Локальная магнитная проницаемость метаповерхности в МГци ГГц-диапазонах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА

Локальная магнитная проницаемость метаповерхности в МГц- и ГГц-диапазонах

А. В. Сацкий,1' * Н.С. Перов1' ^

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра магнетизма Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 01.12.2023; после доработки 02.04.2024; подписана в печать 06.04.2023)

Работа посвящена изучению магнитного отклика метаповерхности из расщепленных кольцевых резонаторов (метаатомов) в мега- и гигагерцовом диапазонах. Предложена новая методика расчета локальной магнитной проницаемости метаповерхности в мегагерцовом диапазоне частот, учитывающая конечные размеры элементов, и впервые получен результат высокой степени точности совпадения с экспериментальными значениями. В гигагерцовом диапазоне учтены также такие факторы, как эффект запаздывания, неоднородное распределение тока в метаа-томе и усложнение характера взаимодействия метаатомов по сравнению с МГц-диапазоном, в частности возникновение электрического взаимодействия между ними.

РЛОЯ: 41.20.Gz УДК: 537.852.2

Ключевые слова: метаматериал, метаатом, взаимоиндукция, резонатор, электромагнитное поле, магнитная проницаемость.

БОТ: 10.55959/МЯШ579-9392.79.2430502

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день изучение метаматериалов является актуальной областью современной физики. Метаматериалы смогли привлечь к себе внимание благодаря предсказанным необычным свойствам, которые невозможно наблюдать у природных материалов, например отрицательный показатель преломления [1, 2]. Началом эпохи метаматериалов можно считать создание в 2001 г. первого ме-таматериала с экспериментально подтверждённым отрицательным показателем преломления [3]. Материалы, в которых могут быть получены отрицательные значения эффективной магнитной проницаемости, называют магнитными метаматериала-ми. Как правило, они состоят из немагнитных резонансных элементов различной формы [4, 5].

В 1999 г. Пэндри и др. [6] предприняли первую попытку определить отрицательную эффективную магнитную проницаемость метаматериала. Метама-териалы рассматривались как аддитивная система, т.е. свойства совокупности метаатомов в такой системе описывались алгебраической суммой свойств метаатомов. Однако в действительности в окрестности резонансной частоты межэлементное взаимодействие приводит к возникновению медленных магнито-индуктивных волн (МИ-волн), которые по сути являются распределением токов, наводимых в резонансных элементах [7, 8]. Существование маг-нито-индуктивных волн доказано в разных частот-

* Е-таП: satskiyalex@gmail.com ^ Е-таП: perov@magn.ru

ных диапазонах [9], и на их основе уже разработаны различные устройства [10-14].

В метаматериале, состоящем из расщеплённых кольцевых резонаторов, их взаимная ориентация [15, 16] и рабочий диапазон частот [17] определяют коэффициент взаимодействия метаатомов к, который, в свою очередь, оказывает существенное влияние на дисперсию МИ-волн [18, 19]. Таким образом, в силу наличия межэлементных взаимодействий система резонансных элементов не аддитивна. Это было впервые учтено при определении эффективной проницаемости в работе Горкунова и др. [20], где была разработана теория эффективной проницаемости бесконечного метаматериала, состоящего из взаимодействующих петель с током, в случае однородного возбуждающего переменного магнитного поля. Результатами рассмотрения бесконечного метаматериала из идентичных элементов было однородное распределение магнитного поля по всей структуре и сдвиг резонансной частоты в зависимости от межэлементного расстояния, которое тесно связано с величиной коэффициента взаимодействия к.

Подходя к проблеме с другой стороны, Шамо-нина и Солимар [21] использовали магнитостати-ческую аналогию между трехмерными магнитными метаматериалами и классическими диамагне-тиками с сильной отрицательной проницаемостью для рассмотрения ограниченного материала с конечным числом резонаторов. Однако изучаемый диапазон находился вдали от резонансной частоты, вне полосы пропускания МИ-волн, поэтому возбуждение всех элементов было также однородным по всему метаматериалу, и в этом случае МИ-волны также не возбуждались.

Наконец, возможность неоднородного распределения компонент локальной магнитной проницаемости ^1ОС была теоретически предсказана и экспериментально подтверждена в работе Шурига и др. [22] для трёхмерного материала. В последнее же время стало актуальным исследование метаповерх-ностей — двумерных метаматериалов [23, 24], в которых могут возбуждаться как распространяющиеся, так и затухающие МИ-волны [25, 26].

Первое теоретическое описание отклика метапо-верхности в полосе пропускания магнито-индуктив-ных волн было сделано в работе [27]. Кольцевые резонаторы рассматривались авторами как бесконечно тонкие витки с током, а их отклик на возбуждение электромагнитным полем — как отклик магнитного диполя, усредненный по объему ячейки. Таким образом, для метаповерхности конечных размеров было рассчитано распределение локальной магнитной проницаемости, вблизи мета-поверхности оказавшееся неоднородным. Однако, в работе были представлены только результаты численных расчетов.

Во всех работах, связанных с расчетом магнитной проницаемости метаматериала, использовалось усреднение отклика метаатома по объему ячейки, содержащей метаатом. Подобный подход приводит к тому, что результаты могут совпадать лишь на качественном уровне. Он не дает правильной оценки ни влияния формы метаатомов на свойства ме-таповерхности, ни распределения магнитного поля вблизи метаповерхности. По нашему мнению, для более точного предсказания величины локальной магнитной проницаемости метаматериала и ее пространственного распределения необходимо учитывать конечные размеры метаатомов.

В настоящей работе предложена методика расчета распределения локальной магнитной проницаемости в метаповерхностях конечных размеров с учетом особенностей взаимодействия метаатомов в мега- и гигагерцовом диапазонах, впервые учитывающая конечные размеры элементов. Также проведены анализ результатов, полученных в результате использования предложенной методики, и сравнение с результатами эксперимента.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В МЕГАГЕРЦОВОМ ДИАПАЗОНЕ

Ранее было показано [27], что вблизи резонансной частоты элементов основной причиной неоднородного распределения локальной магнитной проницаемости метаповерхности является неоднородное распределение токов в метаатомах как следствие их взаимодействия между собой.

В данной работе мы покажем, что для более точного предсказания характеристик метаматериала необходимо учитывать конечные размеры метаато-мов.

В МГц-диапазоне для метаатомов в виде нагруженных колебательных контуров взаимодействие

в основном носит магнитный характер (рис. 1, а) и коэффициент взаимодействия к можно определить как к = 2М/Ь, где М — взаимная индуктивность, Ь — собственная индуктивность контуров [8]. Для двух элементов в одной и той же горизонтальной плоскости он отрицателен, к < 0.

Рассмотрим конечную метаповерхность из N х N расщепленных кольцевых резонаторов (рис. 1, б). В МГц-диапазоне длина всей структуры много меньше длины ЭМ-волны, поэтому можно использовать квазистатический предел, или предел ближнего поля. Рассмотрим однородное гармоническое магнитное поле с амплитудой Но, направленное вдоль оси OZ. Это поле будет создавать во всех элементах одно и то же напряжение V = гш^оНопг2, вызванное изменением магнитного потока в плоскости элемента.

Токи, возбуждаемые в элементах, являются, в свою очередь, гармоническими и могут быть получены из общего соотношения [7, 8]:

V = ¿I ^ I = 2-1у, (1)

где V и I — N2-мерные векторы, описывающие напряжения и токи в элементах, а 2 — симметричная матрица импедансов размером N х N (^ — общее количество элементов). Диагональные элементы Zjj характеризуют собственный импеданс элементов в случае идентичных метаатомов Z^^ = Zо и в квазистатическом пределе могут быть записаны в виде импеданса эквивалентного ИЬС-контура:

Z0(w) = ((ш/ш0)2 — 1) х г/шС + Д, (2)

где шо = 1/\f~LC — частота циклического резонанса одиночного элемента, С — емкость элемента, Ь — его индуктивность, Д — сопротивление. Недиагональные элементы Zц характеризуют взаимодействие между элементами г и Для МГц-диапазо-на частот Zц = —гшМц, где Мц — взаимная индуктивность элементов г и ], которая может быть определена из эксперимента или численного моделирования по величине к [28].

На этом этапе мы учитываем только взаимодействие между соседями вплоть до третьего порядка, поскольку взаимодействие более высокого порядка не оказывает существенного влияния на результат и остальные элементы матрицы импедансов полагаются равными нулю.

Для рассматриваемых элементов в планарной конфигурации (структура и параметры метапо-верхности будут подробно рассмотрены ниже) рассчитанные значения коэффициентов взаимодействия равны: к = —0.11 для ближайших элементов; к2 = —0.032 для соседей второго порядка и кз = —0.01 для соседей третьего порядка. Решение уравнения (1) дает распределение токов I в элементах метаповерхности с учетом их взаимодействия.

В МГц диапазоне можно считать, что ток распределен по поверхности кольца равномерно [8]. Используя приближение абсолютно тонкого

б

Рис. 1. Система взаимодействующих резонаторов в виде эквивалентных Я^С-контуров (а) и схематичный вид метаповерхности (б)

кольца с током, распределение магнитного поля вблизи него можно рассчитать, используя закон Био-Савара-Лапласа:

1

Н(г) = —1ЫГ

4 ' л ггг

4п

•Г(г')

|г — г'|

дV'

(3)

вдоль метаповерхности в полосе пропускания МИ-волн. При этом предложенная методика учитывает не только неоднородность распределения токов в метаамтомах в данном частотном диапазоне [27], но и конечные размеры метаатомов.

где г' и ЗУ' — радиус-вектор и элемент объема элементарного тока в пространстве, г — радиус-вектор точки пространства, в которой вычисляется поле, Л (г') — плотность тока, V — объем распределения токов.

Стоит отметить, что данный подход не позволяет корректно рассчитать величину магнитного поля только в непосредственной близости резонатора (1 мм). В данной работе мы ограничимся расчетом локальной магнитной проницаемости в точках, лежащих на осях элементов, а значит, в силу симметрии задачи основную роль будет играть только вертикальная компонента магнитного поля Иг(г). Напряженность магнитного поля Нп в каждой точке пространства вблизи п-го резонатора линейно зависит от силы тока 1п, текущего в нем, следовательно, мы можем рассчитать распределение поля Нопе всего один раз для кольца с единичным током 1опе и потом рассчитывать Нп как

Нп(г) = Нопе (г) *

_1п

1оп,

(4)

Сначала по принципу суперпозиции мы рассчитываем в каждой точке магнитное поле Иг(г), создаваемое метаповерхностью, с учетом того, что магнитные поля от соседей четвертого и более порядка полагаются равными нулю.

После этого мы можем рассчитать локальную магнитную проницаемость

№ос(г) = Мг

Н,( г) Яо '

(5)

Таким образом, из распределения токов 1п в ме-таатомах, обусловленного коэффициентами взаимодействия между ними, мы можем рассчитать распределение локальной магнитной проницаемости Ле(мгое) и 1т(м1ос). Данное распределение существенно зависит от частоты (рис. 4) и неоднородно

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ГГЦ-ДИАПАЗОНЕ

В ГГц-диапазоне мы рассматриваем те же элементы, но уже без впаянного конденсатора (рис. 2, а, б). В этом случае длина волны возбуждающего излучения становится сравнима с размерами метаатомов, поэтому необходимо учитывать запаздывание [9, 15]:

Н(г)

1

4п'

-ГО"^

Л(г')е

;к|г-г' |

|г — г'|

■ЗУ'

(6)

где к — волновой вектор.

Теперь на локальную магнитную проницаемость метаповерхности большое влияние оказывает и неоднородность распределения магнитного поля вблизи метаатома [15], возникающая вследствие неоднородного распределения тока в нем (рис. 2, б). Для учета этой неоднородности рассмотрим распределение амплитуды тока в метаатоме как и в [32]:

I (Ф)

// а - Ь—т,

Ф2о

(7)

где а и Ь — константы, ф — угол вдоль окружности резонатора, фд — угол, соответствующий щели в резонаторе. Константы а и Ь подбираются таким образом, чтобы гарантировать отсутствие тока на границах щели и сохранить первоначальную величину среднего значения тока в метаатоме (т.е.

!-'ф. I(Ф) Зф =1).

Более того, наряду с магнитным взаимодействием, большую роль в ГГц-диапазоне начинает играть и электрическое взаимодействие между метаатома-ми. В связи с этим появляется зависимость коэффициента связи метаатомов от частоты возбужда-

а

а б

Рис. 2. Реальный резонатор в ГГц-диапазоне (а) и схематичное изображение модели резонатора с учетом конечной высоты метаатома (б)

ющего поля [33]:

к(ш)

«я - не —, ш2

(8)

где ке = 2С/К и К — взаимная емкость двух взаимодействующий метаатомов. Стоит отметить, что в общем случае электрическая и магнитная компоненты коэффициента связи в ГГц диапазоне также могут проявлять зависимость от частоты возбуждающего поля.

Ввиду значительного ослабления взаимодействия метаатомов с расстоянием в ГГц диапазоне частот [18] в данной работе при расчете распределения локальной магнитной проницаемости ме-таповерхности в этом частотном диапазоне учитывалось влияние только ближайших соседей. Для расчета коэффициентов взаимодействия куегг(ш) и к^ог использовались результаты численного моделирования пар метаатомов (соседствующих по вертикали и по горизонтали) в пакете СОМБОЬ и формула из работы [15]:

-2Т1{1~{-) Q ~ =

(9)

3. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

В качестве элементов магнитного метаматериа-ла в МГц диапазоне использовались расщепленные медные кольца с впаянной емкостью. Такие элементы с радиусом ro = 11.5 мм, шириной щели g =1 мм и резонансной частотой шо = 50.9 МГц подробно описаны в работе [29]. Использование подстроечных конденсаторов позволило добиться разброса резонансных частот для метаповерх-ности 7 х 7 из 49 элементов (рис. 1, б) в пределах ш0 = 50.83 ± 0.06 МГц, что составило ошибку ±0.02%. В качестве материала подложки для крепления элементов была выбрана бальса (балсо-вуд или balsa), чья диэлектрическая проницаемость

близка к проницаемости воздуха [30] и вносит минимальные искажения в измеряемый сигнал [5].

Для экспериментального исследования использовался векторный анализатор цепей Agilent (Keysight) Technologies FieldFox N9923A [31] в сочетании с двумерным координатным столом. Стол позволяет свободно перемещать приемную антенну в плоскости на заданной высоте над метаповерхно-стью. Измерение сигнала проводилось в центре метаатомов на высоте 2 мм от их верхнего края.

Были использованы два способа возбуждения:

1. Локальное возбуждение одного элемента ме-таповерхности антенной, изготовленной из жесткой части коаксиального кабеля с диаметром петли 5 мм (рис. 3, а).

2. Однородное возбуждение всей поверхности рамочной антенной (Transmit loop antenna) (рис. 3, б, в).

В связи с тем, что вычисление значения локальной магнитной проницаемости предполагает вычисление отношения сигнала приемной антенны ма-таповерхности к сигналу приемной антенны в отсутствие метаповерхности, на последний из сигналов накладываются ограничения по отношению сигнал/шум. Для улучшения данного отношения к этому сигналу был применен фильтр Баттерворта шестого порядка.

В результате измерений были получены экспериментальные значения магнитной проницаемости, усредненные по площади приемной антенны диаметром 5 мм (рис. 3, в). Однако поскольку эта площадь во много раз меньше площади метаатома, то, с нашей точки зрения, вполне уместно говорить о локальной магнитной проницаемости ^¡oc.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

В табл. 1 приведены экспериментальные значения параметров изолированного метаатома в МГц-

2

ш

б

Рис. 3. Внешний вид антенны и метаповерхности, использованных в работе. Рамочная антенна для однородного возбуждения (внешний диаметр 305 мм, внутренний — 245 мм) вместе с резонансным элементом метаповерхности в центре (а), вместе с метаповерхностью 7 х 7 метаатомов (размеры ячейки 24 х 24 мм, внешний диаметр метаатома 23 мм) (б) и измерительная антенна (диаметр кольца 5 мм)(в)

а

в

• Моделирование (филамснт) ■ Моделирование (конечные размеры) 'Эксмеримен I

'1

1. УК. *

* V 1 /У*-*" Г/ % 1 •

1 ) ■ 1 > 1

.........Ч............ И |( ■с

---Моделирование (филамент) ■ Моделирование (конечные размеры) х Эксперимент а

Частота/ МГЦ

Частота /, МГЦ

Рис. 4. Зависимость действительной и мнимой компоненты магнитной проницаемости уединенного резонатора (а, б) и центрального элемента метаповерхности размером 7 х 7 при возбуждении однородным полем (в, г) от частоты на высоте 2 мм от верхнего края метаатома. Пунктирная линия — результаты моделирования филаментных токов, сплошная линия — результаты моделирования с учетом конечных размеров метаатомов, точки — результаты эксперимента

диапазоне частот и значения, используемые при моделировании его отклика.

Частотная зависимость магнитной проницаемости для уединенного резонатора показана на рис. 4, а, б. Как видно из рисунков, результаты моделирования Ке(р1ос) и 1т(м1ос) для изолированного метаатома (сплошная линия) находятся в очень

хорошем согласии с экспериментом (точки). Для сравнения показаны результаты, полученные без учета конечных размеров метаатома, с использованием модели филаментного тока [27] (рис. 4, в, г). Видно, что предыдущие результаты лишь качественно совпадают с экспериментом.

Рис. 5. Локальная магнитная проницаемость в плоскости ХУ (оси координат согласно рис. 1, б; расстояния в мм) при возбуждении метаповерхности 7 х 7 метаатомов однородным полем. Экспериментальные значения реальной части Ке(^1ос) (а) и мнимой части 1ш(^1ос) (б) на высоте 2 мм над поверхностью, результаты моделирования Ке(^1ос) (в) и !ш(^ос) (г) в центрах метаатомов на частоте 50.2 МГц. Резонансная частота = 50.85 МГц

Эксперимент Re(/i) 50.2 МГц

1 : 1S0

- 160

10 140

S 120

0 100

-5 SÜ 60

1 40

« 20

■ -20

Эксперимент 1т(д ) 50.2 МГц

20 40 в0 S0 100 120 140 160 180

П

20 40 60 S0 100 120 140 160 1S0

20

В • 1S0 160

10 140

5 120

0 100

-5 so

60 40

1 20

■ ш

П

20 40 60 S0 100 120 140 160 180

20 40 60 SO 100 120 140 160 1S0

-15

-20

б

а

в

г

Таблица 1. Параметры изолированного метаатома в МГц-диапазоне

Эксперимент Моделирование

/о, МГц 50.96 50.96

Q 145.6 141.7

С, пФ 335-350 340

R, Ом 0.065

Отклик метаатома существенно меняется в случае, если он окружен подобными элементами (рис. 4 а, б). За счет взаимодействия с соседними метаатомами происходит возбуждение МИ-волн в метаматериале, что приводит к усложнению характера отклика. Видно, что учет конечных размеров метаатома приводит к хорошему количественному согласию экспериментальных данных и данных моделирования отклика уединенного резонатора. В то же время можно отметить некоторое расхождение результатов в полосе пропускания МИ-волн.

В дальнейших исследованиях необходимо учесть взаимодействие большего числа соседей, вплоть до самых удаленных, а также увеличить точность позиционирования метаатомов в эксперименте и точность подбора величины коэффициента взаимодействия при моделировании.

На рис. 5 приведено сравнение распределений локальной магнитной проницаемости вблизи всей ме-таповерхности, рассчитанных численно и полученных экспериментально на высоте 2 мм. Для удобства сравнения результатов на рис. 5 были показаны данные только для случаев расположения антенны прямо над центрами каждого из метаатомов, хотя предоженный в данной работе численный подход позволяет получить гораздо более высокую детализацию. Здесь также наблюдается хорошее согласие результатов не только на качественном, но и на количественном уровнях (на рис. 5, г присутствует примесь соседней моды).

Наконец, приведем результаты численного моделирования в ГГц-диапазоне для метаатома с параметрами, указанными в табл. 2.

Здесь мы также рассматривали метаповерхность размерами 7 х 7, состоящую из элементов той же

Моделирование Re(|a) 2.11 GHz

Моделирование 1т(ц) 2.11 GHz

20 40 60 80 100 120 140 160 180

20 40 60 80 100 120 140 160 180

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

Частота f ГГЦ

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

Частота f, ГГЦ

Рис. 6. Локальная магнитная проницаемость в плоскости XY (оси координат согласно рис. 1, б ; расстояния в мм) при возбуждении метаповерхности 7 х 7 метаатомов однородным полем. Результаты моделирования Re(^Ioc) и Im(^ioc) в центрах метаатомов на частоте 2.11 ГГц (а, б) при резонансной частоте метаатома f0 = 1.814 ГГц. Зависимость Re(^ioc) и Im(^ioc) центрального элемента метаповерхности размером 7 х 7 при возбуждении однородным полем от частоты (в, г)

Таблица 2. Параметры изолированного метаатома в ГГц диапазоне

Моделирование

/о,ГГц 1.814

Q 29

С, пФ 0.267

R, Ом 11.5

геометрии, что и в МГц-диапазоне, но без впаянного конденсатора. Щели всех элементов ориентированы в одну сторону (рис. 1, б). Как показано в работах [15, 32], в ГГц-диапазоне для элементов данной геометрии наведенный ток уже неоднороден вдоль метаатома, это не только приводит к возникновению существенного электрического взаимодействия, но и появляется различие в значениях для коэффициентов взаимодействия вдоль

оси Y и вдоль оси X. Подобная асимметрия взаимодействия в плоскости метаповерхности приводит к преобладанию полосового характера возбуждения (рис. 6, а, б). На рис. 6, в, г показаны значения Re(^;oc) и Im(pioc) для центрального метаатома при возбуждении однородным полем.

Так же, как и в МГц-диапазоне (рис. 4) видно существенное влияние взаимодействия метаатома с его соседями на характер частотной зависимости проницаемости. При этом при переходе от МГц к ГГц-диапазону частот для элементов подобной геометрии происходит резкое уменьшение показателя добротности почти в пять раз от 141.7 до 29. При той же величине возбуждающего поля это приводит к сильному уменьшению величины наведенного тока в метаатомах и, следовательно, их локального магнитного момента. Что, в свою очередь, приводит к существенному уменьшению диапазона значений локальной магнитной проницаемости.

б

в

г

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе был предложен усовершенствованный метод расчета локальной магнитной проницаемости метаповерхности с учетом не только взаимодействия метаатомов и конечного размера метаповерхности, но и реальных конечных размеров метаатомов в МГц- и ГГц-диапазонах. Проведено сравнение результатов численных расчетов в MATLAB и экспериментальных результатов при однородном возбуждении метаповерхности в диапазоне частот пропускания магнито-индуктивных волн. При моделировании ^¡oc в МГц-диапазоне впервые получен результат такой степени точности совпадения результатов моделирования с экспери-

ментальными значениями. Разработанная модель для расчета пространственного распределения напряженности магнитного поля Их и локальной магнитной проницаемости ^¡ос метаповерхности позволяет прогнозировать отклик метаповерхности с хорошей степенью точности и будет несомненно полезна при проектировании метаматериалов с заданными свойствами в МГц и ГГц-диапазонах. Результаты, полученные с использованием данного подхода, обладают высоким уровнем достоверности.

Авторы выражают благодарность доценту А.А. Радковской за ценные советы при планировании исследования и рекомендации по оформлению статьи.

[1] Veselago V.G. // Sov. Phys. Usp. 10. 509 (1968).

[2] Pendry J.B. // Phys. Rev. Lett. 85. 3966 (2000).

[3] Smith D.R., Padilla W.J, Vier D.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 84. 4184 (2000).

[4] Zhou J., Koschny Th., Kafesaki M. et al. // Phys. Rev. Lett. 95. Art. 223902 (2005).

[5] Radkovskaya A., Shamonin M., Stevens C.J. et al. // Microwave Opt. Technol. Lett. 46. 473 (2005).

[6] Pendry J.B., Holden A.S., Robbins D.J, Stewart W.J. // IEEE Trans. Microwave Theory Technol. 47. 2075 (1999).

[7] Shamonina E., Kalinin V.A., Ringhofer K.H., Solymar L. // Electron. Lett. 38. 371 (2002).

[8] Solymar L., Shamonina E. // Waves in metamaterials. Ox. Uni. Press. 213 (2009).

[9] Radkovskaya A., Shamonin M., Stevens C.J. et al. // J. Magn. Magn. Mater. 300. 29 (2006).

[10] Shamonina E. // Phys. Stat. Sol. (b). 245. 1471 (2008).

[11] Stevens C.J. // IEEE Trans. Power Electr. 30. 6182 (2015).

[12] Syms R.R.A., Floume T, Young I.R. et al. // Metamaterials. 4 1 (2010).

[13] Solymar L., Zhuromskyy O., Sydoruk O. et al. //J. Appl. Phys. 99. Art. 123908 (2006).

[14] Bui H.N, Pham T.S., Kim J. et al. //J. Magn. Magn. Mater. 494. 165778. (2020).

[15] Tatartschuk E., Gneiding N., Hesmer F. et al. //J. Appl. Phys. 111. Art. 094904 (2012).

[16] Radkovskaya A.A., Pal'vanova G.S., Lebedeva E.I. et al. // Bull. Russian Acad. Sci.: Phys. 77. 1401 (2013).

[17] Hesmer F., Tatartschuk E., Zhuromskyy O. et al. // Phys. Stat. Sol. (b). 244. 1170 (2007).

[18] Radkovskaya A., Sydoruk O., Tatartschuk E. et al. //

Phys. Rev. B. 84. Art. 125121 (2011).

[19] Radkovskaya A., Shamonina E. // Proceedings of Advanced electromagnetic materials in microwaves and optics (Metamaterials 2013). 79 (2013).

[20] Gorkunov M., Lapine M., Shamonina E., Ringhofer K.H. // Eur. Phys. J. B. 28. 263 (2002).

[21] Shamonina E., Solymar L. // Eur. Phys. J. B. 41. 307 (2004).

[22] Schurig D., Mock J.J., Justice B.J. et al. // Science. 314. 977 (2006).

[23] Chen H.-T., Taylor A.J, Yu N. // Rep. Progr. Phys. 79. 076401. (2016).

[24] Schmidt R., Slobozhanyuk A., Belov P., Webb A. // Scientific Reports. 7, Art. 1678. (2017).

[25] Tatartschuk E., Radkovskaya A., Shamonina E., Solymar L. // Phys. Rev. B. 81. Art. 115110 (2010).

[26] Radkovskaya A., Tatartschuk E., Sydoruk O. et al. // Phys. Rev. B. 82. Art. 045430 (2010).

[27] Radkovskaya A., Petrov P., Kiriushechkina S. et al. //J. Magn. Mater. 459. 187 (2018).

[28] Petrov P., Radkovskaya A., Shamonina E. // Proceedings of Advanced electromagnetic materials in microwaves and optics (Metamaterials 2015). 259 (2015).

[29] Radkovskaya A.A., Prudnikov V.N, Kotelnikova O.A. et al. // Bull. Russian Acad. Sci. Phys. 78. 136 (2014).

[30] http: //www.rfcafe. com/references/electrical/ dielectric-constants-strengths.htm

[31] https://www.keysight.com/

[32] Sydoruk O., Radkovskaya A., Zhuromskyy O. et al. // Magnetoinductive waves I: Chapter 14 in Theory and Phenomena of Metamaterials. Handbook of Artificial Materials. F. Capolino (Ed), CRC Press. 2009.

[33] Liu N, Kaiser S, Giessen H. // Adv. Mater. 20. 4521 (2008).

Local Permeability of a Metasurface in the MHz and GHz Ranges

A. V. Satskii", N. S. Perov6

Department of Magnetism, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Moscow 119991, Russia E-mail: asatskiyalex@gmail.com, bperov@magn.ru

The work is dedicated to the study of the magnetic response of a metasurface made of split ring resonators (meta-atoms) in the MHz and GHz ranges. A new method for calculating the local permeability of a

metasurface in the MHz frequency range is proposed, taking into account the finite sizes of the elements, and for the first time, a result of high degree of accuracy matching with experimental values has been obtained. In the GHz range, additional factors such as the retardation effect, non-uniform current distribution in the meta-atom, and the complexity of the nature of meta-atoms' interaction compared to the MHz range are also considered, in particular, the emergence of electrical interaction between them.

PACS: 41.20.Gz.

Keywords: metamaterial, metaatom, coupling, resonator, electromagnetic field, permeability. Received 01 December 2023.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 3. Pp. . Сведения об авторах

1. Сацкий Алексей Владимирович — выпускник аспирантуры физического факультета; тел.: (495)-939-1847, e-mail: satskiyalex@gmail.com.

2. Перов Николай Сергеевич — доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой магнетизма; тел.: (495)-939-1847, e-mail: perov@magn.ru.