Научная статья на тему 'Латинские квадраты и их применение в криптографии'

Латинские квадраты и их применение в криптографии Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
240
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тужилин Михаил Эльевич

This survey contains examples of applications of Latin squares in cryptography.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Latin squares and their applications in cryptography

This survey contains examples of applications of Latin squares in cryptography.

Текст научной работы на тему «Латинские квадраты и их применение в криптографии»

4. Smyshlyaev S. V. Perfectly Balanced Boolean Functions and Golic Conjecture // J. Cryptology. 2012. No. 25(3). P. 464-483.

УДК 519.7

О РАЗЛОЖЕНИИ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В СУММУ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

Н. Н. Токарева

Булева функция от чётного числа переменных, максимально удалённая от класса всех аффинных функций, называется бент-функцией. В работах [1, 2] исследована связь между вопросом о числе бент-функций и проблемой разложения произвольной булевой функции в сумму двух бент-функций. Была представлена серия гипотез, одна из которых заключается в том, что каждую булеву функцию от n переменных степени не больше n/2 можно представить в виде суммы двух бент-функций от n переменных. В [2] с помощью компьютера гипотеза проверена для малых значений n ^ 6.

В 2011 г. Л. Ку и С. Ли [3] разобрали случай малых n аналитически. В общем случае они доказали, что в виде суммы двух бент-функций может быть представлена любая квадратичная булева функция, любая бент-функция Мак-Фарланда, любая функция частичного расщепления (partial spread function).

В данной работе доказан ослабленный вариант гипотезы.

Теорема 1. Любая булева функция от n переменных степени d, где d ^ n/2, n чётно, может быть представлена в виде суммы не более чем 2 ( ; ) бент-функций

,b,

от n переменных, где b — наименьшее число, b ^ d, такое, что n делится на 2b.

Заметим, что разложение, указанное в теореме, можно провести с помощью только бент-функций Мак-Фарланда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Токарева Н. Н. Гипотезы о числе бент-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2011. №4. С. 21-23.

2. Tokareva N. On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypotheses // Adv. in Mathematics of Communications (AMC). 2011. V. 5. No. 4. P. 609-621.

3. Qu L. and Li C. Representing a Boolean function as the sum of two Bent functions // Discrete Applied Mathematics. 2012 (to appear).

УДК 681.03

ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В КРИПТОГРАФИИ

М. Э. Тужилин

Подсчёт числа латинских квадратов порядка п — сложная комбинаторная задача, их точное число известно только для п от 1 до 11 [1].

Латинские квадраты находят применение в комбинаторике, алгебре (изучение латинских квадратов тесно связано с изучением квазигрупп), теории кодов, статистике и многих других областях [2].

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проекты 10-01-00424, 11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г. (гос. контракт 02.740.11.0429).

Впервые в криптографии латинский квадрат был применён в шифре И. Трите-мия [3]. Значение латинских квадратов для криптографии иллюстрирует теорема Шеннона, в соответствии с которой единственными совершенными шифрами являются шифры гаммирования, наложение гаммы в которых определяется латинским квадратом [4]. Попытка обобщить подход Шеннона и ввести понятие «сильно совершенный шифр» предпринята в [5].

Краткий обзор результатов по применению латинских квадратов для построения схем аутентификации, шифрования и однонаправленных функций содержится в [6].

В ряду примеров применения латинских квадратов для построения поточных шифров необходимо выделить предложенный в 2005 г. шифр Edon80 [7], который дошёл до третьего тура конкурса ESTREAM. Разработчики шифра из 576 существующих латинских квадратов 4-го порядка тщательно выбрали 4, на основе которых в криптосхеме строится конвейер из 80 латинских квадратов, он используется для выработки гаммы.

При разработке блочного шифра IDEA [8] авторы использовали три квазигруппы, соответствующие операциям сложения по модулю 2, сложения по модулю 216 и умножения по модулю 216 + 1. При этом высокие криптографические свойства шифра они обосновали существованием единственной изотопии между двумя из используемых квазигрупп.

Латинские квадраты являются привлекательным средством для построения схем разделения секрета. Секретом является латинский квадрат, а все участники схемы получают его частично заполненным (он называется частичным). Задача распознавания того, может ли частичный квадрат быть однозначно дополнен до латинского, NP-полна. Наряду с большим количеством латинских квадратов это обстоятельство и определяет стойкость схемы [9]. Предложенная схема может быть усовершенствована [10]. В свою очередь, на основе таких схем разделения секрета можно строить и криптографические хеш-функции [11]. Другой пример построения криптографической хеш-функции на основе случайного латинского квадрата приведён в [12].

Разработанное в 2008 г. для участия в конкурсе SHA-3 на новый американский стандарт хеш-функции семейство Edon-R [13] не прошло во второй тур, но интересно тем, что в основе конструкции лежит построение и использование некоммутативной неассоциативной нелинейной квазигруппы.

В [14] предложен протокол с нулевым разглашением. Каждый участник имеет открытый ключ, которым являются два эквивалентных латинских квадрата. Секретным ключом является изотопия между ними.

В заключение отметим, что о растущем внимании к теме свидетельствует появление обзоров [6, 15].

ЛИТЕРАТУРА

1. McKay B. D. and Wanless I. M. On the number of Latin Squares // Ann. Combin. 2005. No. 9. P. 335-344.

2. Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.

3. Trithemius J. Polygraphiae. 1518.

4. Shannon C. Codes, bent functions and permutations suitable for DES-like cryptosystems // Designs, Codes and Cryptography. 1998. No. 15(2). P. 125-156.

5. Massey J. L., Maurer U., and Wang M. Non-Expanding, Key-Minimal, Robustly-Perfect, Linear and Bilinear Ciphers // Adv. Cryptology — EUROCRYPT’87. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1988. P. 237-247.

6. Глухов М. М. О применениях квазигрупп в криптографии // Прикладная дискретная математика. 2008. №2(2). C. 28-32.

7. Gligoroski D., Markovski S., Kocarev L., and Gusev M. Edon80 // http://www.ecrypt.eu. org/stream/edon80p3.html

8. Lai X. and Massey J. A Proposal for a New Block Encryption Standard // Adv. Cryptology — EUROCRYPT’90. New York: Springer Verlag, 1991. P. 55-70.

9. Cooper J., Donovan D., and Seberry J. Secret Sharing Schemes Arising From Latin Squares // Bulletin of the ICA. 1994. V. 12. P. 33-43.

10. Chum C. S. and Zhang X. The Latin squares and the secret sharing schemes // Groups Complex. Cryptol. 2010. V. 2. P. 175-202.

11. Chum C.S. Hash functions, Latin squares and secret sharing schemes. New York: ProQuest, 2010.

12. Pal S. K., Bhardwaj D., Kumar R., and Bhatia V. A New Cryptographic Hash Function based on Latin Squares and Non-linear Transformations // Adv. Comput. Conf. IACC, 2009. P. 862-867.

13. Gligoroski D., 0degard R. S., Mihova M., et al. Cryptographic Hash Function Edon-R // Proc. IWSCN, 2009. P. 1-9.

14. Denes J. and Denes T. Non-associative algebraic system in cryptology. Protection against “meet in the middle” attack // Quasigroups and Related Systems. 2001. No. 8. P. 7-14.

15. Shcherbacov V. A. Quasigroups in cryptology // Comput. Sci. J. Moldova. 2009. V. 17. No. 2(50). P. 193-228.

УДК 519.7

СВОЙСТВО КРАТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ КАСАМИ1

А. А. Фролова

Одно из криптографических свойств булевой функции — это высокая нелинейность. Булевы функции, обладающие экстремальной нелинейностью, при чётном числе переменных называются бент-функциями. Описание класса всех бент-функций от произвольного числа переменных остается открытой проблемой, однако известны некоторые конструкции бент-функций [1]. Одна из них — алгебраическая конструкция Касами. Булева функция от n переменных рассматривается как функция над конечным полем GF(2n). Любая булева функция f от n переменных может быть представлена с помощью функции следа tr(в) : GF(2n) ^ GF(2) следующим образом (см. подробнее [2]):

2n-l n-1

f (в) = tr( ajвj), где aj E GF(2n), а tr(e) = в2 для любого в E GF(2n).

j=0 i=0

Определение 1. Булева функция от n переменных (n чётное) вида f (в) = = ^(Авк) называется булевой функцией Касами, если выполнено условие

1) k = 22d — 2d + 1, где (n, d) = 1, 0 < d < n.

Если к тому же выполнено условие

2) А не принадлежит множеству {73 : 7 E GF(2n)},

то f является бент-функцией и называется бент-функцией Касами.

1 Исследование выполнено при поддержке гранта РФФИ, проект №11-01-00997.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.