CC BY
20УДК 519.717
ц2,1)-раскраска предраскрашенных кактусов 1
П.А. Головач
Ь(2,1)-раскраска предраскрашенного графа С это функция /, действующая из множества вершин V в множество неотрицательных целых чисел, такая, что функция имеет заданные значения для некоторых вершин графа, и если ¿(а,Ь) = 1, то |/(а) - /(Ь)| > 2, а если ё(а, Ь) = 2, то ¡/(а) - /(6)| > 1 для всех вершин а и Ь, где й(а, Ь) — расстояние между вершинами. Ь(2,1)-раскраска / называется к-Ь(2,1)-раскраской, если /(и) < к для каждой вершины и. Такие раскраски активно изучаются, поскольку они тесно связаны с задачей назначения частот. Мы исследуем 1,(2,1)-раскраски для кактусов. Главный результат заключается в том, что задача существования к-Ь(2,1)-раскраски для предраскрашенных графов оказывается МР-полной в сильном смысле для треугольных кактусов. Из этого немедленно следует, что задача существования к-Ь(2,1)-раскраски для предраскрашенных графов является ИР-полной в сильном смысле для частичных /с-деревьев при к >2. Отметим, что задача для деревьев принадлежит классу Р. Мы также даём некоторые оценки для 2,(2,1)-хроматического числа кактусов, а также описываем алгоритм, который проверяет существование к-Ь(2,1)-раскраски для треугольных кактусов.
1. Введение
Исследование Ь{2,1)-раскрасок обусловлено их тесной связью с так называемой задачей назначения частот. Задача состоит в том, чтобы назначить радиочастоты передатчикам, находящимся на некоторой территории, так, чтобы избежать помех, вызванных интерференцией.
1Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №01-01-00235
© Головач П.А., 2003.
Для решения подобных задач оказалось очень удобным использовать модели, построенные с помощью графов. С такими подходами можно ознакомиться в обзоре [11]. Мы рассмотрим одну из таких моделей.
Как правило, частоты для передатчиков не выбираются произвольным образом из некоторого интервала, а берутся из конечного дискретного набора частот, элементы которого называют каналами. Соответственно, мы можем рассмотреть задачу назначения каналов. Эта задача тесно связана с раскрасками графов. Вершины графов соответствуют передатчикам, а рёбра — ближайшим передатчикам. Каналы обозначаются неотрицательными целыми числами и соответствуют цветам.
Задача о Ь(2,1)-раскраске была введена в [9]. Согласно условиям задачи передатчики, которые находятся близко (на расстоянии 2 в графе) должны использовать различные каналы, а передатчики, которые находятся очень близко (на расстоянии 1 в графе), должны получить каналы с номерами различающимися, по крайней мере, на 2. Задача заключается в том, чтобы минимизировать диапазон — разность между наибольшим и наименьшим номером канала.
Более точно, пусть С = (V, Е) — простой неориентированный граф. Ь(2,1)-раскраска (? это функция /: V -4 {0,1,...} такая, что если ¿(а,Ъ) = 1, то ¡/(а) - /(Ь)| > 2, а если с1(а,Ь) = 2, то [/(а) - /(Ь)| > 1 для всех вершин а и Ь, где ¿(а,Ь) расстояние (число рёбер в кратчайшем пути) между вершинами. Ь(2,1)-раскраска / называется к-Ь(2,1)-раскраской, если /(и) < к для каждой вершины v. £(2,1)-хроматическим числом С, обозначаемым Л(С), называется наименьшее число к, для которого существует к-Ь(2,1)-раскраска графа &.
Эта задача уже активно исследовалась (см. [3, 4, 6, 8, 10]). В частности, было доказано (см. [9]), что для дерева Т с максимальной степенью вершины Д выполнена оценка: Д < А(Т) < Д + 2. В работе [4] был построен полиномиальный алгоритм для вычисления 2,1)-хроматического числа деревьев (более простую и общую версию алгоритма см. [5]). Для случая графов общего вида рассматриваемая задача ЫР-полна даже для фиксированных значений параметра к. Так, в [6] было показано, что задача проверки выполнения неравенства А((?) < к для фиксированного к является ЫР-полной для любого к > 4. Более общая задача Ь(р, <?)-раскраски для р > д > 1 рассматривалась в [2, 5, б, 7]. В соответствии с условием этой задачи смежные вершины должны иметь цвета, различающиеся, по крайней мере, на р, а вершины, находящиеся на расстоянии 2 должны иметь цвета, отличающиеся не менее чем на д. В [5] была введена задача Ь(р, д)-раскраски
предраскрашенных графов. Предраскраска означает, что некоторые вершины графа имеют цвета с самого начала. В этой работе было показано, что задача существования к.-Ь(р, д)-раскраски предраскрашенных деревьев является ИР-полной для р > q > 1.
Мы рассматриваем Ь(2,1)-ра,скраски кактусов. Напомним, что кактусом называют связный граф, каждое ребро которого принадлежит не более чем одному циклу. Отметим, что кактусы очень близки деревьям и интересно сравнить свойства раскрасок деревьев и кактусов. Во второй части работы даются оценки А (С) для кактусов. Далее рассматриваются треугольные кактусы. Кактус называется треугольным, если каждое ребро входит точно в один цикл длины три. В третьей части строиться алгоритм для вычисления А (С?) для треугольных кактусов, являющийся полиномиальным в случае ограниченности степеней вершин, а также в случае, если параметр к фиксирован (не является частью входа). Главный результат приводится в четвёртой и пятой частях. Доказано, что задача существования к-Ь(2,1)-раскраски для предраскрашенных треугольных кактусов является МР-полной в сильном смысле. Немедленным следствием этого результата является КР-полнота задачи для внешнепланарных графов, хордальных графов, а также частичных ^-деревьев даже для к — 2.
2. Оценки А (С?) для кактусов
Известно (см. [9]) что для дерева Т с максимальной степенью вершины А выполнено неравенство Д < А(Т) < Д + 2. Похожее неравенство выполняется для кактусов.
Теорема 1. Пусть (7 — кактус с максимальной степенью вершины Д. Тогда Д + 1 < А (С) < Д + ¿(Д) + 2, где ¿(г) = ( Х "
Доказательство. Если (У граф с максимальной степенью вершины Д, то легко показать, что Д + 1<А((7),и эта оценка хорошо известна. Таким образом, нам необходимо доказать только верхнюю оценку.
Если Д < 2, то С это, либо путь, либо цикл. В этом случае нетрудно видеть, что А(С) < Д 4- 2. Предположим, что А > 3. Докажем индукцией по числу вершин, что А (С) < Д + ¿(Д) + 2.
Если (7 имеет не более четырёх вершин, то А((7) < 6. Таким образом, база индукции проверена.
Положим к = Д + ¿(А) + 2 Предположим, что в кактусе (7 имеется вершина и, имеющая единичную степень (висячая вершина). Удалим эту вершину (вместе с инцидентным ребром) и обозначим полученный
граф через С. Пусть / — к-Ь{2,1)-раскраска С, существующая по индукционному предположению. Обозначим через V вершину, смежную и (в графе (7), а через г^,?^,... ,иГ — вершины, смежные и в кактусе С. Пусть г = /(и), и = /(их), »2 = /(г^),..., »г = /Ю- Поскольку г < А — 1, а & > А + 2, то среди чисел {0,1,..., к} можно выбрать число 5 такое, что 5 ф г — 1, г, г + 1, г'х, г2,..., гГ- Очевидно, что раскраску / можно продолжить на весь граф Сг, положив /(и) = 5. Ясно, что / является к-Ь(2,1)-раскраской С и Л (С') < к.
Будем считать теперь, что в кактусе Сг нет висячих вершин. Назовём цикл С кактуса висячим, если он содержит не более одной вершины со степенью, большей двух. Легко видеть, что все рассматриваемые кактусы имеют висячие циклы.
Рассмотрим случай А = 3 и покажем, что Л (С) < 6. Выберем в кактусе С висячий цикл С. Обозначим через и вершину С, имеющую степень 3. Удалим из (? вершины С (вместе с инцидентными рёбрами) и обозначим полученный граф через С. Обозначим через / к-Ь(2,1)-раскраску С, существующую по индукционному предположению. Пусть V — вершина С смежная и (в графе (7), а и> и г — вершины, смежные V в кактусе С (случай, если таких вершин меньше двух, рассматривается аналогично, а рассуждение упрощается). Положим г = /(и), j — /(и>), г = /(г). Заметим, что не умаляя общности можно считать, что ф {0,6}. Пусть {г0, гь ..., г4} = {0,1,..., 6} \ {»,/}.
Нетрудно видеть, что вершины любого цикла можно окрасить, используя не более 5 красок. Окрасим вершины С, выбрав цвета • ■ • -,3$ из множества {¿о, .... г4}. Если 5 > 4, то среди этих цветов найдётся цвет, отличающийся от г — 1,г + 1,г. В этом случае вершины С окрашиваются так, чтобы вершина и была окрашена именно в этот цвет. Если 5 = 3, то цвета , .72, всегда можно выбрать так, чтобы {Л,32,Зз} ф {г — 1, г + 1, г}, поскольку в качестве 31,32,33 можно использовать любые цвета, для которых \]\ — Зг| > 2, — Зг\ > 2, \32 ~ Зз\ > 2. Среди этих цветов снова можно выбрать цвет, отличающийся от г — 1,г + 1,г. Вершины С также окрашиваются так, чтобы вершина и была окрашена именно в этот цвет. Остаётся заметить, что мы получили продолжение раскраски / на весь граф О, и / является к-Ь(2,1 )-раскраской Таким образом, Л (С) < к.
Предположим теперь, что А > 4.
Допустим вначале, что в графе (7 существует висячий цикл С, имеющий более трёх вершин и рассмотрим два случал.
1. Цикл С имеет длину четыре. Обозначим через а, Ь, с и 4 вершины С (в той же последовательности, что и в цикле) таким образом, что
вершины 6, с и d имеют степень два. Построим граф G' удалив из G вершину с (вместе с инцидентными рёбрами) и соединив bud ребром. Поскольку граф G' имеет меньше вершин, чем граф G, то А((7') < к по индукционному предположению. Рассмотрим соответствующую к-L(2,1)-раскраску / кактуса G'. Предположим, что i = f(b), j = f(d) и г = /(а). Так как к > 7, то легко видеть, что можно выбрать число 5 из множества {0,1,..., к} таким образом, что s ф i — 1, г, г + 1 ,j — 1 ,j,j + 1 , г. Продолжим /, положив /(с) = s. Ясно, что / является k-L(2,1)-раскраской G и A(G) <
2. Цикл С имеет длину не менее пяти. Обозначим через а, Ь, с, d, е та g вершины С (в том же порядке, что и в цикле, причём возможно, что a — д) таким образом, что Ь, с, d и е имеют степень два. Построим граф G' удалив вершины си d (вместе с инцидентными рёбрами) и соединив Ь и е ребром. По индукционному предположению A(G') < к. Рассмотрим соответствующую k-L(2,1)-раскраску / кактуса G'. Пусть i = f(b), j = /(е), г = /(a), s = f(g). Из неравенства к >7 вытекает существование различных чисел zi, х2, х3 из множества {0,1,..., к}, ни одно из которых не совпадает с i — 1, г, г + 1 ,r,j. Аналогично, существуют различные числа j/i, у2> Уз из множества {0,1,..., к}, которые отличаются от j — 1 ,j,j + 1, s, i. Теперь мы можем выбрать х из {a?i, ж2, х3} и у из {j/x, у2, Уз} так, что \х — у| > 2. Остаётся продолжить / положив /(с) = х и f(d) = у. Очевидно, что / является k-L(2,1)-раскраской G и A(G) < к.
Остаётся рассмотреть ситуацию, когда все висячие циклы кактуса G имеют длину три, и проанализировать соответствующие случаи.
1. Существуют два висячих цикла с общей вершиной. Обозначим вершины этих циклов через а, Ь, с и а, d, е соответственно (а— общая вершина). Построим граф G' удалив из G вершины 6, с, d и е (вместе с инцидентными рёбрами). Предположим, что ..., vr — вершины, смежные а в G'. По индукционному предположению A(G') < к. Пусть / соответствующая k-L(2,1)-раскраска G'. Положим i\ = f(vi),ii — f(v2),... ,г'г = f(vr), j = f(a). Поскольку ^>Д + 2иг<Д — 4, то существуют х1? х2, хз, х4 € {0,1,..., к} (хг < х2 < х3 < х4), отличные от Н, ¿2, • • • , ir,j - 1, j, j + 1. Продолжим /, положив f(b) = Хх, /(с) = Хз, /(е) = х2 и f(d4) = х4. Очевидно, что / является k-L(2,1)-раскраской G и A(G) <к.
2, Существует висячий цикл С, содержащий вершину степени 3 или 4. Обозначим вершины С через а, b и с (а имеет степень 3 или 4). Построим граф G' удалив из G вершины Ь и с (вместе с инцидентными рёбрами). Предположим, что вершина а имеет степень 4 (случай, ко-
гда она имеет стецень 3, рассматривается аналогично). Пусть ¿же — вершины, смежные а в кактусе О'. По индукционному предположению Л(С) < к. Следовательно, существует соответствующая к-Ь{2,1)-раскраска / кактуса С. Пусть г = /(с?), j = /(е) и г = /(а). Так как к > Д + 2, то найдутся х2, х3 £ {0,1,... ,к} < х2 < х3), которые отличаются от г,г — 1, г, г + 1. Продолжим / положив /(с) = х\ и /((1) = ж3. Остаётся заметить, что / является к-Ь(2,1)-раскраской Сг и Л(<3) <к.
Поскольку все возможные случаи рассмотрены, то теорема доказана.
Нетрудно проверить, что полученные нами оценки являются точными.
В заключение этой части отметим, что на основе доказательства теоремы можно построить полиномиальный алгоритм для построения ¿(2,1)-раскраски для кактусов, который будет давать почти оптимальные результаты.
3. Алгоритм вычисления А (С) для треугольных кактусов
В этой части работы описывается алгоритм, который проверяет существование к-Ь{2,1)-раскраски для данных треугольного кактуса С и положительного целого числа к.
Пусть (7 = (V, Е) — треугольный кактус. Предположим, что С — цикл (7 с вершинами и, V и ги, который имеет не более двух общих с другими циклами вершин. Мы будем называть этот цикл корневым циклом. Предполагается, что порядок вершин в корневом цикле фиксирован. Алгоритм строит множество троек
¿((7) = {{г, У, г}: г,_7, г 6 0, к и существует к—Ь(2,1)—раскраска. (7,
для которой /(и) = г, /(у) = з, /(ю) — г}
для треугольного кактуса. (7 с данными корневым циклом и числом к. Легко видеть, что к-Ь{2,1)-раскраска (7 существует тогда и только тогда, когда £((?) ф 0.
Алгоритм является рекурсивным.
1. Если (7 содержит ровно один цикл, то Ь(С) строится прямым перебором всех возможных вариантов окраски вершин этого треугольника.
2. Если С содержит ровно две вершины, принадлежащие другим циклам, то (7 разбивается на два кактуса. Пусть и и V — вершины С,
принадлежащие другим циклам. Удалим рёбра С из (2 и обозначим через 0[ и С"2 компоненты получившегося графа, которые содержат и и V соответственно. Далее добавим цикл С к ^ и обозначим получившийся граф через Су. Аналогично добавим С к &"2 и построим граф С2. Схема декомпозиции показана на Рис. 1. Цикл С считается корневым циклом С] и СИ2 • После этого алгоритм рекурсивно применяется к С\ и Легко видеть, что в данном случае — Х(С?1) П ДСгг)-
3. Существует единственная вершина С, принадлежащая другим циклам. Пусть и является такой вершиной. Обозначим через и, и, и IVп где г е 1,5, вершины других циклов, содержащих и. Удалим вершину и (вместе с инцидентными рёбрами) и обозначим через компоненту получившегося графа, содержащую и,- и юг для г € 1,5. Затем для каждого (?■ добавим к вершину и, а также рёбра (и,-, и) и (ъи{,и). Обозначим получившийся граф через (7,. Будем считать цикл с вершинами и, Vi и Wi корневым циклом Процесс построения показан на Рис. 2. Применим алгоритм к С, для г € 1,5. Последний шаг состоит в построении £((?) с использованием £((?,) при г 6 1,5. Для этого заметим, что тройка где г,],г € 0, к, |г — > 2, |г — г| > 2,
|_7 — г| > 2, содержится в ¿(С) тогда и только тогда, когда найдутся тройки в ), £(<72 ),-•-, цоа ) соот-
ветственно, для которых все числа г, , гьг2,...,э3, г3 различны. Пользуясь этим строится £((?), например, с помощью полного перебора.
Рис. 2
Рассмотрим теперь свойства описанного алгоритма.
Теорема 2. Пусть G = (V,E) — треугольный кактус с п вершинами и максимальной степенью вершины А, к — положительное целое число. Описанный алгоритм корректно проверяет существование k-L(2,l)-pacKpacKu G и имеет сложность 0(пк~).
Доказательство. Корректность алгоритма немедленно вытекает из его описания. Оценим временную сложность.
Число элементов множества L(G) составляет О (к3). Соответственно, для его просмотра необходимо выполнить 0(к3) операций. Следовательно, число операций, выполняемых в случае 1, составляет 0(к3). Построение пересечения множеств в случае 2 требует 0(к6) операций. Построение множества L(G) в случае 3 может быть выполнено с помощью 0(к3(к3)3) операций. Поскольку 5 < то число опе-
раций может быть записано как О(к^). Заметим, что случаи 2 и 3 возникают только в случае, если Д > 4, и для таких Д выполнено неравенство к~ > к6. Действия, описанные во всех случаях, выполняются не более чем один раз для каждого цикла кактуса. Треугольный кактус с п вершинами содержит циклов. Из этого следует, что временная сложность алгоритма составляет 0(пк^т).
Теорема доказана.
Легко видеть, что алгоритм является полиномиальным, если степени вершин ограничены сверху. Поскольку при Д > к k-L(2,1) раскраски не существует, то алгоритм также полиномиален в случае, если параметр к фиксирован (не является частью входа задачи).
Отметим, кроме того, что из теоремы 1 вытекает, что для вычисления Л(G) алгоритм достаточно вызвать один раз. Если максимальная степень Д = 2, то A(G) = 4. Если Д = 4, то A(G) = 5 тогда и только тогда, когда кактус содержит ровно два цикла. Если G имеет более двух
циклов, то алгоритм вызывается для к = 6. В случае, когда Д > 4, алгоритм вызывается для к = Д + 1.
Алгоритм является экспоненциальным, если ограничение на максимальную степень вершины и отсутствует, а к является частью входа. Мы не думаем, что алгоритм может быть улучшен, поскольку в случае 3 возникает задача, сводящаяся к задаче построения трёхмерного сочетания. Задача о существовании такого сочетания, как известно (см. [1]), является NP-полной. Мы полагаем, что задача о существовании к-L(2,1)-раскраски для произвольного треугольного кактуса NP-полна. Основой для такого предположения является NP-полнота соответствующей задачи для предраскрашенных кактусов. Эта задача будет рассмотрена ниже, но вначале удобнее рассмотреть задачу, которую мы назвали задачей о существовании системы пар 2-удалённых представителей.
4. Системы пар 2-удалённых представителей
Мы рассмотрим задачу, родственную известной задаче о системе различных представителей (трансверсалей).
Условие: Дана система пар множеств (Mi, Ni), (М2, iV2),..., (Mn, Nn), где Ms, Ns С {0,1,..., m} при s e lTñ.
Вопрос: Возможно ли выбрать систему пар («1, ji), (¿2^2), • • •, (¿n> jn), где i3 e M„ j, € N, для s € 1, ra, таким образом, что in,jn
различны и |¿e — ja\ >2 при s € 1, ra?
Систему пар чисел (tijji), (¿2, J2), • • • 5 (in,jn) мы называем системой пар 2-удалённых представителей, а задачу, соответственно, задачей о существовании системы пар 2-удалённых представителей.
Хорошо известно, что задача о существовании системы различных представителей полиномиально разрешима. Наша задач более сложна.
Теорема 3.Задача о существовании систему, пар 2-удалённых представителей NP-полна в сильном смысле.
Доказательство. Легко видеть, что достаточно доказать NP-. полноту задачи для случая, когда максимальное число в условии за-, дачи ограничено сверху полиномом от п. Мы докажем, что задача является NP-полной в случае, если максимальное число не превосходит 5га.
Принадлежность задачи классу NP очевидна. Рассмотрим вариант задачи выполнимость булевых формул в конъюнктивной нормальной форме и сведём её к нашей задаче. Задача выполнимость формулируется следующим образом:
Условие: Даны булевы переменные xi, х2,.... хп и С — булева формула в конъюнктивной нормальной форме от этих переменных.
Вопрос: Возможно ли придать значения переменным хг, х2,..., хп таким образом, что значением С будет truel
Известно (см. [1]), что эта задача NP-полна, даже если ограничиться формулами, каждая элементарная дизъюнкция которых содержит не более трёх литералов и каждая переменная входит в не более чем три элементарных дизъюнкции. Очевидно, что можно дополнительно предположить, что каждая переменная встречается ровно один раз в положительной форме и один или два раза с отрицанием. Кроме того, без потери общности можно считать, что число элементарных дизъюнкций в С чётно. Если это не так, то добавим переменные Xj, х'2,..., х'п и построим формулу С' из С заменяя х,- на х\. Формула С А С' имеет чётное число элементарных дизъюнкций и является выполнимой тогда и только тогда, когда выполнима С. Мы будем предполагать, что С удовлетворяет всем перечисленным условиям.
Построим систему пар 2-удалённых представителей. Положим г,- = 5(г - 1), г[ = 5(г - 1) + 2, r¡ = 5(t - 1) + 1, г? = 5(t - 1) + 3 для г € Наша система состоит из двух частей. Первая часть содержит пары {M1,N1),(M2,N2),...,(Mn,Nn), где М,- = {r¿,r?}, N{ = {r,',f-}. Пусть С = С1ЛС2Л.. .AС2т, где Ci, C2,..., C2m — элементарные дизъюнкции. Построим пары (M[,N[), (М2, N2),..., {М'т, N'm) просматривая элементарные дизъюнкции С. Множество Mj строиться по C2j-i, a iVj — по C2j для j G l,m. Правила построения одинаковы. Если элементарная дизъюнкция содержит то к множеству добавляется г\. Если же элементарная дизъюнкция содержит xj, то к множеству добавляется F7 для первого вхождения литерала ~x¡ в С и г^ — для второго литерала ~х~г. Эта операция выполняется для всех литералов в элементарной дизъюнкции. Отметим, что согласно определению r¿, r|,f7, г?, все числа, включаемые в множество, различны.
Общее число пар равняется п -f- m, и все множества являются подмножествами {0,1,..., 5п—2}. Из этого следует, что описанное построение может быть осуществлено с помощью полиномиального алгоритма. Заметим также, что максимальное число в множествах не превосходит 5га - 2 < 5(п 4- т).
Докажем, что формула С выполнима тогда и только тогда, когда можно выбрать систему пар 2-удалённЫх представителей из построенного набора пар множеств.
Предположим, что С является выполнимой и zt, z2,..., zn — значения переменных Х\, х2,..., хп, для которых С — true.
Если Zi = irue, то выберем из множества Mi число F7, а из множества Ni — число г?. Если Zi = false, то из М, выбирается г,-, а из jVf- — при всех г £ 1~п. Ясно, что - г-| > 2 и |г7 - г7'| > 2. Кроме того, из {г,;, г\, г7,г7'} П {rj,rj,r7,r^} = 0 для г ф j следует, что все выбранные числа различны.
Так как С = true, то каждая элементарная дизъюнкция С содержит литерал со значением true. Выберем в каждой элементарной дизъюнкции такой литерал и соответственно выберем из пар (M[,N[), (М'2, iVj),..., (М^, Л^.) числа, соответствующие этим литералам. Нетрудно видеть, что все эти числа отличаются от чисел, уже выбранных из пар (Мь Ni), (М2, iV2),..., (Мп, ЛГ„). Пусть snt — два выбранных числа. Предположим, что s соответствует литералу, построенному над Xi, a t — литералу над х}. Если г ф j, то из определения чисел гг-,г^,г7,г7',г^,r^-,rj,rj' следует, что — t\ > 2. Если г = то, поскольку литералы имеют одинаковые значения, литералы равны. Так как С содержит два одинаковых литерала, то эти литералы равны Xi. Таким образом, sat суть числа т\ and г\ и |s — t\ > 2. Мы получаем, что все числа, выбранные из пар (М[, N[), {М'2, iV2),..., {M'm, N'm) различаются, по крайней мере, на 2, и система пар 2-удалённых представителей получена.
Предположим теперь, что из набора пар (Мь (М2, N2)1 • • ■, (Мп, Nn), (М[, (МЬ Щ),..., (м;, Щ выбра-на система пар 2-удалённых представителей. Рассмотрим пары (М,, iV, ) при г € 1, п. Возможны только два случая: либо число г, выбрано из Mi, а число Г; — из iV,-, либо число г7 выбрано из М,-, а число г- — из iV,. В первом случае положим х; = false, а во втором — жг = ¿rue. Заметим теперь, что числа, выбранные из (М^, JV{), (Mj, Щ), • • •, (М^, соответствуют литералам со значением true. Поскольку каждая элементарная дизъюнкция С содержит литерал со значением true, то С выполнена.
Теорема доказана.
5. L(2,1)-раскраска предраскрашенных кактусов
В данном разделе будет рассмотрена задача о существовании к-L(2,1)-раскраски предраскрашенных треугольных кактусов.
Задача о существовании k-L(2,1)-раскраски предраскрашенных графов формулируется следующим образом:
Условие: Даны граф G = (V, Е), положительное целое число к, U С V и функция <7: U —»■ {0,1,...,
Вопрос: Существует ли к-Ь(2,1)-раскраска / графа С, для которой /(и) = при V £ 17?
Известно, что эта задача полиномиально разрешима для деревьев (см. [4]). Алгоритм, описанный в третьей части (с незначительной модификацией) решает задачу для треугольных кактусов. Модификация состоит в том, что следует учитывать цвета предраскрашенных вершин при построении множества Ь(0). Однако, как было замечено, алгоритм не является полиномиальным.
Теорема 4.Задача существования к-Ь(2,1)-раскраски предраскрашенных графов ЫР-полна в сильном смысле для треугольных кактусов.
Доказательство. Принадлежность задачи классу ЫР очевидна. Докажем, что задача является МР-полной при к < р и д(ь) < р для V £ и, где р — число вершин графа. Рассмотрим ограниченную версию задачи о существовании системы пар 2-удалённых представителей с параметром т < 5га. Как было показано в предыдущем разделе, эта задача КР-полна. Сведём эту задачу к задаче о существовании к-Ь(2,1)-раскраски предраскрашенных треугольных кактусов.
Предположим без потери общности, что все множества из системы пар (М\, АГ1), (М2, ДГ2 );■•■, (Мп, Мп) являются подмножествами {4,5,..., т}.
Положим к = т + 4 и построим предраскрашенный треугольный кактус С. Процесс построения довольно сложен, поэтому его удобнее описать по частям.
Пусть X — конечное множество положительных целых чисел {г15 ¿2, • • •, гР}, 2 < ¿1 < г2 < ... < гр, где р > 4 и р являются чётными. Построим треугольный кактус 0(Х) с раскрашенными вершинами. Множество -{и, ах, Ьх, а2, Ь2,..., ад, Ь9}, где д = |, является множеством вершин кактуса, а и®=1{(г;, а_,), (а,, &_,), (и, Ь,)} — множество рёбер. Вершину V мы будем называть корнем С(АГ). Обозначим через д раскраску вершин кактуса и положим д(у) = 0, д{а3) = , <?(%) = при j € 1,д. Очевидно, что д является Ь(2,1)-раскраской.
Рассмотрим пару множеств (М;, Агг-). Одно из множеств {4,5,..., ш+ 4}\Mi, {4,5,..., т+3}\М; имеет чётную мощность. Обозначим это множество через Xi при г € 1.гтг. Аналогично, для каждого г одно из множеств {4,5,..., т-(-4} \ АГ,-, {4,5,..., т + 3} \ А,- имеет чётную мощность. Обозначим его через У]. Построим кактусы С(Хг) и 0(Уг) с корнями ж и у. Следующий шаг состоит в добавлении к кактусам С(Хг) и С(У;) вершин а, 6, с, с?, и, V, и, г, Ь и рёбер («, и), (и, га), (и, гу), (и, х), (х, г), (и, г),
(a,b),(a,z),(b,z), (w,i),(w,y),(t,y),(c,d),(c,t),(d,t) (см. Рис. 3). Раскраска g кактусов G(Xt) и G(Yi) продолжается следующим образом: g{u) = 1, g(z) = g(t) = 2, g{a) = д(с) = m + 2, д{Ь) = g(d) = m + 4. Отметим, что вершины v и w не раскрашены. Обозначим полученный кактус через С?,. Вершина и считается корнем G,.
G(M) G(Ni)
Рис. 3
Из определения к-£(2,1)-раскраски следует, что вершина у может быть окрашена только цветом из множества М,-, а ю — только цветом из ТУ,-. Более того, г 6 М,- и г' £ ЛГ,- могут быть цветами и и ш тогда и только тогда, когда |г — т'\ >2.
Последний шаг состоит в построении кактуса (7 из кактусов (7, при г € 1, п объединением корней всех этих кактусов.
Легко видеть, что к-Ь(2,1)-раскраска кактуса (7 с предраскра-шенными вершинами существует тогда и только тогда, когда можно выбрать систему пар 2-удалённых представителей из пар множеств (Мх, N1), (М2, N2), • • •, (Мп, ЛГП).
Отметим, что графы 6Г(^,), С^(У^) имеют не более т вершин. Из этого следует, что (7, имеет не более 2т + 9 вершин, а (7 — не более п(2т + 8) + 1 вершин. Так как т < 5п, то общее число вершин не превосходит гс(10га + 8) + 1. Из этой оценки вытекает, что кактус G может быть построен с помощью полиномиального алгоритма.
С другой стороны, кактус С7 имеет не менее 10п вершин. Максимальный числовой параметр не превосходит ш + 4 < 5п + 4 < 10гг. Следовательно, условие для к и значений д{у) при и £ 1} выполнены.
Теорема доказана.
Множество треугольных кактусов составляет подмножество различных классов графов. Пользуясь этим получим ряд следствий.
Очевидно, что если задача NP-полна для треугольных, кактусов, то она NP-полна для кактусов общего вида.
Следствие 1 .Задача существования k-L(2] 1 )-раскраски предрас-крашенных графов NF-полна в сильном смысле для кактусов.
Поскольку кактусы являются внешнепланарными графами, то мы получаем второе следствие.
Следствие 2.Задача существования к-Ь(2,1)-раскраски предрас-крашенных графов NP-полна в сильном смысле для внешнепланарных графов.
Граф называется хордальным, если он не содержит циклов-длины, большей 3, в качестве порождённых подграфов. Треугольные кактусы являются хордальными графами, и мы получаем очередное следствие.
Следствие 3.Задача существования к-Ь(2,1)-раскраски предрас-крашенных графов NP-полна в сильном смысле для хордалъных графов.
Напомним определение fc-деревьев. Оно является индукционным. Клика с k + 1 вершинами является fc-деревом, к-дерево с п + 1 вершинами может быть получено из /с-дерева с п вершинами с помощью добавления новой вершины и соединения её с вершинами некоторой к-клики. Подграфы к-деревьев называют частичными fc-Деревьями. Очевидно, что треугольные кактусы являются частичными 2-деревьями и мы получаем заключительное следствие.
Следствие 4.Задача сущесгЯвования k-L{2,1)-раскраски предрас-крашенных графов NP-полна в сильном смысле для частичных к-деревьев при к > 2.
Заметим, что при к = 1 (т.е. для обычных деревьев) задача, решается полиномиальным алгоритмом. Отметим также, что задача для 2-деревьев NP-полна. Доказательство этого факта может быть получено аналогично доказательству теоремы 4.
Литература
1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешае-
мые задачи. М.: Мир, 1982; ' * •
2. Battiti R., Bertossi A.A., Bonuccelli M.A. Assigning codes in
wireless network: Bounds and scaling properties/j Wireless Networks. 1999. V.5, №, P. 195-209. ' ■ \ .
3. Bodlaender H.L., Kloks T,, Tan R.B., Leeuwen J Approximation for A-coloring of Graphs/j LNCS. 2000. V.1770. P. 895-409.
4 Chang G.H. Kuo D. The L(2, l)-i§ibeimg problem on graphs//it
SI AM J. Disk. Math. 1996. V. 9. P. 309-316. :
5. Fiala J., Kratochvil J., Proskt'.rowski A. Distance constrained labeling of precoloring t rees// ICTCS. 2001. P. 285-292.
6. Fiala J., Kloks T., Kratochvil J. Fixed-parameter complexity of A-coloring j j In: Graph Theoretic Concepts in Computer Science, WG '99. 1999. LNCS. V. 1665. P. 850-363.
7. Fotakis D., Pantziou G., Pentaris G., Spirakis P. Frequency assignment in mobile and radio networks///«-' Networks in distributed computing, DIM A CS workshop, Ser. Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 1997. V. 45. P. 73-90.
8. Georges J.P., Mauro D.W. On the size of gtaphs labeled with a condition at distance two j j Journal of Graph Theory. 1996. V. 22. P. 47-57.
9. Griggs J.R., Yeh U.K. Labelling graphs with a condition at distance 2/ j SI AM J. Disk. Math. 1992. V. 5. P. 586-595.
10. Liu D.D.-F., Yeh R.K. On distance two labelling of graphs// ARS Combinatories. 1997. V. 47. P. 13-22.
11. Murphey R.A., Pardalos P.M., Resende M.G. Frequency assignment problems. AT&T Labs Research Technical Report 98.16.1.
Summary
Golovach P. A. L(2, l)-coloring of precolored cacti An L(2,1 )-coloring of precolored graph G is a function / from the vertex set V to the set of nonnegative integers such that this function has given values for some vertices of the graph, and if ¿(a, b) = 1, then ¡/(a) — f(b) | > 2, and if d(a, 6) = 2, then |/(a) — f(b)\ > 1 for all vertices a and b, where d(a,b) is the distance between vertices. An L(2, l)-coloring / is called k-1(2, l)-coloring if f(v) < k for every vertex v. Investigation of such colorings is motivated by the frequency assignment problem. We investigate a L(2,1)-coloring problem for cacti. The main result is that the existence problem for the k-L(2, l)-coloring of precolored graphs is NP-complete in the strong
sense for triangle cacti. From this it is immedially follows that the existence problem for fc-L(2, l)-coloring of precolored graphs is NP-complete in the strong sense for partial k-trees for k > 2. Note that this problem for trees is in P. We also give some estimations for the L(2, l)-coloring number of cacti, and construct an algorithm, that tests the existense of the k-L(2, l)-coloring for triangle cacti.
Сыктывкарский университет
Поступила 1.09.2002
