Линеаризованная интегро-дифференциальная модель жидкости Кельвина Фойгта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОСТИ КЕЛЬВИНА - ФОЙГТА

Исследована разрешимость начально-краевой задачи для линеаризованной интегро-дифференциальной системы уравнений Осколкова, моделирующей динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта.

Ключевые слова: система уравнений Осколкова, интегро-дифференциальное уравнение, начально-краевая задача, вязкоупругая жидкость, модель Кельвина - Фойгта.

1. Постановка задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу

и(х, £) = ^(х,£), (х,£) € П х [—г, 0], (1)

и(х,£) = 0, (х, £) € дП х [0, +го), (2)

для системы уравнений

(1 — хД)и*(х,£) = ^Ди(ж,£) — (и ■ У)м(ж,£) — (и ■ У)м(ж,^) — г(х,£) + о

+ У К(з)Ди(х,£ + з)ф.(з), (х,£) € П х [0, +то), (3)

— Г

V ■ и = 0, (х, £) € П х [0, +то). (4)

Здесь П С — ограниченная область с границей дП класса Сх € К, V €

К+, заданы ^ : [—г, 0] ^ К — монотонно возрастающая функция ограниченной вариации, К : [—г, 0] ^ К.

В случае ^(з) = з, система (3), (4) представляет собой линеаризованную в окрестности стационарного решения и = (и^и^^) систему Осколкова, моделирующую течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта [1; 2] при условии финитности интегрального ядра К. Параметр х характеризует упругие свойства жидкости, а параметр V - её вязкие свойства. Вектор-функции и = (и1,и2,и3) (вектор скорости жидкости), г = (г1,г2,г3) (градиент давления) неизвестны.

Для исследования разрешимости задачи (1)-(4) воспользуемся общими результатами о разрешимости начальных задач для линейных вырожденных эволюционных уравнений с запаздыванием, полученными в [3; 4].

2. Вырожденное эволюционное уравнение с запаздыванием

Через £(и; Т) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство Т. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Ы, действующих в Т, будем обозначать С/(Ы; Т). Если Т = Ы, то обозначения сократятся до £(Ы) и С/(Ы) соответственно.

Всюду в дальнейшем предполагаем, что Ь Є £(Ы; Т), ker Ь = {0}, М Є С/(Ы; Т). Обозначим рь(М) = {^ Є С : (^Ь — М)-1 Є £(Т;Ы)}, Я^(М) = (^Ь — М)-1 Ь, Ь£(М) = Ь(^Ь — М)-1, 1+ = {а Є К : а > 0}, 1+ = 1+ и{0}, N0 = {0}иN.

Определение 1. Пусть р Є N0. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

(i) За Є 1 (а, +го) С рь(М);

(ii) ЗК > 0 У^. Є (а, +то) Уп Є N

К

та^К^М))^^), И(ІІ(М))"»'+1>Иг(^)} « (/< — а)„(р+н;

О

(iii) существует плотный в Т линеал Т такой, что

||М(,<Ь — М)-1(Ь^(М))р+1/|^ < / V/ ЄТ

при любом ^ Є (а, +го);

(іу) для любого ^ Є (а, +то)

К

||(я£(М))р+1(мь — МГЧи<та> « (/< _ а)р+г.

Эквивалентность этого более простого определения сильной (Ь,р)-радиаль-ности и того, которое было использовано в [5], доказана в [6].

Обозначим через Ы0 (Т0) ядро кег(Я^(М))р+1 (кег(Ь^(М))р+1), а через Ы1 (Т1) — замыкание линеала іш(Я^(М))р+1 (іш(Ь^(М))р+1) в норме пространства Ы (Т). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на Д(Мк) = Ык П £(М) (Ык), к = 0,1.

Теорема 1. [5] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) Ы = Ы0 ФЫ1, Т = Т0 ФТ1;

(ii) проектор вдоль Ы0 на Ы1 (вдоль Т0 на Т1) имеет вид

Р = з- Шп (мД^(М))р+1, (д = 5- 1ш (^(М))»«);

(iii) Ьк Є £(Ык; Тк), Мк Є С/(Ык; Тк), к = 0,1;

(іу) существует оператор Ь-1 Є £(Т1; Ы1).

Пусть оператор Ф Є £(С([—г, 0]; Ы); Т). Для эволюционного уравнения с запаздыванием

Ьй(£) = Ми(£) + Фм4, і ^ 0, (5)

в случае кег Ь = {0} вместо традиционной задачи Коши рассмотрим задачу

Ри(Ь) = к(Ь), Ь € [—г, 0], (6)

где к € С ([—г, 0]; Ы:). Она является аналогом обобщенной задачи Шоуолтера для уравнений без запаздывания [7; 8] ив приложениях для вырожденных эволюционных уравнений возникает естественным образом, в чем можно убедиться на примере рассматриваемой модели. При этом необходимым является условие С ([—г, 0]; Ы0) С кегФ, означающее, что уравнение (5) не содержит запаздывания для функции (I — Р)и(Ь).

Функцию и € С :([0; +то); Ы) П С ([—г; +то); Ы) назовем решением задачи (5), (6), если и(Ь) € ^шМ для всех Ь > 0 и и удовлетворяет равенствам (5), (6).

Теорема 2. [3; 4] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор Ф €

С(С([—г, 0];Ы); Т), С([—г, 0];Ы0) С кегФ, к € Ср+1 ([—г, 0];Ы1), к(к)(0) € аошМ,

к(к+1)(0) = Ь-1М1к(к)(0) + Ь-1дФк(к), к = 0,1,... ,р. (7)

Тогда существует единственное решение и € С ([—г, +то); Ы) П С 1([0, +то); Ы) задачи (5), (6).

3. Условия разрешимости начально-краевой задачи

Воспользуемся теоремой 2 для того, чтобы исследовать разрешимость задачи (1)-(4). Для этого, выбрав подходящим образом пространства Ы, Т и операторы Ь, М, Ф, редуцируем задачу (1)-(4) к задаче (5), (6).

Обозначим Ь2 = (Ь2(П))га, Н1 = (Н 1(П))га, Н2 = (Н2(П))га. Замыкание линеала С = {ш € (С0°(П))га : V ■ ш = 0} по норме пространства Ь2 обозначим через Н2, а по норме Н1 — через Н. Кроме того, будем использовать обозначение Н2 = Н П Н2. Имеем представление Ь2 = Н2 ® Нп, где Нп — ортогональное дополнение к Н2. Обозначим через П : Ь2 ^ Нп ассоциированный с этим представлением ортопроектор, Е = I — П.

Уравнение несжимаемости (4) заменим более общим уравнением

Пи(-,Ь) = 0, Ь € [0, +то). (8)

Действительно, если и — достаточно гладкая функция, то из Пи = 0 следует равенство (4). В противном случае в силу (8) и является пределом в смысле Ь2 гладких функций, удовлетворяющих условию (4).

Обозначим через А = Еdiag{Д,..., Д} оператор А € С /(Нст) с областью определения Н?а. Известно, что этот оператор имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр а(А), сгущающийся только на —то

[9].

Пусть и € Н1, тогда формулой Дш = VДш — (и ■ V)w — (ш ■ V)U задан

оператор Д € С(Н2; Ь2).

Учитывая уравнение (8), положим Ы = Н2а х Нп, Т = Ь2 = Н2 х Нп. Тогда операторы, задающие систему (2)-(4) в виде уравнения (5), имеют вид

г _ ( I — хА о \ Л/Г _ ( ЕД О \ , ,

Ь = ^ —хПД о ) ,М = у ПД — I ) € С(Ы;

= (EJut,njut) для vt = (ut,rt) є C([ r,0];U), где

о

(Jut)(x) = J K(s)Aut(x, s)d^(s).

-r

Замечание І. Поскольку функция r задает градиент давления, то она ищется как функция от t со значениями в подпространстве градиентных функций Нп.

Теорема 3. Пусть х = 0, х-1 є a(A), ^ : [_r, 0] ^ R — монотонно возраста-

ющая функция ограниченной вариации, K : [_r, 0] ^ R, h є C 1([_r, 0]; H;2),

о

J |K(s)|2d^(s) < +to, (9)

-r

о

dh f (1 _ xEA)—(■, 0) = EDh(-, 0)+ / K(s)EAh(x, s)d^(s). (10)

-r

Тогда существует единственное решение u є C([—r, +to); H2) П C 1([0, +to); ), r є C([_r, +to); H) П C 1([0, +to); H)

задачи (1)-(3), (8).

Доказательство. В работе [10] показано, что в условиях данной теоремы оператор M сильно (L, 0)-радиален, при этом

I O \ Q = / I O

xnA(1 _ xA)-1ED + nD OJ , Q V _xnA(1 _ xA)-1 O

Используя монотонное возрастание неравенство Гёльдера для соответствующего функции ^ интеграла Стилтьеса и условие (9), нетрудно показать, что Ф € £(С ([—г, 0]; и); Т). В силу условий теоремы имеем С ([—г, 0]; Ы0) = С ([—г, 0]; {0} х Нп) С кегФ. Условие (10) означает выполнение условий (7) при р = 0 в теореме 2, в силу которой и справедливо данное утверждение. □

Список литературы

1. Осколков, А. П. К теории жидкостей Фойгта / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ АН СССР. — 1980. — Т. 96. — С. 233-236.

2. Осколков, А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1988. — Т. 179. — С.126-164.

3. Fedorov, V. E. On solvability of some classes of Sobolev type equation with delay / V. E. Fedorov, E. A. Omelchenko // Functional Differential Equations. — 2011. — Vol. 18, № 3-4. — P. 187-199.

4. Фёдоров, В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Фёдоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, № 2. — C. 418-429.

5. Фёдоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Фёдоров // Алгебра и анализ. — 2000. — № 12. — С. 173-200.

6. Фёдоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Фёдоров // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — № 20 (158). — С. 12-19.

7. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galperin type / R. E. Showalter // Pacific J. Math. — 1963. — Vol. 31. — P. 787-793.

8. Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана / Г. И. Марчук. — Л. : Гидрометеоиздат, 1974. — 304 с.

9. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М. : Физматлит, 1961. — 204 с.

10. Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения / Н. Д. Иванова, В. Е. Фёдоров, К. М. Комарова // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2012. — Математика. Механика. Информатика. Вып. 15. — № 26 (280). — С. 49-70.