Линейная оценка прогнозирования на основе метода обеляющего фильтра Текст научной статьи по специальности «Математика»

where w* is the Radon-Nycodim derivative of n* w.r.t. //*.

The adopted approach, described in detail in [1], allows us to deal with vector valued control measures without requiring the commutative assumption on the singular vector fields dynamics which can be regarded as a significant extension of the one in [2]. Besides an inherently natural interpretation of the state trajectory which takes into account the interaction between the evolving state variable and the impulsive integrating control measure at times when the trajectory is discontinuous, this approach is amenable to the derivation of necessary conditions of optimality under hypotheses on the data which allow measurable time dependence and a time varying control constraint set.

From the engineering point of view, our approach is suitable to address important classes of problems involving the coordinated control of multiple dynamic systems. A simple example consists in the problem where the goal is to control a set of dynamical systems with several viable configurations in order to maximize a given performance criterion in the execution of the given task. By configuration, it is meant a set of specific constraints or evolution laws which might be associated with a certain region of the state space. Let us assume that the transition between any two configurations is not instantaneous but that takes place through a evolution which depends on some specific laws. Let us assume also that the mentioned task can only be executed when the system is “operational”, i.e., anyone of the configurations is well established. Observe that the solution of the problem involves control optimization not only in the operational mode but also in the management of the transitions between configurations. On the other hand, it is of interest that time flows only when the task of interest is being executed. This means that, for this time frame, the transition between configurations (i.e., singular evolution) would be instantaneous, although, for the purpose of the system performance evaluation, the evolution of the singular component would have to be taken into account.

REFERENCES

1. Pereira F. and Silva G., Necessary conditions of optimality for vector-valued impulsive control problems // Systems and Control Letters. 2000.

2. Pereira F., Silva G. and Vinter R, Necessary conditions of optimality for impulsive differential inclusions // Proc. Conf. Decision and Control’98, Tampa, FL, December, 16-18, 1998.

ЛИНЕЙНАЯ ОЦЕНКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА

ОБЕЛЯЮЩЕГО ФИЛЬТРА

(с) В.В. Савченко, А.В. Баринов, А.А. Шкулев (Нижний Новгород)

Задача прогнозирования случайного временного ряда Х(п) относится к числу центральных задач статистического анализа информации. При этом наибольший интерес вызывают оценки прогнозирования линейного вида

м

^(п) = ^2агх(п - г), (1)

г=1

где {а*} - вектор постоянных коэффициентов, М - порядок оценки. В классе гауссовских временных рядов такая оценка обеспечивает минимум дисперсии ошибки прогнозирования = М(х(п)—х(п))2 в текущем времени п = 1,2,... Линейная оценка прогнозирования общего вида (1) отталкивается от АР-модели наблюдений

м

х(п) = 5>(п — г) + г}(п),п = 1,2,, (2)

1=1

с порождающим белым шумом г/(п) на входе. Иными словами, в роли вектора коэффициентов а в выражении (1) используется вектор коэффициентов авторегресии установленного порядка М > 1. При этом оптимальный вектор АР-коэффициентов отвечает системе нормальных уравнений:

Кмхма = км (3)

Здесь Ка/хл/ - автокорреляционная матрица размера (А/ х М), км- М - вектор (столбец) коэффициентов автокорреляции анализируемого процесса Х(п). При отсутствии достоверных сведений относительно корреляционных свойств анализируемого процесса в выражение (3) вместо неизвестных коэффициентов автокорреляции подставляются их статистические оценки, формируемые по выборке {ж(п)} одним из известных методов. В зависимости от используемого метода получают различные модификации адаптивной оценки прогнозирования (1). При этом с точки зрения практических потребностей предпочтение отдают новым методам с высокими динамическими свойствами, основанными на эффекте выбеливания или декорреляции случайного временного ряда (СВР). Типичным представителем данного класса методов является известный метод Берга, впервые разработанный и примененный в задаче спектрального оценивания. Его центральным звеном служит адаптивный линейный декоррелятор решетчатой структуры. Достигаемая в этом методе скорость сходимости описывается степенным законом и неулучшаема по порядку 1 /Ь, где Ь - объем выборки. При правильном выборе параметров АР-модели высокие динамические свойства новых методов являются необходимым условием высокой скорости сходимости линейной оценки прогнозирования

к ее оптимальному виду (1),(3). Сказанное нашло свое количественное отражение в следующем

выражении для кривой обучения адаптивной оценки

ДМ£, М) = 1о8(1 + ^Кпод), 1 = 1,2,..., (4)

0.2

где Кпод = предельное значение коэффициента компенсации СВР в декорреляторе. При каждом

® г

фиксированном значении объема выборки £ и порядка оценки Мвыражение (4) характеризует собой информационное отклонение АР-модели (2) от истинного временного ряда Х(п) в универсальной метрике Кульбака-Лейблера. Видно, что при Ь —»• оо информационный показатель эффективности линейной оценки (1) в пределе уменьшается до нуля, что гарантирует с вероятностью 1 оптимальное решение задачи прогнозирования в асимптотике.

«