequency modulation.) Sufficient conditions for the boundedness of all solutions are obtained. The estimate of a domain of dissipation (of an output function) is given. The Lyapunov-type functions discontinuous in time are used.

Литература

1. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев, 1970.

2. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб., 1993.

3. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston, 1998.

4. Чурилов А.Н. Стабилизация линейной системы с помощью комбинированной импульсной модуляции // Автоматика и телемеханика. 2000. №10. С. 71-76.

5. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М., 1977.

6. Kamenetskiy V.A. A constructive method for feedback stabilization of affine control systems with input and state constraints // 1st Intern. Conf. "Control of Oscillations and Chaos", Proceedings. St. Petersburg, Russia, 1997. Vol. 2. P. 296-299.

7. Iwata T., Yamakita M., Furuta K. PWM-type discrete VSS controller for on/off actuator system // Proc. of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000. P. 5131-5136.

8. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, №6. С. 1304-1307.

9. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., 1978.

10. Pyatnitskiy Ye.S., Skorodinskiy V.I. Numerical methods of Lyapunov function construction and their application to the absolute stability problem // Systems Control Lett. 1982. Vol. 2, N 2. С. 130-135.

11. Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. Численные методы построения функций Ляпунова и критериев абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. 1983. №11. С. 52-63.

12. Nesterov Yu., Nemirovski A. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Philadelphia, 1994.

13. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia, 1994.

14. Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control / El Ghaoui L., Niculesku S.-I. (editors). Philadelphia, 1999.

15. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. The LMI Control Toolbox for use with Matlab. User's Guide. The Math Works Inc., 1995.

16. El Ghaoui L., Nikoukhah R., Delebecque F. LMITOOL: A front-end for LMI optimization. User's Guide. ENSTA/INRIA, 1995.

17. Nikoukhah R., Delebecque F., El Ghaoui L. LMITOOL: A package for LMI optimization in Scilab. User's Guide. ENSTA/INRIA, 1998.

18. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб., 2001.

Статья поступила в редакцию 20 июня 2002 г.