CC BY
48
УДК 371.3+536.2
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
© В.Е. Иванов
Ключевые слова: эксперимент, комплекс, теплопроводность, программа, уравнение.
Разработана методика изучения процесса распространения тепла в металлическом стержне. Предложен экспериментальный метод решения уравнения линейной теплопроводности при заданных начальных и краевых условиях. Получены графики зависимости температуры стержня от координаты для различных моментов времени после начала эксперимента. Описаны методы обработки экспериментальных данных с помощью современных математических пакетов.
ВВЕДЕНИЕ
Изучая на лекции процесс теплопроводности в металлическом стержне, используют следующие традиционные приемы. Во-первых, решение физической задачи, полученное аналитическим путем, анализируется без применения демонстраций [1-4]. При этом ограничиваются качественным построением графиков зависимостей температуры от координаты при фиксированном времени и = и(хЛо), или температуры от времени при фиксированной координате и = и(х0,?). Во-вторых, ставят простую демонстрацию и в результате измерения температуры вдоль стержня судят о справедливости математического решения. В-третьих, процесс распространения тепла в стержне моделируют на компьютере. Кроме этого, в настоящее время для решения задач теплопроводности и визуализации конечного результата используют системы символьной математики, такие как: МаШешайса, МЛТЬЛБ, Мар1е [5, 6]. Применение каждого из этих методов изучения в отдельности не дает желаемого результата - ясного понимания студентами сущности процесса теплопроводности. Многолетняя практика преподавания в вузе показала, что эти методы изучения необходимо совместить.
В связи с этим цель настоящей работы заключалась в создании лабораторного компьютеризированного комплекса, позволяющего получить экспериментальным методом решение ряда краевых задач для определения температуры в металлическом стержне.
Внедрение лабораторного комплекса в учебный процесс позволило нам устранить недостатки каждого метода в отдельности и, таким образом, добиться лучшего понимания студентами изучаемого курса.
МЕТОДИКА
Для изучения процесса распространения тепла использовался стержень (рис. 1) из алюминиевого сплава марки АК5М2, который был укреплен на декоративной панели с помощью двух теплоизолирующих фланцев.
Рис. 1. Внешний вид исследуемого стержня
Для уменьшения потерь тепла через боковую поверхность он был помещен в пластиковую оболочку. Внутри стержня, в поперечном направлении, было установлено шестнадцать равномерно распределенных по длине терморезисторов (рис. 2), которые служили датчиками температуры. Крайние терморезисторы использовались для измерения температуры на торцах стержня, а остальные для регистрации распределения температуры вдоль стержня. Электрическая схема измерительной цепи каждого терморезистора была построена на основе преобразования сопротивления в напряжение [7]. Все терморезисторы были проградуированы. В результате градуировки каждый из шестнадцати каналов регистрации позволял измерять температуру в диапазоне от 0 до 100 °С с абсолютной погрешностью АТ = 0,25 К.
Электрическая схема установки была выполнена методом навесного монтажа с использованием стандартных электрических разъемов. Внешний интерфейс связи обеспечивался стандартными компьютерными кабелями. Электрические сигналы, снимаемые с резисторов, поступали на вход шестнадцатиканального мультиплексора и далее на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Управление мультиплексором и АЦП осуществлялось с помощью компьютера. Для ввода и вывода информации использовался параллельный LPT порт (рис. 2).
Рис. 2. Структурная схема лабораторного комплекса: 1 - алюминиевый стержень; 2 - нагреватель; 3 - охладитель
Начальные и краевые условия задавались нагревателем и охладителем, которые были прикреплены к торцам стержня (рис. 2). В качестве нагревателя использовалась галогенная лампа мощностью 50 Вт. Лампа была расположена в металлическом кожухе в непосредственной близости от левого торца стержня. Нагреватель играл роль теплового источника, создающего постоянный тепловой поток регулируемой мощности. Охладителем служил массивный алюминиевый радиатор, охлаждаемый вентилятором. Радиатор имел непосредственный тепловой контакт с правым торцом стержня. Кроме этого, конструктивно предусматривался режим теплоизоляции правого конца стержня. В качестве теплоизолятора использовался кожух, изготовленный из пенопласта.
Для функционирования лабораторного комплекса и обработки считываемой информации была разработана программа, которая состоит из одного исполняемого файла (91,5 кБ) и не требует инсталяции. Ее интерфейс прост и понятен. Программа позволяет записывать и хранить данные на магнитных носителях, а также производить их обработку с помощью современных математических пакетов. В процессе работы программы информация в режиме реального времени отображалась на экране монитора.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Данный лабораторный комплекс позволяет через заданные промежутки времени отображать на экране монитора результат измерения температуры в виде точек, которым соответствуют шестнадцать пар значений координата-температура. Для большей наглядности программа предусматривает аппроксимацию экспериментальных данных квадратичной параболой, коэффициенты которой рассчитываются методом наименьших квадратов. Это позволяет наблюдать качественные изменения кривых, полученных в разные моменты времени: начало процесса и(х,0 ) ^ ход процесса и(х,1) ^ 0 ^выход на стационарный режим и,(х,г) = 0 (рис. 3).
Данный лабораторный комплекс можно использовать не только для демонстрации процессов теплопроводности, но и для решения конкретных физических задач. В настоящей работе предложен экспериментальный метод решения уравнения параболического типа, описывающего процесс линейной теплопроводности в стержне конечной длины. Имеем следующую краевую задачу.
Рис. 3. Интерфейс рабочей программы, позволяющей строить графики зависимости температуры от координаты через заданные интервалы времени. Расположение графиков снизу вверх соответствует увеличению времени
Найти температуру стержня U = U(x,t), удовлетворяющую уравнению:
V(x, t) =
— + Z a „ • exp
2 n=1
Ut = a2Uxx -H(U -U0), 0 < x < l, t > 0
x exp (- Ht),
и условиям:
и(х,0 ) = /(х), 0 < х < І,
их(0,г) = Є,, их(І,г) = , г >0,
где а2 - коэффициент температуропроводности стержня, Н - коэффициент пропорциональности, учитывающий потери тепла через боковую поверхность стержня, и0 - температура окружающей среды, І - длина стержня, /(х) - начальное распределение температуры в стержне, Q1 и Q2 - постоянные, характеризующие величину теплового потока на левом и правом концах стержня соответственно.
Аналитическое решение поставленной задачи обычно представляют в виде суммы функций:
и(х,г)=и0+Ш(х)+У(х,г).
В процессе выполнения эксперимента были воспроизведены условия, соответствующие поставленной краевой задаче, и получены экспериментальные данные (рис. 3).
ОБСУЖДЕНИЕ
Для получения количественных результатов экспериментальные данные были обработаны с помощью математического пакета OriginPro. На основании произведенных вычислений за начало отсчета времени было принято г = 20 мин. Соответствующие этому моменту времени распределение температуры в стержне было представлено в виде квадратичной параболы.
Таким образом, дополнительные условия краевой задачи имеют вид: начальное
и(х,0 ) = А ■ х2 + В ■ х + С, 0 < х < І,
где А = 465,9493 К/м2, В = -250,61836 К/м, С = 75,93013 К, и краевые
их(0,г) = =-250Км, их(І,г)=Q2 =-2,5 К/м, г>0.
С помощью метода Фурье было найдено аналитическое решение поставленной задачи. Оно имеет вид:
и(х, г) = и 0 + W (х) + У (х, г),
где
W(x)
a yfW ^2 a
—=■ Q1 • sh-----x +---=-------=
VH a VH VH
Q 2- Q1 • л^т‘,ЛГ
• ch-x,
• sh-1
aa
= — • J (a • x2 + B • x + C - U0 - W(x))• cos ,nnxdx.
l 0 l
Для того чтобы вычислить коэффициенты уравнения H и a2, необходимо наложить график аналитического решения на экспериментальные точки и, варьируя коэффициенты уравнения, добиться наилучшего совпадения теории и эксперимента. Для проведения соответствующих расчетов использовалась система символьной математики Maple. Алгоритм вычислений состоял в следующем. В начале программы были введены исходные параметры задачи: длина стержня l, температура окружающей среды U0, краевые условия Ux(0,t) = Q! и Ux(l,t) = Q2 и т. д. Затем вычислены интегралы, определяющие коэффициенты разложения a0 и an. Далее были получены выражения для функций W(x) и V(x,t). Функция V(x,t) представлена в виде суммы ряда, составленного из частных решений задачи. Дополнительно были произведены оценки величины остатка ряда. Вычисления показали, что данный ряд быстро убывает. При этом для точности вычислений 0,1 % достаточно учесть первые пять членов ряда. Результаты вычислений были представлены в виде графиков. На рис. 4 представлены экспериментальные данные, а также графики функции U(x,t) для различных моментов времени. Видно, что теоретические кривые не противоречат экспериментальным данным. В результате аппроксимации были получены следующие результаты: коэффициент пропорциональности, характеризующий теплообмен по боковой поверхности стержня равен H = 9,63-Ш-4 с-1, а коэффициент температуропроводности a2 = 4,914-10-5 м2/с. Дополнительно был выполнен эксперимент, в результате которого независимым методом получено значение коэффициента H = 9,626-Ю^4 с-1. Относительная погрешность 2 %.
Таким образом, в результате проделанной работы создан демонстрационный лабораторный комплекс, с помощью которого можно решать реальные физические задачи о распространении тепла в стержне конечной длины, а также наглядно демонстрировать процессы линейной теплопроводности. Так как с помощью данного комплекса изучаются реальные тепловые процессы, то реализуется возможность наглядной демонстрации отличия математической модели от реального процесса.
Применение компьютера в демонстрационном лекционном эксперименте позволило интенсифицировать процесс обучения, сделало его более интересным и эффективным. При изучении темы «Уравнение теплопроводности» отмечено повышение качества и уровня знаний студентов. Решая задачу теплопроводности на компьютере, мы добились высокой степени понимания студентами физического смысла решения дифференциального уравнения. Все это в совокупности способствовало всестороннему изучению и глубокому пониманию сущности процесса теплопроводности.
2 _ 2 „ 2
n п at
x
l
a
a
X, м
Рис. 4. Результаты сопоставления экспериментальных данных (о) и теоретических кривых (сплошная линия) для различных моментов времени: 1 - г = 0 с; 2 - г = 900 с; 3 - г = 1800 с; 4 - г ^ да
Таким образом, компьютеризированные комплексы целесообразно использовать в процессе преподавания различных физических курсов. Компьютер, как средство обучения физике, способствует разработке новых нетрадиционных форм проведения лекционных, семинарских и практических занятий. В частности, экспериментальный комплекс может составить основу лабораторной работы по определению коэффициентов тепло- и температуропроводности металлов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. Наука, 1977. 736 с.
2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 286 с.
3. Левин В.И. Методы математической физики. М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. 243 с.
4. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. 688 с.
5. Иванов В.Е., Васильев В.В. Экспериментальное решение уравнения линейной теплопроводности: тез. докл. // Актуальные вопросы преподавания физико-технических дисциплин: материалы VII Всерос. науч.-практ. конф. Пенза: ПГПУ, 2005. С. 61-63.
6. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
7. Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин: (Измерительные преобразователи): учеб. пособие для вузов. Л.: Энергоатомиздат, 1983. 320 с.
Поступила в редакцию 2 сентября 2008 г.
Ivanov V.E. Laboratory complex for studying heat diffusion. The method of investigation of heat diffusion in metal rod is developed. The experimental technique of solution of the linear heat diffusion equation at the set temporal and boundary conditions is suggested. Temperature distribution along the rod at different time moments is obtained. Furthermore, we describe the methods of treatment of experimental data using modern mathematical computer programs.
Key words: experiment, complex, heat conductivity, program, equation.
LITERATURE
1. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M. Nauka, 1977. 736 p.
2. Aramanovich I.G., Levin V.I. Equations of mathematical physics. M.: Nauka, 1969. 286 p.
3. Levin V.I. Method of mathematical physics. M.: UCHPEDGIZ, 1960.243 p.
4. Budak B.M., Samarsky A.A., Tikhonov A.N. Collection of problems on mathematical physics. M.: Nauka, 1972.688 p.
5. Ivanov V.E., Vasilev V.V. Experimental decision of the equation of linear heat conductivity: Theses of Reports // Topical Issues of Physicotech-nical Disciplines Teaching: Proceedings of VII All-Russian Scientific-practical Conference. Penza: PSPU, 2005. P. 61-63.
6. Goloskokov D.P. Equations of mathematical physics. Decision of problems in the Maple system: Textbook for Higher Educational Establishments. SPb.: Piter, 2004.539 p.
7. Levshina E.S., Novitsky P.V. Electric measurement of physical quantities: (Measuring converters): Textbook for Higher Educational Establishments. L.: Energoatomizdat, 1983.320 p.
