CC BY
29
УДК 629.113-592
ЛИНЕИНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛЕДЯЩИХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С СИЛОВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
С.В. ГИЛЬ
Белорусский национальный технический университет, г. Минск
Нелинейная модель ускорительного клапана [1] учитывает основные нелинейности, характерные для этого пневмоаппарата: наличие зазоров, сил сухого трения, нелинейные расходно-перепадные характеристики пневмосопротивлений, ограничения перемещения подвижных элементов. Для выяснения общих закономерностей влияния ряда факторов на качество переходных процессов обычно требуется выполнить большой объём вычислений. Вследствие сложности и трудоёмкости такого анализа целесообразно применять нелинейную модель лишь на завершающей стадии проектирования при проверке выбранных основных параметров системы.
Для предварительного выбора и качественной оценки параметров системы регулирования давления воздуха, в состав которой входят следящие пневмоаппараты с силовой обратной связью, необходима её линейная (линеаризованная) математическая модель. Такая модель позволяет получить структурную схему рассматриваемой системы, с помощью которой можно выполнить структурный и частотный анализ системы и выявить причинно-следственные связи между процессами, происходящими в отдельных элементах системы. Кроме того, такая модель позволяет получить аналитические связи между основными конструктивными параметрами системы и показателями быстродействия, точности и устойчивости, с помощью которых можно проводить предварительное исследование системы аналитическими методами.
Степень приближения линейной модели к реальным процессам в следящих пневмосистемах существенно зависит от принятого метода линеаризации основных нелинейных функций. Для линеаризации наиболее важной и сложной расходно-перепадной характеристики пневмосопротивления с переменным проходным сечением в работе использован метод интерполяционного многочлена первой степени [2], который позволяет получить меньшие погрешности линеаризации нелинейностей по сравнению с другими методами.
Используя нелинейную модель ускорительного клапана [1] и применяя линеаризацию расходно-перепадных характеристик пневмосопротивлений вышеуказанным методом, получена его линейная модель, которая представлена в виде:
Фз^ = (ж/иу:оу^0 д, pp/v3)(a2 \ р Pз) - ((^4)4 ь0д, / ^)(ад - р^4);
фз^ = (04)4^о- р1^4);
тп •d2^/dt2 + - • + су\ = Апр - (Ат - АШ1)рз
(1)
где рз и р4 - давление воздуха, соответственно, в полости ускорительного клапана и в наполняемой ёмкости; /иу - коэффициент расхода клапана ускорителя; Бу - диаметр седла впускного клапана; к - показатель адиабаты к = 1,4; у0 - местная скорость звука, у0 = у[кЯТ ; Я - газовая постоянная, для воздуха Я = 287,14 м/(с К); Т -
термодинамическая температура воздуха перед дросселем; В0 - коэффициент
аппроксимации гиперболической газодинамической функции расхода, В0 = 0,654 [3]; ¥3 -
объём полости ускорительного клапана; а1,Д,а2 и Р2 - коэффициенты линеаризации
расходно-перепадных характеристик пневмосопротивлений; hу - перемещение клапана
ускорителя; (^4)4 - пропускная способность трубопровода, соединяющего ускоритель и
наполняемую ёмкость; ¥4 - объём наполняемой ёмкости; тп - суммарная масса поршня и
корпуса клапанов; vЕ - коэффициент вязкого трения; су - жёсткость пружины клапана;
Ап1 - площадь поршня со стороны управляющей полости; Аш 1 - площадь штока (седла)
впускного клапана ускорителя.
Для получения передаточных функций динамических звеньев линейной модели ускорительного клапана и построения структурной схемы этой модели приведём линейные дифференциальные уравнения (1) к стандартной форме записи и преобразуем их по Лапласу при нулевых начальных условиях:
(Т3* + Ол (*) = (*) + КзР4 (*); (Т4* + 0^4 (*) = к4Рз (*) ;"1 ( )
( ТП*2 + 2СпТп* + 1 )hу (*) = Кп (кп1Р2 (*) - Кос1Рз (*)) ) ,
где Т3, Т4, Тп - постоянные времени; к3,к4, кы,кп,кп1,кос1 - коэффициенты передач; ^п -коэффициент относительного демпфирования.
Постоянные времени:
тп = V тп /су;
Т3 = Уъ ^в0 (л7/уDуPрp2 + (^4)4«)); Т4 = ¥4 /(ЬоВо (^4)4 р )
Коэффициенты передач:
к3 = (^4)4 А /(^^уDуPрР2 + (^4)4 «1 ) к4 = «1 1 А кы = П^уРр«2 l(n^ЛуDуPvА1 +(^4)4«1 ),
кп = 11 Су; кп1 = Ап{; Кос1 = 4п2
(3)
(4)
Коэффициент относительного демпфирования:
С = VЕ /24™~п 1 Су • (5)
В третьем уравнении системы (2) выражение Fs (5) = кпр2 (5)- кос1 р3 (5) представляет собой изображение по Лапласу ошибки сравнения сил давления воздуха, действующих на поршень ускорительного клапана.
Передаточные функции динамических звеньев в соответствии с уравнениями (2) записываются в виде:
^(5) = р3(5) 1 р4(5) = к3 /(т35 + 1); Whl(5) = р3(5) 1 Ъу (5) = кш /(Т> +1); 'I (б)
W4 (?) = Р4 (?) 1 Р3 (?) = к4 1 (Т45 + 1); Кп (*) = Ку (?) 1 К (*) = кп /(тП52 + 2СпТпЯ + 0 _[
Структурная схема линейной модели ускорительного клапана (рис. 1а), построенная по уравнениям (2), имеет перекрещивающиеся обратные связи. Чтобы освободиться от
них, выполним структурные преобразования исходной схемы, перенеся узел разветвления 1 через звено Ж4(*) = к4 /(Т4* +1); по направлению передачи сигнала. При этом в главную обратную связь добавляем звено с передаточной функцией 1/ Ж4 (*)=(Т4* + 1) / к4; и в результате получаем преобразованную структурную схему (рис. 1б).
а)
б)
Рис. 1. Структурные схемы линейной модели ускорительного клапана: а - исходная; б -преобразованная
Для безмассовой расчётной схемы ускорительного клапана третье уравнение системы (2) принимает вид:
К (*) = кп (кп1Р2 (5) - кос1Р3 ^)) •
(7)
Структурная схема для этого случая строится по уравнению (7) и по первому и второму уравнению системы (2). После структурных преобразований, аналогичных как для схемы рис. 1а, получаем преобразованную структурную схему рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема линейной модели ускорительного клапана для безмассовой расчётной схемы
Перемещение впускного клапана в изображениях по Лапласу в соответствии со структурной схемой рис. 1б определяется по уравнению
К (*) = [кп1 - (Т4* + 1) кос1Ф1 (*) / к4 ]Р2 (*), (8)
где Ф1 (*) - главная передаточная функция замкнутой системы для одномассовой расчётной схемы ускорителя, определяется по выражению
Ф1 (*) = Р 4 (*) / Р2 (*) = к4 кй1кпкп1 /(а0 *4 + «1*3 + а2 * 2 + «3* + аЛ (9)
где а0,а1,а2,а3,а4 - коэффициенты, равные
^2 .
а,
= Т3ТТ2; а, = \2CTJ, + (Т3 + Т4)Т„]Т„. = Т3Т4 + 2£„Т„ (Т3 + Т4)+ Г- (1 - к,кл );
= (Т3 + Т4 ) + 2(„ Т„ О - к3к4 ) + кос1 кШ к„.
а
а4 = 1 - к3к4 + кос1кык„
(10)
Главная передаточная функция замкнутой системы для безмассовой расчётной схемы ускорителя согласно структурной схемы рис. 2, определяется по выражению
Ф0 (0 = Р 4 (О / Р 2 (*)= к4 кй1к„к„1 /(а5 * 2 + аб * + а4 ),
где а5 и а6 - коэффициенты, равные
а5 = Т3Т4, а3 = Т3 + Т4 + Т4 кос1кй1кп .
(11)
(12)
Анализ структурных схем ускорительного клапана показал, что они являются двухконтурными и замкнутыми. Главная отрицательная обратная связь является пневмомеханической и образована последовательным соединением пропорционального звена, представляющего коэффициент передачи обратной связи ускорительного клапана кос1 и форсирующего звена первого порядка, и обеспечивает механизм отслеживания давления в наполняемой ёмкости. Наличие форсирующего звена в главной обратной связи объясняет установленную при экспериментальном исследовании ускорительного клапана зависимость перемещения его впускного клапана при прочих равных условиях от объёма наполняемой ёмкости ¥4 и пропускной способности трубопровода, соединяющего
ёмкость с ускорительным клапаном (^4)4, так как постоянная времени Т4 этого звена зависит от указанных параметров.
Разработанная линейная математическая модель ускорительного клапана является универсальной и может быть использована для других следящих аппаратов, имеющих силовую отрицательную обратную связь.
Литература
1. Автушко В.П., Бартош П.Р., Гиль С.В. Динамика следящих пневмоаппаратов с силовой обратной связью //Современные проблемы машиноведения: Материалы междунар. науч.-техн. конф. (научные чтения, посвящённые 105 годовщине со дня рождения П.О. Сухого): Сб. ст. /Под ред. А.С. Шагиняна. - Гомель: ГГТУ, 2000. - Т. 1. - С. 192-194.
2. Навроцкий К.Л. Теория и проектирование гидро- и пневмоприводов: Учеб. для студентов вузов по спец. «Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика». - М.: Машиностроение, 1991. - 384 с.
3. Метлюк Н.Ф., Автушко В.П. Динамика пневматических и гидравлических приводов автомобилей. - М.: Машиностроение, 1980. - 231 с.
Получено 11.10.2002 г.
