CC BY
19
УДК 621.311
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ ЛЕСОПИЛЬНОЙ РАМЫ
© С.П. Агеев, д-р техн. наук, доц.
Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, наб. Северной Двины, д. 17, г. Архангельск, Россия, 163002; е-шаП: doctor.mart11@mail.ru
Нормирование удельных расходов энергии на деревообрабатывающих предприятиях строится в соответствии с расчленением производства, с одной стороны, на отдельные операции и процессы по видам производимой продукции, с другой - на отдельные участки (агрегаты, цехи, предприятие в целом). В соответствии с этим различают операционные удельные нормы по отдельным операциям и суммарные удельные нормы по отдельным производственным процессам. Целью настоящей статьи явилось изложение подхода к установлению операционной нормы удельного расхода электроэнергии на выполнение операций распиловки древесины на лесопильных рамах с учетом вероятностных характеристик пиловочного сырья. Для проведения исследований предложена линейная математическая модель графика электропотребления механизма резания главного привода лесопильной рамы, использованы методы теории вероятностей. На основе применения методов теории вероятностей найдены законы распределения максимальной мощности, общего и удельного электропотребления за эффективное и операционное время цикла, а также их числовые характеристики, установлены зависимости показателей линейной модели электропотребления от геометрических характеристик распиливаемого сырья и параметров режима лесопильных рам. Полученные результаты могут быть использованы при решении вопросов нормирования и планирования электропотребления процессов лесопиления. Установлено, что основные показатели линейной модели электропотребления лесопильной рамы являются случайными величинами, распределенными не по закону Гаусса. Однако вид графика плотности распределения позволил аппроксимировать его законом нормального распределения, при этом их основные характеристики сохранились. Ошибка аппроксимации составила не более 0,02 %. Получены формулы расчета показателей электропотребления в зависимости от геометрических характеристик пиловочного сырья.
Ключевые слова: лесопильная рама, рабочий цикл лесопильной рамы, мощность, абсолютный и удельный расходы электроэнергии, плотность распределения вероятностей, геометрические характеристики распиливаемого сырья.
В настоящее время вопросы рационального использования энергетических ресурсов приобретают все большее значение в различных отраслях промышленности. Лесопиление является основополагающим в механической обработке древесины и представляет собой сложный энергоемкий процесс. Энергозатраты на производство пилопродукции иногда необоснованно завы-
шены, что во многом определяется несогласованностью энергетических свойств оборудования с технологическими операциями.
Нормирование удельных расходов энергии на деревообрабатывающих предприятиях строится в соответствии с расчленением производства, с одной стороны, на отдельные операции и процессы по видам производимой продукции, с другой - на отдельные участки (агрегаты, цехи, предприятие в целом). В соответствии с этим различают операционные удельные нормы по отдельным операциям и суммарные удельные нормы по отдельным производственным процессам [3].
Потребление электроэнергии приемниками лесопильного производства зависит от многих технологических факторов, большинство из которых не учитываются при анализе и планировании электропотребления. Характерной особенностью технологического процесса лесопиления является то, что в нем постоянно проявляется воздействие случайных факторов (форма и размеры пиловочных сортиментов, изменчивость продолжительности технологических операций и т. д.) [1].
Одним из способов повышения точности расчета операционных норм является использование в качестве исходной информации показателей индивидуальных графиков нагрузки энергоемких потребителей или их моделей.
Цель настоящей статьи - изложение подхода к установлению операционной нормы удельного расхода электроэнергии на выполнение операций распиловки древесины на лесопильных рамах (ЛР) с учетом вероятностных характеристик пиловочного сырья.
На рис. 1 представлена линейная модель графика нагрузки лесопильной рамы, задаваемая следующей формулой:
где РЫп, Ртах, Ре - минимальное значение мощности, потребляемой
двигателем главного привода ЛР в начале рабочего цикла; максимальное значение мощности, имеющей место в конце эффективного времени цикла; мощность потребляемая во вспомогательном времени цикла;
Тэ, то, Те- эффективное, операционное время рабочего цикла
и вспомогательное время цикла (межторцовых разрывов).
Среднее значение мощности за эффективное время цикла
Р ■ + Р
тах
Рис. 1. Линейная модель графика нагрузки лесопильной рамы
Согласно энергетической характеристике механизма резания лесопильной рамы [2], минимальное и максимальное значения потребляемой мощности соответствуют минимальному .Дтщ и максимальному ^тах значениям текущей производительности в операционном цикле:
Лшп = сд7^тт + ^ПОСТ = 0,5CдdвVПЙ + Рп0СТ; (1)
^гпах = сд4^тах + ^ПОСТ = ^Сд^кТга + РпоСТ, (2)
где Сд - коэффициент энергоемкости;
РПОСТ - постоянная составляющая потребляемой двигателем мощности; ¿в, ^к - диаметры бревна в вершине и комле соответственно,
^в, ^к = ^в + с — средний сбег бревен; I — длина бревен; и — скорость подачи.
Мощность Рв может быть определена по формуле
Рв = &Свп2г • 10-5, где к - опытный коэффициент, зависящий от условий трения;
Gв - вес возвратно движущихся частей механизма; п - частота вращения коленчатого вала; г - радиус кривошипа.
Так как длина бревен в сортировочной партии является случайной величиной [1], то случайными также будут максимальное значение потребляемой мощности Ртах; количество электроэнергии, потребляемое за эффективное
(шз) и операционное ( Wo) время цикла; удельные расходы электроэнергии (УРЭ) за эффективное (^з) и операционное (^о) время цикла.
Для целей нормирования электропотребления интерес представляют закон распределения и вероятностные характеристики максимальной мощности Ртах. Для их получения преобразуем выражение (2) следующим образом:
Ртах = 0,5сд^з + + Рпосг(0,5сд^вТПй + Рпост) + О.БсдсЬ^лй,
или с учетом (1):
^шах = Ртт + ЬЬ, (3)
где Ь - постоянный (при определенных условиях) коэффициент, характеризующий прирост максимальной мощности при увеличении длины бревна на 1 м, Ь = 0,5 сдс/Лй.
Из (3) следует, что максимальное значение потребляемой мощности является линейной функцией длины бревен.
Экспериментальные исследования, проведенные на лесопильных заводах г. Архангельска, подтвердили гипотезу о распределении длины бревен в сортировочной партии согласно нормальному закону (закону Гаусса).
В [4] показано, что в результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины получается случайная величина, также распределенная по нормальному закону. Таким образом, максимальная мощность, распределенная по нормальному закону, имеет следующие характеристики:
математическое ожидание
МРтах = Ртт + ЪМЬ;
дисперсия
ОРтах = Ъ2Р>и
где МЬ, ОЬ - математическое ожидание и дисперсия длины бревен в сортировочной партии.
Определив показатели линейной модели графика нагрузки ЛР, можно найти общее и удельное электропотребление по распиленному сырью.
Для этого найдем выражение плотности распределения потребления электроэнергии за эффективное время цикла. Тогда с учетом (3) будем иметь:
Ы3(Ь) = рСзТз = Ртт+Ртах£ = 2Ртт+Ы£ = Ртт £ + А/2 = ^ + Ь (4) Сз 3 2 и 2и и 2и 1 IV/
Здесь а\ и Ъ - постоянные (при определенных условиях) коэффициенты.
Из (4) следует, что количество электроэнергии за эффективное время цикла является квадратичной функцией длины бревен.
Для нахождения закона распределения функции Жз(1) случайного аргумента Ь применим методику, изложенную в [4]. Тогда последовательно получим
1 (¿-м.)2 2
/(I) =-■= е ; шЭ = ф(1) = +
—+ У^2 + 1
I = ф(шэ) =---; (^'э)1 =
2а1
У^2 + 4а! Шэ
(^ь|+4а1шэ-Ь1-2а1М1)2 2(2а1а1)2
где
= /"(ФОэ^Ф'ОЭ)! =- _ ==
аьу2п(Ь2 + 4а-^э)
о^ - среднее квадратическое отклонение длины бревен; ф(1), ф(шэ) - функциональные зависимости;
(шэ) - производная от функции ф(и^). Кривая плотности д(ууэ) этого распределения показана на рис. 2. 6,00
5,00
,(5)
0,00
Электроэнергия за эффективное время цикла, кВт*ч
Рис. 2. Плотность распределения количества электроэнергии, потребляемой за эффективное время цикла
Из выражения (5) следует, что электропотребление за эффективное время цикла, как случайная величина, распределено не по закону Гаусса. Однако вид графика плотности распределения позволяет аппроксимировать его законом нормального распределения, сохранив при этом основные характеристики случайной величины Шэ: математическое ожидание Мшэ и дисперсию
Используя выражение (4), найдем математическое ожидание электропотребления за эффективное время цикла распиловки:
МшЭ = М^!2 + = о^М!2 + ^М!.
С учетом того, что
окончательно получим
М12 = + (М1)2, МшЭ = + % (М1)2 + ^М!.
Для определения дисперсии Ожэ приравняем плотности распределения (5) и нормального закона:
д(^Э) = —, 1 --е 2(2«1^ь)2 =—г—е 2°№з . (7)
Подставим в (7) и^ = Мы э:
(J(b1+4a1Mwэ)-b1-2a1ML)2 2(2а.10Ь)2
аь 72П(Й2 + 4а1МшЭ) '
откуда среднее квадратическое отклонение количества электроэнергии
( j(Ьl+4a1Mwэ)-Ь1-2a1ML)2
вуу = оь^(Ы2 + А^Мыэ е 2(2«l^L)2 . (8)
Покажем, что в этом выражении
(^(Ь2+4а1М\Мэ)-Ь1-2а1МЦ)2 в г&а^о^р- ~ 1 (9)
Для этого числитель степени представим следующим образом:
Э- (Ь1 + 2а1М1) = ^Ь2 + 4а1(а1ЭЬ + а1(МЬ)2 + Ь1МЬ) --(Ь1 + 2а1МЬ) = 7(Ь1 + 2а1МЬ)2 + Аа^БЬ - (Ь1 + 2а1МЬ).
Можно показать, что при конкретных технических параметрах ЛР и геометрических характеристиках распиливаемого сырья второе слагаемое под квадратным корнем составляет всего 0,016 % первого слагаемого. Поэтому, если этим слагаемым пренебречь, то получим соотношение (9).
В этом случае дисперсия электропотребления за эффективное время цикла может быть вычислена по формуле
= ЯДЬ2 + 4а1МыЭ) = Я! ^п+^ж+ми^ . (10)
Аппроксимация реального закона распределения случайной величины и^э нормальным вносит ошибку в определение дисперсии около 0,003 %, что вполне допустимо для решения поставленной задачи.
Найдем плотность распределения и числовые характеристики удельного расхода электроэнергии по распилу сырья. Рассматривая бревно как круговой цилиндр с диаметром ИСр = с1в + 0,5 сЬ, находим его объем по формуле
V = —ср I.
Тогда УРЭ по распилу сырья за эффективное время цикла с учетом (4): ^ шЭ 4(а112 + Ь11) 4(а11 + Ь1) 4РтШ + 2Ы
Э V тсЯ^! + 0,5 с!)2 + 0,5с!)2'
Для нахождения его плотности распределения применим использованную выше методику, аппроксимировав реальный закон распределения нормальным.
В результате получим следующие характеристики: математическое ожидание
МйЭ =
4Ртт + 2Ы
+ 0,5сМ1)2'
дисперсия
Э V + 0,5сМ1)3
При этом средняя ошибка аппроксимации составила не более 0,01 %. Найдем закон распределения общего потребления электроэнергии за операционное время цикла. Тогда с учетом (4):
Р ■ Ь
= Шэ + Шв = + — I2 + Рв^в = а^2 + ¿1! + РвХв, (11)
и 2и
где Шв - электроэнергия, потребляемая за вспомогательное время цикла.
При этом нормативное значение вспомогательного времени принимается постоянным: тВ =1,9 с.
Из (11) следует, что общее электропотребление ш0 является линейной функцией аргумента Шэ, поэтому также имеет нормальное распределение со следующими характеристиками: математическое ожидание
Мш0 = МшЭ + Мшв = + а1(М1)2 + Ь1М1 + Рвтв;
дисперсия
= = + 4а1Мм/Э).
Найдем плотность распределения и числовые характеристики удельного
расхода электроэнергии по распилу сырья за операционное время цикла:
Шо Шэ + 2(Ы2 + 2Ртт^ + 2ишв) 4шв
ап = — =-=-Й-= аЭ +--Й— ' (12)
0 V V Э ( )
Из (12) следует, что чем больше длина бревен (их объем), тем меньше влияние межторцовых разрывов на УРЭ тем он меньше отличается от йЭ.
Как показывают расчеты, второе слагаемое в правой части (12) составляет не более 2 % от УРЭ ^э и поэтому не оказывает существенного влияния на формирование закона распределения УРЭ й0. На этом основании можно считать, что УРЭ й0 за операционное время цикла приближенно представляет собой нормально распределенную случайную величину.
Математическое ожидание и дисперсия УРЭ могут быть определены по следующим формулам:
4шв / 1 \ Мй0 = Мйэ + —ВМ ) = М^ + —В; 0 Э п \Я£Р1/ Э МУ;
^о = ^э + Я^) = Мэ + , (13)
где МК - математическое ожидание объема бревен данного диаметра.
Практические расчеты показали, что для наиболее часто встречающихся диаметров бревен второе слагаемое в (13) составляет не более 0,5 % от первого. Поэтому, если им пренебречь, то можно считать, что
= Ddэ.
Согласно закону нормального распределения любое значение УРЭ йО и вероятность его превышения могут быть определены по выражению
¿о = ^о + ра^,
где в - статистический коэффициент, учитывающий вероятность превышения удельным расходом уровня а^0 — среднее квадратическое отклонение УРЭ ^о.
Используя функцию Лапласа [5], получим расчетное значение УРЭ ё0Р, вероятность превышения которого составляет 0,05. В этом случае коэффициент в = 1,65. Таким образом, можно утверждать, что 95 % всех значений УРЭ за операционное время цикла при распиловке бревен одного диаметра не выйдет за уровень расчетного значения:
¿ор = + 1,65аЙ0. (14)
Это выражение может быть принято за основу для определения операционной нормы УРЭ за операционное время цикла при распиловке бревен данного диаметра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агеев С.П. Математическое моделирование процессов распиловки древесины // Изв. СПбЛТА. 2007. Вып. 179. С. 147 - 153.
2. Агеев С.П. Энергетическая характеристика электропривода механизма резания лесопильной рамы // Лесн. журн. 2009. №2. С. 96 - 101. (Изв. высш. учеб. заведений).
3. Алексин М.В., Синев В.С., Пижурин П.А., Коперин И.Ф., Головков С.И., Пав-лосюк В.А. Экономия энергоресурсов в лесной и деревообрабатывающей промышленности М.: Лесн. пром-сть, 1982. 216 с.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.
5. Гастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. М.: Статистика, 1980. 250 с.
Поступила 11.04.14
UDC 621.311
Linear Model of the Electrical Energy Consumption Process of a Saw-Frame
S.P. Ageev, Doctor of Engineering, Associate Professor
Northern (Arctic) Federal University named after M.V Lomonosov, Naberezhnaya Severnoy Dviny, 17, Arkhangelsk, 163002, Russia; e-mail: doctor.mart11@mail.ru
Specific energy consumption rationing in the woodworking enterprises is constructed in accordance with the decomposition of production into the items and processes by types of manufactured articles and into particular parts (devices, shop floors, the company as a whole). In accordance with this distinction, there are operating specific power requirements for every item and total specific power requirements for every process of production. The idea of the article is to outline the approach to the operating specific power requirements for the wood sawing processes in the saw-frames with regard to the probabilistic characteristics of wood raw materials. A linear mathematical model of electrical energy consumption graphic chart of cutting mechanism of a saw-frame main drive gear is proposed for the research , and the probability theory methods are used. On the basis of the probability theory methods the maximum capacity distribution laws, total and specific energy consumption for the effective and operational working cycle time, and their numerical characteristics are defined. We established the geometrical characteristics of sawed wood resources and saw-frame duty parameters dependency of factors of the energy consumption linear model. The results can be used in solving issues related to the rate making and energy consumption planning of the sawmilling processes. The key indicators of the energy consumption linear model of a saw-frame are the chance variables distributed not by Gauss' law. However, the distribution density graphic chart has approximated this law by the normal distribution law, while retaining their basic characteristics. The approximation error is not more than 0.02 %. The formulas of the electrical energy consumption indexes, depending on the geometrical characteristics of sawed wood resources are obtained.
Keywords: saw-frame, working cycle of a saw-frame, capacity, absolute and specific energy consumption, density of probability distribution, geometrical characteristics of sawed wood resources.
REFERENCES
1. Ageev S.P. Matematicheskoe modelirovanie protsessov raspilovki drevesiny [Mathematic Simulation of Wood Sawing Processes]. Izvestia SPbLTA, 2007, vol. 179, pp. 142-152.
2. Ageev S.P. Energeticheskaya kharakteristika elektroprivoda mekhanizma rezaniya lesopil'noy ramy [Electric Motor Drive Energy Characteristic of the Saw-Frame Cutting Mechanism]. Lesnoy zhurnal, 2009, no. 2, pp. 96-101.
3. Aleksin M.V, Sinev V.S., Pizhurin P.A., Koperin I.F., Golovkov S.I., Pavlosyuk VA. Ekonomiya energoresursov v lesnoy i derevoobrabatyvayushchey promyshlennosti [Energy Conservationin in the Timber and Wood Industries]. Moscow, 1982. 216 p.
4. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya veroyatnostey i ee inzhenernye prilozheniya: ucheb. posobie dlya vtuzov [The Theory of Chances and Its Engineering Applications]. Moscow, 2000. 480 p.
5. Hastings N.A.J., Peacock J.B. Statistical Distributions. A Handbook for Students and Practitioners. London, 1976.
Received on April 11, 2014
DOI: 10.17238/issn0536-1036.2015.5.126
