Критерий звездообразности биголоморфных отображений областей класса (т) типа (в) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2000. N.1. С.19 20. © Омский государственный университет, 2000

УДК 5J7.55

КРИТЕРИЙ ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ БИГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОБЛАСТЕЙ КЛАССА (Т) ТИПА (В)

Г.И. Сечкин

Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

644099, Омск, наб. Тухачевского, Ц

Получена 27 сентября 1999 г.

We prove a criterion for a biholomorphic image of Reinhardt domains to be starlike in terras of the parametrization of the boundary. The boundary is supposed to be sufficiently smooth.

Ограниченная область О С Сп называется областью класса (Т), если существуют положительные вещественные функции г„ = г„ (г), и ~ 1 ,п, определенные и непрерывные в (га — 1)-мерном симплексе Д = {г = (т1,...,тп): + ... + тп = ] , Г] > 0,...,гп > 0}, такие, что

° = 1)тел!2' : Ы < г„{т),и = .

Область О класса (Т) называется областью типа (В), если для радиусов параметризации границы выполняются условия:

,. дгп(т') дгп (г* lim —---= оо, hm —--

r„->u ОТ, ' т,-> 0 dl'i

- 0,г= l,n- 1,

где г* 6 А* , Д* = {(гь ..., тп — 1) : 0 < п < 1, 0 <

Т2 < 1 - Т} , ...,0 < Гп_! < 1 - Г! - ... - гп_2}.

Область О С Сп называется звездной по набору координат г\,...,гк,к £ {1,2, ...,п} относительно (о1,..,,ац), если вместе с любой точкой г = ...,гп) ей принадлежат для любого £ из [0;1] и все точки вида

{ezi + (1 - е)аь ...ezk+ +-(1 - e)ak,zk +1, ...,zn).

(1)

Класс областей, удовлетворяющих условию (1), обозначим А(к,п).

Область О С С" называется покоординатно звездной по набору координат г1,...,гк,к £ {1,2, ...,«} относительно (а^ , ..., а к), если вместе с любой точкой 2 = (21,...г„) ей принадлежат для любых Е\, ...,Ек из [0;1] и все точки вида

(е.12! + (1 — е 1) а I,..., £кгк + (\-ек)ак, гк+х,...) гп).

(2)

Класс областей, удовлетворяющих условию (2), обозначим В(к,п).

Области, принадлежащие классу А(к,п) или В(к,п), называются звездообразными, областями.

Для областей О С Сп класса (Т) тина (В) имеет место следующий критерий звездообрпз-ности.

Теорема 1. Пусть ¡(г) = (/, {г), ..., /„(г)) -биголоморфное отображение области 1) класса (Т) типа (В) на область С ~ /(0),/(0) = 0. Тогда /(г) можно записать в виде:

f(z)=f'(z)-w(z)

№

где ги(г) — (№1(2), ..^№п(г)), причем функции (г) голоморфны в области В, г = 1, п. йс1 ['(г) ф

0.

Для звездообразности отображения (3), то есть для того, чтобы область С = ¡(О) была звездообразной областью, необходимо и достаточно, чтобы для любого г £ [) : 2] • ... ■ г„ ^ 0 выполнялось неравенство при к 6 {1,2,..., п}

И)

¿=1

Доказательство. Пусть область О - звездообразная область типа А(к,п). Введем отображение

М)

/Гг((1-0Л(г)),г= hk,0<t_<l,

z.[, г = к + 1, п

По обобщенной лемме Шварца [1, с. 56] (отображение v(z,t) голоморфно в D при любом

20

Г.И. Сснкип

t £ [0; 1], причем v(D,t) С D,v(0,t) = 0 при любом I 6 [0; I])

IK~,0!lü < Н-1Ь, (6)

где j|г11д = \zi\/ri{by, ...,6„-i), bn = 1 - 6, - b2 -

Ьп... 1 , bk - Ьк (,..., ^p) - обратные функции к функциям системы fk (г*) = гк(т*)/гп(т") ~ \zk\/\zn\, к = 1, п - 1 .

Непосредственным подсчетом получаем

^ = (7)

1 — 1

Поскольку ^-(г.О) = — u>,-(z), v¿(z, 0) = z¿, то, с учетом формулы (7), неравенство (б) равносильно неравенству

к

E1I) ■

b¡Re -- > 0. (8)

■ i Zi г — 1

В силу принципа максимума модуля для гармонических функций знак равенства в формуле (8) невозможен внутри области D.

Необходимость условия (4) доказана.

Достаточность условия (4) для звездообразное™ отображения (3) докажем методом от противного.

Как следствие соответствия окрестностей Uz и U/(г) получаем возможность локального задания отображений вида

( __ fri((l-~t)ft(z)),i=.

= < = <t<t2< Mb¿2 > о ,

( Zi, г — к + 1, п

(9)

где t\,t2 достаточно малы.

tío в силу гладкости границы 0D области D класса ( Г) типа (В) звездообразность отображения (3) не может нарушиться на координатных плоскостях.

Этим и завершается доказательство теоремы 1, поскольку каждая область типа В(к,п) является одновременно и областью типа А(к,п).

Приведем одно приложение теоремы 1, а именно критерии локальной звездообразности б и голоморфного отображения в пространстве С1 .

Теорема 2. Пусть G — Dy х D2, где Di -область класса (Т) типа (В) переменных (21,22) > a D¿ - область класса (Т) типа (В) переменных (23,24), область G - шар в пространстве С4 по норме

\\z\\G = max{\\{zl,z2)\\Di,\\{z3,zi)\\Dl). (10)

Пусть / - локально биголоморфное отображение в G, причем f(z) = Df(z)(w(z))¡Dw(0) =

В таком случае отображение / звездообразно тогда и только тогда, когда выполнено условие

Яе — «л > 0 \/ Яе—> 0

при|](21,22)||д1 > ||(гз,г4)||0з; (11)

Яе — ы3 > 0\/ > 0

23 V 24

при||(гьг2)||о1 < ||(гз,24)||1)2,

где функции 61 и Ь2 определены соответственно для областей В\ и Г)2, \/ - знак дизъюнкции.

Доказательство. В банаховом прос транстве (С4, || ' ||о) норма определена формулой (10). При ||(21, 22)||х>1 > ||(г3, 24)||д2 имеем ||2||(; =

11(^1,^2)11^, •

Применяя теорему 1 к области 0\, получаем верхнюю строчку в формуле (11).

При ||(2Ь 22)||д1 < ||(2з, 24)]|д2 имеем ||г||с =

||(гз,г4)||и2.

Применяя критерий звездообразнос ти (теорему 1) к области В2 , получаем нижнюю строчку в формуле (11). Теорема 2 доказана.

Заметим, что теорема 1 обобщает критерий звездности Л.Д. Ионина [2, с. 72-74], а теорема 2 - критерий локальной звездности О.Э. Яремко [3, с. 115-118].

[1] Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. Ч. П. "М.: Наука, 1976.

[2] Ионин Л.Д. Критерий звездности биголоморф-ного отображения областей класса (Т) типа (В) в С",п > 2 // Мат. анализ и теория функций. М.: Изд-во МОПИ, 1980.

[3] Яремко О.Э. Критерий звездности биголоморф-

ного отображения одного класса областей в С

// Теория функций, функц. анализ и их прило-

жения. Иркутск: Изд-во ИГПИ, 1985.