Достаточные условия альфа-достижимости области в негладком случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проблемы анализа Issues of Analysis

Том 2(20), №1, 2013 Vol. 2(20), No. 1, 2013

УДК 517.27/51/225

К. Ф. Амозовл

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ^-ДОСТИЖИМОСТИ ОБЛАСТИ В НЕГЛАДКОМ СЛУЧАЕ1

Аннотация. В работе существенно усилен результат, полученный в [1], где для непрерывной функции F(ж), дифференцируемой по направлениям в Д"\{0} были получены условия а-достижимости области, определяемой неравенством F(ж) < 0. Полученные условия также являются полезными и в случае ноль-достижимых (тс есть звездообразных) областей.

Ключевые слова: условие конуса, а-достижимые области, звездообразные множества.

2010 Mathematical Subject Classification: 52A30, 26B35.

В статье продолжается исследование а-достижимых областей в в негладком случае.

Пусть а Е [0; 1), p Е Rn, (u,v) — скалярное произведение для и, v Е , K+(p, a,r) — конус, полученный пересечением замкнутого евклидова шара B (p, r) радиусом r > 0 и конуса

Определение 1. [2], [3] Область Б С Кта, 0 € Б, называется а-дости-жимой (относительно 0), если для каждой точки р Е дБ существует такое число г = г(р) > 0, что конус К+ (р,а,г) С Кта\Б.

развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности и при поддержке РФФИ (проект 11-01-00952-а).

© Амозова К. Ф., 2013

> ||х — p\\ cos

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы стратегического

В [2], [3] было доказано, что а-достижимые области являются звездообразными и удовлетворяют условию конуса, важному для приложений, например таких, как теория интегральных представлений функции, теоремы вложения, вопросы граничного поведения функций, разрешимости задачи Дирихле (см., например, [4, гл. 1, §8; 5; 6;

7]).

Определение а-достижимой области, в отличие от областей с условием конуса, охватывает и случай а = 0. В [1] было показано, что в случае а = 0 условие а-достижимости равносильно условию звездо-образности области.

Далее будем предполагать, что

a) функция Г (х) — определена и непрерывна на Мта;

b) открытое множество Б = {х Е : Г(х) < 0} содержит точку ноль;

c) в точках множества уровня Б = {р Е : Г(р) = 0} существуют

дГ

производные по направлениям -д^-(р) для любого I Е Кта\{0}.

В [8] А. С. Дудова получила следующее условие звездообразности множества О = Б и Б :

Теорема А. [8] Пусть функция Г(х) удовлетворяет условиям а), Ь), с). Тогда:

1) из звездообразности множества О относительно нуля следует, дГ

что —---- (р) < 0 для любого р Е Б;

д (-р)

2) если для любой точки р Е Б выполняется хотя бы одно из условий:

!) д-)(р) <0;

дГ _

Ю м—г (р) < 0 7^ (р) = 71,-Р (р), где д(-р)

( дГ 1

^(р) = 11 Е Кте\{0} : (р) < 01 >

Г дР 1

71,^ (р) = 11 Е Е-\{0} : — (р) < 0\,

то множество О является звездообразным относительно 0.

Заметим, что в случае выполнения для каждой точки p Е S условия 2i достаточно в условиях теоремы A требовать существования на S производных только по направлениям (—p).

В гладком случае критерий звездообразности множества D получен в [9]:

(gradF(p),p) > 0 для любого p Е dD.

Затем в [2], [3] был получен критерий а-достижимости области D в гладком случае:

grad F(p) p \ ап

> sin — для любого p Е dD (grad F (p) = 0).

grad F(p)\ \pV 2

Введем условие С) более слабое по сравнению с условием с):

dF

с') в точках множества уровня S существуют производные (p)

по всем направлениям I из конуса (K+(p, а) — p) \{0}.

В негладком случае необходимые и достаточные условия а-дости-жимости области были получены в [1].

Теорема B. [1] 1) Пусть функция F(х) удовлетворяет условиям a), b), с'). Тогда

dF

i) из а-достижимости области D следует, что (p) > 0 для любого направления I Е (K+(p, а) — p) \{0} и для любой точки p Е S;

ii) если D — ограниченное множество и производные

dF

ж (p) >0 (1)

для любого I Е (K+ (p, а) — p) \{0} и для любой точки p Е dD, то D — а-достижимая область;

2) Если F(х) удовлетворяет условиям a) и b), множество D ограничено и для некоторого 8 > 0 существуют такие производные по любым

направлениям I Е (K+ (х, а) — х) \{0}, что

dF 2F(х) ап , ,

— (х) >^У • cos— (2)

OL х 2

для любых х Е Ds = {х Е D : р(х, S) < 8}, где р(х, S) расстояние от х до S, то D — а-достижимая область.

Условие ограниченности, накладываемое на множество Ю в теореме В естественно, так как при а Е (0; 1) а-достижимые области, не равные , ограничены (см. [2, теорема 3], [3]). Заметим также, что в неравенстве (2) правая часть отрицательная, в отличие от неравенства (1).

Целью данной статьи является получение более слабого достаточного условия а-достижимости области в негладком случае, чем условие (2). Пример, приведенный в конце статьи, показывает, что полученные результаты являются полезными даже в случае а = 0. Их с успехом можно применять во многих случаях, например, когда теорема А неприменима.

Теорема 1. Пусть Ф(^) — такая дифференцируемая, строго возрастающая числовая функция на = {^ Е К : ^ > 0}, что существует

с1е^

Нш Ф(^) = 0 = Ф(0), функция Е (х) удовлетворяет условиям а) и Ь)

и множество Ю ограничено. Если для некоторого 8 > 0 существуют такие производные по любым направлениям I Е (К+ (х, а) — х) \{0}, что

дЕ(х) > — Ф'(Ф-1(—Е(х)))Ф-1 (—Е(х))сс8 "2 (3)

для любых х Е Ю5, то Ю — а-достижимая область.

( 1|х ||2 \

Доказательство. Обозначим Ег(х) = Е(х) + Ф ( Ь—2— ) , Ь > 0 и = {х Е : Еt(x) < 0} . Тогда С Ю для любого Ь > 0, так

( II х II2 \

как если х Е , то Е(х) < — Ф ( Ь —2— ) — 0 для любого Ь > 0. Заметим также, что 0 Е , поскольку Ег (0) = Е(0) + Ф(0) = Е(0) < 0, так как 0 Е Ю.

Покажем далее, что существует такое число Т > 0, что для всех

0 < Ь < Т множества уровня = {х Е : Ег (х) = 0} будут лежать

в Ю5.

Во-первых, Бг С Ю для всех Ь > 0, так как если х Е Бг, то х = 0

и Е(х) = —Ф ^Ь < 0.

Во-вторых, если 0 < Ь1 < Ь2, то Юг2 С . Действительно, если ( 1|х||2>\

х Е , то Е(х) + Ф ( Ь2 —2— ) < 0, поэтому из строгого возрастания Ф

получаем Е (х) + Ф I Ь1

х

— Е (х) + Ф Ь2

х

< 0, поэтому

22

х Е Юг1.

Покажем, что при заданном 8 > 0 существует такое число Т > 0, что Бг С Ю5 для каждого Ь Е (0,Т). Предположим, что это не так. Тогда существует такая последовательность уп Е Бгп, что расстояние р(уп, Б) >8 при Ьп ^ 0. Поскольку Б — замкнутое множество, то существует последовательность хп Е Б, такая, что Цуп — хп|| = р(уп, Б) > 8.

Из ограниченности множества Ю следует, что из последовательности {уп} можно выделить сходящуюся подпоследовательность (обозначим ее так же), такую, что уп ^ уо Е Кп. Переходя к пре-

{ 11уп 112А

делу в равенстве Е (уп) = — Ф ( Ьп—2—j при Ьп ^ 0, получаем

Е(уо) = —Ф(0) = 0, т. е. у0 Е Б. Но р(уп, Б) > 8. Следовательно р(уо, Б) > 8. Противоречие. Следовательно, существует такое число Т > 0, что Б\ С Ю5 для любых Ь Е (0,Т).

Так как для всех х Е Бг, 0 < Ь < Т, выполняется

х

= Ф-1 (—Е (х))

то по условию теоремы

^ (х) > —Ф'(Ф 1(—Е(х))) ТГхуФ 1 (—Е(х))сов аП =

= Ф' Ь

х

2

2

х

||х12 ап , / ||х||2 \ ап

Ь-------сов — = —ЬЦхЦФ Ь----------------- сов —

2 2 2 2

(4)

для всех х Е Бг, 0 < Ь < Т и I Е (К+ (х, а) — х) \{0}.

Далее, не умаляя общности, можно считать, что ||/|| = 1. При таких

I и х

дФ / ЦхЦ

д Г ~Т

= grad Ф Ь

х

,Л = Ь Ф' Ь

х

(х,1) >

>ь Ф' ь

х

2

ап

х сов — > 0, 2

(5)

вследствие строгого возрастания Ф. Из (4) и (5) для всех х Е Бг существуют производные по направлениям

дЕ^ дЕ . . дФ ( 1|хП

~ш (х) = Ж(х) + 1н[Ь^2

2

2

2

г

2

2

2

2

2

2

2

2

2

для любых I Е (К+ (х, а) — х) \{0}, ||/|| = 1. Тогда из теоремы В, условие 1 и, следует, что область — а-достижима для любого Ь Е (0, Т).

Покажем теперь, что для любого хо Е Ю найдется такая область Юг, где 0 < Ь < Т, что х0 Е .

Пусть х0 Е Ю, х0 = 0 и Е(х0) = —С < 0. Тогда х0 Е Ю для всех

2Ф-1(С)

Ь : 0 < Ь < —-—г72— = Ь0, так как

||хо II2

Ег(хо) = Е(хо) + ф(ь < —С + Ф (ьо = —С + С = 0.

Таким образом, Ю = и , где каждая область — а-достижимая.

о<г<т

В [2] доказано, что объединение а-достижимых областей есть а-достижимая область, что и доказывает теорему. □

Из этой теоремы, в частности, получим следующее достаточное условие звездообразности области (случай а = 0):

Следствие 1. Пусть Ф(£) — дифференцируемая, строго возрастающая числовая функция на = {£ Е К : £ > 0}, такая, что

Нш Ф(£) = 0 = Ф(0), функция Е(х) удовлетворяет условиям а), Ь) ?^+о

и множество Ю ограничено. Если для 8 > 0 существуют производные

дЕ 2

д-(х) > —Ф'(Ф-1(—Е(х))) —Ф-1 (—Е(х))

дх | х|

для любых х Е Ю5, то Ю — звездообразная область.

Если в условиях теоремы 1 в качестве Ф взять функцию Ф(£) = £,

то получим доказанное в [1] следствие 1, в котором условие (3) при-

нимает вид

дЕ 2Е (х) ап

Ж(х) > С°8Т- (6)

Покажем, что правую часть в условии (6) за счет выбора функции Ф в теореме 1 можно сделать еще меньше, причем в любое число раз. Для этого рассмотрим функцию п = Ф(£) = £п, п Е N. Обратной к ней будет функция £ = Ф-1 (п) = п ” • Тогда правая часть условия (3) примет вид

— Ф'(Ф-1(—Е(х)))^Ф-1 (—Е(х))сов О. = х2

= —n (Ф 1 (—F(x)))n 1 тт^- (—F(x)) n cos =

IIXII 2

, 2 . .i an 2nF(x) an

= —n (-F(x)) n -—- (—F(x))n cos— = —-—-—cos—.

I xI 2 I xI 2

Таким образом, получаем

Следствие 2. Пусть функция F(x) удовлетворяет условиям a), b) и множество D ограничено. Если для некоторого 8 > 0 существуют производные

dF 2nF (x) an ,_ч

dT(x) >ПНГ cos“ (7)

для любых x E D6 по любым направлениям l E (K+ (x,a) — x) \{0} и некоторого n E N, то D — a-достижимая область.

Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий возможность использования следствия 2.

Пример 1. Для X E R2 определим функцию

EYV) = / —\ если IXII < 1,

F(X) [0, если |XII > 1,

где Ф(£) — гладкая числовая функция на (0; 1), такая, что lim Ф(£) =

= — ж, и для любого a E [0; 1) существует такое n = n(a) E N, что

в каждой окрестности (v; 1), 0 <v< 1, имеется интервал возрастания функции Ф, причем на каждом таком интервале возрастания

Ф' (||X ||2) < n ■ cos f.

И пусть множество D С R2 задано условием

F(X) < 0 ^ X E B2(0,1).

Тогда множество уровня S = {X E R2 : F(X) = 0} = R2 \B2(0, 1). Покажем, что для области D выполняется условие (7) следствия 2. При фиксированном 8, 0 < 8 < 1, рассмотрим приграничный слой

Ds = {X = (x; y) E R2 : (1 — 8) < ^x2 + y2 < 1} .

Пусть далее X E Ds и l E (K+(X,a) — X) \{0}, ||l|| = 1. Так как

л dF

функция F(X) дифференцируема в D6, то (X) = (gradF(X),l).

Обозначим через в Є

* ап,

угол между векторами І и X.

Условие (7) в данном случае примет вид

_e*(llXll2) • Ф/(\\XII2) • 2X,^ У

— 2n • єф(|х| ) ап

cos

(8)

I XI 2

то есть

ф'(|X||2) ■ (x, i) < X cos an ^

an

ЦХ ||2 ■ Ф'(||Х ||2) ■ cos в < n ■ cos —.

На тех промежутках, где функция Ф не возрастает, очевидно, что неравенство (8) выполнено. На тех же промежутках, где функция Ф возрастает, в силу ее определения следует, что для любого X E D6

||Х||2 ■ Ф'(||Х ||2) ■ cos в < Ф'(||Х||2) < n ■ cos

Л

Следовательно, неравенство (8) — верно. Таким образом, все условия следствия 2 выполнены, и мы пришли к (вообще говоря, заранее известному) выводу, что круг B2 (0,1) является a-достижимой областью.

Это следствие не всегда удобно использовать для доказательства a-достижимости некоторых областей в связи с тем, что в правой части выражения (7) стоит некоторое универсальное натуральное число n.

Этот множитель n можно заменить на ln ( ---------) , существенно уси-

\—F (x)J

лив условие (7). Усиление вытекает из того, что в силу непрерывности функции F(x) пограничный слой D6 можно выбрать настолько

узким, что для всех x E D6 будет верно, что ln ( ----------) > n для

\—F (x)J

любого фиксированного n E N. Для реализации такой модификации условия (7) в теореме 1 возьмем функцию п = Ф(0 = е—1/^. Обратной

к ней будет функция £ = Ф-1(п) = —---------. В этом случае правая часть

ln п

условия (3) примет вид

---------1-----5 e-W*-'(-F<*>)) Аф-1 (—F(x))cos — =

(Ф-1 (—F (x)))2 ||x|| 2

2ln(—F(x)) in(—f(x>> an —2F(x) ln(—F(x)) an

— м л e cos “ — n n cos - .

x 2 WxW 2

Таким образом, получаем

Следствие 3. Пусть функция Е(х) удовлетворяет условиям а), Ь) и множество Б ограничено. Если для некоторого 8 > 0 существуют производные

дЕ — 2Е (х) 1п(—Е (х)) ап

дТ(х) > ы (9)

для любых х Е Б5 по любым направлениям I Е (К+ (х, а) — х) \{0} то Б — а-достижимая область.

Возможность выбора функции Ф в засвисимости от функции Е в теореме 1 позволяет найти соответствующий способ проверки а-достижимости области в каждом отдельном случае. В следующем иллюстративном примере невозможно применить следствие 2 для проверки а-достижимости множества Б, но более сильное следствие 3 применить уже можно.

Пример 2. Для X Е К2 определим функцию

тр(ъ-) _ / — еФ(ИХИ ), если ||Х || < 1,

Е(Х) [0, если ||Х|| > 1,

где Ф(£) — гладкая числовая функция на [0; 1), такая, что существует

^Нш Ф(£) _ — ж, Ф(£) < 0 ив каждой окрестности (V; 1), 0 < V < 1, су-

ществует интервал возрастания функции Ф, причем для любого сколь угодно малого е > 0 существует 8 _ 8(е) Е (0; 1) — такое, что

Ф'(ЦХ||2) <е

-Ф(|Х |2)

для любого Х : 8 < ||Х|| < 1.

Пусть множество Б С К2 задано условием

Е(Х) < 0 ^ Х Е В2(0,1).

Тогда множество уровня Б _ {Х Е К2 : Е(Х) _ 0} _ К2 \В2(0, 1). Покажем, что для области Б выполняется условие (9) следствия 3.

При фиксированном 8, 0 < 8 < 1, рассмотрим приграничный слой Б5 _ |Х _ (х; у) Е К2 : (1 — 8) <^/х2 + у2 < 1} .

Пусть далее Х Е Б5 и I Е (К+ (Х, а) — Х) \{0}, Щ _ 1.

Как и в примере 1, обозначим через в Є торами I и X. Тогда условие (9) примет вид: дЕ

угол между век-

— (X) = (gradF(X),l) = (-еф(||х||2) • Ф'(IXI2) • 2X,l) >

2еф(Нх|2) • ФП^I2) ап

>----------11X11 cosT" ’

то есть

Ф'(IXI2) • (X, l) < у) cos °п ^

ап

> IXI2 • Ф'^ I2) • cos в < -Ф(|X I2) • cos —.

(10)

На тех промежутках, где функция Ф не возрастает, очевидно, что неравенство (10) выполнено. На тех же промежутках, где функция Ф возрастает, в силу ее определения следует, что для любого е > 0 существует 5 Е (0; 1), такое, что для любого X Е Ds

||X ||2 • Ф' (||X ||2) • cos в < Ф' (|X ||2) < -Ф(||Х ||2) • е = -Ф(|Х ||2) • cos

Л

2

Следовательно, неравенство (10) выполнено при а = — arccos е. ПоП

скольку lim а = 1, то в силу произвольности е по следствию 3 об-

е^+0

ласть D является а-достижимой для любого а, сколь угодно близкого к 1. Заметим, что в обоих примерах критерий а-достижимости для гладкого случая из [2] непременим, так как уравнение F(X) = 0 не определяет в Rn гладкое многообразие размерности (n — 1).

Список литературы

[1] Амозова К. Ф., Старков В. В. Альфа-достижимые области, негладкий случай // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 3. С. 3-8.

[2] Liczberski P., Starkov V. V. Domains in R” with conical accessible boundary // J. Math. Anal. Appl. 2013. Vol. 408, No. 2. P. 547-560.

[3] Liczberski P., Starkov V. V. Planar a-angularly starlike domains, a-angularly starlike functions and their generalizations to multi-dimensional case //60 years of analytic functions in Lublin in memory of our professors and friends Jan G. Krzyz, Zdzislaw Lewandowski and Wojciech Szapiel/ University of Economics and Innovation in Lublin. Lublin: Innovatio Press Scientific publishing house, 2012. P. 117-124.

[4] Бесов O. В., Ильин В. П., Никольский С. M. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

[5] Долженко Е. П. Гра,ничные свойства произвольных функций // Изв. АН СССР, Сер. Математика. 1967. Т. 31. С. 3-14. DOI: 10.1070/IM1967v001n01ABEH000543.

[6] Adams R. A., Fournier J. Cone conditions and properties of Sobolev spaces // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol. 61. P. 713-734. DOI: 10.1016/0022-247X(77)90173-1.

[7] Zaremba S. Sur le principe de Direchlet // Acta Math. 1911. Vol. 34. P. 293316. DOI: 10.1007/BF02393130.

[8] Дудова А. С. Условия звездности лебегова множества дифференцируемой по направлениям функции // Математика. Механика : Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 30-33.

[9] Старков В. В. Условия звездообразности областей в R” // Тр. ПетрГУ. Сер. Математика. 2011. Вып. 18. С. 70-82.

Работа поступила 3 июня 2013 г.

Петрозаводский государственный университет,

математический факультет

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

E-mail: [email protected]