CC BY
42
Серия «Естественные науки»
Линейная минимаксная фильтрация скалярного случайного процесса при наличии нечеткого возмущения с ограниченной дисперсией в полезной
составляющей наблюдения
к.т.н. Ридоров И.Г. Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, [email protected]
Аннотация. В статье исследуется задача скалярной минимаксной фильтрации при наличии в стационарном процессе с известной спектральной плотностью неизвестного нечеткого возмущения, о спектральной плотности которого известны лишь моментные ограничения, которым оно удовлетворяет с возможно заданным подмножеством сосредоточения оси частот положительной меры (возможно и бесконечной). Помеха измерения предполагается заданной в виде белого шума известной интенсивности. Приводятся иллюстрирующие примеры.
Ключевые слова: минимаксный, фильтр, тектральная плотность, помеха, белый шум, линейный, моментные неравенства, частота, случайный, нечеткий, нечеткий случайный процесс.
Введение
Данная работа продолжает исследование моделей минимаксной линейной фильтрации в нечеткой случайной среде [1-5]. В [7] был разработан минимаксный фильтр в условиях четкой случайной среды, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений. В данной работе обобщается ранее полученный результат на случай присутствия нечеткой помехи, заданной на некотором г-уровневым случайном отрезке множеств нечетких случайных величин. Применяется новый подход (называемый воз-можностным) который использует аппарат теории нечетких случайных мер и интегралов [3, 8]. Поставленная задача сводится к некоторой эквивалентной задаче линейной минимаксной фильтрации в условиях четко заданной помехи с ограниченной дисперсией с дополнительным ограничением на область сосредоточения ее частот в форме решения проблемы моментов Маркова.
Базовые понятия
Следуя [1-5] введем необходимые понятия. Пусть (П,и,Р) - вероятностное пространство. ¥ (Е1) - множество всех нечетких величин, чьи функции распределения удовлетворяют условиям квазивогнутости и полунепрерывности сверху. Е1 - эвклидово пространство с
размерностью 1. Если /Ш¥(Е1), то "аЩ (0,1] /а = [] - замкнутый случайный интервал.
Определение 1. Измеримое отображение £,(а)(х): ОнТ®¥(Е1) называется случайной нечеткой скалярной ( вещестенной или комплекснозначной) функцией определяемой на (ОнТ,и) пространства элементарных событий О в Е1, зависящее от параметра £ А Т , который интерпретируем как время или частота, такое, что при любом фиксированном £ Ш Т, если для аЩ (0,1] X (а) ■ {х I х Ш Е (а)(х) ^а} ■ [£~ (а),%* (а)] - случайный интервал, а именно X" (а),Х+ (а) две случайные величины определенные на (П,и,Р). Обозначим через ¥К(О) множество нечетких случайных величин. Определение 2. Множеством а - уровня нечетких случайных величин а (а) называется множество
= = {z g E\t g TI (Z£a(fi>) = sup(x g E11 Z»(*) > a a
A(Z= inf(x g 1 Zt(co)(x) > a)} Определение 3. Совокупность нечетких случайных величин Хш^t(co)(х) при t%T,
х Ш X нечетким случайным процессом с временным интервалом T.
Аналогичное определение можно дать нечеткому случайному процессу с дискретным временным интервалом T.
Определение 4. Носителем нечеткого случайного процесса <~ t(w)(х) называется
множество supp(<f,(&>)(jt) = {xeEl \ ¿¡t(co) ^ 0}
Определение 5. Ковариация случайных нечетких величин Xt, Yt определяется как
1 1
Cov(Xt,Y,) = - J (Cov(X; (a), Y~ (a))da + Cov( AT,+ (a\ Yt+da)) ^ 0
здесь: Xt"(a),1 (a) - левые и правые границы r-уровневых множеств соответствующих нечетких случайных величин в данный фиксированный момент времени t Ш T . Определение 6. Математическим ожиданием случайных нечетких величин Xt (w)(r) будет определяться как нечеткая величина такая, что EXt{co){r) = [ЕХ~(о))(г),ЕХ*(а))(г)].
Определенная таким образом ковариация является четкой величиной. Альтернативный подход к определению моментов предлагается в [4, 5], если ввести меру возможности для нечеткого случайного процесса, однозначно определяемую через распределение возможно-
В дальнейшем ограничимся случаем рассмотрения предлагаемого подхода, когда задан случайный интервал области изменения нечеткого случайного процесса с заданным временным интервалом T, который, вообще говоря, может быть также нечетким. Ограничимся рассмотрением нечетких случайных процессов вида [6, 11]:
со) = &(cd) • ср(7),
где: tШT=[a,b], a(w) - нечеткая случайная функция от wflW, j(t) - четкая случайная функция от времени t Ш T.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу фильтрации непосредственно полезной составляющей s(t), если имеются измерения y(t) полезного сигнала s(t) в смеси с белым шумом известной интенсивности т2 , t£t0.
Предполагается, что процесс s(t) имеет вид:
sMmsfM+sM,
(1)
где: 51 (/) - известный случайный процесс с заданной спектральной плотностью Т(1), а о спектральной плотности процесса ~п (/) известна лишь система моментных неравенств которой она должна удовлетворять, иными словами спектральную плотность из (1) можно представить в виде:
где:
h(l) Ш Y■ {h(1) Ш L (1) | tyj (l)h(1)dl£aj j = 1,...n}
(2)
a ■ Ш R+ - заданный вектор ограничений;
Rn + - положительный ортант пространства Rn +;
Уj (1) Ш R+n - заданные неотрицательные четные по 1 вектор-функции частоты;
Л - заданное подмножество оси частот положительной меры (возможно и бесконечной) mesL > 0.
Ниже рассматривается нечеткий аналог минимаксного подхода отыскания седловой точки при ограничениях, наложенных на физическую реализуемость искомого фильтра G°(1)ШL2(—¥•) в нижней полуплоскости Im(l)<0 у игры фильтрации, L2(1) - множество интегрируемых по Лебегу вместе с квадратом модуля функций, заданных на измеримом подмножестве действительной прямой.
Пространством стратегий первого игрока, стремящегося максимизировать функциональный выигрыш D(G0(1),h(1)), является множество допустимых спектральных нечетких плотностей Ч*, а пространством стратегий второго игрока, стремящегося минимизировать D(G0(1),h(1)), является множество допустимых ЧХ (частотных характеристик) линейных фильтров - Ф .
Если в игре существует седловая точка (G0(1), h(l)), то
min max D(G0 (1), h° (1)) ■ maxminD(G0 (1), h° (Я))
а G0 (1) - минимаксным фильтром.
Отметим, что в большинстве минимаксных задач оценивания (по крайней мере во всех интересных с технической точки зрения задачах) седловые точки существуют.
Ниже рассматривается задача фильтрации процесса x (t), являющегося линейным преобразованием процесса s(t) с известной ЧХ Q (1)
Q(l) -Jb (1)k.
Л-о
(4)
Таким образом х(т) может представлять собой различные производные процесса з(г) (0(1)—(11)к ), сам процесс ((1)=1, всевозможные конечные линейные комбинации этих процессов.
В предположении, что у игры существует седловая точка (С0(1), /~(1)) имеем с одной стороны С °(1) - фильтр Винера [7]:
G 0 (1) - X+ {Q (1)[Х* (1) - X-1(1)] >+,
(5)
(1)- в(1) |2— 1+ Л°(1)+Т(1),
где: {¥+ (1)} - аналитическая в нижней полуплоскости 1т(1) < 0 аддитивная составляющая.
Через ¥ + (1) - обозначена факторизация функции F(1) = F+ (1) • F- (1), где ¥ + (1) и [¥+ (1)]"1 аналитические в нижней полуплоскости 1т(1) < 0 а ¥" (1) и [¥+ (1)]"1 аналитические в верхней полуплоскости 1т(1) > 0 и, кроме того, ¥"(1) — ¥+ (1)*, где * - означает операцию комплексного сопряжения.
С другой стороны, к°(1) является решением проблемы моментов к°(1) ^ 0 почти всюду по 1ЩЛ - нечеткая случайная плотность соответсвующая нечеткой спектральной мере Н(1) — Н(1)й1
I2 шах , (6)
л
| = к (/1)^0 почти всюду по ЯШЛ-
л
Априори не всегда известны параметры ограничений а]. Ниже будет попутно рассмотрен алгоритм практического выбора оценки неизвестного параметра а].
Алгоритм отыскания наихудшей спектральной плотности О (1) в условиях присутствия нечеткого возмущения в полезной составляющей
Пусть - стационарный скалярный нечеткий случайный процесс с
нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией К^ (г) , которая является непрерывной на отрезке [—£, +£], удовлетворяет условиям Дирихле, то есть может быть пред-ставима в виде ряда Фурье:
= (7)
к=0 I
~ 2
где: &к - коэффициенты ряда Фурье для ковариационной функции КХ (г) ( вообще говоря нечеткие).
Согласно теореме [6], рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье :
~ а0(со) Л, 2тгШ ~ . 2тгЫ
= + 2^ак(со)соъ—- + Рк(со)ът—- , /«Г,
где:
~ 2 щ ~ 2як(
ак (о) ш-ЩХ С, о) соъ—^Ш, к к 0, (8)
- * - *
21 ~ 2рШ
Ьк (о),о)ът—, к к 1
При этом амплитуды гармоник ак (о) и Рк (о) (^¡к 1) являются некоррелированными нечеткими случайными величинами, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсии::
О[ак(со)] = ак2, 0[&(со)] = а,2,кЫ
к>1;
Ф к (о) = < -аДю) 2 + (ю)] к=0; к <4, (9)
Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести нечеткие случайные величины, то нетрудно показать [6], что интенсивность | Ф к (о) |2 , определенная как нечеткая полу сумма
квадратов амплитуд гармоник ак (о) и Рк (о) в пределе, равна нечеткой спектральной плот/, 2лк . 2р _ ности к (1), 1 ®¥, пк ш ———, Апк шпк — пк-1 ш — ® 0, то есть реализуется переход от
дискретного спектра к непрерывному. Следует заметить, что так определенная нечеткая случайная мера - | Фк (о) |2 обладает свойством супер аддитивной [8] нечеткой меры.
Полученный результат является нечетким аналогом "средней энергии" для обычного стационарного скалярного случайного процесса. При этом если исходный процесс является вещественным, то:
и мы можем в качестве первого приближения взять эту величину как приближенную верхнюю оценку параметров а■ в моментных ограничениях (3.2).
В итоге имеем экстремальную задачу в форме моментов Маркова [10, 11] при линейных ограничениях на нечеткую спектральную плотность к (1). В предположении, что выполнены условия 1-4 теоремы П.42 [7] , в этом случае множество решений есть непустой выпуклый компакт и можно показать аналогично [7] , что необходимыми и достаточными условиями оптимальности нечеткой меры к(1)й1 в задаче (3.6) является существование такого вектора а0 А Я+т, что а0 е Я^,
у = а- | (П)
Л (а0)
<а0,у>=а^тах[<§-(Я)-<а°,/(Я)>] к0(А) сосредоточена на множестве А(а°) ; /|°(/1) = 0 при 10Л(а0).
Здесь < , > - скалярное произведение в евклидовом пространстве Я+т, /(1) в Ят и g(1) - измеримые относительно меры Лебега функции.
Пример
Пусть полезная составляющая подчиняется уравнению:
л- = гг (/),
где: и(£) - нечеткое возмущение с нулевым средним и ограниченной дисперсией Еиг(1 )£ а Очевидно, что условия 1-4 выполнены. Требуется оценить s(t) с учетом области сосредоточения возмущения - [—1и ,1и ]. В этом случае Q(1) ш 1, п=1, ^(Л)=Л2 ,Т (1) ш 0 и система соотношений необходимых и достаточных условий оптимальности наименее благоприятной нечеткой спектральной плотности процесса - ) на области сосредоточения - [—1и ,1и ]
сводится к нелинейному уравнению:
1.,
Г?.2
] \ и 0
(1и2 -Х2^ 1 = а/т2
где: 1 Ша"
-1/2
I за 4 т2 ~
То есть Ш 3 -2; а0 ш (——) . Из выражения для Б(С0(1), к(1))
41 т 3 а
аи
В(в°(Л), ВД) = т \ ЫХи{Л)йЛ,
где: Хи (к) = 1 + [ДА,) + /г(Я-)] / т2, следует, что £)((7°(Л,),А(Л)) = 4г2/1и, а спектр наихудшего нечеткого удовлетворяет уравнению А°(Я) = т2тах[0;Д^™Я2], а ЧХ фильтра, как это следует из выражения для оптимального фильтра (3.5) имеет вид:
G\l)=1—exp(—— t ln
2pi -I m i—m
Заключение
В работе специфицирован линейный минимаксный метод для решения эквивалентного аналога задачи минимаксной линейной фильтрации в условиях присутствия нечетких случайных данных, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений в данных скалярного измеряемого сигнала. В плане дальнейших исследований предполагается его специфицировать и применить для решения нечеткой задачи интерполяции, фильтрации и экстраполяции произвольно измеряемого сигнала.
Литература
1. Nahmias S. Fuzzy variables // Fuzzy sets and systems. 1978.V.1.
2. Nahmias S. Fuzzy variables in random environment // Advanced in fuzzy sets theory. NHCP. 1979.
3. Sugeno M., Terano T. Analytic representation of fuzzy systems// Fuzzy Automata and Decision Processes, Amsterdam : North- Holland , 1977. P. 177- 189.
4. Хохлов М.Ю. Нечеткие случайные величины и их числовые характеристики // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000.
5. Новикова В.Н., Турлаков А.П. Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели // Модели и методы оптимизации. Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика, № 13 , Тверь, 2009. - C. 79-96.
6. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: Издательство МГТУ им. Баумана 1999. 447 с.
7. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталов С.А. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоатомиздат, 1990. 216 с.
8. Бочарников В.П. Fuzzy - технология : Математические основы. Практика моделирования в экономике.- Санкт - Петербург: "Наука" РАН, 2001. - 328 c.
9. Кардин С., Стадден В. Дж. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976.
10. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и эктремальные задачи. М.: Наука, 1973.
11. Кендалл М., Стьюарт А., Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1976.
