Квазиинвариантная стабилизация преследующего движения манипулятора при пропорциональной навигации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.31:62-56

Квазиинвариантная стабилизация преследующего движения манипулятора при пропорциональной

навигации

И. А. Мухаметзянов

Кафедра теоретической механики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Предложена процедура построения множества дифференциальных уравнений регулятора, обеспечивающего квазиинвариантную стабилизацию преследующего движения манипулятора при пропорциональной навигации.

Ключевые слова: инвариантность, квазиинвариантность, пропорциональная навигация, стабилизация, переходный процесс.

1. Постановка задачи

Рассмотрим манипулятор на подвижном основании, состоящий из цепочки п пар тел Т", Т" (и = 1, 2,... ,п), в которой Т" вращается относительно тела 1 предыдущей пары вокруг цилиндрического шарнира ои-1, а Т" перемещается относительно T'v по заданной направляющей, совпадающей с единичным вектором iv.

Введём обозначения

Iv = o^-iD", sv = D" О",

где D" — начало отсчёта sv-го перемещения тела Т" относительно Т". Заметим, что II"| — постоянные.

В точку оп последнего тела Т" поместим центр схвата, жёстко связанного с единичными ортогональными векторами ki, fo, кз.

Положение тела — основания манипулятора относительно неподвижной системы координат — определяется законом движения ro(t) точки оо крепления первого шарнира манипулятора к основанию и тремя углами Эйлера, которые будем считать известными функциями от времени. Вектор угловой скорости основания обозначим через u0(t).

Будем считать, что вращение тел T'v вокруг шарниров ov-i и перемещения тел Т" относительно Т" осуществляется двигателями, помещёнными со своими редукторами в точках o^-i, Du. Следовательно, управление манипулятором осуществляется 2п двигателями.

В программу движения схвата заложим два требования: вектор скорости v центра схвата должен быть направлен по оси схвата с ортом кз, а компонента угловой скорости вращения вектора скорости v на плоскости, перпендикулярной линии визирования, должна быть пропорциональна вектору угловой скорости ше этой линии, направленной от центра схвата оп на преследуемую цель со скалярным коэффициентом пропорциональности Ь.

При выполнении второго требования движение центра схвата будет осуществлено по принципу пропорциональной навигации [1].

Эти требования можно выразить уравнениями

ki ■ v = 0, ei ■ uv = Ь(ие ■ ei), i = 1, 2, (1)

Статья поступила в редакцию 29 апреля 2008 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (06-01-00664) и Министерства образования и науки РФ.

где (■) — знак скалярного произведения; е\, в2 — единичные ортогональные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной линии визирования.

Заметим, что при выполнении этих условий вектор V будет направлен по оси схвата с ортом к3. Следовательно, вектор Шъ угловой скорости вращения вектора V будет равен сумме компонентов вектора угловой скорости схвата на оси с ортами к1 и к2.

При таком принципе навигации угловая скорость ше линии визирования и её производные по £ считаются доступными измерению в каждый момент времени.

Если вектор ОоОп выразить через векторы и , то первое из условий (1.1) примет вид

+ X (^ + ^)

и=1

кг = 0, г = 1,2.

Движение манипулятора зададим уравнениями Лагранжа ё дТ дТ .

- ~дх = ^ - СХ+ и +

(2)

(3)

где х — 2п-мерный вектор обобщённых координат — углов поворотов ^ вокруг шарниров и перемещений , и — г-мерный вектор управляющих сигналов, До — 2п-мерная матрица распределения между каналами 2п-мерного вектора 5(1, С\, С2,..., С2П) возмущений, являющегося общим решением уравнения

й = Л(М), (4)

Я(р) — вектор обобщённых сил тяжести и других неуправляющих сил, Т — кинетическая энергия манипулятора

Т = -хтА0(х, Ь)х + Ът(х, Ь)х + Ъ0(х,

с = &iag(c1Щ,c2Щ^,... ,с2пк2п), М0 = ка, Н0 = к^,

— коэффициент сопротивления на валу двигателей, к„ — передаточные числа редукторов, а — (2п х г)-мерная матрица коэффициентов пропорциональности между управляющими моментами двигателей и управляющими сигналами , к = diag(fcl, к2,..., к2п), 7 — (2п х 2п)-мерная матрица, г < 2п.

Уравнение (1.3) можно представить в виде

х = В(х ,х,£) + Ми + Я6, (5)

где

В = А,

-1

дх

(дЪ_ \

\дх I

1 .тдА0. , (дъ ёЛ0 \ . ёь дЬ0 , _ ,

—— % + I ----г;--с\х - "гг + ^--+ Ч(Р)

дх

М = А-1М0,

Я = А~1Е0.

Предполагается, что матрица К неособенная.

Требования (1) с учётом (2) представим в виде

и\ (х ,ж,£) = 0, и2(х ,ж,£) = 0, где , Ш2 — двумерные векторы с элементами

е[(иу - Ьие), шг2 = к[

+ ) + Г0

м=1

ъ = 1, 2.

(6)

(7)

Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора и, обеспечивающих интегральность многообразия (6) для системы (5) и асимптотическую устойчивость «в большом» этого многообразия при любых ограниченных случайных значениях постоянных С1,С2,... ,С2П, входящих в выражение вектора возмущения 5(Ь,С1,С2,... ,С2П), являющегося общим решением уравнения (4).

2. Метод решения задачи

Пусть дана система дифференциальных уравнений движения объекта управления в виде

Х1 = >pi(x,u,t) + R(x,t)ö, Х2 = ф2(х, U, S,t),

где xi, , 5 — s-мерные, х2, 'р2 — (п — й)-мерные, и — r-мерный, х(х1,х2) — n-мерный векторы; R — (s х й)-мерная матрица.

Предполагается, что det ||Д|| = 0 в некоторой ограниченной области G. Требуется построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора управления и, обеспечивающих интеграль-ность и асимптотическую устойчивость «в большом» (п — &)-мерного программного многообразия

u(x,t) = 0 (9)

системы (8), подверженной действию возмущений ö(c,t), при любых случайных значениях конечномерного ограниченного постоянного вектора с.

Пусть вектор возмущений ö(t,Ci,C2,... ,cs) в системе (8) является общим решением уравнения

S = fo(S,t)

с постоянными интегрирования с\, С2,..., cs.

Например, когда система (8) возмущается (2s\ + 1)-мерным вектором ö(öo, öi, . . . , ö2si) с элементами

So = С0, öi = Ci sin Pit, öj = Cj cos Pit,

(i = 1, 2,... ,si; j = si + 1,..., 2si), компоненты вектор-функции fo(S,t) можно задавать в виде

foo = о, foi = öiPi ctg Pit, foj = —öjPj tg Pit,

где pi > 0 — заданные постоянные, Co,Ci,Cj — случайные постоянные. Заметим, что эти возмущения, в частности, могут задаваться (2si + 1) членами ряда Фурье при разложении семейства произвольных периодических функций с любым заданным периодом.

Условие det ||Д|| = 0 в области G позволяет выражать вектор Ö с помощью первого уравнения (8) в виде

S = R-1[xi — <pi(x,t)]. (10)

Дифференцируя (8) по t и подставляя в них (9) и ö = fo(5,t), где Ö заменяется правой частью (10), получим

dpi . d^i dyi -i

xi = —— и + -— х + + xi — pi + — R (xi — ¡¿i),

Ои ох Ot dt (Ii)

д(р2 . , д(р2 . , , , д^2 ) Х2 = -К- U X + — fo + .

OU ОХ Од Ot

Эти уравнения можно представить в виде

Qy

X — ^ и \ Т (X, X, U,t),

ои

где р

f — n-мерная вектор-функция, составленная из элементов правых

Pi

частей (11), не содержащих вектора ii.

Дифференцируя ш(х, 1) = 0 в силу этих уравнений два раза по £ и приравнивая правую часть некоторой вектор-функции Ф, получим

Пи = Q,

(12)

где

^ дшдю дш ~ дй . дй .

Я = -^Т! - ТТХ - + Ф(ш,ш,х,х,и, Ь), ах аи ах ах аъ

Ф(й,и,х,х,и, 1) — произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условию Ф(0, 0,х,х,и, 1) = 0 и обладающая способностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения и = 0, и = 0 уравнения [2]

¿0 = Ф(ш, и, X, X, и, 1).

(13)

Предположим, что ёе! ||ППТ || = 0 в области О. В этом случае общее решение системы (12), состоящей из к конечных уравнений относительно г компонентов вектора и, при г ^ к имеет вид [3]

и = П1 (ППТ)-1Я + [Е - П1 (ПП1

Т\-1,

(14)

где Е — единичная (г х г)-матрица, и — произвольная г-мерная вектор-функция.

Полученное уравнение (14) является искомым множеством дифференциальных уравнений регуляторов объекта управления (8).

Необходимо отметить, что от подходящего выбора произвольной вектор-функции Ф в правой части (13) зависит качество переходного процесса в системе (8), (14). В связи с этим приведём один из возможных способов выбора функции Ф, позволяющего наделить систему необходимым качеством переходного процесса. С этой целью, умножая (13) на некоторую симметрическую определённо-положительную (к х £;)-матрицу А(х, ¿), получим

Введём замену [4]

Аш = АФ.

у = й - ¡(и, г), ¡(0, г) = 0,

(15)

(16)

где /(и, 1) — произвольная ^-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми в области О элементами, допускающая бесконечно малый высший предел по модулю.

Умножая уравнение (15) скалярно на у, получим

УТАУ ) = ут АФ.

Если вектор АФ в правой части этого уравнения выбрать в виде [4]

(17)

АФ = -Ру - Ри У + А

Ы У + А ы т

то (2.9) приводится к уравнению

- 2Л у, (18)

(19)

где В, Р — некоторые произвольно выбираемые симметрические определённо-положительные матрицы. V = утАу + и)ТРи — определённо-положительная функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел. Следовательно, при достижении определённой отрицательности функции (/тР+шт Р/2)ш

соответствующим выбором матрицы F и функции f, правая часть (19) будет определённо-отрицательной по у, o и при этом программное многообразие будет асимптотически устойчивым «в большом» в области G. В частности, при f = —lo вектор (18) имеет вид

л^ ^ ^ л- 1dA

АФ = —Dy — Fio — Alo — -—— у. у 2 di

Здесь d A/dt предполагается ограниченной в G. Теперь из (18) получим

Ф = — a-^ + FLO) — (Ю)%+ + % — (20)

Для оценки качества переходного процесса, интегрируя обе части (19), полу-

чим

СЮ |- , . \

J yTDy — I fT + oTF\o

ta ^ ^ ' ■

dt=1vo, Vo = V (t o). (21)

Это равенство является интегральным критерием качества переходного процесса. Имея свободу выбора матриц И, Р, А и функции /, подынтегральному выражению и функции V можно придать нужную структуру с необходимыми весовыми элементами.

При задании конкретного числового значения V:) уравнение

2

1 (y^Ayo + o^Foo) = Vo (22)

в 2 А;-мерном пространстве Со о, Ш0 описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством. Для начавшихся из них движений имеет место интегральный критерий качества переходного процесса (21), а для всех начальных значений оо0, ш0 внутри эллипсоида (22) справедлива оценка качества переходного процесса

СЮ Г / ' \

J yTDy — I fT + oTF\o ta ^ V /

di < 1vo, Vo = V(to),

где V0 — значение V(Ь) на поверхности (22).

3. Построение множества уравнений регулятора преследующего манипулятора

Предполагая, что det ||Д|| = 0, вектор 5 с помощью уравнения (5) представим в виде

5 = К-1(х -В -Ми). (23)

Дифференцируя по £ (5), получим

...,,. d М dВ • dR£

х = Ми+—и +-гг + R5 + -гr 5. (24)

dí dí dí

Заменяя 5, 5 в правой части этого уравнения их значениями (4) и (23), получим

х =Мй + $0(х,х ,х,и, 1), (25)

где /0 — сумма членов, не содержащих вектора и.

Таким образом, вместо исходной системы (5) получили систему (3.3) более высокого порядка, не содержащую явно вектора возмущений ё.

Теперь потребуем, чтобы многообразие (6) было интегральным многообразием этого уравнения (25). Для этого дифференцируем два раза по £ (6) и приравниваем результат к некоторой вектор-функции Ф(Ш , ^и, ги, СС, XX, X, ¿), обладающей свойством Ф(0,0 , ги, СС, X, X, £) = 0 и способностью обеспечивать асимптотическую

устойчивость «в большом» многообразия (6). Здесь и = 1

Ш2

При этом необходимо использовать известные формулы Пуассона

К = ( ио + I X 1и, кг = I Шо + ) X Ь,

''=1 / \ ''=1

^ = ( Шо + ЦШ' ) X ги, ёи = +

где Ш' = X, — орты векторов угловых скоростей звеньев манипулятора друг относительно друга и выражение вектора ш>0

= X к1 ( ио + X ХЛ 1 кь

^=1 \ '=1

После этой процедуры дифференцирования (6) получим

Ш = Ат Ми + ¡(X, X, х, и, 1).

(26)

где / — сумма членов, не содержащих вектора и; Ат — (4 X 2п)-мерная матрица с элементами

б т ^ ^ кт аг,п+и °

^=1

а2+г,

Эи X ^ (+

' = 1

г = 1,2; V = 1, 2,... ,п.

kí, а2+г,п+и — ^„к

Приравнивая правую часть уравнения (26) вышеупомянутой функции Ф, получим

Пи = Я, (27)

где

П = АтМ, Я = Ф(Ш, ш, и, X, X, х, 1) — /(СС, СС, х, и, 1).

При этом функция Ф должна обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения Ш = 0, ш = 0 уравнения (13) и необходимое качество переходного процесса. Выбор функции, обладающей этими свойствами, изложен в разделе 2. Предположим, что ёе! ||ППт || = 0. Тогда искомое множество уравнений регулятора выражается в виде (14).

Литература

1. Кан В. Л., Кельзон А. С. Теория пропорциональной навигации. — Л.: Судостроение, 1965. — С. 423.

а

2. Мухаметзянов И. А. Построение множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по заданной программе. Труды Университета дружбы народов. Теоретическая механика. — М.: Изд-во УДН, 1963. — Т. 1, С. 52-55.

3. Мухаметзянов И. А. Построение уравнений программных движений // Автоматика и телемеханика. — № 10. — 1972. — С. 16-23.

4. Мухаметзянов И. А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. — Т. 65, вып. 5. — 2001. — С. 822-830.

UDC 531.31:62-56

The Quasiinvariant Stabilization of a Pursuit Motion of a Manipulator by Proportional Navigation

I. A. Mukhametzyanov

Department of Theoretical Mechanics People's Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198

The procedure of constructing a differential equations set for a regulator providing quasiinvariant stabilization of a manipulator with proportional navigation is proposed.