CC BY
39
4. Smyshlyaev S. V. Perfectly Balanced Boolean Functions and Golic Conjecture // J. Cryptology. 2012. No. 25(3). P. 464-483.
УДК 519.7
О РАЗЛОЖЕНИИ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В СУММУ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1
Н. Н. Токарева
Булева функция от чётного числа переменных, максимально удалённая от класса всех аффинных функций, называется бент-функцией. В работах [1, 2] исследована связь между вопросом о числе бент-функций и проблемой разложения произвольной булевой функции в сумму двух бент-функций. Была представлена серия гипотез, одна из которых заключается в том, что каждую булеву функцию от n переменных степени не больше n/2 можно представить в виде суммы двух бент-функций от n переменных. В [2] с помощью компьютера гипотеза проверена для малых значений n ^ 6.
В 2011 г. Л. Ку и С. Ли [3] разобрали случай малых n аналитически. В общем случае они доказали, что в виде суммы двух бент-функций может быть представлена любая квадратичная булева функция, любая бент-функция Мак-Фарланда, любая функция частичного расщепления (partial spread function).
В данной работе доказан ослабленный вариант гипотезы.
Теорема 1. Любая булева функция от n переменных степени d, где d ^ n/2, n чётно, может быть представлена в виде суммы не более чем 2 ( ; ) бент-функций
,b,
от n переменных, где b — наименьшее число, b ^ d, такое, что n делится на 2b.
Заметим, что разложение, указанное в теореме, можно провести с помощью только бент-функций Мак-Фарланда.
ЛИТЕРАТУРА
1. Токарева Н. Н. Гипотезы о числе бент-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2011. №4. С. 21-23.
2. Tokareva N. On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypotheses // Adv. in Mathematics of Communications (AMC). 2011. V. 5. No. 4. P. 609-621.
3. Qu L. and Li C. Representing a Boolean function as the sum of two Bent functions // Discrete Applied Mathematics. 2012 (to appear).
УДК 681.03
ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В КРИПТОГРАФИИ
М. Э. Тужилин
Подсчёт числа латинских квадратов порядка п — сложная комбинаторная задача, их точное число известно только для п от 1 до 11 [1].
Латинские квадраты находят применение в комбинаторике, алгебре (изучение латинских квадратов тесно связано с изучением квазигрупп), теории кодов, статистике и многих других областях [2].
1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проекты 10-01-00424, 11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г. (гос. контракт 02.740.11.0429).
Впервые в криптографии латинский квадрат был применён в шифре И. Трите-мия [3]. Значение латинских квадратов для криптографии иллюстрирует теорема Шеннона, в соответствии с которой единственными совершенными шифрами являются шифры гаммирования, наложение гаммы в которых определяется латинским квадратом [4]. Попытка обобщить подход Шеннона и ввести понятие «сильно совершенный шифр» предпринята в [5].
Краткий обзор результатов по применению латинских квадратов для построения схем аутентификации, шифрования и однонаправленных функций содержится в [6].
В ряду примеров применения латинских квадратов для построения поточных шифров необходимо выделить предложенный в 2005 г. шифр Edon80 [7], который дошёл до третьего тура конкурса ESTREAM. Разработчики шифра из 576 существующих латинских квадратов 4-го порядка тщательно выбрали 4, на основе которых в криптосхеме строится конвейер из 80 латинских квадратов, он используется для выработки гаммы.
При разработке блочного шифра IDEA [8] авторы использовали три квазигруппы, соответствующие операциям сложения по модулю 2, сложения по модулю 216 и умножения по модулю 216 + 1. При этом высокие криптографические свойства шифра они обосновали существованием единственной изотопии между двумя из используемых квазигрупп.
Латинские квадраты являются привлекательным средством для построения схем разделения секрета. Секретом является латинский квадрат, а все участники схемы получают его частично заполненным (он называется частичным). Задача распознавания того, может ли частичный квадрат быть однозначно дополнен до латинского, NP-полна. Наряду с большим количеством латинских квадратов это обстоятельство и определяет стойкость схемы [9]. Предложенная схема может быть усовершенствована [10]. В свою очередь, на основе таких схем разделения секрета можно строить и криптографические хеш-функции [11]. Другой пример построения криптографической хеш-функции на основе случайного латинского квадрата приведён в [12].
Разработанное в 2008 г. для участия в конкурсе SHA-3 на новый американский стандарт хеш-функции семейство Edon-R [13] не прошло во второй тур, но интересно тем, что в основе конструкции лежит построение и использование некоммутативной неассоциативной нелинейной квазигруппы.
В [14] предложен протокол с нулевым разглашением. Каждый участник имеет открытый ключ, которым являются два эквивалентных латинских квадрата. Секретным ключом является изотопия между ними.
В заключение отметим, что о растущем внимании к теме свидетельствует появление обзоров [6, 15].
ЛИТЕРАТУРА
1. McKay B. D. and Wanless I. M. On the number of Latin Squares // Ann. Combin. 2005. No. 9. P. 335-344.
2. Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.
3. Trithemius J. Polygraphiae. 1518.
4. Shannon C. Codes, bent functions and permutations suitable for DES-like cryptosystems // Designs, Codes and Cryptography. 1998. No. 15(2). P. 125-156.
5. Massey J. L., Maurer U., and Wang M. Non-Expanding, Key-Minimal, Robustly-Perfect, Linear and Bilinear Ciphers // Adv. Cryptology — EUROCRYPT’87. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1988. P. 237-247.
6. Глухов М. М. О применениях квазигрупп в криптографии // Прикладная дискретная математика. 2008. №2(2). C. 28-32.
7. Gligoroski D., Markovski S., Kocarev L., and Gusev M. Edon80 // http://www.ecrypt.eu. org/stream/edon80p3.html
8. Lai X. and Massey J. A Proposal for a New Block Encryption Standard // Adv. Cryptology — EUROCRYPT’90. New York: Springer Verlag, 1991. P. 55-70.
9. Cooper J., Donovan D., and Seberry J. Secret Sharing Schemes Arising From Latin Squares // Bulletin of the ICA. 1994. V. 12. P. 33-43.
10. Chum C. S. and Zhang X. The Latin squares and the secret sharing schemes // Groups Complex. Cryptol. 2010. V. 2. P. 175-202.
11. Chum C.S. Hash functions, Latin squares and secret sharing schemes. New York: ProQuest, 2010.
12. Pal S. K., Bhardwaj D., Kumar R., and Bhatia V. A New Cryptographic Hash Function based on Latin Squares and Non-linear Transformations // Adv. Comput. Conf. IACC, 2009. P. 862-867.
13. Gligoroski D., 0degard R. S., Mihova M., et al. Cryptographic Hash Function Edon-R // Proc. IWSCN, 2009. P. 1-9.
14. Denes J. and Denes T. Non-associative algebraic system in cryptology. Protection against “meet in the middle” attack // Quasigroups and Related Systems. 2001. No. 8. P. 7-14.
15. Shcherbacov V. A. Quasigroups in cryptology // Comput. Sci. J. Moldova. 2009. V. 17. No. 2(50). P. 193-228.
УДК 519.7
СВОЙСТВО КРАТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ КАСАМИ1
А. А. Фролова
Одно из криптографических свойств булевой функции — это высокая нелинейность. Булевы функции, обладающие экстремальной нелинейностью, при чётном числе переменных называются бент-функциями. Описание класса всех бент-функций от произвольного числа переменных остается открытой проблемой, однако известны некоторые конструкции бент-функций [1]. Одна из них — алгебраическая конструкция Касами. Булева функция от n переменных рассматривается как функция над конечным полем GF(2n). Любая булева функция f от n переменных может быть представлена с помощью функции следа tr(в) : GF(2n) ^ GF(2) следующим образом (см. подробнее [2]):
2n-l n-1
f (в) = tr( ajвj), где aj E GF(2n), а tr(e) = в2 для любого в E GF(2n).
j=0 i=0
Определение 1. Булева функция от n переменных (n чётное) вида f (в) = = ^(Авк) называется булевой функцией Касами, если выполнено условие
1) k = 22d — 2d + 1, где (n, d) = 1, 0 < d < n.
Если к тому же выполнено условие
2) А не принадлежит множеству {73 : 7 E GF(2n)},
то f является бент-функцией и называется бент-функцией Касами.
1 Исследование выполнено при поддержке гранта РФФИ, проект №11-01-00997.
