CC BY
5
УДК 658.562; 621.9
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
ОПЕРАЦИИ ФОРМИРОВАНИЯ ОДНОИМЕННОГО ПАРАМЕТРА
ПРЕДМЕТА ОБРАБОТКИ
С.Н. Михальченко
Рассмотрена линеаризованная модель технологической операции формирования одноименного параметра предмета обработки, описывающая процесс одновременного износа и разладки инструмента, как случайную функцию со стационарными приращениями.
Ключевые слова: технологическая операция, линеаризованная модель, износ и разладка инструмента.
Технологический процесс получения изделия состоит из последовательного ряда операций, во время которых совершаются преобразования над исходным предметом обработки с целью превращения его в изделие с заданными выходными параметрами. Будем называть параметр одноименным (однородным), если перед и после технологической операции он не изменяет своего качественного значения и названия, например, разностенность оболочки.
Стохастичность технологического процесса приводит к тому, что выходные параметры предмета обработки являются случайными величинами. Считая, что каждая технологическая операция переводит предмет обработки из одного состояния в другое, весь процесс можно представить как последовательную схему изменения его состояний.
В [1, 2] рассматривается отдельная технологическая операция преобразования одноименного параметра предмета обработки при следующих допущениях:
1. Контроль параметра предмета обработки ведется после технологической операции (выходной контроль) вручную посредством выборок или автоматически, но в определенные моменты времени.
2. Инструмент с течением времени подвержен износу и (или) разладке. О отказе инструмента судят по параметру качества предмета обработки, если он вышел за пределы поля допуска.
3. Партии на входе достаточно большие, их вероятностные характеристики считаются известными и за время работы до отказа инструмента не меняются.
4. Поступление бракованного предмета обработки на вход операции исключается и его материал однороден.
5. Одноименные параметры до и после технологической операции распределяются по нормальному закону Гаусса.
С начального момента времени 1=0 производится выходной контроль параметра У предмета обработки. По результатам контроля и по известным данным о параметре X (допущения 3, 5) можно дать геометрическую интерпретацию формирования параметра X в параметр У (рисунок).
Плотности распределения вероятностей параметров X в У могут быть представлены следующим образом
(х-тх)2
(У-Шу)2
= ** ■ ©
где шх=М[Х], шу=М[У] - математические ожидания случайных величин X и У; Ох=<т[Х], оу=о[У] - средние квадратические отклонения этих величин.
Геометрическая интерпретация формирования параметра X в Y: Xmin> У min — минимально допустимые значения входного и выходного параметров; Хтах> у тих — максимально допустимые значения входного
и выходного параметров
В центрированной системе координат плотности распределение (1), (2) имеют
вид
/Су)
1
(Ту \J2TT
е 24,
(3)
(4)
X — тх, У = У — т.у - центрированные значения случайных величин X и Y.
где X =
Если выходной параметр У рассматривать как некую функцию выходного параметра X, т.е. У = ф(Х), то в [2] доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Если неслучайная функция У = ф(Х) двух случайных величин У и X, рапределенных по нормальному закону, является монотонно возрастающей, то вблизи начала координат эта функция может быть с определенной точностью представлена как линейная.
Линеаризация производилась в близи начала центрированной системы координат при достаточно малых значениях х и у из условия равенства
/(у)с*у =/(х)с*х, _ (5)
где /(5с), /(у) - нормальные законы распределения случайных величин у их.
Раскладывая экспоненты (3) и (4) в ряд Маклорена, получим:
In=l(-1)
—2(71-1) __ —2(71-1)
n_L---tunsdy =-*Zn-i(-l)n-1---^nydx. (6)
После интегрирования обеих частей равенства (5) окончательно получим
ъ
п= 1
—2п-1
У
(2п — 1)2?г~1(п — 1)! о-71'1^
°fZn=i(-l)
о v
IX— 1
—271—1 X
__п\
(2?г-1)2"-1(п-1)!а-|(П~1)'
Учитывая что величины х и у вблизи начала координат очень малы (например, по данным для операции I вытяжки по параметру 8: ох = 0,0143 мм, тх = 15,8521 мм, хтттах мм; оу = 0,0327 мм, ту = 14,0303 мм, утттах мм), то пренебрегая слагаемыми более высокого порядка, чем х и у, получим
у
"V -
— х,
Gx
(8)
а в базовой системе координат выражение (8) приобретает вид
СГу СГу
—х + mv —-т
(TY у о
у = -т-х + ту -~гтх. (9)
В идеальном случае, когда не учитываются явления износа, разладки инструмента, разладки в системе СПИД линия (8) проходит через начало координат и не зави-
сит от времени. Однако со временем инструмент отказывает. Причем отказ является постепенным по развитию и внезапным по проявлению и причинами отказа является сама технологическая суть операции, а также конструкционные особенности инструмента и особенности эксплутационно-технологические (подача смазочной жидкости, индивидуальность ручной установки инструмента наладчиком и т. д.). Случайное стечение всех вышеперечисленных факторов, скрытых от нас и которые невозможно учесть, позволяет говорить о случайности индивидуальности характеристик работы каждого инструмента. Очевидно, что повторная выборка, проведенная по истечению некоторого времени 1=1;1<Т, где Т - время наработки до отказа, для контроля выходного параметра у, дает вероятностную картину, отличающуюся от первоначальной, и эта картина уже будет учитывать износ и разладку инструмента.
Допустим, что по результатам вторичной выборки, проведенной в момент времени X =1л<Т мы получили другие числовые характеристики т.у1 = А2 и Оу = А1 и линия (8) сместилась относительно начала координат вверх на величину Хг и дополнительно повернулась против часовой стрелки на угол Аь
В этом случае функция технологического преобразования может быть представлена
у1=хгё(а + \1)+\2, (10)
где и Х2 - параметры функции, характерные для момента времени т.е. зависящие от времени, и в центрированной системе координат представляется в виде линеаризированной вблизи начала координат функции
у = хЩ(_а +Ьь) + аЬ. (11)
Модель формирования параметра У с учетом только чистого износа инструмента представляется как
y = xtga + at, (12)
а с учетом только чистой разладки инструмента
у = х 1§(а + а)£). (13)
Установление, что для точных расчетов значения х и у должны быть в преде-1 1
лах |х| <-ах, \у\ < — о у , но с некоторыми оговорками в корректности модели (11)
можно говорить о границах линеаризации с ошибкой 1^1 < 0,0416ох при |х| < -ох и
1^1 < 0Д67ст^ при |х| < ох.
Значения случайных величин X и У, принятые в п независимых опытах, позволяют найти «доброкачественные» оценки по формулам
у? V.
тх = (14)
^ =1Л1(хг%)2 = -Л п
х п-1 V п-1 х ) п-1 ^ '
Точность и надежность полученных оценок характеризуется доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Будем использовать точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону [3]. Для этого задаемся доверительной вероятностью (В, находим по (14) оценки математических ожиданий тх и ту, а по (15) несмещенные оценки дисперсий Ох, Оу.
В таблице ([13, табл. 5]) по входным переменным (п-1) и (В находим значение функции = arg Ф * (х), обратной к нормальной функции распределения Ф * (х). Доверительный интервал /р для математического ожидания определится
/р = (т - ер; т + £р),
где Ер = Ьру/Б/п.
Доверительный интервал для дисперсии определяется
_ /"5(п-1) _ £Сп-1)\
где х\ и х| - распределения с г = п — 1 степенями свободы.
Значения х2 находят из таблиц (табл. 4 [13]). Входными переменными для таблицы являются число степеней свободы г = п — 1 и вероятности = а/2 и р2 = 1 — а/2, где а = 1 — (В. По значениям г и ръ находят х2, а по значениям г и р2 находят х|. Переход от интервальных оценок дисперсий к интервальным оценкам средних квадра-тических отклонений обычный.
Оценка доверительных интервалов модели (11) в целом строится в предположении о нормальности распределения мгновенных выборок. Оценка среднего квадра-
тического отклонения выходного параметра У определяется
=
где XI - параметры модели; ст|. - средние квадратические отклонения параметров модели.
Таким образом, определяем
= + + + + ^ (16)
+ Шй£]+ГПа£. (17)
Из (16) и (17) мы получаем возможность, задавшись доверительной вероятностью (В, рассчитать доверительный интервал для значений выходного параметра или, задавшись предельными границами, определить доверительную вероятность.
Вероятность выхода параметра у за границы поля допуска определяет долю дефектных изделий
_ УУтах
2
где - верхняя и нижняя границы поля допуска соответственно.
Таким образом, вследствие износа и разладки происходит изменение математического ожидания и дисперсии формируемого на операции технологического параметра. Рассматривая множество возможных состояний технологической операции в различные моменты времени, получаем случайные функции т(1:) и а(1:). Математический аппарат работы со случайными функциями представлен в монографиях [3, 4, 5].
Основные проблемы, связанные со случайными функциями, введенными выше, заключаются в том, что распределение исследуемых технологических параметров метается со временем, отсутствует независимость от предыдущих наблюдений. Таким образом, мы имеем классический случай нестационарных случайных процессов. В то же время, наблюдения в технологическом процессе производятся в дискретные моменты времени, регламентированные технологом и/или разработчиком. Следовательно, возможно некоторое упрощение математического аппарата за счет использования дискретного времени взамен непрерывного.
Тем не менее, даже в предположении о дискретном времени, общая теория нестационарных процессов достаточно сложна и плохо реализуется в алгоритмы, пригодные для проведения расчетов и выработки управляющих воздействий непосредственно на производстве.
Правомочно, по-видимому, использовать следующие допущения: 1) скорость изменения исследуемых статистических характеристик технологического процесса постоянна; 2) вид функции распределения этих величин не метается со временем. Тогда можно использовать математический аппарат случайных функций (процессов) со стационарными приращениями.
Случайные процессы со стационарными приращениями могут быть описаны следующим образом.
Пусть имеется нестационарный процесс Составим на отрезке времени [/, Т] конечной длительности Т приращение
у\т®=^+Т)Ш (19)
Медленные изменения qOj будут мало сказываться на значениях ЦгО), и тем меньше, чем они медленнее. Постоянная же составляющая вообще выпадает из T\r(t). В результате подавления компонент с большими периодами может оказаться, что приращение ^(t), т.е. V\r(t); стационарно. В этом случае процесс tOj называется случайным процессом со стационарными первыми приращениями.
В соответствии с определением должно быть откуда следует, что среднее значение \(t) может быть лишь линейной функцией I:
Mfö(t)]=at+b.
Для процесса \(t) со стационарными вторыми приращениями, т.е. стационарной разностью Ч\т0+Т)-Ч\т0), среднее значение будет полиномом не выше второй степени: Ad[^(t)]=at2+bt+c. С учетом сделанных выше предположений, дальнейшее рассмотрение будет ограничено процессами со стационарными первыми приращениями.
Основной характеристикой случайных процессов со стационарными приращениями является структурная функция.
Рассмотрим флуктуацию tOj:
m = m-M[m] = m-at-b.
Структурная функция определяется как средний квадрат приращения флуктуации на интервале (//, ti)\
öf(Clf С2) = М[(|(С2) -Ш)2] = M[0;(t2) - 5(Cl) - a(t2 - Cl))2].
Функция корреляции стационарного приращения [5, 6] выражается через структурную функцию самого случайного процесса со стационарными приращениями
фл(т) = — Т) + т + Г) - 2Df(r)]. (20)
Если для процесса \(t) выполнено достаточное условие эргодичности, т.е. вероятность схождения относительного времени пребывания том или ином состоянии в среднем квадратическом смысле к одномерной функции распределения стремится к единице, то выражение (20) можно переписать в следующем виде:
Используя спектральную интенсивность G(oо), спектральное разложение структурной функции случайных процессов со стационарными приращениями \(t) можно записать в следующей форме:
г, со
т) = 2 J_ (1 — cos оох)ciG(od). Здесь dG((jl>) - это спектральная интенсивность в интервале частот (оо, оо + doо). Производная 5"(й)) = dG(o))/d(jL) имеет смысл интенсивности на полосу частот (спектральная плотность).
По известной структурной функции можно найти спектральную плотность:
1 гОО ,
sino)T-D^(T)dT (21)
или
^ = i^CC0Sü)T • (T)dT- (22)
Формула (21) имеет смысл, если
lim DUт) = 0, lirnx2 DUт) = 0,
а выражение (22), если
lim D'(' (т) = 0, lirnx Dt (т) = 0.
Все приведенное выше показывает, что модель (11) несмотря на частичную линеаризацию, описывает очень сложный процесс одновременного износа и разладки инструмента, как случайную функцию со стационарными приращениями и позволяет в дальнейшем использовать уже известный математический аппарат.
Список литературы
1. Ядыкин Е.А. Вероятностно-временная модель технологической операции формирования одноимённого параметра предмета обработки. Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. С. 210219.
2. Ядыкин Е.А. Математическая модель технологической операции. Автоматизация и информатизация в машиностроении (АИМ'2001): сб. трудов, второй международной электронной научно-техн. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. С. 271-272.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.
5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 757 с.
6. Григорович В.Г., Кершенбаум В.Я., Козочкин Д.А., Шильдин В.В., Юдин С.В. Информационно-статистические методы в технологии машиностроения: пособие по обработке результатов эксперимента. М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И М. Губкина, 2000. 184 с.
Михальченко Сергей Николаевич, аспирант, aspirant_tsu@,mail.ru Россия, Тула, Тульский государственный университет
LINEARIZED MODEL OF TECHNOLOGICAL OPERATION OF FORMATION OF A SINGLE PARAMETER SUBJECT OF PROCESSING
S.N. Mikhalchenko
A linearized model of a technological operation of forming a parameter of the same name of a workpiece is considered, which describes the process of simultaneous wear and adjustment of the tool as a random function with stationary increments.
Key words: technological operation, linearized model, tool wear and breakdown.
Mikhalchenko Sergey Nikolaevich, postgraduate, aspirant tsuamail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.798
СПОСОБЫ ПРОВЕРКИ ГЕРМЕТИЧНОСТИ УПАКОВКИ TETRA PAK
О.В. Соколова
В работе рассмотрена конструкция упаковки пищевых продуктов Tetra Pak и способы проверки её герметичности. Подробно рассмотрены методики оценки герметичности продольного и поперечного шва на разрыв и с использованием красителя.
Ключевые слова: упаковка, Tetra Pak, герметичность, методика оценки, продольный шов, поперечный шов, сварной шов.
Помимо основных требований, предъявляемых к упаковкам, для пищевых продуктов она должна соответствовать установленным гигиеническим нормам, а также обладать высокими барьерными свойствами.
