CC BY
25
УДК 537.84
Т.А. Кожуховская, А.А. Крюков, А.М. Сагалаков, А.Ю. Юдинцев Линейная устойчивость течения двухфазной жидкости в трубе КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ
Рассматривается линейная устойчивость течения Пуазейля гетерогенной жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами по отношению к трехмерным возмущениям. Проведены численные расчеты в широком диапазоне изменения параметров. Исследовано влияние ширины зазора, массовой концентрации частиц и времени релаксации на устойчивость течения. Показано, что при достаточно малых радиусах внутреннего цилиндра наиболее опасными являются спиральные моды.
Рис. 1. Вид профиля течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения
5 = | ^ —- безразмерное время релаксации, где а - радиус частицы, Ь - ширина зазора между цилиндрами, U0 - среднерасходная скорость,
м -
массовая плотность континуума частиц,
М = -па3 -рр
масса частицы, Рри Pf
плотности (соответственно) материала частиц и несущей жидкости.
Граничным условием для частиц и для несущей жидкости будут условие непроницаемости границ и обычное условие прилипания на стенках канала:
= о,уГ/п\н+1 = О
Стационарное решение системы (1) для несущей жидкости и частиц соответственно равны:
Vo/(r) = U(f) • ez = V(r); F. (r)PJ(r) e = V(r),
(3)
Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости с частицами между двумя коаксиальными цилиндрами (рис.1). Ось 07 цилиндрической системы координат направим по оси цилиндров вдоль основного течения. Радиус внутреннего цилиндра - внешнего - £+1. Будем считать степень разреженности частиц настолько большой, что непосредственным взаимодействием частиц и связанными с ним процессами переноса можно пренебречь, пренебрежем также броуновским движением и архимедовой силой, Частицы -сферические, меж- фазное взаимодействие описывается силой Стокса [1].
Движение гетерогенной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса для несущей жидкости и уравнением переноса для частиц:
здесь и(г) - профиль скорости основного течения
и(г)=Л-г2-Б-1п(г) + С,
где А, В, С - постоянные величины, зависящие
от
Получим систему уравнений для возмущений. Для этого подставим в систему (1) возмущения скоростей и давления в виде элементарных волн
Vfix. £) = V(r) + Vf(j) • exp{i ■ a ■ (z — С ■ t) + i ■ m ■ q>}, Vp(r,t) = V(r) + vp(r) ■ exp{i ■ a ■ (z — С ■ t) + i ■ m ■ (p}\ Pp(r,t) = f(r) + /i(r) ■ exp{i ■ a ■ (z — С ■ t) + i ■ m ■ (p}\ p(r, t) = p0(r) + Pi^r) ■ exp{i ■ a ■ (z — С ■ t) + i ■ m ■ (p}\
-Vf + (Щ Vf = - Vp + -Д Vf+%(Vp-Vf);
^ vp + ( vpv) vp=pfr(vp-vf);
Здесь R =
- число Рейнольдса
где а - 2 — проекция волнового вектора, С-Х + 1-1 - комплексная фазовая скорость, т - номер моды возмущения. Здесь решение системы (1) находили в виде суммы стационарной компоненты и компоненты, характеризующей малое отклонение параметров системы от стационарных значений. После подстановки возмущений скоростей и давления в систему уравне ний ( 1 ) будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка для амплитуд скоростей и давления
п
р
Линейная устойчивость течения двухфазной жидкости.
ш' —$/гЛ = 0;
Л' + а-\м — Яи'тр — ¿а~х = 0;
1771 Г 1771 ^
1р' + —Ф + га-ш = 0; х' + — ^ + га-Лф = 0;
Фл'-г/^Л = 0; Л'+^ЭД + сД Ф = '^-х0.
Где хр = г-УГг, Ф = Г vfr, х = Я-п, Л = Г^, w = vfz П =1(г17/ф)' = £ф', а = -¡аЯ(Ш-с) -к2,Ь =/(г)««'/2;
/-1 = 1 + ¿аК5(0 - с),Ш = и - ^г)(и - с)1, к2 = ^а2.
Система (5) совместно с граничными условиями р)| ^ +1=0 представляет собой
однородную краевую задачу на собственные значения, которая решается численно с использованием метода дифференциальной прогонки И-
Известно, что для плоского течения наиболее опасными считаются двумерные возмущения [1]. В случае течения гетерогенной жидкости в канале кольцевого сечения осесимметричные возмущения — наиболее опасные при больших радиусах внутреннего цилиндра ((» 15), а при значительной степени цилиндричности канала большую роль играют трехмерные возмущения. В результате расчетов было получено, что при % <5 наиболее опасными являются трехмерные возмущения (т ) 0).
Существенное влияние на характер спектральных зависимостей оказывает массовая концентрация частиц и время релаксации. На рисунке 2 представлены зависимости критических чисел Рейнольдса от % при т= 1 для характерных значений массовой концентрации
С ростом концентрации частиц кривые смещаются влево, т. е. уменьшается критическое число Рейнольдса. Таким образом, увеличение концентрации частиц в потоке приводит к его дестабилизации. Такой дестабилизирующий фактор можно объяснить из следующих соображений: массовая концентрация частиц прямо пропорционально входит в формулу для силы Стокса, которая определяет межфазное взаимодействие. Увеличение концентрации частиц вызывает соответствующий рост силы, что приводит к большему возмущению течения.
На рисунке 3 изображены зависимости £,(Кв*) при увеличении времени релаксации.
Рост времени релаксации на начальном этапе стабилизирует течение (кривая 2), а затем происходит его дестабилизация (кривые 3—4). Влияние времени релаксации на устойчивость потока можно качественно объяснить, рассматривая уравнение, связывающее скорости частиц и жидкости:
V в Ш-С) V
р 1+1а К '
!
Время релаксации 8 определяет сдвиг фазы между комплексными амплитудами скоростей частиц и жидкости. При соответствующих значениях 8 возмущения жидкости и частиц могут раскачивать друг друга либо, наоборот, оказывать демпфирующее влияние.
4.00Е+3 8.0СЕ+3 и20Б+4 1.60Е+4 2.00Е+4
Рис. 2. Зависимости %(Кв'). Значения массовой концентрации: 1 -/= 0; 2-/= 0.05; 3 -/= 0.1; 4-/ = 0.2; 5-/=0.3
н--1 i i i iii]-г—i i i i i 1т|-1-1—i i i i i г[-
1 . 00Е+3 1. 00Е+4 1. 00Е+5 1. 00Е+6
Рис. 3. Зависимость £(Кв*). Массовая концентрация частиц -/= 0.2, т = 1. Значения времени релаксации: 1 - £ = 10_6;2— £= 4,5-10'6;3 - £ = 10_4 ; 4 — £ = 10~2
Литература
1. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость гетерогенных сред. Устойчивость плоского течения Пуазейля: Препринт НГАС № 2(4)-94. Новосибирск, 1994.
2. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая
устойчивость и турбулентность. Новосибирск, 1977.
3. Вильгельми Т.А., Сапожников В.А. Об устойчивости течения в кольцевом канале // Численные методы механики сплошной среды. 1971. Т. 2. №4.
