Линейно-вогнутая задача оптимального управления с управляемыми коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5

ЛИНЕЙНО-ВОГНУТАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

__ л о

О.Н.Кочеткова1, А.В.Бурдуковская2

1Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,

664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

2Байкальский государственный университет экономики и права,

664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11.

Рассматривается задача оптимального управления линейной системой канонических гиперболических уравнений с управляемыми коэффициентами. Исходная система линейна по состоянию с дополнительными условиями на параметры задачи, при которых справедлив принцип максимума. Эта математическая модель удачно используется, например, для описания каталитических процессов в химии, и задача оптимизации в них моделирует процесс оптимизации работы химических реакторов с изменяющейся активностью катализатора. Предлагается алгоритм прямой точной релаксации. Алгоритм использует нетрадиционный вид формулы приращения целевого функционала, что обеспечивает релаксацию без параметрической оптимизации. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: оптимальное управление; система канонических уравнений; допустимое управление; формула приращения; алгоритм; принцип максимума.

LINEARLY CONCAVE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL WITH CONTROLLABLE COEFFICIENTS O.N. Kochetkova, A.V. Burdukovskaya

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074 Baikal State University of Economics and Law, 11, Lenin St., Irkutsk, 664003.

The article examines the problem of optimal control of the linear system of canonical hyperbolic equations with controllable coefficients. The original system is linear in state with additional conditions on problem parameters, when the maximum principle is correct. This mathematical model is successfully used, for example, to describe catalytic processes in chemistry, where the optimization problem models the optimization process of the operation of chemical reactors with varying activity of the catalyst. An algorithm for direct faithful relaxation is proposed. The algorithm uses an unconventional type of the increments formula of a criterion functional that provides relaxation without parametric optimization. 8 sources.

Key words: optimal control; system of canonical equations; feasible control; increments formula; algorithm; maximum principle.

Теория оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время достаточно высоко развита, созданы эффективные вычислительные методы поиска оптимального управления. В то же время имеется относительно малое число примеров их практического использования в управлении реальными естественно-физическими или инженерно-производственными и экономическими процессами, т.к. описание сложных реальных процессов лишь в редких случаях может быть втиснуто в рамки систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как правило, состояние и управление реального процесса является функцией не только времени, но и некоторых пространственных переменных. Отсюда наиболее естественно описание этого процесса системой уравнений с частными производными, например [4] - [7]. Разработка здесь общего анализа, универсальных методов крайне затруднена глубокими различиями типов уравнений, типов начально-граничных условий, а также известной незавершенностью качественной теории при кусочно-непрерывных управлениях.

Постановка задачи

Пусть в заданной прямоугольной области P = Sх T, S = [s0, s 1T = [t0, tx] независимых переменных (s,t)e P управляемый процесс определяется системой уравнений

1Кочеткова Ольга Николаевна, старший преподаватель кафедры математики, тел.: 89025669336.

Kochetkova Olga, Senior Lecturer of the Department of Mathematics, tel.: 89025669336.

2Бурдуковская Анна Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: 89086412112, e-mail:

[email protected]

Burdukovskaya Anna, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor, tel.: 89086412112, e-mail: [email protected]

zs = A i(u, s, t)z + A2(u, s, t)y + /^ ^(u, s, t), j

_(2) 1

y = A>l(u,s,t)z + Ai^s,t)y + / (u,s,t)J

(1)

z(s0, t) = z0 (t), y(s, t0 ) = y0 (s), (2)

с начально-граничными условиями

u(s, t )eU, (3)

здесь U е - компакт, не обязательно выпуклый.

Вектор-функции /^ \/^ ^ непрерывны по своим аргументам вместе с частными производными по (z,y) и удовлетворяют условиям Липшица по z,y .

z°(t), y°(s) - заданные измеримые по t и s функции.

Под допустимыми управлениями будем понимать измеримые вектор-функции и = u(s, t), стесненные прямыми ограничениями вида (3).

Качество допустимого процесса оценивается функционалом

j(u) = |^(z(s, t),t)dt + J^2(y(s, tj),s)ds + JJF(z,y,и,s, t)dsdt ^min . (4)

ts p

Скалярные функции ^,ф2,F дифференцируемы и вогнуты по (z,y) для всех u(s,t)eU, (s,t)eP. В задаче (1) - (4) исходная система уравнений с частными производными (1) линейна по состоянию x = (z,y) с управляемыми коэффициентами A = A (и, s, t), i, j = 1,2.

Формула приращения

Для задачи (1) - (4) выпишем формулу приращения

AJ(и) = J(и ) - J(и) = -JJ А~H(щ, ~, и, s, t)dsdt + %. (5)

p

Заметим, что {и;x = x(s, t, и)} и {и" = и + Аи, ~ = x + Ах = x(s, t, и)} - базовый и варьируемый допустимые процессы и

H (щ,

x, и, s, t) = Щ (1)(s, t), An(u, s, t )z(s, t)+ A21(u, s, t )y(s, t)+ / (1)(u, s, t ^ +

+ w{2\s, t), A12 (и, s, t )z(s, t)+A22 (и, s, t )y(s, t) + / и, s, t )\ - F (z, y, и, s, t),

щ« = - A^ (и, s, t Щ - AT2 (и, s, t У2) + dF (z,y,U,s,t),

dz

щ(2) = - A^ (и, s, t У1) - A[2 (u, s, t У2 > + dF (z,y,U,s,t)

(6)

ду

В формуле приращения (5) % < 0 , так как О < 0; О < 0, - О = О, О - 0 в силу вогнутости функций ^ , ^.

Релаксационный алгоритм. Пример

Пусть на некотором к -том шаге, к = 0, 1, 2, ..., итерационного процесса ик(з, /)еи_- найденное, допустимое кусочно-непрерывное управление, а хк (з, ?) = t, ик ), (к (з, t ) = ((?, t, ик ) - соответствующие ему решения исходной (1) - (2) и сопряженной (5) - (6) задач. Для произвольного х построим функцию Щ (з, t, х, ~) = А ~ Н (, хк, ик, з, t) = Н (к, хк, з, t)- Н (, хк, ик, ) и в предположении о разрешимости условия максимума найдем

и (х,з,t)= аг§шахЩ(з,t,х,и). (7)

и^и

Очевидно, что

для любых x, (s, t )е P.

W (s, t, x, u(x, s, t ))> 0 (8)

Решение задачи (7) обусловлено обычным предположением о разрешимости условия максимума для функции Понтрягина при произвольных х [1].

Найденное из (7) управление подставим в исходную систему и решим задачу

= Аи (х,я, t), s, 1^г + Аи (х, я, 1), я, 1 ^У + /^и (х, я, 1), s, 1

У = Аи (х, я, 1), я, 1 ^г + А2[и (х, я, 1), я, 1 ^у + /^ ^и (х, я, 1), я, 1 > (9)

г^,1 ) = г0 (1), у(я, 10 ) = у0 (я).

Задача (9) представляет собой нелинейную по (г,у) с возможными разрывами по состоянию правых частей, вызванных возможными разрывами по х функции и (х,я, 1).

Предположим, что мы решили задачу (9). Обозначим ее решение - х (я, 1 ) = (г (я, 1), у (я, 1)). На этом решении построим управление

ик (я, 1 ) = и ^х (я, 1), я, 1

Теперь формулу приращения (5) рассмотрим при и = ик (я, 1) и и = ик (я, 1). Заметим, что в этом случае

~ = х (я, 1) .

В силу неравенства т]~к < 0 имеем

J (ик )- J (ик ) < —у ^ Г я, 1, хк, ик ,

к p

где в силу неравенства (8)

wi s,t,x ,ик |> 0.

Следовательно,

j )< J Uk ).

Причем, если Wk \ s, t, x , ик ^ > 0, (s, t )е p œ P, mes p > 0, то uk Ф uk (s, t ), (s, t )e p, и, следовательно, J (~k ) < J \u

Получена строгая релаксация без операции минимизации по скалярному параметру. Положим,

ик = nk+\s, t), к = 0,1,2,..,. Если ик(s, t) = ик(s, t), (s, t)e P, то X(s, t) = xk(s, t),

W (s, t, xk, ~k )= W [ s, t, X, / J = 0.

Отсюда управление uk = uk (s, t) удовлетворяет принципу максимума [3]. Пример

г, = u(s, t), z (0, t )= 0, y = u(s, t )z, y(s,0)= 0, (s, t )e P = [0,1]х[0,1],

|u(s, t) < 1.

1 1 J(u) = | s(1, t)dt -1 y(s,1)ds ^ min.

0 0

Пример взят из [8].

Информация о примере

Н = ((1)и + (2и • 2 = р^, t)• и, р (5, t )=( + 2)г, (!) = -(2К и; ((1)(1, t)=-1,

(2 ) = 0, (2) (*,1) = 1; (2)(*, t ) = 1,

1 X

((!) (5, t ) = -1 +1 и^, t -1 и (£ t №

0 0

и(г, я, t) = е/gя[[(яД) + г(я, t)]

Пусть начальным приближением является управление и0 (с, t ) = 0,75. В этом случае

г0 (з, t) = 0,75 • з, у0 (з, t) = 0,56 • з • Л

(5, t )=-0,25 - 0,75s.

Решим задачу

Очевидно, что Теперь решим уравнение

Предположим, что

—0

u (z, s, t) = arg max(((l)(s, t) + z(s, t))u

u < 1

u0 (z, s, t ) = sign(- 0,25 - 0,75s + z ).

zs = sign(- 0,25 - 0,75s + z ), z(0, t ) = 0.

г^, t )< 0,25 + 0,75£. Тогда имеем уравнение г =-1 с начальным условием г(0, {) = 0.

Его решение удовлетворяет нашему предположению. Если же г(е, t)> 0,25 + 0,75з, то решение г (е,t) = з, г = 1, г(0,t) = 0 не удовлетворяет предположению. Следовательно,

г (з, t) = -з, и = 1, ~0 (з, t) = -1.

На этом управлении (не равном и0(з, t)) в силу алгоритма обеспечивается строгая релаксация без параметрической оптимизации, что и подтверждается расчетами

J(~0)= -1,5 < J(и0)= 0,47 .

Далее при и1(з, t ) = ~0 (з, t ) = -1

г1 (я, t )= -е, у1^, t ) = я •

t )= * - 2,

и (г,s,t)= s7grc[[(l)(s,t)+ г(я,

(z, s, t) = sign\s - 2 + z].

—1 u (z, s

z (s, t) : z = u (z, s, t) = sign\_s - 2 + z] z(0, t) = 0 . Рассмотрим случаи, когда s -2 + z < 0. Решением уравнения

zs =-1; z(0, t ) = 0

является функция

г (я, 1) = —я ,

для которой справедливо

—1

я — 2 — г = я — 2 + я = 2я — 2 < 0 (кроме я = 1). Предположим теперь, что 2 — я + г > 0. Найдем решение уравнения

^ = 1, г(0,1 ) = 0.

Для этого решения

г (я, 1) = я

выполнено неравенство

я — 2 + я = 2я — 2 < 0,

которое противоречит предположению. Таким образом,

г (я, 1) = —я , определим ~1(я, 1 ) = — 2 — я) = —1; и1 = и1.

Библиографический список

1. Бурдуковская А.В., Васильев О.В. Оптимизация систем канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, №1. С. 43-53.

2. Бурдуковская А.В., Васильев О.В. Об алгоритмах оптимизации в системах канонических гиперболических уравнений с частными производными. Серия: Оптимизация и управление. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1998. Вып.2. 55 с.

3. Кочеткова О.Н., Бурдуковская А.В. Алгоритм оптимизации системы канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями // Вестник ИрГтУ. 2010. № 7. С. 295-301.

4. Быков В.И., Яблонский Г.С., Слинько М.Г. Применение принципа максимума для оптимизации квазистационарных каталитических процессов с изменяющейся активностью катализатора // Proc. ^^ Techn. ^пГ on Optimizat. Techn. Новосибирск, 1974. С. 11-16.

5. Васильев О.В. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикл. матем. Новосибирск: Наука, 1978. С. 109-138.

6. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения (Оптимальное управление). Новосибирск: Наука, 1990.

7. Забелло Л.Е. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Диф-ференц. ур-ния. 1990. Т. 26, № 8. С. 1309-1315.

8. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1989. 154 с.

УДК 681.5.003.23 (517.977.58)

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Н.Н.Куцый1, Е.А.Осипова2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается задача параметрической оптимизации систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией. Приведены результаты исследования разработанного алгоритма параметрической оптимизации. Решается вопрос о выборе числа настраиваемых параметров. Ил. 4. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: алгоритм автоматической параметрической оптимизации; беспоисковая самонастраивающаяся система; интегральная широтно-импульсная модуляция; чувствительность.

1 Куцый Николай Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89149178520, e-mail: [email protected]

Kutsyi Nikolai, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89149178520, e-mail: [email protected]

2Осипова Елизавета Алексеевна, аспирант, старший преподаватель кафедры автоматизированных систем, тел.: 89501204839, e-mail: [email protected]

Osipova Elizaveta, Postgraduate, Senior Lecturer of the Department of Automated Systems, tel.: 89501204839, e-mail: [email protected]