Автоматизация процедуры обнаружения разладки процесса функционирования сложных технологических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.941.26.08

В.В. Мартынов, П.В. Мартынов АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Представлены результаты решения задачи разработки метода автоматизированного обнаружения разладки процесса функционирования сложных технологических объектов.

Сложный технологический объект, разладка, временной ряд, АРСС-модель

V.V. Martynov, P.V. Martynov AUTOMATION PROCEDURE FOR DETECTING DISCORD IN OPERATION COMPLEX TECHNOLOGICAL OBJECTS

The results of solving the problem of developing the automatic change-point détection method, and operation of complex technological objects are represented.

Complex technological object, a disorder, time series, the ARMA-model

Проведение мероприятий по управлению состоянием сложных технологических объектов различного целевого назначения в процессе эксплуатации связано с решением комплекса вопросов, наиболее сложным из которых является автоматизация процедуры обнаружения разладки процесса их функционирования. При этом часто обнаруживать разладку требуется в условиях отсутствия возможности накопления необходимых для этого данных, например, при адаптивном управлении объектами (в частности, приводами металлорежущего станка) с помощью авторегрессионной модели со скользящим средним (АРСС-модели), порядок и параметры которой известны, а эффективность управления обеспечивается подстройкой значений параметров по результатам регистрации и анализа коротких временных рядов (данные которых характеризуют состояние) с целью минимизации дисперсии поступающих на вход объекта возмущений, вызванных непрерывно изменяющимися условиями силового взаимодействия инструмента с заготовкой. В этом случае обнаруживать разладку (вызванную, например, изнашиванием режущего инструмента) можно с позиций положения о том, что ее появление вызывает значимые изменения свойств временного ряда воздействующих на объект возмущений at, а, следовательно, и их дисперсии [1]. Тогда для обнаружения этих изменений воспользуемся алгоритмом кумулятивных сумм, идея которого предложена в [2, 3] и состоит в по-

2 2 2 2 2 2 следовательной проверке альтернативных гипотез H1: оа = aa>1 , H2: oa = aa>2, где <ra1 и aa,2 - дисперсии до

и после разладки. Математически это будет выглядеть следующим образом.

Вычисляется (на рекуррентной основе) решающая функция g:

gt = ( gt -1 +^gt X g 0 = ^ (1)

приращение которой для одномерной АРСС-модели имеет следующий вид [4]:

1 2 1 2 1 О,2,

Ag, = —^ af(01) -—^ af(02) + - ln-^. (2)

20a,1 20a,2 2 0a,2

где 01, 02 - векторы ее параметров до и после наступления изменений.

Результатом будет траектория движения этой функции относительно своего предельного уровня h, являющегося границей между областями принятия решений о свойствах анализируемого временного ряда.

Величина уровня задается постоянной или вычисляется с учетом исключения возможностей ложных обнаружений изменений свойств ряда по всей длине регистрации его данных на интервале времени ґр заданием значения Тл среднего времени до их появлений:

Т =—2-----2--------------------(е>1 — к — 1) (3)

л <і/<2 -1 + 2їп(оа2ІоаХ)

и решением данного выражения относительно к. Таким образом, пересечения с ним функции gt снизу вверх будут означать изменения, а сверху вниз - восстановления свойств ряда.

С целью практического использования метода необходимо определиться с дисперсиями (Га,\ и оа,22. Для этого воспользуемся тем бесспорным фактом, что до момента возникновения разладки обе дисперсии представляют собой выборочные оценки дисперсий данных, принадлежащих одной генеральной совокупности (нормальной), а после ее наступления - разным и с учетом этого будем последовательно принимать в ка-22 честве дисперсии ааХ предыдущее, а в качестве дисперсии аа,2 - текущее значение дисперсии данных, получаемых с помощью АРСС-модели по значениям а непосредственно в процессе функционирования объекта.

На рис. 1 в качестве примеров показаны возможные исходы применения метода в изложенной трактовке. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что эффективность метода в данном случае будет зависеть не столько от точности определения моментов наступления изменений, сколько от объективности оценки их вида. Другими словами, представляет теоретический и практический интерес алгоритмизация процедуры принятия решений о состоянии объекта с помощью функции gt. В связи с этим сделаем следующие исходные допущения.

Время ір

Время ір

3

¡Г

ш

І

О

О

Время ір

Время

N

0

Рис.1. Реализации поведения решающей функции (а, б, в) и счетчика изменений состояния объекта (г)

1. Если функция gt не пересекает уровня к (рис. 1 а), то состояние объекта является нормальным, поэтому количественно не оценивается.

2. Если пересечение носит знакопеременный характер и заканчивается ниже уровня к (рис. 1 б), то изменения являются следствием чисто случайных процессов, имевших место в пределах одной реализации, и также оценке не подвергаются.

3. Если пересечение является односторонним (снизу вверх) (рис. 1 в) в пределах нескольких реализаций подряд, то решающая функция однозначно идентифицирует изменение вида возмущений на входе объекта.

Таким образом, количественную оценку степени изменения состояния объекта будем выполнять только для 3-го случая, используя следующий подход.

Вычислим длительности нахождения решающей функции по обе стороны уровня к и площади под ее кривой, которые отсекает уровень, причем верхнюю в соответствии с п. 2 и 3. Тогда произведение

КО = ой X ор , (4)

где ой = ?„/?н и ор = SJSн - отношения длительностей и площадей, определит текущее значение комбинированной относительной количественной оценки величины изменений состояния объекта. Процедура принятия окончательного решения с помощью этой оценки строится на основе подсчета числа ситуаций, удовлетворяющих неравенству

К° > 1, (5)

что означает пространственно-временную устойчивость решения, а его информационная устойчивость обеспечивается, если неравенство (5) выполняется N (обычно 2-3) раз подряд (рис. 1 г).

Таким образом, условие

1о = г] - ^ : ] - І > N (6)

и определит момент времени устойчивого проявления изменений состояния объекта.

Предложенный метод позволяет оперативно зафиксировать изменения состояния, но оценить их степень (параметрические или функциональные) можно только качественно (по величине критерия (4)). Для получения количественной оценки вспомним, что дисперсия (Га возмущений на входе объекта служит количественной характеристикой их интенсивности [5]. Однако содержательный смысл понятия интенсивности в данном случае необходимо рассматривать в условном аспекте, поскольку каждое единичное возмущение а„ появляющееся на входе объекта в момент времени ?, воздействует на него и в последующие моменты времени. Различие состоит лишь в том, что величина этого воздействия постепенно ослабевает. Но в этом заключается проявление той новой динамики, которая приводит к необходимости иной математической интерпретации зависимости выходных данных от входных; суть ее состоит в том, что каждый отклик У{ объекта (рис. 2) представляется конечной суммой перпендикулярных векторов 0]а{-} в бесконечномерном пространстве [6], т.е.

(7)

у, = а + са_1 + ^2 аг-2 + ••• = Е ^ •

j=0

Коэффициент Gj в этом разложении, выражающий его существенную часть (координату величины У{ на плоскости а-), называется функцией Грина, импульсной переходной или весовой функцией объекта. Выражение (7) означает, что чем сильнее выражается текущая динамика изменения состояния объекта этой функцией, т.е. чем большее число возмущений включается в «память» объекта, тем более непредсказуемо, а значит, и неуправляемо, будет его поведение в последующие моменты времени, связанные с использованием по целевому назначению. Говоря иначе, эта функция характеризует быстроту затухания динамического отклика или скорость возвращения объекта в положение равновесия, соответствующее его математическому ожиданию (которое должно равняться нулю).

Для произвольной АРСС-модели выражение функции Грина имеет

вид [7]:

+ Я 2^2 + ••• + §пМ,

где /Ні, ••• , /ип - корни характеристического уравнения, ^ - ф^-1 _ 02Мп~2 - ... - фп =

0,

Я, = (А"-1 - QlА

п-2

0,-1 V П (А -А; )

(8)

(9)

(10)

;=1

Рис.2. Ортогональная декомпозиция отклика объекта с помощью функции Грина

где Ф1, ..., Фп - параметры авторегрессии; Q1, ..., Qn.1 - параметры скользящего среднего; п - порядок модели.

Типичные реализации функции Грина представлены на рис. 3 и показывают, что, принимая различную форму под действием возмущений, она наглядно отражает не только закономерности, но и степень изменения состояния объекта. С целью ее идентификации воспользуемся утверждением о том [8], что любой объект является устойчивым, если интеграл

со

п

ФГ

|| О(т) \йт

(11)

имеет конечное значение, т.е. является сходящимся. Очевидно, что сходиться этот интеграл будет только в том случае, когда функция Грина не имеет в характеристическом уравнении (9) нулевых или положительных действительных корней. Таким образом, условие сходимости интеграла представляет собой точный и полный критерий устойчивости станочной системы, его значение будет однозначно характеризовать ее количественно, а время (или скорость) сходимости - степень изменения состояния. На рис. 4 показаны реализации процессов сходимости интеграла на интервале ґр регистрации данных для различных состояний объекта.

Полученные результаты не просто наглядно иллюстрируют возможности практического использования интеграла, но и позволяют определить условия, при которых изменения состояния, идентифицируемые по данным временного ряда, зарегистрированного на момент выполнения условия (6), носят параметрический характер, и условия, при которых они становятся функциональными:

- если время сходимости не превышает 0,2 длины ґр, то динамическое состояние является нормальным;

- если время лежит в диапазоне (0,2-0,5)х?р, то имеют место параметрические изменения состояния;

- если время лежит в диапазоне (0,5-0,7)х?р, то имеют место значительные параметрические изменения состояния;

- если время превышает значение 0,7х?р, то изменения приобретают функциональный характер;

- если время сходимости отсутствует, то состояние является предельным.

Рис. 3. Реализации функции Грина для различных состояний объекта

% 0,8 -

° 0,6

Время t р , отн. ед.

Рис.4. Реализации процесса сходимости интеграла (11) для нормального (1), ненормального (2, 3) и предельного (4) состояния объекта

Полученные материалы были положены в основу создания алгоритма автоматизированного обнаружения разладки процесса функционирования сложного технологического объекта (рис. 5); пошаговая (обозначенная на рисунке цифрами) последовательность выполняемых при этом действий выглядит следующим образом.

222

Шаги 1, 2. Начало алгоритма. Задается значение времени ?р регистрации временных рядов и уровня к принятия решений об их свойствах (или времени Тл появления ложных обнаружений изменений их свойств); устанавливаются в исходные состояния счетчики N числа выполнений неравенства (5) и п количества зарегистрированных временных рядов.

Шаг 3. Задается начальное значение решающей функции g0, производится регистрация и передача для обработки временного ряда, изменения параметров АРСС-модели которого подлежат оценке.

Шаг 4. Вычисляются по АРСС-модели возмущения а на входе объекта и их дисперсия Га.

Шаги 5-7. Если обработке подвергался первый временной ряд, то производится регистрация следующего ряда, в противном случае вычисляются приращение и новое значение решающей функции с целью количественной оценки качества ее траектории.

Шаги 8-10. Вычисляется критерий (4) и проверяется выполнение условия (5).

Шаг 11. Если условие (5) выполняется N раз подряд, то это равносильно выполнению условия (6) и, следовательно, изменение состояния объекта приобрело устойчивый характер.

Шаги 12-14. По результатам вычисления функции Грина (8) и ее интеграла (11) выполняется оценка степени изменения состояния объекта для принятия решения о необходимости подстройки параметров АРСС-модели на основе корректировки значений рабочих или режимных параметров, и алгоритм заканчивает работу (шаг 15).

Рис. 5. Алгоритм автоматизированного обнаружения разладки

Анализ алгоритма показывает, что его интеграция в структуру программно-математического обеспечения систем управления объектами (в частности, систем числового программного управления станками) позволит реализовать функции динамического мониторинга их состояния и на основе получаемой информации более эффективно управлять объектами, не только целенаправленно изменяя [9] или специальным образом формируя [10] управляющие воздействия, но и определяя целесообразность их реализации в принципе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wu S.M. Signature analysis for mechanical systems via dynamic data system (DDS) monitoring technique / S.M. Wu, T.H. Tobin Jr., M.C. Chow // Конструирование. 1980. Т. 102. № 2. С. 33-37.

2. Page E.S. Continuous inspection schemes / E.S. Page // Biometrika. 1955. V. 41. № 1. Р. 100-115.

3. Page E.S. Estimating the рoint of change in a continuous process / E.S. Page // Biometrika. 1957. V. 44. № 2. P. 248-252.

4. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов / И.В. Никифоров. М.: Наука, 1983. 200 с.

5. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения / Г. Дженкинс, Д. Ваттс; пер. с англ. М.: Мир, 1971. Вып.1. 316 с.

6. Куликов С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств / С.М. Куликов. М.: Машиностроение, 1970. 84 с.

7. Pandit S.M. Time series and system analysis with aррlications / S.M. Pandit, S.M. Wu. New York: John Wiley and Sons, 1983. 586 р.

8. Теория следящих систем; пер. с англ. М., 1951. 480 с.

9. Подураев В.Н. К теории гашения автоколебаний при механической обработке с осциллирующей подачей / В.Н. Подураев, В.Ф. Горнев, В.В. Бурмистров // Изв. вузов. Машиностроение. 1974. № 11. С. 12-14.

10. Эльясберг М.Е. Повышение устойчивости автоколебательной системы станка при воздействии периодического низкочастотного изменения скорости резания / М.Е. Эльясберг, М.Г. Биндер // Станки и инструмент. 1989. № 10. С. 19-21.

Мартынов Владимир Васильевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Конструирование и компьютерное моделирование технологического оборудования в машино-и приборостроении» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Мартынов Павел Владимирович -

магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 15.11.11, принята к опубликованию

Vladimir V. Martynov -

Dr. Sc., Professor

Department of Design and Computer-Aided Modelling of Processing Equipment for Mechanical and Instrument Engineering Gagarin Saratov State Technical University

Pavel V. Martynov -

Postgraduate

Department of Control Systems and Computer Science Gagarin Saratov State Technical University