CC BY
1
Николаев Павел Александрович, д-р техн. наук, начальник лаборатории электромагнитной совместимости, [email protected], Россия, Тольятти, АО «АВТОВАЗ»,
Козловский Владимир Николаевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, [email protected], Россия, Самара, Самарский государственный технический университет,
Васин Сергей Александрович, д-р техн. наук, профессор, vasin [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
ENSURING ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY OF MODERN PASSENGER CARS A.S. Podgorny, P.A. Nikolaev, V.N. Kozlovsky, S. A. Vasin
The article presents the results of the development and implementation of a set of standard solutions used to ensure the electromagnetic compatibility of vehicles.
Key words: motor vehicle, on-board electrical complex, electromagnetic compatibility.
Podgorny Alexander Sergeevich, candidate of technical sciences, senior researcher, [email protected], Russia, Samara, Samara State Technical University,
Nikolaev Pavel Alexandrovich, doctor of technical sciences, head of the laboratory of electromagnetic compatibility, [email protected], Russia, Togliatti, AVTOVAZ JSC,
Kozlovsky Vladimir Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, head of the department, [email protected], Russia, Samara, Samara State Technical University,
Vasin Sergey Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.31
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-9-383-384
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОДШИПНИКА ПРИ НЕЗАВИСИМО УПРАВЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ МАГНИТОВ
В.Д. Костюков, А.В. Стариков, В.Н. Козловский, О.В. Пантюхин
В статье поставлена задача определения линеаризованной математической модели электромагнитного подшипника, пригодной для случая независимого управления напряжениями противоположных магнитов. С этой целью рассмотрена система нелинейных уравнений движения ротора в поле электромагнитов.
Ключевые слова: электромагнитный подшипник, линеаризованная математическая модель, передаточная функция, независимое управление.
Электромагнитные подшипники находят применение в различных областях техники для бесконтактного подвеса ротора в магнитном поле. Примером могут служить нагнетатели газоперекачивающих агрегатов и высокоскоростные шпиндели с магнитным подвесом ротора [1 - 4]. Отличительными особенностями электромагнитного подшипника как объекта управления является его принципиальная неустойчивость, вызванная наличием положительной обратной связи, и нестационарность, определяемая переменностью параметров как в функции перемещения ротора, так и в зависимости от величины управляющего сигнала. Поэтому работоспособность и показатели качества электромагнитного подшипника обеспечиваются структурным построением системы управления и методикой параметрического синтеза регуляторов. Выбор структурного построения системы управления и выбор типа и параметров регуляторов, как правило, осуществляется на базе линеаризованной математической модели объекта, которым в данным случае является электромагнитный подшипник.
Известна линеаризованная математическая модель одной оси электромагнитного подшипника, например У (рис. 1), которая описывается передаточной функцией [5]
W (p)-AlI-_k°> (b°p + ')
оу \Г J
Ny (p) a0P4 + aP3 + a2P2 + a3P - 1
m
где k - kШИМ кэМ U (12°R2 + 14°R4 ) ; b - 12° (^2 + ^2 ) + 140 (R4T4 + L24 ) ; a° - _
оу kRR, ((° + /4°)2 ° ^°R2 + 14°R4 kF
m(T2 + T4). - m kЭМ [/2° (kE4R2T2 + kE2L42 ) + /4° (kE2R4T4 + kE4L24 )]
(1)
( L L Л
TT 24 42 2 4
V R2 R4
- — + ^-^ -- у ^ - ----24 L42 -r T .
2 , + , 42 „ „ 2 4
kF kF k R R (/ + / ) R2R4
F F h-f1 T4\J2r '4^ 2 4
_ кЗМ (120кЕ4+ 140кЕ2Щ4) _ (т + т ); а3 _ , ч 2 \2 + Т4/
кр&2Щ4 (120 + 140 )
у - перемещение ротора относительно центра магнитной системы по соответствующей оси подшипника; /20 и /40
- начальные значения токов в рабочей точке; т _ и т _ - постоянные времени обмоток электромагнитов,
Я2 Я4
вызванные собственными индуктивностями Г2 и Ь4; и, кШИМ и N - опорное напряжение, коэффициент передачи и величина сигнала на входе широтно-импульсного модулятора (ШИМ); Щ и Щ - активные сопротивления обмоток электромагнитов ЭМ2 и ЭМ4; Г и Г - взаимные индуктивности между электромагнитами; ^ и ^
24 42 Е 2 Е 4
- коэффициенты, связывающие наводимые в соответствующих обмотка электродвижущие силы со скоростью перемещения ротора; т - масса ротора, приходящаяся на один радиальный электромагнитный подшипник; кр - коэффициент положительной обратной связи по перемещению; кЗМ - коэффициент, связывающий силу, действующую на ротор, с токами 12 и 14 во втором и четвертом электромагнитах; О _ часть веса ротора, приходящаяся на ось у радиального электромагнитного подшипника; р - комплексная переменная.
А
Рис. 1. Расчетная схема радиального электромагнитного подшипника
Линеаризованная модель в виде передаточной функции (1) справедлива только для одного способа управления напряжениями противоположных электромагнитов, когда увеличение напряжения на одном электромагните на определенную величину приводит к уменьшению на такую же величину напряжения на противоположном электромагните. Это так называемый дифференциальный закон управления, осуществляемый симметричным ШИМ, причем нулевому сигналу на входе N _ 0 соответствует скважность у _ 0,5 и равные напряжения на обмотках
и
В связи с этим первый недостаток модели (1) заключается в том,
противоположных электромагнитов и _ и _
и 2 и 4 2
что она не может быть применена для других способов управления напряжениями электромагнитов, например, для раздельного управления по различным законам. Второй недостаток вызван тем, что при смещении ротора относительно центра магнитной системы многие параметры электромагнитов изменяются, и при расчете коэффициентов передаточной функции (1) необходимо знать конкретные значения Г , Г , к™, к^„, к„ и , соответствующее
2 4 Е 2 Е 4 р ЗМ
смещению у. Для этого требуется производить дополнительные вычислительные процедуру по определению переменных параметров.
В связи с этим целью настоящего исследования является разработка линеаризованной математической модели электромагнитного подшипника, учитывающей изменение параметров электромагнитов в функции перемещения и пригодной для любого способа управления напряжениями на обмотках противоположных электромагнитов Для достижения поставленной цели рассмотрим уравнения движения ротора в поле электромагнитов одного из каналов управления подшипника, например, по оси у [6]
Ё2 у Л2
(8_ у ) (8 + у )
_ О + р
V от
и2 _ я2/2 + + 2крI122 Ёу •
и 4 _ Щ14 +
8 _ у Л (8 _ у)2 ЁИ
2кр1 4 2кп!4 Ёу
8 + у Ж (8 + у)2 Л
где кР1 - конструктивный коэффициент электромагнитного подшипника; 8 - зазор между статором и ротором
(2)
при расположении ротора в центре магнитной системы; t - время.
Ру.
возмущающая сила, действующая по оси у;
Структурно-параметрический синтез системы управления электромагнитным подшипником, обеспечивающей требуемое качество работы, требует знания передаточных функций подшипника по отношению к управляющим и возмущающим воздействиям. Для нахождения этих передаточных функций необходимо произвести линеаризацию системы уравнений (2). С этой целью перейдем в (2) к малым отклонениям переменных ди2, Ди4, Д/2,
Д/ , Ду и Др от рабочей точки с параметрами и , и , / , / , V и р [7]. Тогда приращения нелинейных
4 " ву 20 40 20 40 ^0 ву 0
функций, входящие в состав рассматриваемой системы уравнений, от установившегося состояния можно представить их приближениями:
Д\к„
(8_ у) (8 + у)
(3)
2 /2
ч2-Д/2 -
2 /4
,(8_ ус) (8 + ус )
2 Д/4 +
212
-V
212
А!
(8_ у0) (8 + у<>)
Ду \
Д 2кр/ Ё 2
2кр/ Ё Д/2
2к /' ;
р//20 Ду'
8 _ у Л ) 8 _ у0 Л (8 _ у0)
2кр//2 Ёу
Ж
(8 _ у )2
2^0 Д/ + 4kРII10V0 Ду + 2кр//20
(8 _ у )2 2 (8_ уе) (8_ у )2
ё Ду ;
Л
Д 2кр/ Ё/4
2кр/ ЁД/4
2к /' ;
р/ 40 Ду;
8 + у Л ) 8 + у0 Л (8 + у0)
2кр//4 Ёу
(8 + у)2 Л
2крЛ Д/ _ 4кр//40^0 Ду + 2kРII40 ЁДу ,
(8 + у0)2 4 (8 + у0(8 + у0)2 А
(4)
(5)
(6) (7)
где /¡о, /^¡о и V - начальные значения скорости изменения токов в обмотках электромагнитов и скорости перемещения ротора.
Переходя в (2) к отклонениям от установившегося состояния и заменяя нелинейные функции их приближениями (3) - (7), получим следующую систему равнений, описывающих динамику электромагнитного подшипника как объекта управления
Л 2Ду , т----к„
Л2
Ди2 _
Ди4 _
2/2
-1"И
2/2
Л!
о + ЩУ,
(8_ у0) (8 + у0> 2к
Ду _ кр
2 /2,
ХГ Д/2 -
2 Л,
(8_ у0) (8 + у0)
2 Д/ 4
+ Др
Щ _
(8_ у0 )2
2к V
Д/2 +
р, Л Д/2
2kРII^0 _ + 4kРII20V0
8_ у0 Л |_(8_ у0 )2 (8_ у0 )3
Ду + ■ 1кр/120
Ё Ду
(8 _ у0 )
Л
(8 + у0)
Вводя новые обозначения
Д/4 + 2кр/ Ё Д4
4к / V
2к /
8 + у0 Л (8 + у0) (8 + у0)
Ду _
2кр!!40 Л Ду (8 + у0 ) Ж •
(8)
кру кр/
2 / 2
г.,
2/2
/II
(8_ у0 ) (8 + у0 )
т _-
2кр/ (8_ у0)
т _-
4
2кр/(8 + у0 ) , Ь {Ду}_ у ( р ) ,
(8_ у0) Щ +2kрIVо (8 + у0) ЯЛ _2крК
Ь{Ди2}_и2 (р), Ь{Ди4}_и4(р), Ь{Д/2}_/2 (р), Ь{Д/4} _/4(р) и Ь{Дрву}= рву(р), перейдем в (8) к преобразованиям Лапласа
тр2 у (р)_ круу (р)_ кр
2к V
Т7Т' П
2/2
^ (р)_-
2/4
и2 (р)_
и4 (р)_
л, +-
Щ _
(8_ у0 )
2кр/У) 2 (8 + У0 )
(8_ у0) (8 + Л)
(р + 1)/2 (р) +
-/4 (р)
+рву (р);
^рДм + ^рДм^О
(8_ у0) (8_ у0)
у (р ) + -1kрI% ру (р);
(тр + 1)/4 (р)
4к / V
40 у 0
2kрII40
(8_ у0 )
у (р
ру (р).
(9)
(8 + у0 )3 (8 + у0 ) (8 + у0)
Система уравнений (9) позволяет найти все необходимые передаточные функции электромагнитного подшипника как объекта управления. Выражая из второго уравнения системы (9) ( р), из третьего уравнения /4 ( р)
и подставляя их значения в первое уравнение, получим следующее выражение
тТ2ТА
кРу - + <6
Р4 +
т
( + 7)
3 1 т + + d2Т2 - крТТ
кРу - <5 + <6
Р +
кРу - <5 + <6
Р +
+ <1 + <2 + (<5 - кРу ) 74 - (<6 + кРу ) 72 - х
кРу - <5 + <6
(10)
у (Р) =
; 2 (р)-" 4 (Р )+(2Р + 1)(Т4 Р+ 1) р ^р)
где
=
кРу - <5 + <6
4к 212 Р^ 20
кРу - <5 + <6
<2 =
4к 2 12 Р^ 40
кРу - <5 + <6
<3 =-
2кРТ121
(8 - уо) Д2 + 2крУ0 (8 - уо) (8 + уо) Д - ад (8 + у ) (8- у ) Д2 + 2крУ0
<4 =
2кР1Т40
<5 =■
4кРтТ20 [2120Ур +(8- ур)I
<6 =•
4кРтТ40 [21У -(8 + у0)
(8 + у0) Д (8 + у0) -2кРЛ
(8 + у0 ) Д4 - 2« " (8- у0 )3 [Д (8- у0 )2 + 2кРЛ
Используя принцип суперпозиции [8] и принимая в (10) ; (р) = 0, Р (р) = 0, найдем передаточную функцию электромагнитного подшипника по отношению к изменению управляющего воздействия ; ( р )
у ( Р) = ки 2 ( Кр +1)
Щ 2 (р) =
(11)
и2 (р) а0р4 + а1 р3 + а2р2 + а3р -1
где
к Г2 = -
<3
кРу - <5 + <6
Ь01 = Т4; а0 =
тТуА
кРу - <5 + <6
т + <ТГА + <2Т2 - круТ2ТА.
кРу - <5 + <6
= т (7 + 74 ) ;
кРу - <5 + <6 = <1 + <2 + (<5 - кРу )Т4 - (<6 + кРу )72 .
3 кРу - <5 + <6
Теперь полагая, что ; (р) = 0 и Р (р) = 0, определим передаточную функцию подшипника по отношению к изменению управляющего воздействия ; ( р )
у (Р) = ки4 (Ь 02р + 1_, (12)
Ки4 (Р) =
и4 (р) а0р4 + а1 р3 + а2р2 + а3р -1
где
к„ 4 = -
<4
кРу - <5 + <6
Ь01 = Т2 .
Передаточная функция по отношению к изменению возмущающего воздействия Р (р) находится при
и 2 ( р ) = 0 и и 4 ( р ) = 0
Щр (р)= .^М. =_(Т2 Р + 1)(Т4 Р + 1)_. (13)
Ру Рву (р) ( - <5 + <6 )(р4 + а!р3 + а2р2 + а3р -1)
Полученные передаточные функции (11) - (12) показывают, что действительно электромагнитный подшипник представляет собой неустойчивый объект управления, описываемый динамическими звеньями четвертого порядка.
Сравнивая полученную передаточную функцию (11) с известной (1), можно сделать вывод, что они совпадают по виду и порядку знаменателя. Однако, очевидно, что есть и различия, прежде всего в коэффициенте передачи, поскольку в качестве входных используются разные переменные.
Найдем численное значение передаточной функции (11) для радиального электромагнитного подшипника нагнетателя газоперекачивающего агрегата ГПА Ц-16, когда ротор находится в центре магнитной системы, то есть у0 = 0, начальные значения токов I = I = 7,5 А, 11 = 140 = 0, У0 = 0, а электромагниты характеризуются следующими параметрами: кР, = 3,8798 -10-5 Нм2/А2, Я = Я = 1,7 Ом
Щ2 (Р)=-
2,9412 -10-5 (0,0609р +1)
_. (14)
6,8982-1Г8р4 + 2,2669-10-6р3 + 3,72258-10-3р2 - 0,06086р -1
Передаточная функция (1) для этого же агрегата с учетом того, что при центральном положении ротора Ь2 = ЬА = 0,103 Гн, кЭМ = 31309 Н, кР = 2,0878-107 Н/м, кЕ2 = кЕ4 = 1035 Вс/м принимает следующее численное значение
Щу (Р )=-
4,5373 -10-8 (0,0609р +1)
_. (15)
6,837 • 1Г8р4 + 2,2468 • 10-6р3 + 3,68957 • 10-3р2 - 0,0614р -1
Сравнение коэффициентов характеристических полиномов передаточных функций (14) и (15) показывает,
391
что расхождение их величин не превышает 0,9%. Это косвенно подтверждает адекватность полученной новой линеаризованной математической модели электромагнитного подшипника, представленной передаточными функциями (11) - (12). При этом новая линеаризованная модель позволяет производить структурный и параметрический синтез системы управления электромагнитным подшипником для раздельного управления напряжениями противоположных магнитов. Следует также отметить, что численные значения передаточных функций (11) - (13) могут быть легко определены для любого положения ротора и скорости его перемещения в поле электромагнитов и для различных начальных значений токов и их производных.
1.Найденные передаточные функции представляют собой линеаризованную математическую модель, позволяющую произвести структурно-параметрический синтез системы управления электромагнитным подшипником при различных способах управления напряжениями противоположных магнитов.
2.Новая линеаризованная математическая модель электромагнитного подшипника как объекта управления позволяет анализировать его динамические свойства при различных положениях ротора относительно центра магнитной системы.
Список литературы
1. Сарычев А.П. Разработка электромагнитных подшипников для серии компрессоров газоперекачивающих агрегатов // Труды НПП ВНИИЭМ. М., 2009. Т. 110. С. 3 - 10.
2. Сарычев А.П., Вейнберг Д.М. Опыт разработки электромагнитных подшипников для газовых компрессоров // Труды НПП ВНИИЭМ. М., 2001. Т. 100. С. 275 - 282.
3. Патент России № 2370344. Шпиндель / Е.А. Артюхов (Россия) // Опубл. 20.10.2009, Бюл. № 29.
4. Богданова Ю.В., Гуськов А.М. Моделирование динамики ротора электрошпинделя на магнитных подшипниках // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 01. С. 201-220.
5. Макаричев Ю. А., Стариков А. В., Стариков С. А. Математическая модель электромагнитного подшипника как объекта управления с учетом непостоянства его параметров // Известия высших учебных заведений «Электромеханика», № 4 2012. С. 31 - 34.
6. Журавлёв Ю.Н. Активные магнитные подшипники: теория, расчёт, применение. СПб.: Политехника, 2003. 206 с.
7. Воронов А.А., Воронова А.А., Бабаков Н.А. и др. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч 1. Теория линейных систем автоматического управления. М.: Высш. шк., 1986. 367 с.
8. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.
Костюков Владислав Дмитриевич, аспирант, [email protected]. Россия, Самара, Самарский государственный технический университет,
Стариков Александр Владимирович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, [email protected], Россия, Самара, Самарский государственный технический университет,
Козловский Владимир Николаевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, [email protected]. Россия, Самара, Самарский государственный технический университет,
Пантюхин Олег Викторович, д-р техн. наук, доцент, [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет
LINEARIZED MATHEMATICAL MODEL OF THE ELECTROMAGNETIC BEARING WITH INDEPENDENTLY CONTROL
OF VOLTAGES OF OPPOSITE MAGNETS
V.D. Kostyukov, A.V. Starikov, V.N. Kozlovsky, O.V. Pantyukhin
The article sets the task of determining a linearized mathematical model of an electromagnetic bearing suitable for the case of independent control of the voltages of opposite magnets. For this purpose, a system of nonlinear equations of rotor motion in the field of electromagnets is considered.
Key words: electromagnetic bearing, linearized mathematical model, transfer function, independent control.
Kostyukov Vladislav Dmitrievich, postgraduate, [email protected]. Russia, Samara, Samara State Technical University,
Starikov Alexander Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, head of the department, [email protected]. Russia, Samara, Samara State Technical University,
Kozlovsky Vladimir Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, head of the department, [email protected], Russia, Samara, Samara State Technical University,
Pantyukhin Oleg Viktorovich, doctor of technical sciences, docent, [email protected]. Russia, Tula, Tula State University
