Линеаризованная математическая модель асинхронного электродвигателя как объекта системы частотного управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

А. В. Стариков

ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ КАК ОБЪЕКТА СИСТЕМЫ ЧАСТОТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрена математическая модель асинхронного электродвигателя применительно к системе его частотного управления. Проведена линеаризация модели в районе некоторой рабочей точки, разработаны общие и частные структурные схемы асинхронного электродвигателя как объекта управления и найдены передаточные функции по отношению к управляющим и возмущающему воздействиям.

На современном этапе развития автоматизированного электропривода частотнорегулируемые приводы переменного тока находят широкое применение. При этом можно выделить целый ряд различных подходов по принципам их структурного построения: системы подчиненного регулирования с автономными инверторами тока; системы рационального управления с автономными инверторами напряжения; системы векторного управления и др. Все они базируются на математических моделях (как правило, нелинейных) асинхронного электродвигателя различной степени сложности. Тем не менее актуальной является задача получения линеаризованной математической модели асинхронного электродвигателя, позволяющей синтезировать новые принципы построения систем частотного управления.

При математическом описании электрических машин переменного тока широко применяют математическую модель в виде обобщенной двухполюсной двухфазной электрической машины [1, 2]. Трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с помощью трех-фазно-двухфазного преобразования можно привести к обобщенной электрической машине. В рамках общепринятых допущений (о симметричности обмоток статора, гладкости поверхностей статора и ротора, линейности кривой намагничивания, отсутствии потерь на гистерезис и вихревые токи и синусоидальности напряжений и токов) система уравнений [1], описывающих движение асинхронного электродвигателя при частотном управлении, выглядит следующим образом:

йґ йу 1Г йґ

2 х йґ

йу 27 йґ

К1Ь

=иіх —Vа Уїх +

=

А А

ДА

А

У17 +

Д1Ь0

А

А

Д2 Ь

А

А Д2 Ьо

У 27 +^Т°У17 - (®0 - а )У 2

А

1

й ~ 2 А (У 17У2X У1ХУ27 ) МС

аґ 2./А 3

>

У

(1)

где У1 х и У17 - проекции вектора потокосцепления статора в ортогональной системе координат х - у, вращающейся со скоростью магнитного поля; и1х и и17 - проекции изображающего вектора напряжения в той же системе координат; У2х и У27 - соответствующие проекции вектора потокосцепления ротора; Ь1 и Я1 - индуктивность и активное сопротивление цепи статора; Ь2 и Д2 - приведенные индуктивность и активное сопротивление цепи ротора; Ь0 - взаимная индуктивность; а0 - угловая скорость вращения магнитного поля; а - угловая частота вращения ротора; .7 - приведенный момент инерции ротора; т - число фаз электродвигателя; ХП - число пар полюсов; МС - момент сопротивления на валу электродвигателя; А = Ь1Ь2 — Ь0.

Переходя к операторной форме записи, после преобразований получим

(Т1 Р + 1)У 1Х = ВДх + ь/0 У2X + Т1а0У17 , Ь2

(Т1Р + 1)У 17 = Т1и17 + Ь У27 Т1®0У1Х ,

Ь2

(Т2 Р + 1)У2X = ~Ь~ У1Х + Т2 (®0 — а)У27 , Ь

(Т Р + 1)У 27 = Т° У17 — т2 (а 0 — а )У

Ь1

2 X -

7ра = тХПЬ0

2А

где Р - оператор дифференцирова-

т А _ А ния; 71 =-

т2=

- элек-

Р и с.1. Структурная схема асинхронного электродвигателя как объекта управления

ВД Д2 Ь1

тромагнитные постоянные времени цепей статора и ротора. Система уравнений (2) позволяет построить структурную схему асинхронного электродвигателя как объекта управления (рис. 1). За входные управляющие воздействия приняты частота вращения магнитного поля а 0 и проекции вектора напряжения и и17 . Основным возму-

щающим воздействием является момент МС сил сопротивления, а выходной координатой - скорость а вращения ротора электродвигателя.

Анализ структурной схемы и систем уравнений (1) и (2) показывает, что асинхронный электродвигатель в системе частотного управления представляет собой существенно нелинейный объект. Последнее обстоятельство объясняется прежде всего наличием в структуре шести множительных звеньев. Использование такой модели для корректного синтеза системы частотного управления не представляется возможным, поэтому произведем линеаризацию системы (2) уравнений методом разложения основных нелинейных зависимостей в степенной ряд Тейлора в окрестности некоторой рабочей точки с параметрами: У1 х0, У170, У2х0 и У27 0. Ограничиваясь первыми членами разложения, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику асинхронного электродвигателя в системе частотного управления:

Т1 ~

~ТГ

У XX Ь 0 1

Т1Р + 1 Ь т 2 Р

£

У 17 0Т1

71

У 1X 0 Т1

(-)

У 270Т2

1г~

(-)

тХ П 1 М

2А

У 17 1 0 І1 7

7 р +1

Р и с. 2. Линеаризованная структурная схема асинхронного электродвигателя при частотном управлении

(Т1 р + 1)^IX — Тхиіх + 7 У2X + Т1У 170Ю1 72

(Т1р + 1)У 17 — Тіиі7 + 7° У 27 — Т1у1х 0Ю(

Л

72

(Т2р + 1)У2X — 7 У1Х + Т2У27 0 (Ю0 ю) , V*

71

(Т2 р + 1)У27 — ~7~ У17 — Т2У2X0(ю0 — ю) ,

71

7

Зрю — — (у170у2X — У^0у27 ) — МС ■

2А

У

1 У ^ 70

Т р +1 |4Н

70

С *

У17 0Т1

Г

1

Т 2 р + 1

У 27 0Т2

Т1

(-)

У 17 0

(-)

2АЗр

Линеаризованная структурная схема асинхронного электродвигателя при частотном управлении, соответствующая системе уравнений (3), представлена на рис. 2.

Линеаризованная структурная схема позволяет найти передаточные функции по отношению к управляющим и возмущающему воздействиям.

Пользуясь принципом суперпозиции, найдем, прежде всего, передаточную функцию по отношению к управляющему воздействию ю0 ■ Для этого приравняем нулю входные воздействия , и17 и МС ■ Структурная схема асинхронного электродвигателя представлена на рис. 3.

Избавляясь от перекрестных связей переносом соответствующих сумматоров, получим в конечном итоге эквивалентную структурную схему для определения передаточной функции по управляющему воздействию ю0 (рис. 4).

У ^ 0Т1 У 2 X 0Т2 У1X 0

і 70 Т1

к г 72

(-)

1 У17 70 Ь-*- 1 У

Т р +1 71 Т2 р + 1

Р и с. 3. Структурная схема асинхронного электродвигателя для определения передаточной функции по управляющему воздействию ю0

ю 0

У17070?1 +У т т /г , 1 \ '270 2 ё АТ р+1) _ р() 0 71 У1

У^0АТ + У 2 х 0Т2 71(Т1 р +1) Г^0 2 р() 0 У1

Р и с. 4. Эквивалентная структурная схема асинхронного электродвигателя для определения

передаточной функции по управляющему воздействию ю0

Здесь

Т р+1

Щ( р) —

72

Л-^Г\

т 7

12

Т Т Т + Т

1 2 2 1 2

1—

72

р+

7 7

12

1—

72

Л-'СЛ

р+1

7 7

12

(4)

\

1

к

1(р) —

ю(р)

Ю 0 (р)

ДУ1

Т1

р+1

'-ду 1

Т Т Т п 3 I ТЭТМ (Т1 + Т2 ) р 2 .

ТЭ ТМ Т1 р +-----------Т---------р

Т

Т1 +

ТТ

ЭМ

Т2

72

7 7

12

(5)

р+1

где коэффициент передачи двигателя по управлению

кДУ 1 — 1 + "

Т1(УиГ 0 + У17 0)70

• (6)

Т2(У^ 0У2 X 0 + У17 0У270)71

Кроме того, по аналогии с двигателем постоянного тока здесь введены понятия приведенных электромагнитной ТЭ и электромеханической ТМ постоянных времени асинхронного электродвигателя, причем

2АІ

Т Т —

ЭМ

--------. (7)

т% п 70(У 1X 0У 2 X 0 + У17 0У27 0)

Поскольку передаточная функция асинхронного электродвигателя имеет характеристический полином третьего порядка, условие устойчивости определяется из теоремы Вышнеградского

Т12 + ТэТм

Т 7 2 1 + Т_ — -^ Т2 7172

0

(8)

и 17

Т1 —0—

1 У ^ 70

Т р +1 71

- —<8>—

1

Т2 р + 1

У270 Т 2

Т1

У17

(-)

У 2 X 0 Т2

■0—

1 У17 70 71

Т р +1

(-)

т% п 70

2АЗр

УIX 0

и выполняется всегда.

Очевидно, что при равенстве нулю момента МС сопротивления скорость ю вращения ротора должна быть равна скорости ю0 вращения магнитного поля. Отсюда следует, что коэффициент кду передачи по управляющему воздействию должен равняться единице. Отличие от этой величины в формуле (5) объясняется погрешностью линеаризации.

Найдем также передаточную функцию по второму управляющему воздействию - напряжению статора и1 . При этом будем полагать, что проекции вектора напряжения и^ и и17 на вращающуюся систему координат изменяются одновременно и пропорционально. Структурная схема для определения этой передаточной функции принимает вид, приведенный на рис. 5. После несложных структурных преобразований найдем искомую передаточную функцию:

1

Т2 Г + 1

Р и с. 5. Структурная схема для определения передаточной функции по второму управляющему воздействию и

Кду2 (р) —

ю ( р) и1( р)

к

ДУ 2

ТЭТМ Т1р +

ТЭТМ (Т1 + Т2 )

Т2

р2 +

ТТ

Т1+

1 Т2

72

0

7 77

12

(9)

р+1

где

к

Т170(У 17 0 У ^ 0)

ДУ2

(Ю)

Т2 А(у IX 0у 2 X 0 + У 17 0у 27 о)

Представляет также интерес определение передаточной функции по управляющему воздействию &] 0 для случая, когда производится одновременное управление частотой и амплитудой напряжения статора. Как известно, например, для обеспечения постоянной перегрузочной

1

1

способности амплитуду напряжения изменяют пропорционально частоте. Поэтому будем считать, что при таком принципе одновременного регулирования частоты и амплитуды напряжения

и^ — и17 — ки Ю 0, (11)

где ки - коэффициент пропорциональности.

С учетом выражения (11) получим структурную схему (рис. 6) асинхронного электродвигателя, соответствующую этому режиму работы.

Передаточная функция асинхронного электродвигателя по отношению к управляющему воздействию ю0 при одновременном регулировании частоты и амплитуды напряжения

к

Кдуз( р) —

ю ( р) ю 0( р)

ДУ 3

Т1

ДУ3

р+1

ТэТм Т р3 + Э

ТЭТМ (Т + Т2 ) р 2 +

т, ^

ТТ

Т1+

1 Т2

/

2

\

1—А-

12

12

р+1

отличается от аналогичной передаточной функции (5) коэффициентом передачи — 1 + Т1[у 1.x0 +У170 + ки (У 170 — У1Х0^0

Т2(У 1Х 0У 2 X 0 + У17 0У27 0)71

ДУ3

(12)

(13)

Р и с. 6. Структурная схема асинхронного электродвигателя при одновременном регулировании частоты и амплитуды напряжения

Р и с. 7. Структурная схема асинхронного электродвигателя для определения передаточной функции по возмущающему воздействию МС

Отсюда следует, что

Т Т

Э М

Т

1 - То

т Т

■4^2

/Т2

(р) =

«(р) МС (р)

ТТ 111 2

Т2

0

Т Т

12

р +

Ті + Т2

Т2

о

Т Т7

12

р+1

Тэ Тм Тір +

ТэТм (Ті + Т2)

Т2

р 2 +

Т + ТэТм 1 Т2

Т

1 -А

Т1Т2

(14)

р+1

Анализ знаменателей полученных передаточных функций позволяет в первую очередь проанализировать зависимость инерционных свойств асинхронного электродвигателя в функции заданной частоты а 0 вращения магнитного поля. Эта зависимость проявляется прежде всего в изменении начальных условий у1Х0, у1Г 0, у2х0 и у2Г0, которые входят в выражение для произведения постоянных времени ТЭ ТМ .

Таким образом, несмотря на то, что расчетные значения коэффициентов передачи и постоянных времени могут отличаться от реальных, полученные передаточные функции позволяют проанализировать динамические свойства асинхронного электродвигателя как объекта и сформулировать корректный подход к синтезу системы частотного управления.

1

1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Михайлов О. П. Автоматизированный электропривод станков и промышленных роботов. М.: Машиностроение, 1990. 302 с.

2. Ковчин С. А., Сабинин Ю. А. Теория электропривода. СПб.: Энергоатомиздат, 1994. 292 с.