Локализация фотонов в оптическом метаматериале со случайным близким к нулю показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

НАНОСИСТЕМЫ

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ФОТОНОВ В ОПТИЧЕСКОМ МЕТАМАТЕРИАЛЕ СО СЛУЧАЙНЫМ БЛИЗКИМ К НУЛЮ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

1Гадомский О.Н., 2Ушаков Н.М., 1Гадомская И.В.

Ульяновский государственный университет, https://www.ulsu.ru/ Ульяновск 432017, Российская Федерация

2ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Саратовский филиал, http://www.cplire.ru/rus/sfire/

Саратов 410019, Российская Федерация

Поступила 14.03.2019, принята 02.04.2019

Представлена действительным членом РАЕН В.В. Колесовым

Теоретически и экспериментально рассматривается эффект локализации фотонов на границе воздушной среды с метаматериалом со случайным близким к нулю показателем преломления и в толстом слое из этого метаматериала. Оптическим метаматериалом со случайным близким к нулю показателем преломления является композитный наноматериал на основе полиметилметакрилата с наночастицами серебра. Обнаружено, что прохождение параллельного пучка света через толстый плоскопараллельный слой нанокомпозита сопровождается формированием внутри слоя области локализации фотонов с неравномерным распределением плотности энергии.

Ключевые слова: оптический метаматериал со случайным близким к нулю показателем преломления, полимерный композитный наноматериал, наночастицы серебра, полиметилметакрилат, локализация фотонов в композитном слое

УДК 546.722+546.271

Содержание

1. Введение (177)

2. Теория локализации фотонов в среде со случайным близким к нулю показателем преломления (179)

2.1. Локализация фотонов на границе раздела вакуум-оптическая среда (179)

2.2. Локализации фотонов внутри композитного слоя (180)

3. Экспериментальное обнаружение эффекта локализации фотонов в композитном слое PMMA&Ag (183)

4. Результаты и их обсуждение (184)

5. заключение (186) Литература (187)

1. ВВЕДЕНИЕ

Среди необычных транспортных свойств неупорядоченных материалов следует отметить явление локализации Андерсона, предсказанное Филлипом Андерсоном (Phillip Anderson) в 1957 году [1]. Локализация Андерсона — это неупорядоченный фазовый переход в поведении электронного транспорта, при котором в отличие от классического диффузионного

режима с хорошо известным законом Ома, в локализованном состоянии материал ведет себя как изолятор. Эффект основан на интерференции электронов, прошедших многократное рассеяние дефектами в твердом теле. Однако локализация электронов в неупорядоченном твердом теле не была подтверждена экспериментально. Главным условием локализации Андерсона является постоянство во времени потенциала беспорядка в среде, что не может быть выполненным для электронов из-за непостоянства во времени фононов, потере когерентности электронов при неупругом взаимодействии их с кристаллической решеткой, возникающей нелинейности из-за многочастичных взаимодействий, приводящей к изменению потенциала беспорядка.

В отличие от электронов фотоны не взаимодействуют друг с другом. При этом явление локализации фотонов имеет место для многократного рассеяния электромагнитных волн в неупорядоченной среде. Это делает перенос фотонов в неупорядоченных материалах идеальной модельной системой для изучения локализации Андерсона. Первые

ГАДОМСКИИ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

теоретические работы по локализации фотонов появились в середине 80-х годов ХХ века [2, 3]. Первые удачные экспериментальные работы, подтверждающие явление поперечной локализации фотонов в неупорядоченных средах были сделаны спустя только 20 лет [4-6]. После этого модель поперечной локализации света в неупорядоченных материалах стала основной.

Однако важно указать, что модель поперечной локализации фотонов связана с транспортными эффектами в одном или двух измерениях. В то время как 3D эффект локализации Андерсона был изучен с помощью коротких лазерных импульсов, распространяющихся в объеме, беспорядок которого постоянен во времени [7]. В работе [8] приведен обзор работ, описывающих взаимодействие между беспорядком и нелинейностью, локализацию и усиленный транспорт фотонов в фотонных кристаллах, гипертранспортное стохастическое ускорение фотонов вследствие развивающегося беспорядка и локализацию с квантово-коррелированными фотонами.

Условие поперечной локализации фотонов, наблюдаемой в 2D неупорядоченных оптических средах, можно представить следующим образом. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси z Среда, в которой распространяется волна, представляет собой 2D периодическую структуру или фотонную решетку с модуляцией показателя преломления Дп. Даже при слабой модуляции показателя преломления порядка 10-4 возможно наблюдение локализации фотонов в такой среде. Поперечный волновой вектор (вдоль оси y, x) обратно пропорционален

, 1

апертуре волнового пакета h± & — и много меньше волнового вектора в однородном пространстве k± << k = от/с с показателем преломления n0 > 1. При этом длина локализации

фотонов имеет вид = l х expj , где l — длина свободного пробега фотона. Выполнение этого условия возможно не только в 2D периодических структурах (фотонных кристаллах), но и в метаматериалах с показателем преломления

<< 1. При этом должно выполняться условие

= (únjc << k = (únjc.

Известны нанотехнологии, в которых наночастицы серебра или золота внедряются

в диэлектрическую матрицу, например, в полиметилметакрилат [9, 10]. Однако, в этих работах не представлены образцы, на основе которых можно было бы исследовать оптические свойства полученных материалов. На основе разработанных нами нанотехнологий [11, 12] были получены образцы, в которых слои из синтезированных метаматериалов (PMMA&Ag) с наночастицами серебра были нанесены на различные поверхности и были исследованы спектры отражения и пропускания этих слоев.

Исследование этих образцов позволило обнаружить уникальные оптические явления, такие, как интерференция света в толстых слоях [13], нарушение принципа обратимости световых потоков [14], усиление и фокусировка света в наноструктурах с близким к нулю показателем преломления [15].

Основой этих оптических свойств является эффект идеального оптического просветления, когда при точном обращении в нуль показателя преломления слоя коэффициент отражения слоя обращается в нуль, а коэффициент пропускания слоя равен единице, независимо от длины волны, толщины слоя, угла падения внешнего излучения, типа поляризации волн и от показателей преломления обрамляющих сред [16]. На основе теоретического анализа экспериментальных спектров отражения и пропускания композитных слоев (PMMA&Ag) различной толщины был сделан вывод о том, что синтезированные нами метаматериалы обладают случайным близким к нулю показателем преломления. Так, в спектрах отражения и пропускания толстых (толщина значительно больше длины волны) композитных слоев (PMMA&Ag) на стеклянной подложке были обнаружены характерные интерференционные минимумы и максимумы. При этом в слоях матрицы полиметилметакрилата той же толщины интерференция света отсутствует. По расположению минимумов и максимумов в этих спектрах можно вычислить область допустимых значений показателя преломления слоя. При этом возможные значения показателя преломления слоя находятся в интервале (0, Лж^, где Дж2<1.

Известны работы по математическому моделированию типов структурных элементов для наноструктур [17, 18], в которых

НАНОСИСТЕМЫ

структурные элементы в виде спиралей, стержней, нанопроволок и других видов, могли бы быть внедрены в диэлектрические матрицы с целью получения метаматериалов с нулевыми диэлектрической в и магнитной [ проницаемостями. Однако, такие метаматериалы с нулевыми в и [ будут сильно зависеть от длины волны, обладать сильным поглощением и анизотропией, поскольку достижение нулевых в и происходит в областях аномальной дисперсии вблизи собственных частот их структурных элементов.

Оптической особенностью метаматериалов, синтезированных по технологиям [11, 12], является то, что структурными элементами в этих метаматериалах является сферические наночастицы серебра малых размеров (радиус наночастицы около 2.5 нм). Изолированный резонанс таких наночастиц находится в УФ-области, поэтому в диапазоне длин волн, по крайней мере, от 450 до 1200 нм, эти метаматериалы являются прозрачными метаматериалами, в которых показатель преломления значительно (в сотни раз) больше показателя поглощения. Наночастицы серебра распределены равномерно как по глубине слоя, так и его поверхности, и лишь в малой окрестности наночастиц, размеры которой значительно меньше длины волны, учтены флуктуации смещений наночастиц друг относительно друга. При весовом содержании серебра в композите, равном 3%, среднее расстояние между центрами соседних наночастиц равно 30 ± 2 нм. При этом в окрестности наночастиц, в области, линейные размеры которой значительно меньше длины волны, находятся около 30 дискретно распределенных наночастиц с флуктуирующими смещениями из положения равновесия. Эти флуктуации могут быть определены с помощью структурного фактора при вычислении решеточных сумм.

В работе [19] выведена формула для комплексного показателя преломления оптической сферы с включениями с учетом структурного фактора. На основе этой формулы, в частном случае переходящей в известную формулу М. Гарнетта [20], было показано, что показатель преломления среды может достигать

нулевого и близких к нулю показателей преломления в широком диапазоне длин волн.

Настоящая статья посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию эффекта локализации фотонов в композитном слое (PMMA&Ag) со сферическими наночастицами серебра. Эффект локализации фотонов, рассматриваемый в статье, принципиально отличается от поперечной локализации электромагнитных волн в 20 периодических структурах, поскольку рассматривается в однородных прозрачных средах вдали от резонанса их структурных элементов.

2. ТЕОРИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ ФОТОНОВ В СРЕДЕ СО СЛУЧАЙНЫМ, БЛИЗКИМ К НУЛЮ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 2.1. Локализация фотонов на границе раздела вакуум-оптическая среда

Физический смысл эффекта локализации

фотонов в средах с близким к нулю показателем

преломления рассмотрим на примере одной

границы раздела оптических сред. Известно, что

для границы двух сред с детерминированными

показателями преломления п и п действует

правило отбора п^кпб = п^пв2, где угол

падения волны в и детерминированный угол

преломления в2 могут быть определены с

какой угодно точностью [21]. Иная ситуация

имеет место, если одна из сред, например,

среда 2, обладает случайным показателем

преломления п , принимающим значения в

интервале допустимых значений (0, Ап2), где Дп2

< 1. Будем считать, что различные значения п в

интервале п2, п2 + йп2 реализуются с одинаковой

вероятностью йШ(п2) = А(п2)йп , где^(п2) — функция

распределения, нормированная условием г1

нормировки _|о / (п2 у!пг = 1 на интервале (0,1). При этом интервал (0, Ап2) "вырезается" из общего интервала (0,1) в зависимости от толщины слоя. С помощью экспериментальных спектров отражения можно определить Дп2 по формуле Дп2 = ^1^2/2й2(^2 - Х,1), где й2 - толщина слоя, Х,1, ~к2 — длины волн соседних минимумов в спектре отражения.

В оптических средах со случайным показателем преломления, в общем случае, п^пв1 ф п^пв2 [22]. Будем считать, что при фиксированных значениях п1 и в1 значения п2

ГАДОМСКИИ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

и в являются случайными. Более того, будем границе ^ — 0 получим следующее соотношение

считать, что величины п и в2 являются статически независимыми величинами. Граница раздела двух сред становится неоднородной. При этом неоднородность границы не связана с какими-либо геометрическими неоднородностями, а обусловлена случайным показателем преломления.

Известно [21], что при взаимодействии плоской электромагнитной волны с резкой границей раздела двух сред происходит погашение волны на этой границе, и вместо неё в среде распространяется электромагнитная волна с другой скоростью. Это явление описывается с помощью теоремы погашения френелевской оптики, в которой показатель преломления среды является детерминированной величиной, граница раздела является однородной, что позволяет точно определить направление распространения преломлённой волны. При этом в погашении волны участвует вся поверхность £ — 0 границы раздела.

Иная ситуация имеет место, если среда обладает случайным показателем преломления в области квазинулевых значений (Дп < 1) при падении на границу раздела ^ — 0 светового пучка с некоторой площадью поперечного сечения ^ . Тогда в соответствии с теоремой погашения, как показано ниже, погашение внешней волны будет происходить в точке х, находящейся на пересечении плоскости падения и поверхности £ — 0, удовлетворяющей условию Дn2xk0 ^ 0, где Дп2 определяет интервал (0, Дп2) допустимых значений случайного показателя преломления среды, к0 — ыСс, с — скорость света в вакууме, ы — частота внешней волны. Это означает, что внешний световой пучок фокусируется в окрестности х и, в соответствие с соотношением неопределённости для координаты и импульса фотонов, в среде будет распространяться световой поток с некоторой другой площадью поперечного сечения.

С учетом указанной выше процедуры усреднения представим волну в среде со случайным показателем преломления как волновой пакет из электрических полей преломленной электромагнитной волны, определяемых с помощью коэффициентов преломления со случайным п и в . Тогда на

между амплитудой E+0 внешней плоской волны и TQ амплитудой преломленной волны:

exp(-/l0хsinв ) гс -

sin(>2 +в2)

2 cos ср2 sin #

2 2' T0F(x,Д^),

(1)

где угол ф2 определен с помощью равенства n2s'md2 = sinф2, вектор s имеет компоненты sx = - sinф2, sy = 0, s2 = - œ^ (2)

а функция

F ( x, Дп2) =

cos(-k0хДп2 sinв2) -1 -knx sin&

+i

. sin(-k0хДп2 sin#2)

(3)

-k0 x sin#2

В точке ^0хДп^тв2 — 0 функция (3) достигает максимума равного Дп2, а в точках ^0хДп^тв2 — пт, где т — ±1, ±2..., обращается в нуль. При этом Дх — 2п/^0Дп^тв2 представляет собой пространственную протяженность волнового пакета. Чем меньше ^0Дп^тв2, тем больше пространственная протяженность этого волнового пакета. Учитывая, что ^0Дп^тв2 — (Др)/2лЬ, получим соотношение неопределенностей для импульса и координаты фотонов

ДхДрх — 2пЬ. (4)

Таким образом, на границе вакуум-оптическая среда со случайным близким к нулю показателем преломления преломление волны происходит не по закону Снелла, а с локализацией фотонов, когда погашение внешней плоской волны происходит в точке при ^0хДп^тв2 ^ 0, а затем в соответствии с соотношением неопределенностей (4) фотоны распространяются в среде по всем направлениям, определяемым случайным углом преломления в2.

2.2. Локализации фотонов внутри композитного слоя

Описание оптических свойств со случайным близким к нулю показателем преломления проведем с помощью интегро-дифференциального уравнения

распространения электромагнитных волн [21, 23], используя процедуру преобразования объемного интеграла в этом уравнении в поверхностные интегралы для границ 1-2 и 2-3 плоскопараллельного слоя 2. Будем считать,

НАНОСИСТЕМЫ

что средой 1, из которой падает внешнее излучение, является вакуум, а средой 3 является полубесконечная оптическая среда с показателем преломления п . Поле в композитном слое представим как суперпозицию электрических полей Е2+ и е-, где Е2+ — напряженность электрического поля, преломленного на границе 1-2 слоя, а е- — напряженность электрического поля, отраженного от границы 2-3 этого поля. Запишем напряженность электрического поля в слое следующим образом:

Е? = Ц,Р Е+ а + ( х, Г ) + /_',Р Е+а- (х, г ),

?

где индексы зр соответствуют s и р — поляризованным волнам, Е1: — напряженность электрического поля внешней волны,

a ± (x,z) = т

1

(rsj.)

(exp[k0 An2(rsT)]-1)

'■PS'P í 1 + r¿pr£p exp[2ik0d2An2 cos в2Л

it'pt 12 23

2k0d2 cos 62

ln

f- 'P =

t '■ pt '■ p

An -

jfs' pt '■ p 12 23

(

2k0d2 r'p cos$2

ln

r12' pr2'3p + exp[2ik0d2An2 cos$2 1 + r' pr,'■p

n2 cos в2 - n3 cos б, n2 cos в2 + n3 cos в3

t' =

12

2n1 cos (p2

t =

23

»1 w^j^! I /»3

2n2 cos в2 n2 cos в2 + n3 cos в3

t =

13

n1 cos ( + n2 cos в2

2n1 cos в1 n cos в1 + n3 cos в3'

где n , n3 — показатели преломления оптических сред 1 и 3 над и под слоем, соответственно, в — угол падения внешнего излучения, в — угол преломления в подстилающей среде 3.

Аналогичным образом имеем следующие формулы для коэффициентов отражения и преломления на границах 1-2 и 2-3 слоя для p-поляризации волн:

П cos ft, - n cos ft

rp =

'12

V =

23

n1 cos Q2 - n2 cos (2 n1 cos в2 + n2 cos ( n1 cos в3 - n3 cos в1 n1 cos в1 + n3 cos в3'

2n2 cos62 n2 cos в3 + n3 cos в2

rp =

23

tp =

12

n1 cos в3 + n3 cos в2

2n1 cos (2

r =

13

n1 cos в2 + n2 cos (2

2n1 cos в1 n1 cos в3 + n3 cos в1

(5)

= 2nX, X, — длина волны внешнего излучения, r — радиус-вектор точек наблюдения внутри слоя, xz — плоскость падения,

(rs± ) = - x sin в2 + z cos в2,

s± — единичные векторы вдоль направлений распространения преломленной и отраженной волн внутри слоя, в2 — угол преломления.

Коэффициенты преломления f+'p и отражения f-'p внутри слоя после необходимых вычислений определяются как

f''p = t ''pt' 'p An +

J + 23 J12 ""2 T

(6)

Формулы (7), (8) получены в [24] с помощью теоремы погашения отдельно для границ 1-2 и 2-3 для неоднородных границ раздела, на которых закон Снелла нарушается из-за случайного показателя преломления среды 2. При этом угол падения определяется из соотношения п sinв = п Бтв, а угол ф2 определяется из соотношения п2sinв2 = 81Пф2. Последнее соотношение связано с вычислением поверхностных интегралов в теореме погашения методом стационарной фазы [21].

При переходе к детерминированным значениям п2 и в2 формулы (7), (8) совпадают с соответствующими френелевскими формулами, в которых ф2 = в1 и п^пв1 = n2sinв2. В нефренелевских формулах, рассматривая отраженное излучение с помощью соответствующего поверхностного интеграла и помещая точки наблюдения над слоем, угол ф связан со случайным углом отражения вк как ф2 = п — вк.

Отражательную способность слоя со случайным близким к нулю показателем преломления в интервале (0, Дп ), Дп < 1 вычислим как

где нефренелевские коэффициенты отражения и преломления на границах слоя в случае ^-поляризации волн имеет вид [24]:

s _ n1 cos (р2 - n2 cos ft2

12 nj cos р2 + n2 cos ft2' s _ n cos ft - n3 cos ft3

13 n cos ft + n cos ft '

= R123cos а,- + R1S23sin а,-'

(9)

(7)

где а — угол между электрическим вектором электромагнитной волны и плоскостью падения,

П?,Р = \г^Р I2 123 '123

и

r '■p = r '■p An -

'123 '12 ""2

1 - «2 p )2

4n

rn J d2 cosв2

-ln

1 + r12'pr23'p exp

4n

id2An2 cosв2

1 + r '■ pr '■p 12 23

(10)

+

ГАДОМСКИИ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

Для естественного света sin2a. — cos2a. — 1/2 [21].

Пропускательную способность композитного слоя определим с помощью следующих формул:

T123 = TU3 sin2 а + Tp3c0s2a¡,

где

,p = n3c°s^3 ts,p I2

T123 n П23 ,

n1 c°s 0 1 1

с коэффициентом пропускания слоя

(11)

^123 \

n cos0

ts. pts. p 12 23

6 4n f

—2 c°s02^1

_rs, prs, p 12 23

x<

1 + exp

ln-

2n/d2 cos62An2

4

_rs. prs. p 12 23

1 + i

_rs. prs. p 12 23

(12)

1 _ exp

_ ln-

2n

T

id2 cos 62An2

4

_rs. prs. p 12 23

1 ^

_ i_rs,prs,p - '12 '23

с учетом того, что при Дп < 1 имеем г12рг23р < 0.

При вычислении отражательной и пропускательной способностей слоя в нефренелевских коэффициентах р и (^ к — 1, 2, 3) значения п2 будем считать равным Дп2, поскольку основная зависимость от случайного показателя преломления слоя определяется экспоненциальными множителями в коэффициентах отражения и пропускания слоя. Наличие первого слагаемого в правой части формулы (12) связано с учетом эффекта идеального оптического просветления при точном отражении в нуль показателя преломления п2 из области допустимых значений (0, Дп2).

Формулы (9), (11) удовлетворительно описывают экспериментальные спектры отражения и пропускания рис. 5, 6. Действительно, как видно из рис. 5, 6 при некоторых значениях толщины слоя интерференция света в спектре отражения и пропускания исчезает. Это объясняется тем, что угол преломления в2 становится комплексным. Для комплексных углов преломления имеем следующие соотношения:

02 = 0 _ , cos 62 = ish62 = i\/x2 _ 1, x2 = ch62, 60 = n/2, sin62 = x2,

(13)

cos(p2 =,J 1 _ (n2) x2 , sin (p2 = n2x2,

где 62 — действительный угол преломления, определяющий направление распространения волны вдоль слоя, 02 — угол, в направлении которого происходит затухание волны. Знак перед корнем в этих соотношениях выбирается таким образом, чтобы волна была затухающей независимо от ее направления распространения.

Вычислим отражательную и

пропускательную способности слоя по формулам (9), (11) с учетом указанного выше селективного свойства этих формул,

T>s, p T^s, p

когда максимумы R123 и T123 достигаются при x2 ^ 1. В этом случае после устранения неопределенности типа (0/0) получим из (10), (12) следующие формулы:

АП2 1 в

^123'

2 2

Г123 An2 i

cos( к0d2 1

1

(14)

где

= An2 + i--/3p

An2 cos (p2 к0d2

(2п/ T)d2

в\23 = ln

f

1

V

f

1_i

1_i

(1/ cos(p2) + (1/n3 cos2) (2п/ T)d2(An2)2

Л

Риъ = ln

(n3 / cos#3) + (1/ cos^2)

Коэффициенты пропускания слоя при x2 ^ 1 после устранения неопределенности типа (0/0) имеют вид:

An

Ъ = , З™6 _ i * n3cos63

tp23=i n1cos01 _i n3cos63

n3 cos 0 (n / T)d2 1

An2 cos 0 (n / T)d2

(«23 -Гш)>

"«23 __

(15)

где а'2р и х'2р соответствуют первому и второму слагаемым в фигурных скобках в формуле (12). При х2 ^ 1 получим, что а'12р обращается в нуль, а

У\23 = 1П

1 + i-

(2п/ T)d2

Yp23 = ln

1+i

(1/cos() + (1/n3 cos63)

(2п/ T)d2(An2)2 ^ (1/ cos(2) + (n3 / cos63)

НАНОСИСТЕМЫ

Наличие первого слагаемого в правой части формул (15) обусловлено тем, что при точном обращении в нуль показателя преломления из области интегрирования (0, Дп ) необходимо устранить неопределенность типа (0/0) в соответствующем коэффициенте пропускания слоя. Как показано в [16], при точном обращении в нуль показателя преломления слоя коэффициент отражения слоя равен нулю, а коэффициент пропускания слоя равен 1, что соответствует эффекту идеального оптического просветления.

Рассмотрим оптические свойства композитного слоя при комплексных углах преломления, определяемых соотношениями (13). Этот случай соответствует минимальному пропусканию слоя, поскольку в случае комплексных углов преломления образуется волна, распространяющаяся вдоль слоя при 02 = п / 2 . При этом часть внешней световой волны преобразуется в боковые волны. В случае комплексных углов преломления функции (5), определяющие пространственное распределение поля внутри слоя, равны друг другу, т.е. а+ = а— = а(х,%). Тогда

1 /

Iа \ =

х2 х22 +1 z |

(х2 -1)

exp

-2k0 Ди2 | z

+1

-2 cos(k0 Аи2 х2 х22) exp

-k0 Аи21 z

л/Xf+T ]).

Пр

и x„ ^

1 эта функция приобретает следующий

вид:

а I =

2 - 2cos(k0 Ап2 х)

(17)

На рис. 1 представлена зависимость этой функции от безразмерной переменной или фазы волны к0Дп2х. При к0Дп2х = 2пт, где т =

-2* Фаза волны

±1, ±2... функция | a|2 = 0, a при k0An2x = ±3п, ±5п... эта функция равна |a|2 = 4(k0An2)2/(3n)2, 4(k0An2)2/(5n)2 и т.д. Линейные размеры объема локализации определены с помощью главного максимума функции (17) как Ax = 2X/(An2).

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ЭФФЕКТА ЛОКАЛИЗАЦИИ ФОТОНОВ В КОМПОЗИТНОМ СЛОЕ PMMA&AG

Оптическая схема локализации фотонов при нормальном падении лазерного луча на поверхность композитного слоя толщиной 10 мкм на стеклянной подложке показана на рис. 2. В качестве когерентного излучения использовался гелий-неоновый лазер мощностью 1 мВт с продольной поляризацией света и длиной волны 632 нм. Диаметр луча лазера был равен 1 мм. Прошедшее через образец излучение в продольном и поперечном направлениях фиксировалось с помощью CD-камеры.

Экспериментальные спектры отражения и пропускания слоев (PMMA&Ag) различной толщины на стеклянной подложке измерялись на спектрофотометре Ocean Optics QE65000 в широком диапазоне длин волн от 300 до 1000 нм. Для сравнения отдельно измерялись спектры отражения и пропускания слоев материала матрицы PMMA той же толщины на стекле при нормальном падении света.

При облучении образца в композитном слое образуется область локализации фотонов, линейные размеры которой сравнимы с толщиной слоя d2 = 10 мкм (см. рис. 7).

Composite film

© У

Output light spot

Photon localization region

Glass

Рис. 1. Пространственное распределение фотонов внутри Рис- 2- Оптическая схта ямфтго облу-чтш слоя

PMMA&Ag

композитного слоя.

2

х

ГАДОМСКИЙ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ На рис. 3 представлены теоретические спектры отражения композитного слоя, вычисленные по формулам (9) и (10), в зависимости от длины волны и выбора параметра х. Как видно из рисунка, по мере приближения х к единице отражательная способность слоя уменьшается. При х — 1 отражательная способность слоя при численных значениях физических величин, указанных на рис. 4, на длине волны X — 632 нм равна Я123 — 1.926%.

На рис. 4 представлены теоретические спектры пропускания композитного слоя, рассчитанные при использовании формул (15) и (16). С помощью формул (15), (16) определим значение пропускания этого слоя при х — 1.01,

(а)

з.4

МО Л» 600 Я» 1000 1Ж) ЦОС

Рис. 3. Теоретическая отражательная способность композитного слоя со случайным близким к нулю показателем преломления в зависимости от длины волны для а) х2 = 1.01 и Ь) х2 = 1.0001. Толщина слоя d2 = 10 мкм, показатель преломления подложки из стекла равен п2 = 1.5, Ап2 = 0.1625, длины волн указаны в нанометрах.

%

(а)

93.51------

Ж 400 600 390 1000 1200 1400

\

ВДВ Т113(Ч1»

ВД.7

ВД.61

200 «0 600 800 1000 ЦОО 1400

х

Рис. 4. Теоретическая пропускательная способность композитного слоя со случайным близким к нулю показателем преломления в зависимости от длины волны для а)х2 = 1.01 и Ь)х2 = 1.0001. Толщина слоя d2 = 10 мкм, показатель преломления подложки из стекла равен п2 = 1.5, Ап2 = 0.1625, длины волн указаны в нанометрах.

равное Т123 — 95.37% (рис. 4а). Как видно из рис. 4Ь при х2 — 1.0001 пропускательная способность слоя значительно возрастает, достигает единицы и, практически, не зависит от длины волны в широком диапазоне длин волн от 400 до 1200 нм.

Соотношение между отражательной и пропускательной способностями композитного слоя со случайным близким к нулю показателем преломления запишем следующим образом:

^23 + Т123 + ^23 — 1 (18)

где ^ — часть внешнего излучения, распространяющегося вдоль слоя. Используя предельные значения ^ — 0.019 и Т123 — 0.95 для образца с толщиной слоя й2 — 10 мкм при нормальном падении лазерного луча с длиной

НАНОСИСТЕМЫ

волны X = 632 нм, получим й^123 = 0.031. Эффект обтекания светом плоской поверхности композитного слоя (PMMA&Ag) (wave flow effect) был обнаружен нами экспериментально [16].

На рис. 5 показаны экспериментальные спектры отражения и пропускания образцов с композитными слоями Ag&PMMA на стеклянных подложках относительно спектральных значений отражения и пропускания стеклянной подложки. При толщине слоев d2 = 5.20 мкм, как видно из рис. 5a, обнаруживается интерференция света и по расположению минимумов можно вычислить показатель преломления композита. Образование этих интерференционных минимумов обусловлено тем, что область допустимых значений (0, An2) случайного показателя преломления среды таковы, что An2 << 1. В экспериментальных

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Wave length (nm)

300 400 500 600 700 SCO 300 1000 1100

спектрах отражения и пропускания на рис. 5, где наблюдается интерференция света, в формулах (9), (11) следует считать углы преломления действительными. Эти углы определим с помощью следующих соотношений:

СОБ $2 =л11- У\ , У2 = ^2 , У ^ 1

вШ (Р2 = АщУ2, (р2 = ^1 - (Ап2)2У22.

Значение комплексных преломления

x2 = 1 разделяет

и действительных в слое. При x2 >

области углов углы

1

Wave length (nm)

Рис. 5. Экспериментальные спектры отражения (а) и пропускания (b) композитных слоев (PMMA&Ag) разной толщины с наночастицами серебра на стеклянной подложке. Спектры представлены в относительных единицах по отношению к оптическому пропусканию и отражению стеклянной подложки толщиной 2 мм. Относительная отражательная способность стеклянной подложки на рис. 5а равна 100, а её собственное значение равно 0.07. Кривая 1-толщина слоя d = 5 мкм; кривая 2 - d = 20 мкм; кривая 3 - d = 10 мкм; кривая 4 - d = 50 мкм.

преломления в2 комплексные, а при x < 1 углы преломления действительные. При x = 1 угол ft, определяющий направление затухания волны, равен нулю, то есть затухание волны, распространяющейся вдоль слоя, происходит в направлении, перпендикулярном поверхности слоя.

Угол ft является случайной величиной, изменяющейся от —n2 до +п/2, включая ft = 0. При этом величина x = chft изменяется от 0 до 2.53. Однако, как видно из формул (10), (12), коэффициенты отражения и пропускания слоя со случайным близким к нулю показателем преломления обладают резким максимумом при x2 = 1, то есть при ft2 = 0. Это означает, что при изменении случайной переменной x с наибольшей вероятностью реализуется значение x = 1, что позволяет упростить вычисление отражательной и пропускательной способностей слоя, а также поля внутри слоя с коэффициентами отражения и преломления f±'p (см. (6)).

Как следует из спектров пропускания рис. 5b композитных слоев (PMMA&Ag) с наночастицами серебра при толщине слоев d = 10, 30, 50 мкм относительное пропускание слоев PMMA&Ag по отношению к оптическому пропусканию стеклянной подложки больше 1 и, практически, не зависит от длины волны. Это означает, что в этих слоях обнаруживается усиленное оптическое пропускание света в широком диапазоне длин волн. При этом в слоях полимера той же толщины относительное пропускание Т ,„я/, /Т, < 1, то есть нанесение слоев

PMMA/glass glass '

полимера на поверхность стеклянной подложки приводит к дополнительному поглощению образцов PMMA/glass. Таким

ГАДОМСКИИ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

образом, добавление наночастицы серебра в полимерную матрицу приводит к повышению прозрачности толстых композитных слоев, синтезированных по разработанной нами нанотехнологии.

На рис. 6 показаны экспериментальные спектры отражения и пропускания образцов с полимерными слоями РММА на стеклянных подложках относительно спектральных значений отражения и пропускания стеклянной подложки. В полимерных слоях той же толщины, как видно из рис.6, интерференция света не обнаруживается, поскольку показатель преломления этого полимера равен 1.492.

На рис. 7а представлено фото области локализации фотонов в композитном слое. На рис. 7Ь представлено фотополимерного слоя РММА на стекле, где область локализации фотонов отсутствует.

a)

(b)

1000 1100

Wave length (rm)

Fhnlnn Lihraliiilidn irjyim

Рис. 6. Экспериментальные спектры отражения (а) и пропускания(Ь) полимерных слоев разной толщины на стеклянной подложке. Экспериментальные спектры представлены в относительных единицах по отношению к отражательной и пропускательной способностей стеклянной подложки. Относительная отражательная способность стеклянной подложки на рис. 6а равна 100, а её собственное значение равно 0.07. Кривая 1 - толщина слоя d = 5 мкм; кривая 2 - d = 10 мкм ; кривая 3 - d = 50 мкм.

Рис. 7. Локализация фотонов в слое PMMA&Ag при нормальном падении луча лазера на поверхность слоя (фото): а) Фото образца PMMA/glass; Ь) Фото образца (PMMA&Ag)/glass. Стрелкой указана область локализации фотонов.

Эффект локализации фотонов в композитном слое будем рассматривать как пространственное преобразование плотности энергии внешнего излучения, когда пучок внешнего излучения локализуется в малой области внутри слоя. При X = 632 нм и Дп = 0.1625 для композитного слоя толщиной й2 = 10 мкм получим Дх = 7.778 мкм, то есть линейные размеры области локализации фотонов меньше толщины слоя.

Таким образом, область локализации фотонов значительно меньше диаметра лазерного луча, облучающего композитный слой.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье представлены теоретические и экспериментальные доказательства существования эффекта локализации фотонов в слое метаматериала со случайным близким к нулю показателем преломления. Обнаружение этого эффекта указывает на то, что в таких оптических средах обычный ход лучей, характерный для френелевской оптики, нарушается. В результате параллельный пучок света внутри слоя локализуется в малой области.

В работе [14] было экспериментально обнаружено нарушение принципа обратимости световых потоков в композитном слое, и

НАНОСИСТЕМЫ

объяснение этого явления было связано с эффектом локализации фотонов. В настоящей статье представлено прямое доказательство существования эффекта локализации фотонов в оптических средах со случайным близким к нулю показателем преломления.

Как следует из закона сохранения (18), локализация фотонов внутри композитного слоя сопровождается огибанием светом плоской поверхности слоя.

Благодарности

Работа выполнена в рамках государственного задания ЛИТЕРАТУРА

1. Anderson PW Absence of diffusion in certain random lattices. Phys. Rev., 1958, 109:1492-1505.

2. John S. Electromagnetic absorption in a disordered medium near a photon mobility edge. Phys. Rev. Lett., 1984, 53:2169-2172.

3. Anderson PW The question of classical localization: A theory of white paint. Phil. Mag., 1985, B 52:505-509.

4. Wiersma DS, Bartolini P, Lagendijk A, Righini R. Localization of light in a disordered medium. Nature, 1997, 390:671-673.

5. Chabanov AA, Stoytchev M, Genack AZ. Statistical signatures of photon localization. Nature, 2000, 404:850-853.

6. Storzer M, Gross P, Aegerter CM, Maret G. Observation of the critical regime near Anderson localization of light. Phys. Rev. Lett., 2006, 96:063904.

7. Sperling T, Buhrer W, Aegerter CM, Maret G. Direct determination of the transition to localization in three dimensions. Nature Photon, 2013, 7:48-52.

8. Segev M, Silberberg Y, Christodoulides DN. Anderson localization of light. Nature Photonics, 2013, 7:197-204; DOI: 10.1038/ NPH0T0N.2013.30.

9. Hedayati MK, Faupel F, Elbahzi M. Review of Plasmonic Nanopartide Metamaterial Absorber. Materials, 2014, 7:1221.

10. Goyal A, Sharma A, Saiki I, Chandak N, Sharma P. Tailoring of optical and electrical properties of PMMA by incorporation of Ag nanoparticles. Bull.Mater.Sci., 2017, 40(4):615-621.

11. Гадомский ОН, Ушаков НМ и др. Нанокомпозиционное просветляющее

покрытие в виде толстой пленки и способ его получения. Патент РФ №2456710 от 20.07.2012.

12. Катнов ВЕ, Гадомский ОН, Степин СН, Катнова РР. Способ получения просветляющего покрытия. Патент РФ №.2554608 от 27.06.2015.

13. Гадомский ОН, Степин СН, Катнов ВЕ. Наноструктурные композитные слои с квазинулевым показателем преломления. Журнал прикладной спектроскопии, 2013, 80(5):738-745.

14. Гадомский ОН, Ушаков НМ, Щукарев ИА. Нарушение принципа обратимости световых потоков в оптических средах со случайным близким к нулю показателем преломления. ЖЭТФ, 2017, 125:564-575.

15. Gadomsky ON, Stepin SN, Ushakov NM, Gadomskaya IA. Enhancement and focusing of light in nanostructured quasi-zero refractive index films. Optics Communication, 2014, 330:99-106.

16. Гадомский ОН, Алтунин КК. Идеальное оптическое просветление композитных пленок. Письма в ЖЭТФ, 2009, 90:273-278.

17. Li Y, Kita S, Munoz P, Reshef O et al. On-chip zero-index metamaterials. Nature Photonics, 2015, 198:1-8.

18. Дубинов АЕ, Мытарева ЛА. Маскировка материальных тел методом волнового обтекания. Успехи физических наук, 2010, 180:475-495.

19. Gadomsky ON, Altunin KK, Stepin SN, Katnov VE. Near-field effect in composite materials with a quasi-zero refractive index. Optics Communication, 2014, 315:286-292.

20. Виноградов АП, Дорофеенко АВ, Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов. Успехи физических наук, 2008, 178:511-522.

21. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973, 720 c.

22. Гадомский ОН, Гадомская ИВ. Незеркальное отражение света на неоднородной границе раздела двух сред и в наноструктурном слое с близким к нулю показателем преломления. ЖЭТФ, 2015, 147:195-208.

23. Гадомский ОН. Проблема двух электронов и нелокальные уравнения электродинамики. Успехи физических наук, 2000, 170:1145-1162.

ГАДОМСКИЙ О.Н., УШАКОВ Н.М., ГАДОМСКАЯ И.В.

НАНОСИСТЕМЫ

24. Гадомский ОН, Щукарев ИГ. Эффект огибания светом в плоскопараллельном слое с квазинулевым показателем преломления под действием ограниченных световых пучков. ЖЭТФ, 2016, 150(2):214-228.

Гадомский Олег Николаевич

д.ф.-м.н, проф.

Ульяновский государственный университет 42, ул. Л.Толстого, Ульяновск 432017, Россия gadomsky@mail.ru

Ушаков Николай Михайлович

д.ф.-м.н., проф.

ИРЭ им В.А. Котельникова РАН, Саратовский филиал 38, ул. Зеленая, Саратов 410019, Россия nmu@bk.ru

Гадомская Ирина Вениаминовна

к.ф.-м.н, доцент

Ульяновский государственный университет

42, ул. Л.Толстого, Ульяновск 432017, Россия gadomskaya@mail.ru

PHOTON LOCALIZATION IN OPTICAL METAMATERIALS WITH A RANDOM CLOSE TO ZERO REFRACTIVE INDEX

Oleg N. Gadomsky, Irina V. Gadomskaya

Ulyanovsk State University, https://www. ulsu.ru/ 42, ul. L.Tolstoy, Ulyanovsk 432017, Russian Federation Nikolay M. Ushakov

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of RAS, Saratov branch, http://www. cplire.ru/rus/sfire/ 38, ul. Zelenaya, Saratov 410019, Russian Federation gadomsky@mail.ru, nmu@bk.ru, gadomskaya@mail.ru

Abstract. The results of a theoretical and experimental study of the effect of photon localization in the composite layer of a nanomaterial (PMMA & Ag) with spherical silver nanoparticles are presented. Composite nanomaterial was a metamaterial with a random refractive index close to zero. The photon localization effect considered in this article is fundamentally different from the transverse localization of electromagnetic waves in 2D periodic structures, since it is considered in homogeneous transparent media far from the resonance of their structural elements. It is theoretically shown that at a vacuum-optical medium interface with a random refractive index close to zero the refraction of the wave occurs not according to Snell's law, but with the localization of photons, when the external plane wave is extinguished at a point. In accordance with the uncertainty relation photons propagate in the medium in all directions determined by a random angle of refraction. A condition under which the values of the angles of refraction of waves in a layer become complex quantities is derived. As a result, a parallel beam of light inside the layer is localized in a small region. A 1 mW helium-neon laser with longitudinal polarization of light and a wavelength of 632 nm has been used in experiment. The diameter of the laser beam was 1 mm. The radiation passing through the sample with a thickness of 10 ^m in the longitudinal and transverse directions was recorded using a CD camera. When the sample is irradiated a photon localization region is formed in the composite layer, whose linear dimensions (8 ^m) are comparable with the layer thickness.

Keywords: optical metamaterial with randomly close to zero refractive index, polymer composite nanomaterial, silver nanoparticles, polymethyl methacrylate, photon localization in the composite layer

UDC 546.722+546.271

Bibliography - 24 references Received 14.03.2019, accepted02.04.2019 RENSIT, 2019, 11(2):177-188_DOI: 10.17725/rensit.2019.11.177