Критические случаи устойчивости математической модели трехвидовой популяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:57

П. А. Садовский

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХВИДОВОЙ ПОПУЛЯЦИИ

Исследована устойчивость системы уравнений, описывающих математическую модель Лотки-Вольтерра трехвидовой конкуренции, в предположении, что характеристическое уравнение системы имеет нулевой корень кратности не менее единицы. Получены условия на коэффициенты, при которых система устойчива.

Рассмотрим математическую модель Лотки-Вольтерра трехвидовой конкуренции, описываемую системой уравнений [1]

х1 = х\(1 — х1 — Ьх 2 — ах 3), х2 = х2(1 — ах1 — х2 — Ьх3), Х3 = х3(г — Ьх1 — ах2 — х3),

х»(¿), г = 1, 2, 3 — численность популяции г-го вида; положительные коэффициенты а, Ь, г, характеризующие скорость изменения численности популяций, таковы, что система уравнений

х1 + Ьх2 + ах3 = 1, ах1 + х2 + Ьх3 = 1, Ьх1 + ах2 + х3 = г имеет единственное положительное решение х» = х* > 0.

Некритические случаи (с ненулевыми решениями характеристического уравнения линеаризованной системы) такого варианта модели подробно освещены в работах [1, 2]. В этой работе впервые исследуется устойчивость положения равновесия М(хЦ, х2, х*) в предположении, что характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет нулевые решения кратности не менее единицы, а ненулевые решения характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Случай, когда а = Ь = 1, не рассматривается, так как система с такими коэффициентами имеет либо бесконечно много, либо ни одного решения.

Более подробное описание модели Лотки-Вольтерра и альтернативных моделей популяций можно найти в работе [2].

Преобразование исходной системы. Уравнения возмущенного движения имеют вид

2/1 = (/1 + х1)(1 - хЦ - 6х2 - ажз - - 6/2 - а/3),

2/2 = (/2 + х3)(1 - ах3 - х3 - 6x3 - а/1 - /2 - 6/3), (1)

2/3 = (/з + х3)(г - 6х3 - ах2 - х3 - 6/1 - а/2 - Уз). С учетом соотношений

х1 + 6х3 + ах3 = 1,

ах3 + х2 + 6х3 = 1, (2)

6х3 + ах2 + х3 = г получаем

2/1 = (/1 + х1)(-У1 - 6У2 - а/3), 2/2 = (/2 + х2)(-аУ1 - /2 - 6/3), (3)

2/3 = (/3 + х3)(-6/1 - а/2 - /3)

2/1 = -х1/1 - 6х1/2 - ах1/3 - (/1 + 6/2 + а/3)/1, 2/2 = -ах3/1 - х3/2 - 6х2/3 - (а/1 + /2 + ^^ 2/3 = -6х3/1 - ах3/2 - х3/3 - (6/1 + а/2 + /3)/3.

Выразим х3 через коэффициенты а, 6 и г. Решение системы (2) таково:

Д,

или

где

ж* = , i = 1, 2, 3,

г д>

Д = 1 + а3 + b3 - 3аЬ = (1 + а + b)F(а, b),

Д1 = ^(а, 6) + (г - 1)(62 - а), Д2 = F(а, 6) + (г - 1)(а2 - 6), Д3 = F(а, 6) + (г - 1)(1 - а6), F(а, 6) = а2 + 62 + 1 - а6 - а - 6.

Так как функцию F(а, 6) можно преобразовать к виду

,, (а + 6 - 2)2 3(а - 6)2 п F(а,6) = --4-- + ^ 4 ; > 0,

то Д > 0, Д, > 0.

Условия существования кратных нулевых решений характеристического уравнения. С учетом введенных обозначений получаем характеристическое уравнение следующего вида:

Л3 + а1Л2 + а2Л + а3 = 0,

где а1 = х1 + х2 + х3, а2 = (х3х3 + х3х3 + х3х3)(1 -а6), а3 = ДхЦх3х3.

Для существования одного нулевого корня и двух корней с отрицательной действительной частью характеристического уравнения достаточно выполнения следующих условий:

а3 = 0, а2 > 0, а1 > 0,

равносильных

* * * /л х1х2х3 = 0,

(хЦх2 + х1х3 + х2х3)(1 — аЬ) > 0, х1 ~~I- х2 +1- х3 > 0.

Подставляявыражениядлях* „вая,™ Д > 0их* = Д > 0,

получаем

Д1Д2Д3 = 0, Д1Д2 + Д1Д3 + Д2Д3 > 0, (4)

1 — аЬ > 0.

Первое уравнение этой системы распадается на совокупность трех условий:

'Д1 = Е(а, Ь) + (г — 1)(Ь2 — а) = 0, при Д2Д3 > 0, Д2 = Е(а, Ь) + (г — 1)(а2 — Ь) = 0, при Д1Д3 > 0, (5) Д3 = Е(а, Ь) + (г — 1)(1 — аЬ) = 0, при Д1Д2 > 0.

Для существования двух нулевых решений и одного решения с отрицательной действительной частью характеристического уравнения достаточно выполнения следующих условий:

а3 = 0, а2 = 0, а1 > 0,

равносильных

* * * _ /Л

х1х2х3 = 0,

(хЦх2 + х1х3 + х2х3)(1 — аЬ) = 0, х1 ~~I- х2 +1- х3 > 0.

Дг

Подставляя выражения для х* и учитывая, что Д > 0 и х* = — > 0, получаем два условия:

Д1Д2 + Д1Д3 + Д2Д3 = 0

или

Д1Д2Д3 = 0,

1 2 3 (6)

1 аЬ = 0.

Случай одного нулевого корня. Для исследования устойчивости системы в этом критическом случае приведем систему (3) к специальному виду [3-5]:

Г I = 3<«1,6>,

^ = Р11б + Р12б + М + ^(£, £1, £2), (7)

^ = Р21& + Р22£2 + Р2£ + ^^ £Ь £2^

где ^(£, £^£2) и ^г(£, £^£2), г = 1, 2 — аналитические функции, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.

Условия существования нулевого корня характеристического уравнения (5) автоматически приводят систему (3) к специальному виду. Рассмотрим каждое из трех условий отдельно.

Будем предполагать, что а = 6. Рассмотрим вначале случай Д1 = 0, Д2Д3 = 0. Введем обозначение

F(а, 6)

г = го = 1 - —-.

62 - а

При замене переменных

£ = /1, 6 = ^ 6 = /3

система (7) принимает вид

£ = -(£ + 66 + а6)£ = ^(£,6,6), 6 = -ах2£ - х2£1 - 6х3£2 - (а£ + £1 + 6£2)£х, (8)

£¡2 = -6х3£ - ах3£1 - х3£2 - (6£ + а£1 + £2)£2. Система (3) имеет решение

У г = х3(г) -

переходящее с учетом замены координат в следующее:

£1 = х2(г) - x2(г0), £2 = х3(г) - x3(г0), £ = х1(г) - х3(г0).

Это же решение является решением системы

-(£ + 6£1 + а£2)£ = 0, -ах3£ - х3£1 - 6х3£2 - (а£ + £1 + 6£2)£1 = 0, -6х3£ - ах3£1 - х3£2 - (6£ + а£1 + £2)£2 =

Из последних двух уравнений системы получим

62 - а ^ а2 - 6 ^

1 — а6 ' 1 — а6

Подставив выражения ) и ) в первое уравнение системы, будем иметь

А

< = 0.

1 — аЬ

Это уравнение отвечает решению £ = хЦ(г) — хЦ (го) (при выполнении всех условий, необходимых для существования нулевого корня характеристического уравнения). Кроме того, два корня характеристического уравнения системы (8) (без первого уравнения системы) имеют отрицательные действительные части.

Таким образом, с учетом всех этих характеристик мы получили особенный случай. Как было доказано в работе [4], невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. Кроме того, устойчиво всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному.

К такому же результату можно прийти, применив формально метод, предложенный Ляпуновым и приведенный в работе [4]. Для устойчивости системы такого вида необходимо, чтобы степень младшего члена разложения функции £(£, ) была нечетной, а коэффициент при нем отрицателен, если сама система удовлетворяет следующим ограничениям:

1) £(£, 0, 0) не обращается тождественно в нуль;

2) степень младшего члена разложения £г(£, 0,0) не меньше степени младшего члена разложения £(£, 0,0);

3) все коэффициенты при линейных членах системы равны нулю.

Для выполнения последнего требования выполним еще одну замену переменных:

6 = и1 ^ 6 = и2(£ ^ где функции мг(£), г = 1, 2, являются решениями нелинейной системы уравнений

—ах2£ — х26 — Ьх26 — « + 6 + ЬЫ6 = ° — Ьх3? — ах36 — х36 — (Ь£ + а6 + Ы6 = 0.

Поскольку это система четвертого порядка, существует четыре решения:

6 = -x2> £2 = -x3>

£i = -x2>

= — а£ + bx3

6 = -b£ + ax2> £2 = -x3>

£1

£2

b2 - а 1 - ab a2 - b 1 — ab

Первые три решения не подходят (так как £ = const). Подставляя четвертое решение в выражение для S(£, £^£2), получаем

Si = 0, S2 = 0.

Поскольку

~ = _ -

то

Таким образом, мы получили особенный случай. Результаты численного моделирования приведены на рис. 1.

Проведя аналогичные выкладки для случаев Д2 = 0 и Д3 = 0, нетрудно увидеть, что и при этих условиях получаем особенный случай. Таким образом, система (1) с одним нулевым корнем и двумя с отрицательными действительными корнями характеристического уравнения устойчива, но не асимптотически.

Рассмотрим теперь случай а = 6. При этом система (2) имеет два одинаковых корня:

х3 = хз = 1 - аг хз = г(а + 1) - 2а

х1 — х2 — г\ 9 1 , х3 —

-2а2 + а + 1' 3 -2а2 + а + 1

Рис. 1. Зависимость численности первой (а), второй (б) и третьей (в) популяций от времени; фазовый график численности популяций (г):

1

3

389

параметры интегрирования: х* = 0, а = —, b = —, r = -, х* =1 0 );

3

10

о

сплошная кривая — х{

1 3 1 10' 2' 2

о

; штриховая — х2

810 6 1 9

5' 105' 15

7 20

9 27'

Условия существования (4) одного нулевого корня характеристического уравнения принимают следующий вид:

Л3 = 0, Д? > 0,

а2 < 1.

Таким образом, система (1) при а = Ь имеет один нулевой корень характеристического уравнения только при Д3 = 0. Являясь частным случаем системы при Д3 = 0, эта система также является устойчивой, но не асимптотически. При Д3 = 0 и а = Ь система либо не имеет ни одного корня, либо имеет два нулевых корня характеристического уравнения.

Кратный нулевой корень. Рассмотрим теперь первое условие существования кратного нулевого корня характеристического уравнения, используя теоремы, приведенные в работе [4]. Для существования двух нулевых корней достаточно равенства нулю любых двух из трех величин хг (если а = Ь):

* * _ /Л

х1х2 = 0,

* * _ /Л

х1х3 = 0,

2х3

* * _ /Л

ХоХ Q - 0 .

Рассмотрим сначала первое из этих условий х^х2 = 0. Из этого

11

условия следует а = Ь = 1. При этом г = —, х3 = —. Приведем

а 3 а

систему (3) к специальному виду:

6 = ^(6,6,?), (9)

£ = Р16 + Р26 + Е(6,6,£), где Е!(6,6,£) и Е!г(6,6,£), г = 1, 2, — аналитические функции, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.

Введя замену переменных

6 = У1, 6 = У2, ? = ^

получаем

6 - -(6 + «6 + Об -^(6^2, С), 6 - — («6 + 6 + - ), (10) i - — ax36 — ax36 — Х3С — (a£l + <2 +

Приведем эту систему к "укороченному" виду [4]:

6 = £ i (б, б), (I!)

62 = £ 2(6,6),

где 2¿(6, б) представляют собой разложения по степеням 6 и 6 функций £¿(6,6,м(6,б))- Функцию u(6,6) будем искать как формальный ряд, удовлетворяющий уравнению в частных производных

du((1,(2) ,с . с . (С С \С\

--^- (6 + a6 + au((l,(2)(1) -

д?1

-) (a(1 + (2 + аи(6,62)62) = (12)

= -ах3б - аХ36 - x3u(6, 6) - (а6 + аб + Мб^Жб^). (13)

В работе [4] было доказано, что при не зависящих от времени коэффициентах системы (10) существует одно и только одно разложение по степеням 6

u = «(1)(б,6)+ «(2)(6,б) + ...,

формально удовлетворяющее уравнению (12), а задача устойчивости системы (10) эквивалентна задаче устойчивости "укороченной" системы, если задача устойчивости решается конечным числом членов. Решение уравнения (12) имеет вид

u(6,62) = -«б - «б + (а2 -1) 462 + 2а2 ^61 б + (а2 -1) 462 +...,

и система (11) принимает вид

61 = (а2 - 1)62 + «(а - 1)6162 + ^(6,б) = £ 1(61,62) + ^(6,б), 6 = а(а - 1)6162 + (а2 - 1)62 + Ы6,62) = £2(61,62) + Ыб, 62), где Ф^ являются степенными рядами по 61 и 62, начинающимися членами не меньше третьего порядка.

Введем две формы третьего порядка

р (61,62) = 61 £ 1(61,62) + б£ 2(61,62),

G(6,6) = 61S2(61,62) - б£ 1(61,62), имеющие вид

P(61,62) = (а2 - 1)(63 + 63) + а(а - 1)(61 + 62)6162, G(61,62) = (1 - а)6162(61 - 62).

Форма G(61,62) не является знакоопределенной, уравнение G(61,62) = 0 определяет три прямые, проходящие через начало

Рис. 2. Зависимость численности первой (а), второй (б) и третьей (в) популяций от времени; фазовый график численности популяций (г):

параметры интегрирования: Ж2Ж3 = 0. сплошная кривая — а = 1, Ь = —, г = —,

х0 = (1, 2, 2), х2 = (1, 0, 0); штриховая — > х2 = (1, 0, 0)

4' ' 4' 1, b = 4, r = 4, х* = (2, 2, 2),

координат:

£1 = 0, £2 = 0, £1 = £2.

Форма Р(£1,£2) на всех прямых С(£1,£2) = 0 (кроме начала координат) принимает отрицательные значения при 0 < а < 1 и положительные значения при а > 1. В первом случае невозмущенное движение асимптотически устойчиво, во втором — неустойчиво. Результаты численного моделирования для обоих случаев приведены на рис. 2.

Похожим образом можно рассмотреть случаи х^х3 = 0 (при этом 6 =1, г = а, х2 = 1) и х2х3 = 0 (при этом а = 1, г = 6, х1 = 1). Аналогично случаю х1 х2 = 0, движение асимптотически устойчиво при а < 1 для х^х3 = 0 и при 6 < 1 для х2х3 = 0.

Из второго условия (6) существования двукратного нулевого корня

Д1Д2Д3 = 0, 1 - а6 = 0

получаем

a = b = 1,

что противоречит условиям, наложенным на коэффициенты: а > 0, Ь > 0, г > 0, г = 1, такие, что система

X + Ьх2 + ах3 = 1, ах + х2 + Ьх3 = 1, Ьх1 + ах2 + х3 = г, имеет единственное решение.

Выводы. Получены следующие условия устойчивости системы с кратным нулевым корнем характеристического уравнения. В случае одного нулевого корня система устойчива, но не асимптотически, если выполняется следующее условие:

аЬ < 1.

В случае двух нулевых и одного корня с отрицательной действительной частью получены следующие результаты:

1. При 0 <а = Ь =1, г = — система (1) устойчива, причем

а

1

положение равновесия имеет координаты х* = (0, 0, —). При а > 1

а

система неустойчива.

2. При Ь =1, г = а, 0 <а< 1, система (1) устойчива, причем положение равновесия имеет координаты х* = (0,1,0). При а > 1 система неустойчива.

3. При а =1, г = Ь, 0 < Ь < 1, система (1) устойчива, причем положение равновесия имеет координаты х* = (1,0,0). При а > 1 система неустойчива.

4. Кроме того, система (1) при заданных ограничениях (2) на параметры а, Ь и г не может иметь три нулевых корня характеристического уравнения, и система

а2 + Ь2 + 1 - аЬ - а - Ь +(г - 1)(Ь2 - а)

= -2 , 72 , 1-Т-Т- = 0

a2 + b2- +1 — ab —a— b

a2 + b2 + 1 — ab —a — b + b (r — 1)(a2 ■ — b)

a2 + b2 +1 — ab —a— b

a2 + b2 + 1 — ab —a — b + b (r — 1)(1 " ab)

2 a2 + b2 + 1 — ab — a — b ^

a2 + b2 + 1 — ab — a — b + (r — 1)(1 — ab) A3 = -~-тт;-:-;-;- = 0

a

+ b2 + 1 — ab — a — b

не имеет решении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федоров В. Ю., Гильманов Т. Г. Экология. - М. : Изд-во МГУ, 1980. -464 с.

2. В а с и л ь е в М. Д. Исследование одной математической модели трехвидовой конкуренции // Мат. заметки ЯГУ, 2003. - Т. 10, № 2. - С. 33-39.

3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - М. : Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 473 с.

4. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. - М. : Едиториал УРСС, 2-е изд., 2004. -432 с.

5. М а л к и н И. Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова // Матем. сб., 1938. -Т.3, № 1.-С.47-101.

Статья поступила в редакцию 11.04.2006

Петр Алексеевич Садовский родился в 1983 г., студент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области математического моделирования.

P.A. Sadovsky (b. 1983) — student of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of motion stability of mechanical systems.

В издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2006 г. вышла в свет книга

Суржиков С.Т.

Физическая механика газовых разрядов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. - 640 с.: 384 ил. (Компьютерные модели физической механики).

Рассмотрены методы компьютерного моделирования электроразрядных процессов и динамики частично ионизованных газов, которые используются в задачах физической механики, физики газовых разрядов и аэрофизики. Основное внимание уделено решению двумерных задач физической механики тлеющих разрядов в аэрокосмических приложениях.

Для научных сотрудников и инженеров, работающих в области физической газовой динамики, физики низкотемпературной плазмы и газовых разрядов, а также для студентов и аспирантов физико-технических специальностей университетов.

По вопросам приобретения обращаться по тел. 433-82-98; e-mail: [email protected]