Лаборатория компьютерного моделирования по дисциплине «Электрические и электронные аппараты» Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛАБОРАТОРИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В КУРСЕ «ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОННЫЕ АППАРАТЫ»

Н.А. Мирошин, В.И. Соловьев

Рассмотрены возможности реализации математического моделирования физических процессов, протекающих в электрических аппаратах, с помощью системы компьютерной математики Mathematica. В качестве примера приведена модель, предназначенная для расчета магнитных цепей электрических аппаратов постоянного тока.

Одним из направлений работы кафедры электротехники и прецизионных электромеханических систем является внедрение компьютерных технологий в учебный процесс [1]. В силу известных причин актуальной задачей является создание лабораторий компьютерного моделирования, в частности, в курсе «Электрические и электронные аппараты».

Для создания математических моделей используются цифровые или аналоговые вычислительные устройства. Исторически первыми для этих целей использовались аналоговые устройства, достоинствами которых по сравнению с цифровыми устройствами являются простота модели и самого процесса моделирования, а также наглядность результатов при непрерывном воспроизведении заданной математической зависимости.

Широко распространенная программа Electronics Workbench, работающая на платформе Windows, позволяет проводить моделирование различных устройств электромеханики и автоматики с сохранением наглядности и простоты аналоговых моделирующих устройств [2]. Однако недостатки, присущие аналоговой технике, эта программа, к сожалению, также сохраняет.

В настоящее время на стыке математики и информатики сформировалось новое направление - компьютерная математика. Это совокупность аппаратных и программных средств, обеспечивающая решение на компьютерах математических задач практически любых классов и любой сложности. Основным программным средством компьютерной математики стали системы компьютерной математики (СКМ), ориентированные на решение как численных, так и аналитических задач. Одной из самых мощных СКМ является Mathematica.

Дифференциальные уравнения являются основой при решении задач моделирования, особенно в динамике. Немногие математические системы имеют реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений. Система Mathematica имеет средства как для символьного, так и для численного решения дифференциальных уравнений и их систем [3]. Решение большинства математических задач в системе может проводиться в диалоговом режиме без традиционного программирования.

Компьютерное моделирование предоставляет возможность фронтального метода проведения лабораторных работ и многовариантность заданий.

Далее приведен перечень лабораторных работ по электромеханическим электрическим аппаратам, в которых математические модели выполнены средствами СКМ Mathematica 4.

• Расчет магнитных цепей электрических аппаратов постоянного тока. Трудность расчета магнитных цепей, прежде всего, обусловлена нелинейной зависимостью магнитной индукции от напряженности магнитного поля. В инженерной практике применяют ряд упрощенных методов, наиболее распространенными среди которых являются методы расчета по участкам, по коэффициентам рассеяния и графоаналитический метод. Они основаны на применении метода Эйлера (численное интегрирование). Основное допущение метода Эйлера - постоянство производной искомой функции в пределах некоторого конечного участка. В СКМ для численного решения дифференциальных уравнений используется функция NDSolve[eqns, y, {x,

xmin, xmax}]. Вывод результатов решения дифференциальных уравнений в графической форме выполняет функция Plot[f, {x, xmin, xmax}].

• Расчет тягового усилия электромагнита. Расчет проводится с учетом зависимости индуктивности обмотки от величины воздушного зазора, меняющейся при движении якоря. Зависимость индуктивности обмотки с сердечником от величины протекающего по ней тока, характерная для систем с глубоким насыщением магнито-провода, не рассматривается.

• Расчет процесса включения электромагнита с насыщенной магнитной системой.

• Моделирование электродинамических механизмов.

• Расчет динамических характеристик индукционно-динамических механизмов.

• Расчет нагрева цилиндрической катушки электрического аппарата. Рассматривается установившийся режим. Определение величины и координаты максимальной температуры выполняется с помощью функции FindMinimum[-f, {x, x0}].

• Моделирование вибрации включающихся контактов.

В качестве примера рассмотрим модель магнитной системы электрического аппарата постоянного тока.

Зависимость магнитного сопротивления стали магнитопровода от величины магнитного потока вычисляется с помощью функции R=Fit[spis, {Ф[х]Л8}, ФЭД].

График функции R=f^) представлен на рис.1. При построении этого графика использована функция Show.

R, 1/ (м*Гн)

аУкз-

3.5х1П■

3x10"

2.5x10'

2xl0J

1. 5x10"

1x1 ¡.V

5х1[;

0.0002 0.0004 0.0006 0.000! Рис. 1. Магнитное сопротивление стали

Ф, вб

Решением системы нелинейных дифференциальных уравнений для разности магнитных потенциалов и магнитного потока выполняется с помощью функции

NDSolve [{U'[x] = Iw/h - ФИ*2*^ Ф'ЭД = -U[x]*g, Ф[Ц = Ф5, U[h] = Uh}, {U, Ф}, {x, 0, h}]

{{U—> InterpolatingFunction [{{0.,0.1}},<>], Ф— InterpolatingFunction

[{{0,0.1}},<>]}}

График зависимости магнитных потенциалов U=U(x) представлен на рис.2. gu1 = Plot[%, {x, 0., 0.1}, PlotStyle — {Thickness [0.008], Hue[0.]},

Plotrange — Automatic, AxesLabel — {"x^", "U,A"}, GridLines — Automatic, DefaultFont — {"Courier", 14.}]; График зависимости магнитного потока Ф=Ф(х) представлен на рис. 3. gu1 = Plot[%, {x, 0., 0.1}, PlotStyle — {Thickness [0.007], Hue[0.]}, Plotrange — Automatic, AxesLabel — {'Чм", "Ф,Вб"}, GridLines — Automatic,DefaultFont — {"Courier", 14.}];

0.000575

0,00055

0.000525

0.000475'

0.00045-

0.02 0.04 0.0G 0.08 0.1

Рис. 2. Разность магнитных потенциалов

Рис. 3. Магнитный поток

Относительная погрешность вычисления в рассмотренном примере не превышает 0,01%.

Анализ современных средств математического моделирования позволяет сделать вывод о целесообразности использования программных средств систем компьютерной математики. Опыт практического моделирования показывает, что пакет программ МаШешайса 4 обеспечивает разработку моделей электроиеханических и электрических аппаратов и протекающих в них процессах с приемлемой для инженерных расчетов погрешностью.

Литература

1. Денисов К.М., Томасов В.С., Усольцев А.А. Использование компьютерных технологий в учебных курсах на кафедре электротехники и прецизионных электромеханических систем. / Современные образовательные технологии. Сб. статей под редакцией В Н. Васильева, Ю Н. Колесникова. СПбГИТМО(ТУ), 2000. С. 79-87.

2. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. М.: «СОЛОН - Р», 2001.

3. Дьяконов В.П. Mathematica 4 c пакетами приложений. М.: Нолидж, 2000.