CC BY
23
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2015
Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(30)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.624
КУСОЧНО-АФФИННЫЕ ПОДСТАНОВКИ КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ
А. Д. Бугров
ООО «Центр сертификационных исследований», г. Москва, Россия
Определяется множество d-разбиений конечного поля GF(q). При d = 2 и d =
= (q — 1)/2 оно полностью описано; при d < y/q — 1 выводится гипотеза о его строении. Приводится критерий на d-разбиение. Определяются кусочно-аффинные подстановки конечных полей. Получены оценка линейной характеристики кусочно-аффинных подстановок конечных полей и точные её значения при d = 2. Описаны многочлены, представляющие кусочно-аффинные подстановки. Доказано, что при d @ у/q — 1 класс кусочно-аффинных подстановок образует всю симметрическую группу подстановок конечного поля.
Ключевые слова: конечные поля, кусочно-линейные подстановки, кусочно-аффинные подстановки, линейная характеристика.
DOI 10.17223/20710410/30/1
PIECEWISE-AFFINE PERMUTATIONS OF FINITE FIELDS
A. D. Bugrov
Certification Research Center, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
Piecewise-affine permutations (p.-a. p.) are defined on any field GF(q). They are a generalization of piecewise-linear permutations firstly introduced by A. B. Evans.
Here some estimates for linear characteristics of p.-a. p. on GF(q) are given. In some cases, their exact values are pointed. Polynomials representing p.-a. p. are described. Under some conditions on л/q — 1, it is proved that piecewise-affine permutations form the full symmetric group of GF(q).
Keywords: finite field, piecewise-linear permutations, piecewise-affine permutations, linear characteristic of permutations.
Введение
В данной работе рассматривается класс кусочно-аффинных подстановок конечных полей. Он является обобщением класса кусочно-линейных подстановок, впервые предложенного А. Б. Эвансом в работе [1]. А. Е. Тришиным в [2] получены оценки и в некоторых случаях найдены точные значения линейной характеристики кусочнолинейных подстановок поля, имеющего характеристику два.
б
А. Д. Бугров
Основным результатом настоящей работы являются оценки линейной характеристики для кусочно-аффинных подстановок произвольного поля (не обязательно характеристики два). В некоторых случаях для линейной характеристики приводятся точные значения. Кроме того, указываются некоторые свойства семейства всех кусочно-аффинных подстановок, свидетельствующие о том, что этот класс существенно более широкий, чем класс кусочно-линейных подстановок.
Для того чтобы определить кусочно-аффинные подстановки, будем использовать следующие обозначения: P = GF(q) —конечное поле из q элементов; e — единица поля P; £ — примитивный элемент поля P; P* —мультипликативная группа поля P. Пусть d,l — натуральные такие, что q — 1 = dl. Тогда (£d) = H < P* —подгруппа порядка l мультипликативной группы. Обозначим через AGL(1,P) группу аффинных преобразований поля P:
AGL(1, P) = {fa,b : P ^ P 1 fa,b(x) = ax + b,a E P *,b E P}.
Введём следующее обозначение:
Ha,b = Ha + b, a,b E P.
Пусть векторы a = (a0,..., ad-i) E (P *)d и b = (b0,...,bd) E Pd+1 такие, что множества Ha.д, i E {0,... , d — 1}, попарно не пересекаются. Рассмотрим объединение
d—1
W = U Ha,,b. U {6d}.
i=0
где символ U обозначает операцию объединения непересекающихся множеств. Если W = P, то будем говорить, что упорядоченная пара векторов (a, b) задает d-разбиение (H-разбиение) поля P. Пусть Rd(P) —множество всех упорядоченных пар, задающих d-разбиения (H-разбиения) поля P:
Rd(P) =1 (a, b) = ((ao ,ai,... ,ad—i), (bo,bi,... ,bd)) E (P *)d xPd+1 : P
U Hat,bi U{bd}
i=0
Заметим, что множество Rd(P) не пусто для всех возможных d и q, так как мультипликативная группа поля P* либо сама является подгруппой H (в случае d = 1) и (e, (0, 0)) E R1(P), либо разбивается на смежные классы по подгруппе H:
P = P* U {0} = U He,0 U {0}, ((e,£,£2,...,£d—1), (0,0,...,0)) E Rd(P).
i=0
Разбиение, соответствующее паре (a, b) E Rd(P), будем называть тривиальным, если b0 = b1 = ... = bd. Пусть Rld(P) —множество всех упорядоченных пар векторов, задающих тривиальные d-разбиения:
Rld(P) = {(a, b) E Rd(P) : b0 = b1 = ... = bd}.
Заметим, что для любой пары (a, b) E Rld(P) выполняется следующее свойство: множества {H, H£,..., H£d— 1} и {Ha0, Ha1,..., Had—1} совпадают. Таким образом, Rld(P) = {(a, b) E (P *)d x (Pd+1) : b0 = b1 = ... = bd E P,as(i) = £i,s E Sd}, где
Sd — симметрическая группа подстановок множества {0,1,... , d — 1}.
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
7
Кусочно-аффинной подстановкой поля P, соответствующей парам (a, b), (c, e) E E Rd(P), будем называть отображение
Aa;b(x)
hci + ei, если x = hai + bi E Hai,bi, i E {0,..., d — 1}, ed, если x = bd.
В случае, когда b = e = (0, 0,... , 0), кусочно-аффинные подстановки будем называть кусочно-линейными.
Введённое определение кусочно-аффинной подстановки корректно (заданное отображение действительно является подстановкой), так как
d—1
a S(p ) = Aa;eb(u наг;ьг u{bd})
i=0
d—1
d—1
d— 1
u AJ;eb(H*;bi) U AJ;b(bd) = U HaU {ed} = U Hau {ed} = P.
i=0
i=0
i=0
Для обозначения подстановки А^’Ь будем также использовать запись
bd Ha0’bo Hai;bi . . . Ha
Aa,b
Lad-i;bd-i
ed Hc0’eo Hciei . . . Hcd—i
cd—bed—l
где ограничение Aab* на Ha.b., i E {0,... ,d — 1} выглядит следующим образом:
H~aг’bг
Hc. e.
сг; ег
a.iC0 + bi a£d + bi
Cii° + ei с.С d + ei ... CiCd(1 1} + e
Cd(1-1) + b
a
Заметим, что отображение ш : ((a, b), (c, e)) ^ Aab* неинъективно. Например, тождественная подстановка представляется как Aa b = ac ;e для любых (a, b), (c, e) E
E Rd(P).
Множество кусочно-аффинных подстановок, образованных d-разбиениями поля P, будем обозначать Ad(P). Справедливо равенство
Ad(P) = {Aa;eb : (a, b), (c, e) E Rd(P)}.
Множество кусочно-линейных подстановок, образованных d-разбиениями поля P, будем обозначать Ld(P). Таким образом,
Ld(P) = {Aa;b : (a, b), (c, e) E Rld(P), b = e = (0, 0,..., 0)}.
1. Некоторые свойства класса кусочно-аффинных подстановок Утверждение 1.
1) Для любых пар (a, b), (c, e), (f, g) из Rd(P) верно равенство
a ; b л c ; e
Aa bA
c ; e ; g
A
a b. f g.
2) Группа AGL(1, P) аффинных подстановок поля P вложена в множество Ad(P) так, что для любой подстановки g E AGL(1,P) и любой пары (a, b) E Rd(P) найдутся пары (c, e), (k, t) E Rd(P), такие, что g = Aab1 = A^;b.
8
А. Д. Бугров
3) Для любой кусочно-аффинной подстановки G Ad(P) и для любых аффинных преобразований k,g G AGL(1,P), где k(x) = ax + в, g(x) = уж + Л, верно равенство kA^g = AU’g, где
(u, v)=((a-1ao, a-1ai,..., a-1ad_i), (a-1bo — a-1 в, a-1bi — a-1 в,..., a-1bd — a-1 в)), (f, g) = ((yco? Ycl,..., Ycd_1), (Yeo + Л, Ye1 + Ф ..., Yed + Л)).
d—1
4) Если ф|^2 и d21(q — 1), то Adi(P) C Ad2(P).
q — 1
5) Если -—-— = l ^ 2, то для любого произвольного разбиения P = U Ri U{r}, где
d i=o
|Ri| = l, i G {0,..., d — 1}, существует пара (a, b) G Rd(P), такая, что Hai,bi = Ri, bd = r для любого i G {0,..., d — 1}.
6) Если
q—1
d
l ^ 2, то Ad(P) = S(P), где S(P) — симметрическая группа подстановок поля P.
7) Если Rd(P) = Rld(P), то Ad(P) = V+(P)Ld(P)V+(P), где V+(P) —группа сдвигов поля P.
Доказательство.
1) Пусть x G Haibi, тогда существует h G H, что x = hai + bi. По определению Aaeb(x) = hc + ei G Hci , e., следовательно, Af ’g(hc + ei) = hfi + gi. Если x = bd, то
Aa’ebAfc:e (x) = A-(ed) = gd.
2) Если g(x) = ax + в, где a G P*, в G P, то при (c, e) = ((aao,..., aad-1), (abo + + в,..., abd-1 + в, abd + в)) для любых i g {0,..., d — 1}, h G H имеем
Aa,b(hai + bi) = haia + abi + в = a(hai + bi) + в, A^bd) = abd + в,
то есть Aa’b действует на P, как и g.
Аналогично при
(c, e) = ((a-1ao,..., a-1ad_1), (a-1bo — a_1в,..., a-1 bd_1 — a_1в, a-1bd — a_1в)) для любых i G {0,..., d — 1}, h G H имеем
Aa b(hci + ei) = hai + bi = a(hc + ei) + в, A^ b(ed) = bd = aed + в.
3) Пусть F = Aa eb, тогда по п. 2 существуют пары (f, g), (u, v) G Rd(P), такие
что k = Au’b,g = Af ’g.---------— - * -t,g
i G {0,..., d — 1}, h G H
Af’e. Из п. 1 следует, что kFg = AU gV. Заметим, что для любых
kFg(k 1(aih + bi)) = g(<yh + ei), kFg(k 1(bd)) = g(ed)
следовательно,
AU gv (a 1aih + a 1bo — a 1в)
YCih + Yei + Л, A^gV (a 1bd — a 1 в) = Yed + Л.
4) Пусть H, G — подгруппы P*, такие, что |H| = l1 = (q — 1)/d1, |G| = l2 = (q — 1)/d2. Тогда l2|l1 и G < H. Группу H разобьём на смежные классы по подгруппе G:
H
d2 / di — 1
U
j=o
G£dlj.
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
9
Зададим отображение т : Rdi (P) ^ (P*)d2 х Pd2+1 таким образом, что т(a, b) = (c, e), где
(a, b) ((ao, ■ ■ ■ , adi — 1) , (bo,■ ■ ■ , ddi)) ,
(c e) = ((ao,Cdl ao,.. ■,Cd2—dl ao^ ■ ■ ^ —i,^dl adi—1,■ ■ ■,^d2~dl adi—1^
d2/di
---sr—
d.' d
bo, ■ ■ ■, bo, ■ ■ ■ ,bdl—l, bdl—l, ■ ■ ■, bdi—i, bdi))■
d2 /d1
---sr--
d2 /d1
В силу равенств
di —1 di — 1l /d2/di — 1 \ \
P = LI Haiti LI {bdi} = U U G£*j a, + bi U {bdi} =
,=o ,=o £ £ j=o J J
di —1 / d2/i — 1 \ di —1 / \
= U ( U G^jdi a, + b, U {bdi} = U ( Gai,bt U G^di a.,b. U ■■■ U G^d2-di a.,b.\ U {bdi}
,=o \ j=o / i=0 V /
имеем (c, e) e Rd2 (P).
Теперь покажем, что AU’,V = ^T(u v) e Ad2 (P) для любой кусочно-аффинной подстановки AU’V e Adi (P). Выберем любой элемент x поля P. Если он равен bdi, то
Au,v (x) = a; (U'b)(x)-
Если x = ha, + b, e Hai,bi, где h e H, i e {0, ■ ■ ■, d1 — 1}, то найдутся g e G, j e {0, ■ ■■,d2ld1 — 1}, такие, что h = g£jdi. Следовательно, ha, + b, = g£jdia, + b,. Пусть т(a, b) = (c, e), т(u, v) = (f, t). Заметим, что
c,d2/di+j C a,, f,d2/di+j £'
jd1
u,
e,d2 /di+j b,,t,d2/di+j v,
при всех i e {0, ■ ■ ■, d1 — 1}, j e {0, ■ ■ ■, d2/d1 — 1}. Тогда
AU’,V(ha, + b,) = hu, + v, = g£jdi u, + v, =
gf,d2/di+j + t,d2/di+j Af,t (gc,d2/di+j + e,d2/di+j) Af,t (g^ la, + b,) Af,t (ha, + b,)^
5) Группа AGL(1, P) 2-транзитивна, значит, для любого множества R С P из не более чем двух элементов существуют a e P*, b e P, такие, что Ha,b = R.
6) При l = 1 доказательство очевидно. Пусть l = 2. Выберем любую подстановку s e S(P), такую, что
uo u1 ■ ■ ■ uq—1
vo V1 ■■■ Vq—1
Тогда из п. 5 следует, что существуют пары (a, b), (c, e) e R2(P), такие, что Hai,bi =
= {u2,, u2,+ 1}, HCi,ei = {v2,,V2,+1}, bd = uq—1, ed = Vq—1, то есть S = A^h
7) Включение V +(P)Ld(P) V+(P) С Ad(P) следует из п. 3. Для любых A^ e Ad(P), (a, b), (c, e) e Rld(P), b = (b, b, ■ ■ ■, b), e = (e, e, ■ ■ ■, e) из п. 3 и Rd(P) = Rld(P) следует равенство
AS = kAaJ g,
где 6 = (0, 0, ■ ■ ■, 0); A^ e Ld(P); k(x) = x — b; g(x) = x + e.
10
А. Д. Бугров
Замечание 1. Из условия d =2 следует, что char P = 2, так как d\(q — 1).
Лемма 1. Пусть d =2, H = (£2), q > 5. Тогда для любого b G P* существуют а\,а2 G H и а3,а4 G Н£, такие, что а4 — а2 = а3 — а4 = b.
Доказательство. Пусть f : Pn ^ P — произвольное отображение и
N *(f (xi, ...,Xn) = b) = \{(а1, ...,ап): ах,...,ап G P *,f (ах, ...,ап) = b}\.
Если п — квадратичный характер поля P, то получим равенства
N *(x22 — x2, = b) = E N*(x2 = c1)N*(—x2 = c2) =
ci +C2=b;ci ,C2GP*
= E (1 + n(ci))(1 + n(—c2))= E [1 + n(—c2) + n(ci) + n(—cic2)} =
Ci +C2=b;ci ,C2 GP * Ci +C2 =b;ci ,C2 GP *
= q — 2+ E п(—c)+ E n(c) + п(—1)Е n(cic2) =
cG{0,b} cG{0,b} ci+C2=b;ci,C2 GP*
= q — 2+ E п^+E n(c) + п(—1)Е n(cb — c2).
cG{o,b} cG{o,b} cG{o,b}
Используя равенства п(0) = 0, ^ n(c) = 0 (свойство мультипликативных характеров)
cGP *
и Е n(cb — c2) = — п(—1) [3, теорема 5.48], имеем
cGP
N* (x2 — x2 = b) = q — 2 — п(—b) — n(b) — п(—1)п(—1) = q — 3 — n(—b) — n(b).
Легко заметить, что при q > 5 выполнено N*(xf — x2 = b) > 0, следовательно, существуют ах,а2 G Н, такие, что ах — а2 = b, для любого b G P*. Из существования
решения уравнения
xi — x2 = b, где xi, x2 G H, b G P*, следует существование решения уравнения
xx — x2 = b, где xx,x2 G Н£, b G P*,
и существование ах,а2 G H£, таких, что ах — а2 = b, b G P*. ■
Лемма 2. Пусть d =2, q > 5. Тогда для любого b G P* существуют ах G Н, а2 G Н£, такие, что ах — а2 = b.
Доказательство. Заметим, что H состоит из всех элементов, являющихся квадратами элементов из P*, а Н£ состоит из всех ненулевых элементов, не являющихся квадратами. Справедливы следующие соотношения:
N *(xl — £x2 = b)= E N *(x2 = ci)N *(x2 = —£-1c2) =
ci+C2=b;ci,C2GP *
= E (1+ n(ci))(1+ n(—£-ic2)) =
ci+C2=b;ci,C2GP *
= E [1 + П( — £-ic2)+ n(ci)+ n( — £-icic2)} =
ci+C2=b;ci,C2GP *
= q — 2 + п(—£-i) E n(c)+ E n(c) + n(—£-i) E n(cic2) =
cG{0,b} cG{0,b} ci+C2=b;ci,C2GP*
= q — 2 + п(—£-i) E n(c)+ E n(c) + n(—£-i) E n(cb — c2).
cG{o,b} cG{o,b} cG{o,b}
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
11
Используя равенства п(0) = 0, ^ г/(с) = 0 (свойство мультипликативных характеров)
ceP *
и n(cb — с2) = —п(—1) [3, теорема 5.48], имеем
ceP
N*(x2 — ^ = b) = q — 2 — П(—С-1)П(Ь) — П(ь) — П(—С-1 )П(—1) =
= q — 2 — n(b)(1 + П(—£-1)) — П(С-1).
Легко заметить, что при q > 5 выполнено N*(x2 — £ж2 = b) > 0. ■
Замечание 2. При q = 3, 5 леммы 1 и 2 неверны.
Теорема 1. Если q > 5, то R2(P) = Rl2(P).
Доказательство. Пусть (a, b) = ((а0,а1), (b0,b1,b2)) G R2(P).
1) Если Ha0 = Ha1, то b0 = b1 (в силу определения (a, b)), и для любых x G Hao,bo, y G Hai,bl выполнено
x = a0hx + b0 = aRiy + b1 = y,
где hx,hy G H. Следовательно, a0hx — a1hy = b1 — b0. Заметим, что a0hx — a1hy про-
бегает P* по лемме 1. Значит, b1 — b0 = 0, и получено противоречие с соотношением
b0 = b1 .
2) Если Ha0 = Ha1 и b0 = b1, то аналогично случаю 1 получаем противоречие с помощью леммы 2.
Таким образом, если Ha0 = Ha1, то (a, b) G R2(P); если Ha0 = Ha1, то (a, b)
может быть разбиением только в случае b0 = b1 = b2. ■
Следствие 1. Если q > 5, то выполняется равенство
A2(P) = V+(P)L2(P)V+(P).
Если q = 3, 5, то выполняется равенство
A 2 (P) = S (P).
Доказательство. Следует из п. 7 утверждения 1. ■
Утверждение 2. Пусть (a, b) G Rd(P) и xf — ж)] пробегает всю группу P* при (x1, x2) G (P*)2, то есть для любого с G P* существуют f, e G P*, такие, что fd — ed = c. Тогда среди смежных классов Ha0, Ha1,... , Ha^-1 нет двух одинаковых.
Доказательство. От противного: пусть в наборе (Ha0, Ha1,..., Had-1) есть два одинаковых класса Hai = Hak, i, k G {0,..., d — 1}, i = k. Тогда b = bk ввиду (Hai + bi) П (Hak + bk) = 0, из чего получаем противоречие по аналогии с доказательством теоремы 1. ■
Гипотеза 1. Если d < -^/q — 1, то есть количество классов в разбиении меньше, чем элементов в одном классе, то Rd(P) состоит только из тривиальных разбиений и выполняется равенство
Ad(P) = V+(P)Ld(P)V+(P).
Замечание 3. Теоретически обоснован случай q > 5, d = 2. Экспериментально гипотеза подтверждена на малых значениях d и q (см. п. 9).
Следующая теорема даёт способ построения нетривиального d-разбиения.
12
А. Д. Бугров
Теорема 2. Пусть (l + 1)|q, hi, h2 G H, (a, b) G Rd(P), bi = bd, i G {0,..., d — 1}.
Тогда ((a0, . . . , ai-i , aihi , ai+i , ... , ad- i) , (b0, . . . , bi-i , aih2 + bd, bi+i, . . . , bd- i , aih2 + bd))
нетривиальное d-разбиение.
Доказательство. Достаточно показать, что
Hai,bd U {bd} Haihi,aih2+bd U {aih2 + bd}.
Если (l + 1)|q = pn, то l = pk — 1 для некоторого 1 ^ k ^ n, а так как pk — 1 = = l|(q — 1) = pn — 1, то k|n и H U {0} — подполе поля P. В частности, H U {0} замкнуто относительно умножения на hi и прибавления h2. Значит,
Hai,bd U {bd} = {H U {0}}ai + bd = {Hhi U {0}}ai + bd = {Hhi + h2 U {h2}}ai + bd =
{Hhi,h,2 U {h2}}ai + bd Haihi,aih2 +bd U {aih2 + bd}.
Теорема доказана. ■
Замечание 4. Данная теорема применима в случае, когда P = GF(q), где q = pn, имеет собственное подполе, то есть n имеет собственный делитель.
2. Критерий на d-разбиение Теорема 3. Пусть 2 < q, 1 <d<q — 1. Пара векторов
(a, b) G (P*)d x Pd+i
образует d-разбиение тогда и только тогда, когда для любых i,j G {0,..., d — 1}, i = j, выполняются следующие условия:
1) (bj = bi) ^ G H);
ai
2) (bj = bi) ^ fa G H для всех h Е H
V bj — bi
3) bd = —l E bj.
j=о
Доказательство. Пара векторов (a, b) задает d-разбиение тогда и только тогда, когда
P = LJ Hai,bi U{bd},
i=0
то есть для любых i, j G {0, . . . , d — 1}, i = j,
а) Hai,bi П Haj,bj ^;
б) bd G Hai,bi.
Условие «а» равносильно тому, что для любых hi,h2 G H, i, j G {0,... , d — 1}, i = j, выполняется неравенство aihi + bi = ajh2 + bj. Пусть hi = h2h, h G H, тогда
h2 (aih — aj) = bj — bi
В итоге «а» равносильно следующим условиям:
aih — aj
j i / aih aj
h-i = -r----r2
bj - bi
<^>
bj - bi
G H при bi = bj;
(aih — aj = 0) ^ ( — G H ) при b
bj.
i
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
13
Пункт «б», при условии «а», равносилен тому, что
bd + ЕЕ c = о,
j=0 сена.,ь.
так как сумма элементов конечного поля, имеющего мощность, не равную двум, равна нулю. Тогда, пользуясь тем, что сумма элементов любой неединичной подгруппы группы P* равна нулю, получаем
d—1 d—1 d—1 d—1 d—1
bd = - E E c = - E E (ac + bj) = - E a E c - E |H|bj = -1bj,
j=0 c^Haj,bj j=0 cEH j=0 cEH j=0 j=0
из чего следует утверждение теоремы. ■
3. Близость между дискретными функциями
Определим удобное для наших вычислений понятие близости в случае произвольного поля и сравним его с другими понятиями близости [4, 5].
Пусть P0 = GF(p) — простое подполе поля P = GF(q), f, g : РЩ ^ P0, X — канонический аддитивный характер поля P0, задаваемый равенством x(x) = e2nip, x E P0. Множество всех характеров группы (P0, +) имеет вид {уа : a E P0}, где \а(x) = x(ax), x E P0, для всех a E P0. Определим коэффициент кросс-корреляции между функциями f и g равенством
Ca(f,g) = Е Xa(f (x) - g(x)), a E P0\{0}.
Обозначим
C (f,g)= max |Ca(f,g)|.
aePo\{0]
Покажем, что C(f,g) = 0 тогда и только тогда, когда в множестве {f(x) - g(x) :
|P |П
x E P0n} любой элемент из P0 появляется ровно 1 = |P0|n— 1 раз. В обратную сторону
0 | P0 |
утверждение верно в силу равенства Е Xa(c) = 0, a = 0.
cEPo
Докажем утверждение в прямую сторону. Пусть N — число решений уравнения f (x) - g(x) = b. Тогда из равенства для любых элементов c,d E P0
xEP0n
Ex(c)x(d)
0, если c = d, p, если c = d,
где суммирование осуществляется по всем характерам х группы (P0, +), следуют равенства
N
- Е Ex(f (c) - g(c))x(b) = -n 1 + - Е x(b) Е x(f (c) - g(c))
p cEPn X p X=Xo сЕРОП
-
n— 1
В двоичном случае (P0 = {0,1}) имеем
C (f,g) = |Ce(f,g)| = E X1(f (x) - g(x)) = (-i)f(x) фg(x)
xE{0,1}n xE{0,1}n
14
А. Д. Бугров
так как Xi(x) = (—1)x — единственный нетривиальный характер поля GF(2). Чем меньше C(f, g), тем более «различны» функции f (x) и g(x).
Пусть теперь g пробегает всё множество аффинных функций от n переменных над полем P0, то есть g(x) = g(x1,... ,xn) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b, где a1,... ,an,b —
элементы из P0. Рассмотрим величину
C(f) = maxC(f,g) = maxmax |C«(f,g)1, (1)
9 9 aePo*
которую назовём близостью f к классу всех аффинных функций от n переменных над полем P0. Вместо функции g(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b достаточно рассмотреть только функции вида h(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn, так как
Ca(f,g) = Xa(b)Ca(f,h), |Ca(f,g)| = |Ca(f,h)|.
В работе [4] близость между функциями f, g : Pp ^ P0 определяется как
S(f, g) = JL1 E (P(f - g = y) - 1/-)2,
- - 1 yePo
где вероятность P определяется при условии, что аргументы функций f и g выбираются случайно и равновероятно. Выразим S(f,g) через коэффициенты кросс-корреляции Ca(f, g). Рассмотрим величину
Ny(f - g) = Kx ^ Pon : f (x) - g(x) = уЦ.
Пусть xa — аддитивный характер поля P0. Из равенства
следует, что
1
I 0, если x = 0, Е Xa(x) = <
aePo -, если x = 0,
1
Ny(f - g) = - E E Xa(f (x) - g(x) - y) = - E Xa^ E Xa(f (x) - g(x))
- xePn aePo
- aePo
1
= - E Xa(y)Ca(f,g) + P' P aePo\{0}
n1
Тогда
P(f - g = У) - 1/P
Ny (f - g) 1
1 E Xa(y)Ca(f,g) + -- aePo
n— 1
-n
11
-
-n - -n+1 aePO
С использованием предыдущих равенств получаем
Е Xa(y)Ca(f,g).
^(f,g)
-
(- - 1)-2(n+1) y^Po VaePr
E E Xa(y)Ca(f, g)
xePon
2
-
(- - 1)-2(n+1) yePo
E Xa(y)Ca(f, g)
aePo
E Xb(y)Cb(f,gn =
bePo /
-
(- - 1)-2(n+1)
E Ca(f,g)C&(f,g^ Xa(y)Xb(y).
a,bePo* yePo
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
15
Из свойств аддитивных характеров следует, что
Е Xa(v)Xb(y)
V&Pq
0, если a + b = 0, p иначе.
Значит,
£(Л#)
p2
(p — 1)p2(n+i)
E Ca(f,g)C-a(f,g)
a€P*
1
(p — 1)p2n
E |Ca(f,g)|2.
a€P*
Таким образом, нахождение точных значений коэффициентов кросс-корреляции Ca(f, g) или получение оценок сверху их модулей позволяет соответственно найти величину S(f,g) или получить её оценку сверху.
4. Линейная характеристика преобразований конечного поля
Определим линейную характеристику подстановки. Рассмотрим P = GF(q) —расширение степени n поля P0 = GF(p), q = pn. Пусть F : P ^ P, a1,...,an — базис линейного пространства Pp0, F1,..., Fn — координатные функции отображения F, то есть
F (x) = aiFi(x) + ... + a,nF,n (x) = a fi(xb ...,Xn) + ... + anfn (xi,.. .,Xn), где fi : Pn ^ Po; x = aixi + ... + anxn. Введём обозначение
Cf(a, в) = E Xa(ax — eF(x)), xeP
где a E P; a E P*; в E P*; Trp : P ^ P0 — функция следа; xa(y)
аддитивный характер поля P. Величину
2 ni
e
TrP(ay)
P
S(F)
max
aeP,geP *,aeP0*
CF(a, в)
max
aeP,/3eP *,aeP0*
E Xa(ax x€P
eF (x))
будем называть линейной характеристикой преобразования F. Пусть вь ... ,в'п — базис, двойственный к базису ai,... , an, то есть такой, что выполнено условие
если i = j, если i = j.
Такой базис существует [3]. Пусть элементы ai,... , an, ci,... ,cn E P0 такие, что
a = eiai + ... + вnan, в = eici + ... + вncn,
TrP(aEj)
тогда
eF (x)
n
EeiCi
E aj fj (xi,..., xn) j=i
E ajeifj (xi, . . . , xn)ci,
i,j€{i,...,n}
ax
n
E eiai
i=i
E aj xj j=i
El aj eixj ai,
i,je{i,...,n}
16
А. Д. Бугров
Xa(ax - pF(x)) = exp <( 2Л1TrM a( E ajвiXjai - E ajвifj(xi,..., xjc)
p у i,je{1,...,n} i,je{1,...,n}
exp <( 2nia E Trp(ajвiXjai) - E Tr^jвifj (xi,.. .,Xn)Ci)
P \i,je{1,...,n} i,je{1,...,n}
= exJ 2nia E xjaj - Y fj(x1,..., x,n)cj
У p \je{1,...,n} je{1,...,n}
Отсюда, согласно обозначениям п. 3,
К (а, в )|
Значит,
Е Xa Е ajxj - Е fj (x1,. . ., xn)cj xePj \j=1 j=1
nn
Ca ( E ajxj, E fj(x1, . . . , xn)cj j=1 j=1
8(F) = max \CF(а,в)) |
aeP,/3eP*,aeP0* 1 av '' 1
max max max
ceP0n\{0} aeP0n aeP0*
Ca ( E xj aj, E fj (x1,...,xn)cj
je{1,...,n} je{1,...,n}
Согласно формуле (1), 8(F) = max C Y fj(x1,... , xn)cj . Таким образом, 8(F) —
ceP0n\{0} у j J
максимальная близость нетривиальных линейных комбинаций координатных функций преобразования F к классу всех аффинных функций от n переменных над полем Р0. Кроме того, заметим, что при фиксированном a Е Р0*
max \CF(а, в) aeP,eeP *' a
max max
ceP0n\{0} aeP0n
Ca
n
E xj aj j=1
n
Efj (x1,...
j=1
= max max
ceP0n\{0} a€P0n
Ce
axjaj
E afj (x1,..., xn)cj
= max max
c€P0n\{0} a€P0n
Ce
E xj aj
Efj (x1,...,xn)cj j
max \CF(а, в) aeP„seP* 1 e
В итоге
8(F) = max \CF (а,в )\. aeP,eeP* 1 e 1
Этой формулой будем пользоваться всюду в дальнейшем. В случае поля чётной характеристики такое определение линейной характеристики используется в работе [2]. В [5] определяется функция согласия, которая отличается от функции 8 только нормирующим множителем.
Оценим снизу величину 8(F), где F — подстановка поля Р. Для этого выведем аналог равенства Парсеваля для коэффициентов Уолша — Адамара булевой функции:
Е Е \Cf(а.в)Г = Е Е CF(а,в)Cf(а,в) =
aeP^eP * aeP^eP *
= Е Е Е x(аx + вF(x)) Е х(-аУ - вFЫл =
aeP^eP* \x€P / \y€P /
= Е Е Е х(в(F(x) - F(y^ Е xHx - y)) = E E E х(в(F(x) - F(y)))q8x,y
xeP^eP* yeP aeP ^eP^eP* yeP
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
17
где
Значит,
S
x,y
0, если x = у,
1, если x = у.
Е Е |CeF(а,в)|2 = Е Е q^x,y Е x(e(F(x)- F(у))) =
aeP yeP * xePyeP eeP *
= E E q^x,y (q^x,y- 1) = q2(q — 1).
xeP yeP
Следовательно,
6(F) = max |C,f(а,в)! ^ Уд. aeP,eeP* 1 e 1 v
5. Линейная характеристика кусочно-аффинных подстановок
Исследуем некоторые свойства линейной характеристики кусочно-аффинных подстановок. Пусть P = GF(q), х — канонический аддитивный характер поля P, определяемый равенством
х(у)
2 ni Trial
e p
у e P,
где Тг(у) — функция абсолютного следа поля P.
Теорема 4. Пусть A^’ej* = F e Ad(P) и элементы а-1Со, ..., a__ cd_1 попарно различные. Если для любых а e P, в e P*:
1) среди элементов аа^ — вс?, j e {0,..., d — 1}, нет нулевого, то
cf(а,в) — ^ ^ (d — 1)yq
где
1 d_ 1
^i = x(abd— eed) — Е x(abj — eej);
d j=0
2)
среди элементов aaj aaj0 + ecj0 =0, то
ecj, а e P, в e P *, j e {0, ...,d — 1}, есть нулевой
|Of(а,в) — <Ь| « —tАУч,
где
1 d_1 /1'
^2 = xMd — вed) — j E XMj — вej) + 1 + 4 ) XMjo — вej0).
d
j=0
d
Доказательство. Для произвольных а e P, в e P* имеем равенство
Cf (a, в) = E Х(аХ — вF(x)).
xeP
Получим далее
d—1
Cef (а, в) = X№ — вed) + Е Е x^x — в((x — bj)aj_1 cj + ej)) =
j=0 xeHaj,bj
d—1
= xMd — вed) + Е Е X^x — вxaj _1 Cj — в (—bj aj _1Cj + ej)) =
j = 0 xeHaj,bj
d_ 1
= x^bd — вed) + E E X^xaj + аф — вxcj — вaj_1 Cjbj — в(—bjaj_1Cj + ej)).
j=0 xeH
18
А. Д. Бугров
Тогда
d-1
CeF(а ф) = х№ - ^ed) + Е Е х((аа - Ecj)x)x{abj — fiej). (2)
j=0 хеН
Введём обозначение Yj = а — ftaj1^. Заметим, что по условию теоремы числа a-1c0, ... , a-l_1Cd-1 попарно различны. Поэтому при фиксированных элементах а Е P, в Е P* элементы у0,... , Yd-1 попарно различны и возможен один из двух случаев:
а) Yj = 0 для всех j Е {0,... , d — 1} (среди них нет нуля);
б) существует j0 Е {0,... , d — 1}, такой, что Yj0 = 0, и Yj = 0 для всех j Е {0,... ,
d — 1}\{j0} (среди них есть один нуль).
Пусть имеет место случай «а». Воспользуемся разложением аддитивного характера х по мультипликативным характерам поля P [3]:
х(у) = Е£(ф,х)ф(уф У Е P*,
q — 1 ф
где сумма берётся по всем мультипликативным характерам ф поля P; ф — характер, сопряжённый для характера ф; 0(ф, х) — сумма Гаусса, определяемая равенством
с(ф,х) = Е ф(с)х(с).
ceP *
Из (2) получим
1 d-1
Ce (а,в) = х(аbd — eed) + ^ Е X(аbj
dl j=0
eej ^ 0(ф,х)ф(аaj
ф
ecj) Е ф(х).
хен
Учитывая равенство
Е ф(х)
хен
|H|, если ф Е Ann(H), 0, если ф Е Ann(H),
где Ann(H) —аннулятор группы H = (£d), состоящий из всех мультипликативных характеров ф поля P, для которых ф(£d) = 1, получим
1 d-1 _
cf(а,ф) = х№ — Eed) + д Е х(аф — eej) Е G(ф, х)ф(аaj— ecj).
d j=0 феАпп(Н)
Пусть ф0 — тривиальный мультипликативный характер. Тогда, учитывая равенства dl = q — 1 и С(ф0, х) = —1, получим
1 d- 1
CeF(а8 ф) = х№ — Eed) — Д Е х(аЬ^' — Eej) +
d j=0
1 d-1 _
+д Е х(аbj— eej) Е G(ф, х)ф(аа — ecj).
d j=0 фе Ann(Н)\{фо}
(3)
Учитывая равенства |х(х)| = 1, |ф(у)| = 1 для любых у Е P*, х Е P; |Ann(H)| = d;
1 d-1
|£(ф, х)| = для всех ф = ф0; ф = х(abd — Eed) — - Е х(аф — Eej), получим оценку
d j=0
|Се (а,ф) — ^1| ф 1(d — 1)Vqd = (d — 1)Vq. (4)
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
19
Пусть имеет место случай «б»: yj0 = 0 для некоторого индекса j0 Е {0,..., d — 1} и Yj = 0 для всех j = j0. Учитывая, что х(0) = 1, из равенства (2) получим
cf(a,eHx(abd — l3ed)+ Y X(abjo—eejo)+ Е Е X((aaj—ecj)x)X(abj — fie-j)=
x£H je{0,...,d-1}\{jo} x£H
= X(abd — eed) + E X(abjo — fiejo) +
xeH
+1 E G(ф, x) E Ф(aaj— ecj)x(abj— eej)Y e(x) = x(abd— eed)+
dl у je{0,...,d-i}\{jo} xeH
+1X(abjo — eejo) + 1 E G(Ф, X) E ^(aaj — ecj)X(abj — eej) =
d yeAnn(H) je{0,...,d-i}\{jo}
= X(abd — Ped) — 1 E X(abj — eej) + t>X(abjo — eejo)+ (5)
d je{0,...,d-i}\{jo}
+1 E g(^,x) E ^(aaj— ecj )x(abj— eej ) =
d yeAnn(H)\{yo} je{0,...,d-1}\{jo}
= x(abd— eed) — 1 E x(abj— eej)+ l1 + 1) x(abjo — eejo)+
d j€{0,...,d-1} \ d/
+1 E g(^,x) E ^(aaj— ecj )x(abj— eej).
d yeAnn(H)\{yo} je{0,...,d-1}\{jo}
Получаем оценку
ICf (a,e) — у < d(d — i)yq(d — 1) = ДДyq. (6)
Объединяя (4) и (6), получаем требуемый результат. ■
6. Частные случаи и примеры
Лемма 3. Пусть F : P ^ P — произвольное преобразование поля P, g,h Е Е AGL(1,P). Тогда |Cf(аа-1,ве)\ = \Cfh(a,p)|.
Доказательство. Пусть g(x) = ах + b, h(x) = cx + e. Тогда справедливы следующие равенства:
cfh(a,e) = Е Xa(ax — eh(F(g(x)))) =
xeP
= E Xa (ag-1(x) — fih(F(x)) = Y Xa (axa-1 — aa-1b — ^cF(x) — ве) =
xeP xeP
= E Xa (aa-1x — ecF(x)) xa (—aa-1b — ве) == Xa (—aa-1b — ве) Cf (aa-1, вс).
xeP
Остаётся заметить, что |xa(—aa 1b — ве)| = 1. ■
Следствие 2. В условиях леммы 3 4(F) = 4(gFh).
Утверждение 3. Пусть q > 9, F Е A2(P). Тогда 4(F) Е
q ±Vq \/q2 + q 2 , 2
q
Доказательство. Из лемм 1 и 2 следует, что R2(P) = R12(P) при q > 5. Из п. 7 утверждения 1 следует A2(P) = V+(P)L2(P)V+(P). Используя лемму 3, получаем, что для любой подстановки F = Д^в Е A2(P) существует W = Д^, такая, что
20
А. Д. Бугров
S(F) = 5(W). Пусть (£2) = H < P подгруппа, образованная всеми ненулевыми элементами поля P, возведёнными в квадрат. Заметим, что векторы (Ha0, Ha1), (Hc0,Hc1), (H, H£) совпадают при некоторой перестановке координат. Тогда если c0/a0 = c1/a1, то для любого h G Ha0 верно W(h) = hc0/a0, для h G Ha1 верно W(h) = hci/ai и W(0) = 0, то есть W действует так же, как g(x) = x • c0/a0, следовательно, W — линейная подстановка и 5(W) = q.
Пусть c0/a0 = c1/a1. Тогда дословно повторим рассуждения теоремы 4 о значении 5(W), а именно: если в теореме 4 имеет место случай «а», то воспользуемся равенством (3) и при подстановке известных значений получим
CeW(а,в) = 1 (G(n,X)n(aa0 — ec0) + G(n,x)n(aa 1 — eci)) G {±G(n,x), 0},
где n — квадратичный характер. Если имеет место случай «б», то, используя равенство (5), получим
CeW(а,в) = 2 + 2G(n,X)n(aaj — Pc3), где j G I0, 1}.
Известно [3], что
G( ) = [ (-1)n-1Vq, если Р = 1 (mod 4)
\(—1)n-1injQ, если p = 3 (mod 4).
Значит, если p =1 (mod 4) или p = 3 (mod 4) и при этом 2|и, то |С^(а, в)| G G - ,~~~^~ |; если p = 3 (mod 4) и 2 /и, то (а,в )| = \/^+q. Таким
образом,
|CW(а,в)| G
оХ-Л ч+Л, Vq!±8,
2
2
Заметим, что 5(F) = 0, так как при вычислении 5(F) всегда существуют такие а, в,
q — Jq
что имеет место только случай «б» теоремы 4. Если q > 9, то - > ^/q, и тогда
q ±Vq
S(F> = \ Vfc-q
если (p = 1 (mod 4)) V (p = 3 (mod 4)) Л 2 | и),
иначе.
2
Утверждение доказано. ■
Пример 1. Рассмотрим подстановку в поле GF(13):
(а, 0) = ((1,2, 4, 8), (0,0, 0, 0, 0)) G ^(GF(13)),
(c, e) = ((3, 4,1, 9), (5, 0, 2, 6, 0)) G ^(GF(13)) 4(Aa;e0)/q = 6,5/13 = 1/2.
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
21
7. О многочленах, соответствующих кусочно-аффинным подстановкам
Введём обозначение
d-1
pol(x) = Е xil = xdl + x(d-1)l + ... + xl.
i=0
Данный многочлен интересен для кусочных относительно H функций своими значениями:
,,,, Id, если h G H,
pol(h) = 1 n
I U иначе.
Используя pol(x), можно составить аналог интерполяционного многочлена Лагранжа для кусочно-аффинных подстановок.
Утверждение 4. Пусть Д^ G Ad(P). Тогда
да,Ь(х) = (1 - (x - bd) 1 )ed + Е ((x - bi)a- lcA + d) pol ((x - bi)a- 1) d 1.
i=0
Доказательство. Заметим, что d-1 существует, так как d и p — взаимно простые числа. Нетрудно заметить, что pol ((x - b^a-1) d-1 принимает значение 1 на Hai + bi и 0 на остальных элементах поля P. Корректное отображение bd в ed обеспечивает слагаемое (1 - (x - bd)q-1)ed. ■
Следствие 3. Для любой подстановки вида Д^ G Ld(P) существуют f0,... , fd-1GP, такие, что
d- 1
Да’е(x) = x Е fixil.
i=0
Для любой подстановки вида Д^’е G Ad(P) существуют f0,... , fd-1, h0,..., hd-1 G P,
такие, что
Д^(x) = x E fixil + E hixil + (1 - xq-1)ed.
i=0 i=0
Утверждение 5. Подстановка, задаваемая многочленом xs, является кусочнолинейной из Ld(P) тогда и только тогда, когда l|(s - 1) и (s, q - 1) = 1, где dl = q - 1.
Доказательство. Сразу заметим, что условие (s,q - 1) = 1 равносильно тому, что xs задает подстановку в поле GF(q). Пусть xs задает подстановку Д^ G Ld(P), тогда найдётся i G {0,... , d - 1}, что ai G H. Так как (H, •) —группа, xs отображает блок H в себя так, что xs(h) = ha-1ci G H для любого h G H. Значит, a-1ci G H. Заметим, что xs(1) = 1, тогда a-1ci = 1. Из равенств xs(£d) = £ds = ^da-1ci = £d следует, что £d(s-1) = 1, q - 1|d(s - 1), а значит, 11(s - 1).
Пусть 11(s - 1), следовательно, £ds = £d. Достаточно показать, что xs является кусочно-линейной функцией, то есть xs(ha) = hc для любого h G H и некоторых a,c G P*. Действительно, xs(ha) = hsas = has = hc. ■
8. Группа, образуемая кусочно-аффинными подстановками, и группа
кусочно-линейных подстановок
Пусть Gd(P) —группа, порождённая всеми кусочно-аффинными подстановками. Нетрудно заметить, что Ld(P) —группа.
22
А. Д. Бугров
Утверждение 6.
1) Ld(P) имеет две орбиты — P* и {0};
2) пусть W = {И, И£,... , И£d-i}, R Е W. Тогда f (R) Е W для любой подстановки f Е Ld(P), то есть сохраняется структура смежного класса по подгруппе И;
3) Gd(P) 2-транзитивна;
4) Gd(P) примитивна.
Доказательство. Пункты 1 и 2 очевидны; п. 3 следует из того, что AGL(1,P) 2-транзитивна и лежит в Ad(P); п. 4 непосредственно следует из п. 3. ■
Минимальной степенью группы G < S(П) будем называть число
MG) = min{|supp(g)| : g Е G\{e}} ,
где supp(g) = {а Е P : g(a) = a}.
Приведём формулировку теоремы из работы [6, с. 155].
Теорема 5. Пусть 2-транзитивная группа G < Sn не содержит группу An — знакопеременную группу. Тогда имеют место следующие оценки:
1) g,(G) > Да—Г +1 ^ Да для всех а;
2) д(G) ^ а/8 для всех а;
3) д(G) ^ а/4 для всех а > 216.
Следствие 4. Пусть 1 < I ^ d, где l = |И|. Тогда Gd(P) содержит знакопеременную группу поля P.
Доказательство. Выберем произвольную пару (a, b) Е Rd(P). Заметим, что
(c, b) = ((ao^d, ai,..., ad-i), b) Е Rd(P),
так как Иао,Ьо = Иао^,Ьо. Рассмотрим подстановку g = A^jy. Легко видеть, что при l > 1
supp(g) = Иао ,bo .
Из того, что l ^ d, ld = q — 1, следует соотношение l ^ Vq — 1, то есть
MGd(P)) ^ |supp(g)| = l ^ Дq — 1.
Остаётся воспользоваться теоремой 5 и утверждением 6. ■
Следствие 5. Если 1 < l ^ d, то Gd(P) = S(P).
Доказательство. Заметим, что подстановка g = A^j^, определённая в доказательстве следствия 4, является циклом длины l, а именно g(£kda0 + b0) = £(k+i)da0 + b0. Если l чётное, то g Е A(P), следовательно, Gd(P) = S(P). Пусть l нечётное. Определим подстановку f = A^, где (a, b) Е Rd(P), (c, b) = ((aba0,a2 ,...,ad-i), (bi,b0,b2,..., bd)) Е Rd(P). Из определения A(a,b) следует, что
f = (a0 + b0, ai + bi)(£da0 + b0,£dai + bi) ••• (£d(1 l)a0 + b0,£d(l l)ai + bi), то есть f — произведение нечётного числа транспозиций. Следовательно, f Е A(P) и
Gd(P) = S(P). ■
Кусочно-аффинные подстановки конечных полей
23
9. Результаты эксперимента
В ходе выполнения работы написана программа, выполняющая построение множества Rd(P). При изучении этого множества для малых значений d и q получены следующие результаты:
1) Если d < l, то Rd(P) = Rld(P). Это подтвердилось на следующих парах (d,q): (3,16), (3,64), (7,64), (3,256), (5,256), (7,512), (3,1024), (11,1024), (2,17), (4,81), (5,81), (8,81), (4,25), (6,37).
2) В случае d = l справедливы два результата: Rd(P) = Rld(P) или Rd(P) = = Rld(P)UCd(P), где Cd(P) состоит из пар вида (a, b) = ((a, a,..., a), (b0, bp..., bd)). Первое равенство подтвердилось для следующих значений (d,q): (6, 37), (10, 101), (13,197). Второе равенство выполняется при (d,q) = (4,17).
3) Если d > l, то Rd(P) = Rld(P). Это подтвердилось на следующих парах (d,q): (4,13), (5,16), (6,25), (8, 25), (9,64), (12, 37), (21, 64).
ЛИТЕРАТУРА
1. Evans A. B. Orthomorphism Graphs of Groups. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, 1992. 114 p.
2. Тришин А. Е. О показателе нелинейности кусочно-линейных подстановок аддитивной группы поля F2n // Прикладная дискретная математика. 2015. №4(30). С. 32-42
3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х т.: пер. с. англ. М.: Мир, 1988. 822 с.
4. Солодовников В. И. О совпадении класса бент-функций с классом функций, минимально близких к линейным // Прикладная дискретная математика. 2012. №3(17). С. 25-33.
5. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А. и др. Бент-функции и гипербент-функции над полем из 21 элементов // Проблемы передачи информации. 2008. Т. 44. №1. C. 15-37.
6. Dixon J. and Mortimer B. Permutation Groups. Berlin; N.Y.: Springer Verlag, 1996. 346 p.
REFERENCES
1. Evans A. B. Orthomorphism Graphs of Groups. Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Springer Verlag, 1992. 114 p.
2. Trishin A. E. O pokazatele nelineynosti kusochno-lineynykh podstanovok additivnoy gruppy polya F2n [The nonlinearity index is a piecewise-linear substitution of the additive group of the field F2n]. Prikladnaya diskretnaya matematika, 2015, no. 4(30), pp. 32-42 (in Russian)
3. LidlR., Niderrayter G. Konechnye polya [Finite Fields]. Moscow, Mir Publ., 1988, vol. 1,2. 822 p. (in Russian)
4. Solodovnikov V. I. O sovpadenii klassa bent-funktsiy s klassom funktsiy, minimal’no blizkikh k lineynym [On the coincidence of the class of bent-functions with the class of functions which are minimally close to linear functions]. Prikladnaya diskretnaya matematika, 2012, no. 3(17), pp. 25-33. (in Russian)
5. Kuz’min A. S., Markov V. T., Nechaev A. A., et al. Bent and hyper-bent functions over a field of 21 elements. Problems of Information Transmission, 2008, vol. 44, no. 1, pp. 12-33.
6. Dixon J. and Mortimer B. Permutation Groups. Berlin, N.Y., Springer Verlag, 1996. 346 p.
