CC BY
9
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022. Т. 30, № 2 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2022;30(2)
Научная статья УДК 517.9, 535.8
DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207
Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью
Е.В. Григорьева1, С. А. Кащенко2И
белорусский государственный экономический университет, Минск, Республика Беларусь
Региональный научно-образовательный математический центр при Ярославском государственном университете имени П. Г. Демидова, Ярославль, Россия E-mail: grigorieva@tut.by, Elkasch@uniyar.ac.ru Поступила в редакцию 10.01.2022, принята к публикации 16.02.2022, опубликована 31.03.2022
Аннотация. Цель. Исследуется локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью. Рассматривается система уравнений, описывающая динамику замкнутой цепочки большого числа лазеров с оптоэлектронной запаздывающей связью между элементами. Предложена эквивалентная распределенная интегродифференциальная модель с малым параметром, обратно пропорциональным количеству лазеров в цепочке. Для распределенной модели с периодическими краевыми условиями получено критическое значение коэффициента связи, при котором стационарное состояние в цепочке становится неустойчивым. Показано, что в определенной окрестности точки бифуркации число корней характеристического уравнения с близкой к нулю действительной частью неограниченно возрастает при уменьшении малого параметра. В этом случае в качестве нормальной формы построено двумерное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау с конвекцией. Его нелокальная динамика определяет поведение решений исходной краевой задачи. Методы исследования. Используются методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, применительно к критическим случаям (асимптотически) бесконечной размерности. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнению для медленно меняющихся амплитуд. Результаты. Получены простейшие однородные периодические решения уравнения Гинзбурга-Ландау и соответствующие им неоднородные решения в виде бегущих волн в распределенной модели. Такие решения можно интерпретировать как режимы фазовой синхронизации в цепочке связанных лазеров. Определены частоты и амплитуды колебаний интенсивности излучения каждого лазера и разность фаз между соседними осцилляторами.
Ключевые слова: бифуркационный анализ, волновые структуры, запаздывание, динамика лазеров.
Благодарности. Работа С. А. Кащенко поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 21-71-30011).
Для цитирования: Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью//Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 2. С. 189-207. DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207
Статья опубликована на условиях Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Article
DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207
Local dynamics of laser chain model with optoelectronic delayed unidirectional coupling
E. V. Grigorieva1, S.A. Kashchenko2^
1 Belarus State Economic University, Minsk, Republic of Belarus 2Regional Scientific and Educational Mathematical Center of the Yaroslavl State University, Yaroslavl, Russia E-mail: grigorieva@tut.by, Elkasch@uniyar.ac.ru Received 10.01.2022, accepted 16.02.2022, published 31.03.2022
Abstract. Purpose. The local dynamics of the laser chain model with optoelectronic delayed unidirectional coupling is investigated. A system of equations is considered that describes the dynamics of a closed chain of a large number of lasers with optoelectronic delayed coupling between elements. An equivalent distributed integro-differential model with a small parameter inversely proportional to the number of lasers in the chain is proposed. For a distributed model with periodic edge conditions, the critical value of the coupling coefficient is obtained, at which the stationary state in the chain becomes unstable. It is shown that in a certain neighborhood of the bifurcation point, the number of roots of the characteristic equation with a real part close to zero increases indefinitely when the small parameter decreases. In this case, a two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation with convection is constructed as a normal form. Its nonlocal dynamics determines the behavior of the solutions of the original boundary value problem. Research methods. Methods for studying local dynamics based on the construction of normal forms on central manifolds are used as applied to critical cases of (asymptotically) infinite dimension. An algorithm for reducing the original boundary value problem to the equation for slowly varying amplitudes is proposed. Results. The simplest homogeneous periodic solutions of Ginzburg-Landau equation and corresponding to them inhomogeneous solutions in the form of traveling waves in a distributed model are obtained. Such solutions can be interpreted as phase locking regimes in the chain of coupled lasers. The frequencies and amplitudes of oscillations of the radiation intensity of each laser and the phase difference between adjacent oscillators are determined.
Keywords: bifurcation analysis, wave structures, delay, laser dynamics.
Acknowledgements. The work of S.A. Kashchenko was supported by the Russian Science Foundation (project No. 21-7130011).
For citation : Grigorieva EV, Kashchenko SA. Local dynamics of laser chain model with optoelectronic delayed unidirectional coupling. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2022;30(2):189-207. DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Введение
Кооперативные эффекты в природных сообществах и в технических устройствах являются предметом постоянных активных исследований. Описание разнообразных проявлений синхронизации в ансамблях связанных осцилляторов, базовые модели и классификация функций связей приведены, например, в [1,2]. Отмечалось, что в процессах функционирования многих сетей неустранимым фактором может быть запаздывание вследствие конечности скорости распространения и преобразования сигналов между элементами. Особенности динамики сетей, обусловленные наличием временных задержек в линиях связи, обсуждались в обзоре [3]. Многие теоретические результаты были получены на основе локального анализа модели связанных фазовых осцилляторов [4] или метода сведения к отображениям при импульсной функции связи. В том числе были показаны возможность индуцированной запаздыванием мультистабильности синхронных режимов [5], формирование бегущих волн в замкнутом кольце осцилляторов [6, 7], кластерных состояний [8], вымирания колебаний из-за наличия запаздывающих связей [9] при учете амплитудно-фазового взаимодействия.
Особое внимание привлекают системы связанных лазеров в связи с перспективными приложениями таких сетей в фотонике и информационных технологиях [10]. Наиболее детально исследовалась динамика небольшого числа связанных лазеров. Оптическая связь осуществляется посредством взаимной (или однонаправленной) инжекции генерируемого излучения в активную среду лазеров. В этом случае благодаря симметричной связи сообщалось о полной синхронизации генерации двух полупроводниковых лазеров при расстройке их оптических частот [12]. В работе [11] продемонстрирована локализованная синхронизация (с различной амплитудой) колебаний интенсивности излучения двух неидентичных лазеров с несимметричной силой взаимной связи. Задачи надежной стабилизации излучения большого числа оптически связанных лазерных диодов рассматривались в работе [13].
Оптоэлектронная связь обычно осуществляется посредством модуляции тока накачки одного лазера в соответствии с изменениями интенсивности генерируемого излучения другого (других) лазера (лазеров). В работе [14] показано, что в модели двух лазеров, связанных через накачку, наблюдались синхронизация колебаний, резонансные эффекты и динамический хаос даже при отсутствии запаздывания. В работе [15] численно показана возможность синхронизации хаоса в двух лазерах на микрочипах Nd:YVÜ4 или в двухмодовом лазере [16]. Роль запаздывания в цепи связи двух лазерных диодов экспериментально изучалась в работе [17]. В работах [18,19] рассматривалась модель с двумя взаимно связанными идентичными лазерами при условии различных времен запаздывания в цепях связи. Наблюдался квазипериодический сценарий перехода к хаосу при изменении задержки и показана возможность подавления колебаний в случае наличия собственной запаздывающей обратной связи для каждого лазера. Расширение области устойчивой синхронизации колебаний в малых сетях лазеров при наличии собственной обратной связи отмечалось и в [20]. Рассматривались также модели динамики большого числа связанных лазеров. Численное исследование коллективных эффектов в цепочке, содержащей до 50 связанных полупроводниковых лазеров с насыщающимся поглотителем, работающих в режиме коротких пульсаций под действием аддитивного шума, представлено в работе [21]. Продемонстрирована устойчивая временная синхронизация моментов импульсов и синхронизация по амплитуде импульсов.
В настоящей работе исследуется локальная динамика большого числа связанных лазеров методом построения нормализованной краевой задачи. Определены критические значения параметров, при которых стационарная генерация (состояние равновесия) становится неустойчивой. Установлено соответствие между решениями квазинормальной формы и решениями исходной системы для связанных лазеров в закритической области параметров.
Материал статьи изложен следующим образом.
В части 1 обсуждается модель замкнутой (в кольцо) цепочки на основе скоростных уравнений для отдельного лазера. Связь предполагается однонаправленной, осуществляется через ток накачки. Выбор оптоэлектронной связи позволяет избежать сложности, связанной с моделированием многократных отражений и динамики фазы электрического поля, которые играет решающую роль при рассмотрении когерентной оптической связи. Число лазеров в цепочке предполагается большим.
Предложена распределенная интегродифференциальная модель, содержащая малый параметр, обратно пропорциональный числу лазеров в цепочке. В части 2 приводятся результаты анализа устойчивости состояния равновесия распределенной модели. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю число корней характеристического уравнения с близкой к нулю действительной частью стремится к бесконечности. Получены критические значения коэффициента связи, частоты и волновые числа возникающих бегущих волн в линеаризованной системе.
В части 3 построены решения нелинейной системы в виде рядов по степеням малого параметра. Для амплитуды первого члена разложения получена краевая задача с периодическими граничными условиями — двумерное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау с конвекцией. Исходя из решения этой квазинормальной формы находятся последовательно все остальные члены ряда, то есть строится решение исходной нелинейной системы с заданной точностью. Приводится пример простейших периодических решений квазинормальной формы и соответствующих бегущих волн в исходной интегродифференциальной модели.
О методике исследования. Отличительной особенностью рассматриваемых здесь задач является тот факт, что критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия имеют бесконечную размерность. Стандартные методы изучения, основанные на применении теории интегральных инвариантных многообразий и теории нормальных форм, оказываются непосредственно неприменимы. В работах [22-26] был разработан метод построения квазинормальных форм для бесконечномерных критических случаев. В настоящей работе этот метод эффективно применяется при изучении распределенных лазерных систем.
1. Модель цепочки лазеров с однонаправленными связями
В качестве базовой модели динамики отдельного элемента цепочки — лазера — выбрана стандартная система скоростных уравнений для плотности фотонов и(Ь) и инверсии населенностей активной среды у(Ь) в двухуровневом приближении [27],
и = уи(у — 1),
У = Я — У(1+ и), (1)
где точкой обозначена производная функции по времени которое нормировано на время релаксации инверсии населенностей; V — отношение скорости затухания фотонов в резонаторе к скорости релаксации населенностей; потери резонатора нормированы к единице, д — нормированная скорость накачки.
Отметим, что при д < 1 (малая скорость накачки) все решения системы (1) стремятся к единственному устойчивому состоянию равновесия с нулевой плотностью излучения, и = 0, что соответствует режиму отсутствия генерации излучения. С увеличением скорости накачки до значений д > 1 нулевое состояние становится неустойчивым и появляется устойчивое ненулевое состояние равновесия, соответствующее режиму стационарной генерации. При отклонении начальных условий от стационара могут наблюдаться слабо затухающие колебания с частотой шя = \/ — 1) + О (у-1), что типично для многих твердотельных и полупроводниковых лазеров при достаточно большом значении V [27].
Рассмотрим цепочку лазеров, связь между которыми реализуется оптоэлектронными средствами так, что скорость накачки каждого лазера зависит от плотности излучения одного соседнего лазера. Модель цепочки, замкнутой в кольцо, с однонаправленной связью принимает вид:
Щ = УЩ (у3 — ^
Уз = ^ — Уз(1 + из) — — т), (2)
где ] = 0, ±1, ±2,..., ±И — номер лазера в цепочке и выполнены условия (2И+1)-периодичности по индексу и^^м+1) = и]; слагаемое yuj+1(t — Т) описывает влияние на накачку ]-го лазера в текущий момент времени £ интенсивности излучения соседнего лазера в момент (£ — Т);
у — коэффициент связи между лазерами, который может принимать как положительные, так и отрицательные небольшие значения |у| < 1; Т > 0 — время задержки сигнала в оптоэлектрон-ной цепи связи, которое может варьироваться от пренебрежимо малых до больших значений; аргументы других функций , у3, если не указаны, соответствуют текущему значению
Модель (2) цепочки с однонаправленными связями можно рассмотреть как частный случай более общей модели ансамбля лазеров, каждый из которых связан со всеми через ток накачки,
Щ = уЩ (у3 - ^
N
Уз = д - у3(1 + и,) - у £ (2М + и3+1(1 - Т), (3)
1=-И
N
где д^ — коэффициенты, определяющие силу связей, причем ^ (2Ж + 1)-1д^ = 1. Пред-
1=-М
полагаем, что д13 зависят от расстояния между элементами так, что чем больше расстояние, то есть модуль разности индексов — Ц, тем меньше сила связи. Тогда для замкнутой цепочки с однонаправленной связью все д13 близки к нулю, кроме коэффициентов glj, и выполнены условия (2Ы + 1)-периодичности по индексу ].
В настоящей работе рассмотрим цепочку, количество элементов в которой является достаточно большим, N ^ 1, а затем введем параметр е = 2п(2Ы + 1)-1, для которого выполнено условие
0 < е < 1. (4)
Параметр е можно интерпретировать как расстояние между лазерами в цепочке длиной 2п. Тогда значение функций (¿), у3 (¿) можно ассоциировать со значением функций двух переменных и(Ь,х), у(Ь,х), соответственно, в точках некоторой окружности с фазовыми координатами х3 = £]. Условие (4) дает основание перейти от системы (3) к непрерывной пространственно распределенной системе для и(Ъ, х), у(Ь, х),
ди
т = т(у -1),
^ = д - у(1 + и) - у У ^(з)и(г - Т,х + в)^
(5)
с периодическими краевыми условиями
и(1,х + 2п) = и(1,х), у(1,х + 2п) = у(Ъ,х), (6)
где Р(5) — функция Гаусса,
(* - е)
Р(8) = ехр(-, ¡Р№ = 1.
(7)
Интегральное слагаемое в системе (5) обобщает соответствующие дискретные выражения, описывающие связь между элементами в уравнениях (3). Для модели цепочки с однонаправленной связью с соседним элементом удобно выбрать Р(в) в виде функции Гаусса по нескольким причинам.
Во-первых, функция (7) описывает ситуацию, при которой элемент цепочки в точке х наиболее сильно связан с элементом в точке х + е, а сила связи между другими элементами
цепочки экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния между ними. Действительно, для каждой фиксированной функции Ш(х) при о ^ 0 имеет место асимптотическое равенство
те
J ^(в)Ш(х + з)йв = Ш(х + е) + о(1). (8)
—те
Параметр о характеризует ширину пространственной области эффективного взаимодействия элементов. Эту область в непрерывной модели естественно выбрать меньше, чем расстояние е между лазерами в дискретной модели цепочки. Поэтому далее вместо о будем рассматривать параметр е2о ^ 1. Во-вторых, использование интеграла по бесконечному промежутку для 2п-периодической функции удобнее, чем интеграла по периоду 2п для более сложных функций. В-третьих, рассматриваемая связь удобна для аналитического исследования, поскольку точно вычисляются соответствующие интегралы от экспоненциальных функций:
те
J Р(,в) ехр^кз)^ = ехр(гке) ехр(-о2е4к2/2). (9)
—те
Таким образом, далее будем исследовать решения интегродифференциальной системы (5), (6) с бесконечномерным фазовым пространством С[0,2я](К2) х С*[—т,о](^2)-
2. Анализ устойчивости состояния равновесия
Система (5), (6) при д > 1 имеет однородное ненулевое состояние равновесия и(х, Ь) = и3,
у(х, г) = у8, где
д — 1
иа = -г—, Уз = 1. (10)
1 + у
Для исследования устойчивости состояния равновесия (10) удобно в системе (5), (6) перейти к малым отклонениям от равновесных значений Аи = и — и8 и Ау = у — у3-В результате, опуская префикс «А», переходим к краевой задаче
ди . . — = ьу(и3 + и),
те
ду [
— = —у(1 + и8 + и) — и — у Р (в)и^ — Т,Х +
(11)
с периодическими граничными условиями
и(Ъ,х + 2п) = и(1,х), у(Ь,х + 2п) = у(1,х). (12)
Рассмотрим далее задачу о локальной динамике системы (11), (12) при £ ^ те и при малых £ с начальными условиями из некоторой достаточно малой и независимой от е окрестности нуля. Поведение решений этой краевой задачи во многом определяется поведением решений линеаризованной системы
ди
— = уи3у, дЪ
те
ду [
= —у(1 + щ) — и — у Р (в)и^ — Т,х +
(13)
С учетом граничных условий (12) решения линейной системы (13) ищем в виде
и = Uk exp (ikx + \kt), У = Ук exp (ikx + X^t), к = 0, ±1, ±2,.... Тогда для нахождения значений X = X^ получим характеристическое уравнение
—X vus А = 0
Л—1 — yg(z)exp(—XT) —1 — иа — х) =0
или
X2 + (1 + us)X + vus [1 + yg(z) exp (—XT)] = 0, (14)
где g(z) = exp (iz — d2e2z2/2), z = ek, к = 0, ±1, ±2, . . .
Справедливы следующие утверждения общего характера.
Утверждение 1. Пусть при всех z £ (—ж, ж) все корни уравнения (14) имеют отрицательные вещественные части. Тогда все решения краевой задачи (12), (13) с начальными условиями из некоторой достаточно малой и независимой от е окрестности нулевого состояния равновесия стремятся к нулю при t ^ ж.
При этом условии задача о локальной динамике нелинейной системы (11), (12) тривиальна.
Утверждение 2. Пусть найдется такое z0, что при z = z0 уравнение (14) имеет корень с положительной вещественной частью. Тогда при всех достаточно малых е нулевое решение в (12), (13) неустойчиво и в малой его окрестности не существует аттракторов этой краевой задачи.
В условии этого Утверждения задача о динамике системы (11), (12) становится нелокальной.
2.1. Критический случай при о = 0. Рассмотрим критический случай в задаче об устойчивости периодического состояния равновесия. Пусть характеристическое уравнение (14) при всех z £ (—ж, ж) не имеет корней с положительной вещественной частью и пусть существует такое zq, что при z = zq это уравнение имеет корень с нулевой вещественной частью. Положив сначала в (14) формально о = 0, приходим к уравнению
X2 + (1 + us)X + vus = vusy exp (iz — XT). (15)
Выделим для (15) критический случай, когда есть корень X = ш и нет корней с положительной вещественной частью. Введем многочлен
Р (ю) = —ю2 + гш(1 + us) + vus,
и пусть
min IP(ю)|2 = IP(юо)|2.
ю
При нахождении минимума |Р (ю)|2 приходим к алгебраическому уравнению четвертой степени относительно у,
(q + y)2[4v(q — 1)(1 + у) — (q + у)2] — 4[v(q — 1)у(1 + у)]2 = 0. (16)
Действительный корень уо уравнения (16) определяет коэффициент связи, при котором стационарное решение теряет устойчивость. Расчеты показывают, что существуют два таких корня у±,
положительный и отрицательный, удовлетворяющие физическому требованию для коэффициента связи |у±| < 1. Далее будем указывать верхние индексы ± критических параметров в случае необходимости и опускать их в общем случае.
Значение у0 определяет частоту колебаний ю0 = ю(у0), где
2 (1+ и0)2 Я — 1 ппл ю0 = т,0----, и0 = —-. (17)
2 1 + У0
Обозначим фазу Р (ю0) в точке экстремума
Ш0(1+ ад)
ф0 = arctan-^ (18)
уи0 — ю0
и заметим, что из уравнения (15) следует ф+ + п(2п + 1) = г — ю+Т при у+ > 0 или ф— + 2кп = = г — ю—Т при у— < 0, п = 0, ±1, ±2....
Следующее утверждение определяет условия возникновения критических случаев для характеристического уравнения (14).
Лемма 1. Характеристическое уравнение (14) имеет решение X = гю+ при у = у+ и г = г+ = ф+ + п(2п + 1) + ю+Т, п = 0, ±1, ±2..., а также решение X = гю— при у = у— и г = г- = ф— + 2кп + ю—Т, п = 0, ±1, ±2....
Поскольку значения параметра г = ек связаны с волновыми числами к решений вида вхр(гкх + гюЬ) линеаризованной системы, то критическое значение г определяет «центральное» волновое число к ~ хпе—1 тех мод, которые возбуждаются при потере устойчивости стационарного состояния. Волновые числа к должны быть целыми в силу периодических краевых условий, поэтому введем поправку 9 = 9(е) £ [0,1), которая дополняет величину Х0£—1 до целого числа. Тогда в закритической области линейная система имеет решения вида ехр(гктпх + ш0Ь) с волновыми числами ктп из множества целых чисел Ке, которые можно представить в виде:
К£ = {г0е—1 + 9 + 2лпе—1 + т, п,т = 0, ±1, ±2,...}, (19)
где 2ппе—1 = (2И + 1)п — целое число, г0 = ф+ + п + ю+Т при у = у+ > 0 или г0 = ф— + ю—Т при у = у— < 0.
Введение поправки 9, дополняющей волновое число до целого, влечет за собой отклонение параметра г от критического 20 и частоты ю от Ю0 в критическом случае. Соответствующие поправки приведены в следующем пункте.
2.2. Критический случай при о = 0. Здесь получим асимптотическое представление корней характеристического уравнения (14), которым отвечают собственные функции ехр(гктпх + кЪ) линеаризованной системы с волновыми числами из множества целых чисел Ке, определенных в (19).
Учтем также о = 0 и малое отклонение параметра связи от критического значения у0 на величину порядка е2, то есть положим в уравнении (14)
У = У0 + е2У1, (20)
при этом в (14) значение и3 представляется в виде и3 = и0 — е2у1и0(1 + у0)—1 + 0(е4).
Для тех корней X = Хтп(е), п,т = 0, ±1, ±2,..., вещественные части которых стремятся к нулю при е ^ 0, выполнено асимптотическое равенство:
Хтп = г юо + ¿Хтп\ + £2Хтп2 + (21)
Хтп1 = г 8(6 + т),
ХтП2 = -82(6 + т)2 - 8о2(го + 2пп)2/2 - 7183,
где
^ 1+ио 8 > 0,
_ 2 + Т (1 + ио)'
82 = 8 [(1 - 8Т)2/2 + 82(тооуо)-1е"гфо],
83 = 8 [(1 + гыоу-1)е-фо - 1] (уо + у2)-1.
Для последующей интерпретации результатов нужно отметить, что £ХтП1 — чисто мнимая величина, которая является поправкой к основной частоте юо при волновом числе ктп.
Из разложения (21) следует, что при у = уо + е2у1 существует бесконечно много корней характеристического уравнения (14), вещественные части которых стремятся к нулю при е ^ 0. Таким образом, специфика рассматриваемой задачи состоит в том, что критические случаи имеют бесконечную размерность.
2.3. Решения линеаризованной системы (13). Каждому характеристическому корню Хтга(е) отвечает частное решение линеаризованной системы (13)
( итп) = [ао + е(т + 6)а1]^тга ехр {гктпх + Хтп1), (22)
\У тп /
где "Е,тп — амплитуда моды, определяемая начальными условиями, и
а =(М а = ( 1 ) г = 0 \г) ' 1 \г(1 + ' vu0'
Общим решением линейной краевой задачи (12), (13) является совокупность найденных частных решений,
(и(^ х \ V—л
' ( = / [ ао +£(т + 6)а1]^ тп ехр (1 ктпх + ХтпЪ). (23)
У( ,Х, £и т,п=-оо
Это решение можно записать в следующем виде, учитывая разложения (21) для характеристических корней Хтп = гюо - ег8(6 + т) + 0(£2) и выражения для волновых чисел ктп,
(и((.,Х,£\) = ^ £ [(ао + е6а1)+ ета^] 1тпе (24)
\у( , Х, £)/ т,п=-оо
где использованы обозначения: R = кх + Qt — бегущая переменная, к = zo£ 1 + 0 — главное волновое число, Q = юо + £00 — основная частота, и введены переменные X = х + ebt и Y = 2л£~1х.
Заметим, что выражение
те
£ 1тпе
т,п=-<х
можно рассматривать как разложение Фурье для функции ^(Х, У), которая 2п-периодична по обеим "квази"пространственным переменным, ^(Х, У) = ^(Х + 2п, У), ^(Х, У) = ^(Х, У + 2п). Учитывая, что
^ = V гт£тпе(гтХ+тГ),
дХ
г т\тп е'
решение (24) линеаризованной системы можно записать в виде
д I
= [(ас + -егагдХ]егКе0(£2) + с.с. (25)
3. Асимптотики решений нелинейной системы (11)
Решение нелинейной краевой задачи (11), (12) при у = уо + е2У1 будем искать, используя решение (25) линеаризованной системы и предполагая, что амплитуды \тп медленно меняются со временем.
Введем функцию ^(т, Х, У), которая зависит от медленной временной переменной т = А и которая 2п-периодична по пространственным переменным Х, У. Тогда решение и(Ь, х, т, Х, У) и у(Ъ, х, т, Х, У) нелинейной краевой задачи (11), (12) представим в виде ряда по степеням е
(и) = в [(ас + здВД - в^§] е« + е2 (%) + е' ) + ... + (26) Здесь функции
е2и,2 = £2(и,20 + и,22Р^2Я + С.С.), £2у2 = £2 (У20 + У22+ С.С.),
е3и3 = £3(из 1 егК + и32^2К + иззегШ + с.с.), ...
обозначают величины второго, третьего и т д. порядка по степеням е и амплитуды (т, Х, У), У2](т, Х, У),... гармоник основной частоты так же, как и ^(т, Х, У), медленно зависят от времени и являются 2п-периодичными по пространственным переменным Х, У.
Подставим (20) и ряды (26) в нелинейную систему (11). Вспомогательные ряды для производных и интегрального слагаемого приведены в приложении. Собираем коэффициенты при одинаковых степенях е и гармониках основной частоты. При этом последовательно находятся медленные амплитуды:
и20 = 0, У20 = 0, (27)
и22 = с—I2, У22 = (2гС - 1) — I2, (28)
ис ис
где
С = 1 + 2 г юс
4 гюсг + 2г(1 + ис) + 1 + у0е21фо'
где
Для разрешимости соответствующей системы относительно U31, уз\ должно быть выполнено условие существования. Последнее приводит к следующему комплексному уравнению для функции s(t,x,y ):
I = -S + «I2 + « § + uy f + Dx Ц + А-Ц, (29)
с периодическими краевыми условиями
l(r,X,Y) = s(t,x + 2п, Y), l(r,X,Y) = l(r,X,Y + 2п), (30)
а Y с т гюо(гrno + 1)(гС - 1)
а = Y1O3, т = -г-—
n2(2iю0 + 1 + u0 - Ty0vn0егфо)
ux = -2 i ô20, uY = -2 iôno2, Dx = O2, DY = ôo22n2
и выражения для ô, Ô2, Ô3 приведены в (21). Отметим, что коэффициент а при линейном члене уравнения (29) определяется величиной параметра надкритичности yi, причем Re а > 0, если Y+ > 0 и у1 > 0 (у- < 0 и у1 < 0). Коэффициенты переноса ux и диффузии Dx при пространственных производных в уравнении (29) являются комплексными и определяются только критическими значениями параметров. Коэффициенты uy и Dy определяются параметром о, который описывает ширину области эффективной связи между элементами кольца лазеров. Используя выражения для ô и Ô2, можно показать, что коэффициенты диффузии имеют положительную действительную часть:
Re Dx = ô--;-ГТ77--0—;-т^т^ > 0, Re Dy = 2п2о2ô > 0,
Х (2 + T (1+U0))2(®2 + (1+U0)2/2) , Y ,
поэтому уравнение (29) описывает диссипативную систему.
Краевая задача (29), (30) играет роль нормальной формы: ее нелокальная динамика определяет, при достаточно малых е, поведение всех решений нелинейного уравнения (11) с начальными условиями из некоторой достаточно малой и не зависящей от е окрестности нулевого состояния равновесия. По самому построению краевой задачи (29), (30) следует связь между ее решениями и решениями уравнения (11), что устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть выполнено условие у = у0 + е2у1 и пусть краевая задача (29), (30) имеет решение s0(t, X, Y), ограниченное при т ^ œ и X G (0,2п], Y G (0,2л]. Тогда функции
u(t, х) = el0(e2t, х + eôt, 2ле-1 ж)ег(^-1+е)ж+г»о* + с.с., y(t,х)=еrl0(e2t,х + eôt, 2ш-1х)ег(^-1+е)ж+гюо1 + с.с. (31)
удовлетворяют уравнению (11) с точностью до 0(е2).
3.1. Периодические решения краевой задачи (29), (30). Краевая задача (29), (30) является двумерным комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау с конвекцией [28].
Здесь рассмотрим простейшие решения при типичных для лазеров класса В значениях параметров.
В квазинормальной форме (29), (30) имеются слагаемые с коэффициентами, зависящими от параметра о. Последний характеризует размер области эффективного пространственного
взаимодействия между элементами распределенной модели кольца (5). Дискретной модели (3) цепочки лазеров с однонаправленной связью наиболее естественно будет соответствовать квазинормальная форма (29), (30) с параметром о ^ 0, тогда коэффициенты uy, Dy ^ 0 и приходим к квазинормальной форме для функции ?(т, X), зависящей от одной пространственной переменной,
- = а? + + ^ + Dx gX2,
l(x,X ) = ?(т,Х + 2n). (32)
Простейшим решением квазинормальной формы (32) является однородное в пространстве и периодическое во времени решение
?о(т,Х )= peim2X+^, (33)
где
2 Re а 2 т тр =--, ю2 = Im а + р ImL
ReL
и ■ф — начальная фаза колебаний, определяемая начальными условиями. Коэффициент при нелинейном слагаемом в уравнении (32) является ляпуновской величиной, определяющей направление бифуркации. Известно, что при Re L < 0 имеет место суперкритическая бифуркация, в результате которой возникает устойчивый цикл малой амплитуды в закритической области Re а > 0. При Re L > 0 имеет место субкритическая бифуркация, в результате которой образуется неустойчивый цикл в докритической области Re а < 0. Тогда в исходной системе возможно наблюдение бистабильности режимов: при малых отклонениях начальных условий от стационара система остается устойчивой или, при достаточно больших отклонениях, уходит к другому аттрактору.
Однородному по пространственной переменной решению (33) уравнения (32) соответствует неоднородное решение уравнения (13) в виде устойчивой бегущей волны с волновым числом к = z0 е-1 + 6:
u(t, ж) = 2ер cos (кж + (ю0 + eS6 + 0(е2))t) +0(е2),
y(t, х) = 2е—р sin (кж + (ю + еЬ6 + 0(е2))t) + 0(е2), (34)
u0
причем в силу целого значения к удовлетворены условия u(t, ж) = u(t, ж + 2п) и y(t, ж) =
= y(t ,ж + 2п).
В свою очередь, неоднородное решение (34) соответствует устойчивому режиму фазовой синхронизации цепочки связанных лазеров. Каждый элемент цепочки (лазер) испытывает колебания интенсивности излучения с одинаковой для всех элементов амплитудой и частотой со сдвигом фазы на величину z0 + О(е) относительно соседнего элемента, Uj (t) = u(t, ej).
Приведем пример расчета решений в виде бегущей волны при следующих значениях параметров: скорость накачки q = 1.5, скорость затухания фотонов в резонаторе v = 100, запаздывание в цепи оптоэлектронной связи Т = 0.2 и пусть в цепочке связаны 63 лазера, тогда е = 2п/63 = 0.09973. Отметим, что значение е нужно вычислять с высокой точностью, чтобы при большом волновом числе были удовлетворены периодические граничные условия. Учитывая, что параметр v принимает достаточно большие значения в случае лазеров класса В, можно использовать оценочные формулы для коэффициентов квазинормальной формы (32). Из уравнения (16) находим критические значения коэффициента связи между лазерами:
Y± = + 0(v-1). (35)
\Jv(q - 1)
Этим значениям коэффициентов связи соответствуют частоты возникающих бегущих волн, сопоставимые с частотой затухающих колебаний юд = \/ь(д — 1) для уединенного лазера,
ю0 = юл ± 2 + °(v ) в окрестности (неустойчивого) стационарного состояния
(36)
«0= = 9 - 1 +0(v-1).
(37)
Комплексный коэффициент диффузии представляется как
D
02 /ад0
2(1+«0) - 4(1+«0)2/ [2 + Т (1 + «±)]3
+ 0(v-1)
(38)
откуда следует, что коэффициент диффузии всегда имеет положительную действительную часть и уменьшается по модулю с увеличением запаздывания в цепи связи Т. Для ляпуновской величины, определяющей направление бифуркации, получаем
L
±
-5g ± i(^vq± 6^v(q - 1)) + 0( -1/2) 18(«0 )2[2 + Т (1 + «±)]3 + ( ^
(39)
откуда следует, что Ив Ь± < 0 в случае большого V, что справедливо для лазеров класса В.
Получаем для положительного значения критического уровня коэффициента связи у+ = = 0.219, частота = 6.327, параметр 9+ = 0.332, центральное волновое число к+ = 59, коэффициент диффузии = 0.234 + 0.026г, ляпуновская величина Ь+ = —1.059 — 6.274г, параметр надкритичности а+ = 2.719 — 2.286г при у1 = 1, амплитуда цикла р+ = 0.764, частота возникающих колебаний с учетом поправки на целое волновое число = 6.347. На рис. 1 показано мгновенное распределение интенсивности излучения у, ] = 0, ±1, ...31 лазеров в цепочке относительно равновесного уровня и8, где Uj = и(е], 0) согласно формуле (34). Разность фаз между соседними элементами цепочки составляет 2+ + О(е) ~ ~ 5.87. С течением времени по кольцу циркулирует бегущая волна.
Для отрицательного значения критического уровня коэффициента связи у- = = —0.204, частота возникающих колебаний равна ю- = 7.843, разность фаз между соседними элементами цепочки = 3.04, параметр 9- = 0.64, центральное волновое число к+ = 31, коэффициент диффузии И-- = 0.256 + 0.027г, ляпуновская величина Ь~ = —0.484 — 2.436г, параметр надкритичности а- = —3.526 — 4249г при у1 = 1, амплитуда цикла р- = 1.202, частота колебаний с учетом поправки на целое волновое
-2
Рис. 1. Мгновенное распределение интенсивности излучения из, ] = 0, ±1, ...31 лазеров в цепочке относительно равновесного уровня иа при у = у+ — е2 = 0.229. Разность фаз между колебаниями соседних элементов цепочки = 5.87
Fig. 1. Instantaneous distribution of radiation intensity Uj, j = = 0, ±1, ...31 of lasers in the chain with respect to the equilibrium
0.229. Phase difference between
+ _
y+
level us at у
oscillations of adjacent elements of the chain z0+ = 5.87
число ю- = 7.89. На рис. 2 показано мгновенное распределение интенсивности излучения у, ]=§, ±1, ...31 лазеров в цепочке относительно равновесного уровня ия. Поскольку разность фаз колебаний интенсивности соседних лазеров близка к п, то можно наблюдать живущие некоторое время полосатые структуры.
Отметим, что комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау может иметь и другие нестационарные неоднородные решения, включая диффузионный хаос, которые рассматривались ранее во многих работах, например в [28]. Тогда и решения распределенной модели цепочки могут быть существенно сложнее. Требуются дополнительные исследования с учетом конвекции, присутствующей в нормализованном уравнении, устойчивости возможных режимов, что представляется предметом отдельного исследования.
Заключение
В настоящей работе предложена распределенная интегродифференциальная модель с запаздывающим аргументом для описания динамики цепочки лазеров в случае, если число элементов является достаточно большим.
В результате линейного анализа распределенной модели с учетом малого параметра, обратно пропорционального числу лазеров в цепочке, получены критические значения коэффициента связи, при которых стационарное состояние в цепочке становится неустойчивым. Показано, что в определенной окрестности точки бифуркации число корней характеристического уравнения с близкой к нулю действительной частью неограниченно возрастает при уменьшении малого параметра. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнению для медленно меняющихся амплитуд применительно к критическим случаям (асимптотически) бесконечной размерности. Получено двумерное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау с конвекцией и с периодическими граничными условиями в качестве нормальной формы. Его нелокальная динамика определяет поведение решений исходной краевой задачи.
Получены простейшие однородные периодические решения уравнения Гинзбурга-Ландау и соответствующие им неоднородные решения в виде бегущих волн в распределенной модели. Такие решения можно интерпретировать как режимы фазовой синхронизации в цепочке связанных лазеров. Определены частоты и амплитуды колебаний интенсивности излучения каждого лазера и разность фаз между соседними осцилляторами.
Приложение
Вспомогательные ряды для построения нормальной формы
Приведем вспомогательные выражения для слагаемых в уравнении (11). Поскольку т = А и X = х — еЬто ^ = — еЬ^. Далее, принимая во внимание выражения для ао и а\,
Uj О
-2
Рис. 2. Мгновенное распределение интенсивности излучения Uj, j = 0, ±1, ...31 лазеров в цепочке относительно равновесного уровня ua при у = у- + е2 = -0.214. Разность фаз между колебаниями соседних элементов цепочки z- = 3.04
Fig. 2. Instantaneous distribution of radiation intensity Uj, j = = 0, ±1,...31 of lasers in the chain with respect to the equilibrium level ua at у = у- — e2 = -0.214. Phase difference between oscillations of adjacent elements of the chain г- = 3.04
получаем разложения в ряд по степеням малого параметра г для производных по времени
л К, , 2
— = е е г юо? + £2
т
ег Н(юо + Ь)$х + г 6?) + ег2 К(г 2юо)и22
г2 К/
+
+£ 3 егК
& + г Ь? хх + 2Ь6?х + ^Ьб2?) + гюоу31
+
+е3 г Ь(и2о)х + е3 е*2 К г Ь [(26и22 + {и,22) х )] + £4- + с.с.
(40)
% = £ еК гюо? + £2 т
егК г (г 6(юо + 2Ь)1юо%х) + 2 К (2г юо) У22
12 К/
+£ 3 егК
+
+
— г Ь(1 + Ью 1)( г юо?Т + ?хх — 62?) + гюоУ31 +£ Н Ь( У2о)х + £3 ег2К i Ь [(26 У22 + (У22) х)] + е4... + с.с. Нелинейные слагаемые в системе представляются в виде ряда
иь = £2е2гКг12 + е3Ь(|?|2)х +
+ е3егК \%(У20 + Ги2о) + !(У22 — ги22) + + £3е2т (Ь + 2юо)(Ц'х + г 6?2) + £3е3Ш... + с.с.
(41)
(42)
Для разложения в ряд интегрального слагаемого в системе (11) воспользуемся равенством (9) и разложением функции
и(г — Т,х + = £(1 + £(т + 6))1тпе'1ктп(х+з)+(ю0+£Ь(т+т1 ~Т) +
т,п
+£ 2(и20 + е й Ки22) + е3(е Ши31 + ...) + с.с.
Учтем, что значения амплитуд гармоник, зависящих от медленного времени т = е2Ь, берем в момент е2(1 — Т), тогда
?тп(т £ Т) — ?тп £ Т (?тп)т + —
Получаем разложение
Т (,в)и(1 — Т,х + 8)г1в = £ егНг ? +
+2 егЕ егф^ ^ + + ^ + £2 &2гК&2гфо и^ + £2...) +
+£ 3 егК егф0 ( — Т?Т + Г3?х + ^ + + г6?хх + г? +
3 е^ф0П31 + ... + с.с,
где фо = го — юоТ и
П = г 6(1+ ТЬ — г), Г2 = (1+ТЬ — г), Г3 = г 6(1 + ТЬ)(1 +ТЬ — 2г), Г4 = 2г по2хо, г5 = —[ гЦ о2 + 62(1 + ТЬ)(1 + ТЬ — 2г)]/2, г6 = (1 + ТЬ)(1+ТЬ — 2г)/2, г7 = 2п2о2.
(43)
и
зо
Подставим (20) и ряды (40)-(43) в нелинейную систему (11) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях и гармониках основной частоты.
Коэффициенты при ее гД в первом и втором уравнении системы (11) дают верные равенства при критических значениях параметров,
^ю2 — (1 + и0) гю0 — — у0у и0 ехр(г ф0)) = 0.
На втором шаге, собирая коэффициенты при е2 егД в первом уравнении также получаем верные равенства при критических параметрах, которые приводить не будем. Собирая коэффициенты
20
при 2 0, приходим к системе,
0 = Уи+У20, 0 = —(1 + ио) У20 — и20 — 70^0,
откуда имеем 20 = 0, и20 = 0.
Собирая коэффициенты при е2е2гД, приходим к системе, из которой находим и22=С(г/и0)^2, У22 = (2гС — 1)(г/и0)^2, где
С = 1 + 2 г Ю0
4 гт0г + 2г(1 + и0) + 1 + у0е2*ф° '
На третьем шаге, собирая коэффициенты при е3е°, приходим к системе, из которой можно исключить амплитуды и31, у31, умножая первое уравнение на (гю0 + 1 + и0) и второе на уи0, затем складывая эти уравнения. Для разрешимости системы необходимо, чтобы функция ^ удовлетворяла уравнению (29) для функции ^(х, X, У).
Список литературы
1. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p. DOI: 10.1017/CBO9780511755743.
2. Stankovski T., Pereira T., McClintock P. V.E., Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms // Rev. Mod. Phys. 2017. Vol. 89, no. 4. P. 045001. DOI: 10.1103/RevModPhys.89.045001.
3. Клиньшов В. В., Некоркин В. И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями//УФН. 2013. Т. 183, № 12. С. 1323-1336. DOI: 10.3367/UFNr.0183.201312c.1323.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 158 p. DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.
5. Schuster H. G., Wagner P. Mutual entrainment of two limit cycle oscillators with time delayed coupling // Progress of Theoretical Physics. 1989. Vol. 81, no. 5. P. 939-945.
DOI: 10.1143/PTP.81.939.
6. Perlikowski P., Yanchuk S., Popovych O. V., Tass P. A. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 3. P. 036208. DOI: 10.1103/PhysRevE.82.036208.
7. Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S., Wolfrum M., D'Huys O., Nekorkin V. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96, no. 4. P. 042217. DOI: 10.1103/PhysRevE.96.042217.
8. Dahms T., LehnertJ., SchollE. Cluster and group synchronization in delay-coupled networks // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 86, no. 1. P. 016202. DOI: 10.1103/PhysRevE.86.016202.
9. Ramana Reddy D. V., Sen A., Johnston G. L. Experimental evidence of time-delay induced death in coupled limit-cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, no. 16. P. 3381-3384. DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.3381.
10. Soriano M. C., Garcia-Ojalvo J., Mirasso C.R., Fischer I. Complex photonics: Dynamics and applications of delay-coupled semiconductors lasers // Rev. Mod. Phys. 2013. Vol. 85, no. 1. P. 421-470. DOI: 10.1103/RevModPhys.85.421.
11. Hohl A., Gavrielides A., Erneux T., Kovanis V. Localized synchronization in two coupled nonidentical semiconductor lasers // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, no. 25. P. 4745-4748. DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.4745.
12. Wünsche H.-J., Bauer S., Kreissl J., Ushakov O., Korneyev N., Henneberger F., Wille E., Erzgräber H., Peil M., Elsäßer W., Fischer I. Synchronization of delay-coupled oscillators: A study of semiconductor lasers // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94, no. 16. P. 163901.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.163901.
13. Otten J., Müller J., Monnigmann M. Bifurcation-aware optimization and robust synchronization of coupled laser diodes // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 98, no. 6. P. 062212.
DOI: 10.1103/PhysRevE.98.062212.
14. Carra T. W., Taylor M.L., Schwartz I. B. Negative-coupling resonances in pump-coupled lasers // PhysicaD. 2006. Vol. 213, no. 2. P. 152-163. DOI: 10.1016/j.physd.2005.10.015.
15. Uchida A., Matsuura T., Kinugawa S., Yoshimori S. Synchronization of chaos in microchip lasers by using incoherent feedback // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65, no. 6. P. 066212.
DOI: 10.1103/PhysRevE.65.066212.
16. Uchida A., Mizumura K., Yoshimori S. Chaotic dynamics and synchronization in microchip solid-state lasers with optoelectronic feedback // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74, no. 6. P. 066206. DOI: 10.1103/PhysRevE.74.066206.
17. Kim M.-Y., Roy R., Aron J. L., Carr T. W., Schwartz I. B. Scaling behavior of laser population dynamics with time-delayed coupling: Theory and experiment // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94, no. 8. P. 088101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.088101.
18. Vicente R., Tang S., Mulet J., Mirasso C. R., Liu J.-M. Dynamics of semiconductor lasers with bidirectional optoelectronic coupling: Stability, route to chaos, and entrainment // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 4. P. 046216. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.046216.
19. Vicente R., Tang S., Mulet J., Mirasso C.R., Liu J.-M.Synchronization properties of two self-oscillating semiconductor lasers subject to delayed optoelectronic mutual coupling // Phys. Rev. E.
2006. Vol. 73, no. 4. P. 047201. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.047201.
20. Schwartz I. B., Shaw L. B. Isochronal synchronization of delay-coupled systems // Phys. Rev. E.
2007. Vol. 75, no. 4. P. 046207. DOI: 10.1103/PhysRevE.75.046207.
21. Perego A.M., Lamperti M. Collective excitability, synchronization, and array-enhanced coherence resonance in a population of lasers with a saturable absorber // Phys. Rev. A. 2016. Vol. 94, no. 3. P. 033839. DOI: 10.1103/PhysRevA.94.033839.
22. Кащенко С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 1049-1052.
23. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
24. Кащенко С. А. Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 3. С. 467-473.
25. Grigorieva E. V., Haken H., Kaschenko S.A. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // Optics Communications. 1999. Vol. 165, no. 4-6. P. 279-292. DOI: 10.1016/S0030-4018(99)00236-9.
26. Kashchenko S. A. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 3. P. 033147. DOI: 10.1063/5.0040689.
27. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, 1999. 368 с.
28. Akhromeyeva T. S., Kurdyumov S. P., Malinetskii G. G., Samarskii A. A. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media // Phys. Rep. 1989. Vol. 176, no. 5-6. P. 189-370. DOI: 10.1016/0370-1573(89)90001-X.
References
1. Pikovsky A, Rosenblum M, Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press; 2001. 411 p. DOI: 10.1017/CB09780511755743.
2. Stankovski T, Pereira T, McClintock PVE, Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms. Rev. Mod. Phys. 2017;89(4):045001.
DOI: 10.1103/RevModPhys.89.045001.
3. Klinshov VV, Nekorkin VI. Synchronization of delay-coupled oscillator networks. Phys. Usp. 2013;56(12):1217-1229. DOI: 10.3367/UFNe.0183.201312c.1323.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag; 1984. 158 p. DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.
5. Schuster HG, Wagner P. Mutual entrainment of two limit cycle oscillators with time delayed coupling. Progress of Theoretical Physics. 1989;81(5):939-945. DOI: 10.1143/PTP.81.939.
6. Perlikowski P, Yanchuk S, Popovych OV, Tass PA. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators. Phys. Rev. E. 2010;82(3):036208. DOI: 10.1103/PhysRevE.82.036208.
7. Klinshov V, Shchapin D, Yanchuk S, Wolfrum M, D'Huys O, Nekorkin V. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring. Phys. Rev. E. 2017;96(4):042217. DOI: 10.1103/PhysRevE.96.042217.
8. Dahms T, Lehnert J, Scholl E. Cluster and group synchronization in delay-coupled networks. Phys. Rev. E. 2012;86(1):016202. DOI: 10.1103/PhysRevE.86.016202.
9. Ramana Reddy DV, Sen A, Johnston GL. Experimental evidence of time-delay induced death in coupled limit-cycle oscillators. Phys. Rev. Lett. 2000;85(16):3381-3384.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.3381.
10. Soriano MC, Garcia-Ojalvo J, Mirasso CR, Fischer I. Complex photonics: Dynamics and applications of delay-coupled semiconductors lasers. Rev. Mod. Phys. 2013;85(1):421-470. DOI: 10.1103/RevModPhys.85.421.
11. Hohl A, Gavrielides A, Erneux T, Kovanis V. Localized synchronization in two coupled nonidentical semiconductor lasers. Phys. Rev. Lett. 1997;78(25):4745-4748.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.4745.
12. Wünsche HJ, Bauer S, Kreissl J, Ushakov O, Korneyev N, Henneberger F, Wille E, Erzgräber H, Peil M, Elsaßer W, Fischer I. Synchronization of delay-coupled oscillators: A study of semiconductor lasers. Phys. Rev. Lett. 2005;94(16):163901. DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.163901.
13. Otten J, Müller J, Monnigmann M. Bifurcation-aware optimization and robust synchronization of coupled laser diodes. Phys. Rev. E. 2018;98(6):062212. DOI: 10.1103/PhysRevE.98.062212.
14. Carra TW, Taylor ML, Schwartz IB. Negative-coupling resonances in pump-coupled lasers. PhysicaD. 2006;213(2):152-163. DOI: 10.1016/j.physd.2005.10.015.
15. Uchida A, Matsuura T, Kinugawa S, Yoshimori S. Synchronization of chaos in microchip lasers by using incoherent feedback. Phys. Rev. E. 2002;65(6):066212. DOI: 10.1103/PhysRevE.65.066212.
16. Uchida A, Mizumura K, Yoshimori S. Chaotic dynamics and synchronization in microchip solidstate lasers with optoelectronic feedback. Phys. Rev. E. 2006;74(6):066206.
DOI: 10.1103/PhysRevE.74.066206.
17. Kim MY, Roy R, Aron JL, Carr TW, Schwartz IB. Scaling behavior of laser population dynamics with time-delayed coupling: Theory and experiment. Phys. Rev. Lett. 2005;94(8):088101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.088101.
18. Vicente R, Tang S, Mulet J, Mirasso CR, Liu JM. Dynamics of semiconductor lasers with bidirectional optoelectronic coupling: Stability, route to chaos, and entrainment. Phys. Rev. E. 2004;70(4):046216. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.046216.
19. Vicente R, Tang S, Mulet J, Mirasso CR, Liu JM. Synchronization properties of two self-oscillating semiconductor lasers subject to delayed optoelectronic mutual coupling. Phys. Rev. E. 2006;73(4):047201. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.047201.
20. Schwartz IB, Shaw LB. Isochronal synchronization of delay-coupled systems. Phys. Rev. E. 2007;75(4):046207. DOI: 10.1103/PhysRevE.75.046207.
21. Perego AM, Lamperti M. Collective excitability, synchronization, and array-enhanced coherence resonance in a population of lasers with a saturable absorber. Phys. Rev. A. 2016;94(3):033839. DOI: 10.1103/PhysRevA.94.033839.
22. Kashchenko SA. On quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion. Soviet Mathematics. Doklady. 1988;37(2):510-513.
23. Kaschenko SA. Normalization in the systems with small diffusion. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996;6(6):1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
24. Kashchenko SA. Asymptotic form of spatially non-uniform structures in coherent nonlinear optical systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1991;31(3):97-102.
25. Grigorieva EV, Haken H, Kaschenko SA. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback. Optics Communications. 1999;165(4-6):279-292.
DOI: 10.1016/S0030-4018(99)00236-9.
26. Kashchenko SA. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain. Chaos. 2021;31(3): 033147. DOI: 10.1063/5.0040689.
27. Khanin YI. Fundamentals of Laser Dynamics. Cambridge: Cambridge International Science Publishing; 2006. 361 p.
28. Akhromeyeva TS, Kurdyumov SP, Malinetskii GG, Samarskii AA. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media. Phys. Rep. 1989;176(5-6):189-370. DOI: 10.1016/0370-1573(89)90001-X.
Григорьева Елена Викторовна — родилась в 1957 году, окончила Белорусский государственный университет (1979). Работала в институте физики АН БССР, БГУ, в настоящий момент работает в БГЭУ. Защитила диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в БГУ (2004) в области нелинейной динамики лазерных систем. Опубликовала более 100 научных и научно-методических трудов.
Республика Беларусь, 220070 Минск, Партизанский пр., 26 Белорусский государственный экономический университет E-mail: grigorieva@tut.by AuthorlD: 24668
Кащенко Сергей Александрович — родился в Ярославле (1953), окончил Ярославский государственный университет (1975). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в ННГУ (1976) и доктора физико-математических наук в МГУ (1989) в области теории нелинейных колебаний. Профессор, первый проректор ЯрГУ. Автор монографий «Модели волновой памяти» (совместно с В. В. Майоровым) и «Релаксационные колебания в лазерах» (совместно с Е.В. Григорьевой). Опубликовал более 250 научных работ и 8 монографий.
Россия, 150003 Ярославль, ул. Советская, 14
Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова E-mail: kasch@uniyar.ac.ru ORCID: 0000-0002-8777-4302 AuthorlD: 8238
