Квазиоптимальное по быстродействию управление Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 681.513

КВАЗИОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ

В.В. Сурков

На примере системы третьего порядка рассматривается аналитическое конструирование квазиоптимальной по быстродействию системы управления.

Кчючевые слова: аналитическое конструирование, оптимальное быстродействие, функциональное уравнение, структурная схема.

Проблема точного аналитического конструирования оптимальных по быстродействию систем сводится к необходимости определения постоянных интегрирования [1] на каждом интервале управления. Поскольку реальные системы в действительности всегда являются квазиоптимальными в силу приближенности исходных математических объектов управления, неполноты информации о действующих возмущениях, приближенности реализации устройств управления, целесообразно строить приближенное технически целесообразное управление, учитывающее условия физической реализуемости и степень оптимальности синтезируемой квазиоптимальной системы.

Пусть для некоторого объекта можно записать с достаточной точностью обыкновенное векторное нелинейное уравнение:

X(t) = A(X) + B(X)u(t), (1)

где X е Rn - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А(Х) - матрица-столбец с нелинейными однозначными функциями а i(X) = а{(х1?х2,...?хп)? i = 1,2,..., п; В(Х) = (bj, b2,..., bn )т - вектор столбец с элементами Ъг =0,b2 =0,...,bn =1; управляющее воздействие u(t) принадлежит замкнутому множеству U* и на него наложено ограничение

|u(t)|<l, (2)

Область U * допустимых управлений определяется двумя условиями: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функций и дополнительным ограничением (3) эксплуатационного или конструктивного характера, накладываемыми на и^) внутри данного класса.

Известно, что оптимальное по быстродействию управление имеет релейный закон:

u = -^п[у(Х)], (3)

где у(Х) - функция переключения регулятора, причем у = 0 - поверхность переключения.

Для каждого из п-1 интервала составляют функциональное уравнение:

у (X) = G • X = ЦХ) + ф(Х) • u, (4)

где О = ^1^2,...^п), gi =Эy/Эxi, ЦХ) = GA, ф(X) = GB, причем для устойчивости системы требуется выполнить условие управляемости:

| ЦХ) |< ф(Х),

(5)

причем, чем ближе к равенству условие (5), тем более быстродействующей будет система.

Применяя метод попятного решения задачи, начиная с последнего интервала, для которого уп = хп, получим точное (с точностью до постоянных интегрирования) оптимальное по быстродействию управление:

У = У2 + I У2 I •и, У2 =Уз +1 Уз1 •и,

у п-2 =У п-1 + 1 У п-11 •u, ¥п-1 = Хп + 1 Хп 1 •u,

и

и

3

= -^п(У 2), = ^п(уз),

(6)

ип-1 = ^п(Уп-Д

ип =-sign(xn).

Постоянную интегрирования каждой производной от функции переключения определяют из условия у(0) = 0.

Рассмотрим методику синтеза на примере объекта третьего порядка:

XXI

■ Хо, X--

-ах.

4 = х2, хх2 = х3, хх3 =-ах2 - (1 + а)х3 + аи, (7)

причем а > 0 - постоянный параметр. Отметим, что к виду (7) можно привести уравнения, описывающие динамику канала крена летательного аппарата или электропривода радиолокатора. Выбор этого примера обусловлен тем, что известно точное решение для управления, оптимального по критерию быстродействия [2]:

и = —= -sign

У1

а

а -1

. а.

1 , (1+¿2)

1а

■2

¿2 -1

¿1

(8)

где

а = sign(Уз + Ь(1 + а-1 У2 I) • sign(У2)) , ¿1 = а • а • У2 -1

а,

1 + (а1 • )

, У1

а•х2 +х3

У2

х2 + х3

а

а -1

Уз = а • х1 + [(1 + а )• х2 + х3 ] Точное решение достаточно сложно в записи и его достаточно сложно реализовать при помощи электронной техники. На рисунке, цифра 1 - результаты моделирования объекта (7) с управлением (8).

Графики изменения координат и управляющего сигнала объекта (7) с оптимальным управлением: 1 - (8); 2 - (10)

В соответствии с уравнениями (6) на последнем, третьем интервале функция переключения у3 состоит только из одной координаты х3: у3 = х3, а управление и3 =-sign[x3]. Функция переключения на предпоследнем (втором) интервале имеет вид:

У2 = х3 + |х3| • и .

Подставляя уравнения объекта, получим:

11 • 1 I I ■ I I (1 +а) I I

У2 = Х3 + Х3 • и = X2 +---| Х3 | X3 +1 х3 | -х2 + ---• | х3 | х3.

а а

Для облегчения интегрирования последнего функционального уравнения и упрощения схемы регулятора пренебрежем последними двумя слагаемыми

• 1 I I •

V2 = x2 + — lx3 I x3

a

(9)

и, подставив уравнения объекта, запишем условие устойчивости (5) на втором интервале:

sign(x3) -

x2 +

(1 + a)

• x,

a

< 1,

которое всегда выполняется, по крайней мере, для позиционных и следящих систем, так как из третьего уравнения объекта следует, что

x2 +

(1 + a)

x

a

<1

и знаки переменных Х2 и Х3 противоположны (рисунок).

Интегрируя уравнение (9), получим функцию переключения второго интервала:

1 I I

У 2 = x2 + ~--|x3| x3

2 • a

(10)

На первом интервале к уравнению (9) добавляется уравнение x j = x2 и функциональное уравнение первого интервала можно записать так:

У = x 1 + A •\У2- (11)

Для облегчения интегрирования последнего функционального уравнения и упрощения схемы регулятора, примем A = const. Подставляя в уравнение (11) xj и у2, запишем условие (5):

a • |x2 + A • x3| <| A • x31,

которое всегда выполняется при любом A, так как знаки переменных x2 и x3 противоположны. Интегрируя (11) и переходя к реальным координатам, получим закон управления:

u = sign(x

1зад

x1 - A • (x2 +

1

2 • a

|x3| •x3)).

(12)

На рис. 1, цифра 2 приведены результаты моделирования объекта (7) с управлением (12) при a = 0.5; A = 1.4; x1 зад =4. Из рис. 1 следует, что графики при точном управлении по закону (8) и при управлении по закону (12) практически полностью совпадают, однако решение (12) существенно проще известного решения (8).

Список литературы

1. Сухинин Б.В., Сурков В.В., Цырук С.А., Феофилов Е.И. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами [Текст]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.

2. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, проф., vvs150747@ mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE QUASIOPTIMUM ON SPEED MANAGEMENT V.V. Surkov

On an example of system of the third order analytical designing of a quasioptimum control system on speed is considered.

Key words: analytical designing, optimum speed, the functional equation, the block diagramme.

Surkov Victor Vasilevich, doctor of technical science, professor, vvs150 747@ mail. ru, Russia, Tula, the Tula state university