CC BY
252
УДК 621.52
М. С. Лысов, А. В. Стариков, В. А. Стариков
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ УПРАВЛЕНИЯ ЕГО СКОРОСТЬЮ
Рассмотрены возможные способы управления скоростью синхронного электродвигателя. Приведены дифференциальные уравнения и построены структурные схемы синхронного электродвигателя как объекта при различных способах управления. Проведена линеаризация уравнений движения двигателя, получены передаточные функции по отношению к управляющим и возмущающему воздействиям.
На практике в основном применяют два способа регулирования скорости синхронного электродвигателя: изменением частоты питающего напряжения (тока), подаваемого на статорные обмотки; изменением амплитуды напряжения при коммутации статорных обмоток по датчику положения ротора (режим вентильного электродвигателя или бесколлекторного электродвигателя постоянного тока).
Для описания динамических режимов работы синхронного электродвигателя при любом способе управления его скоростью удобно обратиться к модели обобщённой двухфазной машины переменного тока (рис. 1) [1].
Эта модель позволяет перейти к условному векторному описанию электрических машин переменного тока. В рассмотрение вводятся две системы координат: 0ав и 0йц. Система координат 0ав неподвижна и связана с обмотками статора. Поскольку векторы удобно записывать в комплексной форме, то введены действительная И,е и мнимая 1т оси, причём действительная ось направлена по оси а. Система координат 0йц связана с обмоткой ротора синхронной машины.
Суть модели обобщённой машины переменного тока заключается в том, что действие обмоток статора а и в, запитанных соответствующей системой переменного напряжения (системой токов 1а и 1р) и создающих в каждый конкретный момент времени векторы по-токосцеплений фа и фв, можно заменить действием одной обмотки, запитанной постоянным током 11 и вращающейся со скоростью ио магнитного поля.
В синхронном электродвигателе обмотка возбуждения, расположенная на роторе, запитывается постоянным напряжением. Она создаёт потокосцепление фв и вращается вместе с ротором со скоростью и.
Векторные уравнения для обмоток статора и ротора синхронной машины запишутся следующим образом:
Рис. 1. Модель обобщённого двухфазного синхронного электродвигателя
ГА = К1ї1 + (^+1и)офі, аі
ив — КВ1В Н——Ь ]шф аі
(1)
Здесь Кі и Кв — активные сопротивления обмотки статора и обмотки возбуждения; П и ив — напряжения на статоре и на обмотке возбуждения, соответственно. Недостаток системы (1) заключается в том, что первое и второе уравнения записаны в разных системах координат. Первое уравнение записано в неподвижных координатах 0ав, второе — во вращающихся координатах 0йц, что затрудняет их совместное решение. Перепишем (1) в единой системе координат 0ху, вращающейся со скоростью магнитного поля ио. При этом скорость вращения ротора относительно выбранных координат составит ио — и. Следовательно,
а,фв
(2)
Потокосцепления статора и ротора создаются токами в обеих обмотках:
ф1 — ^/111 + ^О^в? фв — ^в^в + Ьоіі, (3)
где Ь1 и Ьв —собственные индуктивности эквивалентной обмотки статора и обмотки возбуждения;
Ьо — взаимная индуктивность. Выразим векторы токов в (3) через потокосцепления
- Ьв т Ь0 т - Ь1 7 Ь0 7
Ь = ~^Ф 1 - д^В, /в = д^В - д-^1
и подставим их в (2):
(ф і — К\Ьв - КхЬо - . - (фв — ЯвЬ1 - RвЬ0 - ■/ \- / Л\
-^- = ^1-------д—Фі + —д—Фв ~ З^офі, = ив-д— фв + -д— фі - ]{и0 - и)фв, (4)
где А = ЬіЬв - Ь2.
Систему уравнений (4) можно переписать в проекциях на оси х и у:
(фіх тт її’іЬв і . ЯіЬ0 і . і
— иїх----------д ФІХ Н-----------X Фъх + ш<дФіу
(і
(Іфіу
сИ
(1фвх
(Й
(ф,
АА
тт ^іЬв , . ЯіЬ0 , ,
и\у д ц)\у д "Фву ^О'ФіХ'!
КвЬ1 , ^вЬ0 . / N.
— ивх----X фвх Н--д—ф 1х + (^0 — ш)фву,
(і
(5)
ву - и -
— ^Ву
АА
^вЬ1 ( ^вЬ0
■фву +
А
А
ф1у — (и0 — и)фвх,
где переменные с индексами х и у представляют собой проекции векторов на соответствующие оси.
С учётом того, что реальный трёхфазный синхронный электродвигатель можно свести с помощью трёхфазно-двухфазного преобразования к обобщённой двухфазной модели, электромагнитный момент электродвигателя запишется так [1]:
М = т1^Ь° (ф1уфвх - ф1хфву).
(6)
Здесь ті —число фаз статора электродвигателя; ^п —число пар полюсов. Систему уравнений (5) и (6) необходимо дополнить главным уравнением движения электропривода:
=М-МС, (И ’
(7)
где .] — приведённый к валу электродвигателя момент инерции; Мс —момент сил сопротивления. Переходя в (5)—(7) к операторной форме записи, после преобразований получим
Ь0
(Тір + 1)ф1х = ТіІІіх + — фвх + ТхШофіу,
Ьв
(Тір + 1)фіу = ТіІІіу + фву - Тіи0фіх;
(Твр + 1)фвх = Твивх + —фіх + Тв(и0 — со)фву,
Ьі
(твр + 1 )фву = Твиву + -7—фіу — Тв(ио — со)фвх]
Ьі
]рШ = пчг^о ^іуфвх _ ф1хфву) - мс.
(8)
В (8) введены обозначения: р — оператор дифференцирования; Т\ = д ^ , Тв = д ^ —электромагнитные постоянные времени цепей статора и обмотки возбуждения, соответственно.
Система уравнений (8) позволяет построить структурную схему синхронного электродвигателя как объекта управления (рис. 2). За входные управляющие воздействия приняты частота вращения магнитного поля Ш0 и проекции векторов напряжений Піх, иіу, Пвх и иву. Основным возмущающим воздействием является момент Мс сил сопротивления, а выходной координатой — скорость и вращения ротора электродвигателя.
Анализ уравнений (8) и структурной схемы показывает, что синхронный электродвигатель представляет собой существенно нелинейный объект. Последнее обстоятельство объясняется, прежде всего, наличием в структуре шести множительных звеньев.
Следует обратить внимание, что полученная структурная схема синхронного электродвигателя как объекта управления с точностью до входных воздействий ивх и иву совпадает с аналогичной схемой асинхронного двигателя [2]. Поэтому можно провести линеаризацию системы уравнений (8) методом разложения основных нелинейных зависимостей в степенной ряд Тейлора в окрестности некоторой рабочей точки с параметрами: фіх0, фіу0, ф2х0 и ф2у0 [2]:
Ь0
(Т\р + 1)ф\х — ТіІІ\х + —фвх + ТіфіуоШо,
Ьв
(Т\р + 1)фіу = Тхи1у + —^фву — Тіфіхоио]
Ьв
(Твр 1 ')фвх — ивх -\ - ф\х Твфвуо (шо ^))
Ьі
(Твр 1 ')фвх — иву -\ - ф\х Твфвхо(соо си), Ьі
'1ри = 2А °^1у°^вх ~ Ф^офву) ~ Мс.
(9)
Система уравнений (9) позволяет найти передаточные функции по отношению к управляющим и возмущающему воздействиям. Пользуясь принципом суперпозиции, найдём, прежде всего, передаточную функцию по отношению к управляющему воздействию ^о. Для этого приравняем нулю входные воздействия ивх, иву и Мс.
иву
Рис. 2. Структурная схема синхронного электродвигателя как объекта управления
Передаточная функция синхронного электродвигателя по отношению к управляющему воздействию и>0 имеет такой же вид, как у асинхронного электродвигателя [2]:
^ДУ1 (р) =
и(р) =_______________________
шо(р) ТэТиТ1Р3 + ГэГм(Г1+Гв) 2 +
т в
кду1 {кТд11Р + 1)
гр і тэты 11 ^ тв
где коэффициент передачи двигателя по управлению
Т1(ф2х0 + ф2у0)Ь0
кду1 = 1 +
Тв(ф і х0фвх0 + ф 1у0фву0)Ь 1
1 _ Ьо 1 ьгьЕ
р +1
а произведение приведённых электромагнитной и электромеханической постоянных времени синхронного двигателя представляется так:
2А7
т 1^пЬ0(ф1 х0фвх0 + ф 1у0фву0)
Передаточная функция синхронного электродвигателя по отношению к возмущающему воздействию Мс имеет следующий вид:
71 71 Л__
э м ^
ж
^дв 1 (р) =
ц(р)
а«р) ГЛГі!)з + г,г„(г1+г.)))2 +
Тв
ТіТв 2 , Ті + Тв , 1
-----—р +----------т^р + 1
1 _ -^0 1 Ьгьв
1
ЬгЬв
Т +
ТТ
Тэ Тм
Т
Тв
1
_Ц_
Ь Ьв
р+1
Таким образом, динамические характеристики синхронных машин, оснащённых обмоткой возбуждения, и асинхронных двигателей «в малом» при частотном управлении совпадают.
В случае, когда синхронный электродвигатель имеет возбуждение от постоянных магнитов, расположенных на роторе (рис. 3), его математическая модель упрощается.
Запишем первое уравнение в (1) в системе координат 0(д, вращающихся вместе с ротором:
[Д = ІДД + ^ +](и) -ш0)ф.
(10)
Здесь и — и>0 — скорость вращения магнитного поля статора относи тельно выбранных координат. Запишем (10) в проекциях на оси ( Рис. 3. Модель двухфазно-и д:
І иы = Кііи + си0)фід,
| ЕДд = ІДДд Л------^ + (іО — Шо)ф\(1-
Учтём, что в рассматриваемом случае
ф и = Ь іі ы + фв,
(11)
го синхронного электродвигателя с постоянными магнитами на роторе
ф і«
(12)
Выражая из (12) проекции вектора тока статора 1^, іід и подставляя их в (11), получим систему уравнений цепи статора синхронного двигателя, выраженную через однородные переменные:
£Дй — -у— (фісг — фв) Н—~г,----------------(сс> — сс>о)ф1д,
Ь і (і
Кг
Ьі
(13)
Момент, развиваемый синхронным электродвигателем [1], запишется так:
т і^
М=
2
'-Іт {гРІЇг} ,
(14)
где ф£ = фы — ^фі д —сопряжённый вектор потокосцепления статора. Определяя мнимую часть произведения векторов в (14), получим
т і^фв ,
М = ф 1д. (15)
Уравнения (7), (13) и (15) дают полное описание синхронного электродвигателя в системе частотного управления
(фы
(і
#1<у
ей
і? і і? і
= иы-------^~Фы + ~Г~ Фв + (сс> — Шо)Фц,
Ь Ь
= и\д------^—фід — (СО — СОо)фісі,
Ь
(16)
(и т і^пфв , ,,
1 л = ~ м<'
Перейдём в (16) к операторной форме записи:
(Ті і р + 1)ф Ы = Ті іи Ы + фв + Ті і(и — и0)ф ід, (Ті і Р + 1)ф ід = Ті іи ід — Ті і(и — и0)ф ігі;
(и т і^пфв , ,,
= ----------ф1(7 — Мс,
М 2Ь1 ^ д ’
(17)
гдеТц =
Фв
Рис. 4. Структурная схема синхронного электродвигателя с постоянными магнитами
^ду2(р)
или
и(р) = и0(р)
^ду2(р)
Система уравнений (17) позволяет построить структурную схему синхронного двигателя с постоянными магнитами на роторе (рис. 4).
Как и в предыдущем случае, синхронный электродвигатель представляет собой нелинейный объект управления, что вызвано наличием множительных звеньев. Проведём линеаризацию системы уравнений
(17) в районе некоторой рабочей точки с координатами Ф1 ^о и Ф 1 до:
(Т1 1Р + 1)ф 1Й = Т1 1и 1Й + фв + Т11(ш — Шо)ф 1д0 )
(Т11Р + 1)ф1д = Т11и1д — Т11(ш — Шо)фШ, (18)
Ш1^пфв , ,,
•7 Л = “ м"
Система уравнений (18) позволяет найти передаточные функции синхронного электродвигателя с постоянными магнитами на роторе как по управляющим воздействиям Шо и и, так и по отношению к основному возмущению Мс.
Передаточная функция синхронного двигателя по отношению к изменению скорости вращения магнитного поля Шо (частоты питающего напряжения) имеет вид
1
Т)^ -----2 JZ/l------ і і
1 тігпфіЛогфвТіі і 1
1
ТвіТміР2 + ТміР + 1
где Тэ 1 - Тп, Тм 1 - тігиФімФшТц ■
Передаточная функция по отношению к возмущению Мс:
Ш М - - ш^пФыоФъТп (тпР + х)
ду2\Р) Мг-(ю) ____2^71^1_ 2 і_____2JLl_____ , і '
ті_ги'фі_)ЮфшР гаї^п^ігіо^вТи "
Все передаточные функции по управляющим воздействиям, полученные выше, описывают движение синхронного электродвигателя «в малом» при частотном способе управления скорости.
В электроприводах с большим диапазоном регулирования скорости применяют способ управления синхронным электродвигателем по сигналам датчика положения ротора, привязанного к магнитной системе машины [3]. Как правило, в этом случае синхронный электродвигатель оснащён постоянными магнитами, расположенными на роторе, а управление скоростью производят изменением амплитуды (действующего значения) напряжения на обмотках статора. В этом режиме в синхронном двигателе поддерживают пространственный угол между векторами потокосцепления ротора и статора, близким к 90°, а скорость магнитного поля и0 практически совпадает со скоростью и вращения ротора. Структурная схема, представленная на рис. 4, позволяет получить передаточную функцию синхронного электродвигателя и в этом случае.
Приравнивая нулю Мс и и0, найдём передаточную функцию по отношению к управляющему воздействию ІІід:
Ждуз(р) = иф) = фыо(Тэ1Ти1р1 + Ти1р + 1У (19)
Анализ передаточной функции (19) показывает, что динамические характеристики синхронной машины, работающей в режиме вентильного двигателя (бесколлекторного двигателя постоянного тока) аналогичны соответствующим характеристикам обычного электродвигателя постоянного тока. Скорость синхронного двигателя в этом режиме пропорциональна напряжению, прикладываемому к статорным обмоткам.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Михайлов, О. П. Автоматизированный электропривод станков и промышленных роботов [Текст] / О. П. Михайлов. — М.: Машиностроение, 1990. — 304 с.
2. Стариков, А. В. Линеаризованная математическая модель асинхронного электродвигателя как объекта системы частотного управления [Текст] / А. В. Стариков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2002.— № 16. — С. 175-180. — ISBN 5-7964-0355-9.
3. Терехов, В. М. Системы управления электроприводов: Учебник для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / В. М. Терехов, О. И. Осипов; Под ред. В. М. Терехова. — М.: Академик, 2005. — 304 с.
Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 15.10.2007
тгсрк@гатЪ1ег. ги
M. S. Lysov, A. V. Starikov, V. A. Starikov
LINEARIZED MATHEMATICAL MODEL OF SYNCHRONOUS MOTOR WITH VARIOUS METHODS OF SPEED CONTROL
Various methods of synchronous motor speed control are considered. Differential equations and structures of synchronous motor being the object with various methods of control are presented. Equations of motor motion have been linearized, transfer functions related with control and perturbation have been obtained.
Samara State Technical University, Samara, Russia Received 15.10.2007
mrcpk@rambler. ru
