CC BY
18
ВМУ Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2018. №4. С. 63-65.
63
Критерий устойчивости полупроводниковой сверхрешетки в дрейфово-диффузионном
приближении
В. Ч. Жуковский,1'а Н. С. Прудских,2 С. Е. Головатюк,2 В. Д. Кревчик,3 М. Б. Семенов,3 А. В. Шорохов2'б
1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2 Национальный исследовательский Мордовский государственный университет. Институт физики и химии, кафедра теоретической физики. Россия, 430005, Саранск, ул. Большевистская, д. 68 3 Пензенский государственный университет, факультет приборостроения, информационных технологий и электроники, кафедра «Физика». Россия, 440026, Пенза, ул. Красная, д. 40, ПГУ.
Статья поступила 19.07.2017, подписана в печать 13.01.2018.
Получен критерий электрической устойчивости полупроводниковой сверхрешетки, помещенной в продольное электрическое поле в рамках дрейфово-диффузионного приближения. Показано, что учет омичности контакта дает критерий устойчивости, отличный от критерия, связанного с отрицательной дифференциальной проводимостью.
Ключевые слова: критерий устойчивости, сверхрешетка, омический контакт. УДК: 538.958. РАСЗ: 73.63.-b.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что полупроводниковые сверхрешетки, помещенные в постоянное электрическое поле, электрически нестабильны в области отрицательной дифференциальной проводимости (ОДП), возникающей при полях больше критического поля Есг = Н/е<т (< —период сверхрешетки, т —время релаксации, е — заряд электрона). В данном режиме при определенных условиях они способны генерировать высокочастотное излучение в режиме диода Ганна [1]. Условие образования ганновских доменов при Е > Есг, строго говоря, справедливо только для бесконечных сверхрешеток, тогда как в случае учета конечности длины сверхрешеток возможна стабилизация системы при Е ~ Есг в области ОДП. Данный эффект хорошо известен в физике диодов Ганна [2-4]. В частности, Г. Кремером был сформулирован критерий стабильности системы, получивший название п0Ь-критерия (Ь —длина полупроводниковой структуры, п0 —равновесная концентрация носителей тока) [3]. Система стабильна в случае п0Ь < (п0Ь)сг, что может быть выполнено для достаточно коротких структур и/или в случае не очень высокой концентрации носителей тока. Подобные критерии могут быть сформулированы и для периодической структуры, такой как полупроводниковая сверхрешетка.
Целью данной работы является получение критерия стабильности полупроводниковой сверхрешетки, помещенной в стационарное электрическое поле в рамках дрейфово-диффузионного приближения в случае омического катодного контакта. Интерес к данному вопросу связан с возможностью использования бездоменного режима ОДП для генерации терагерцового
а E-mail: vlchzh@gmail.com
6 E-mail: alex.shorokhov@mail.ru
излучения. Отметим, что существуют сообщения о генерации терагерцового излучения в бездоменом режиме в 81С-структурах с естественной сверхрешеткой [5]. Для получения критерия стабильности мы будем использовать подход, развитый в [2] и основанный на анализе высокочастотного импеданса системы.
1. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим сверхрешетку, помещенную в продольное электрическое поле напряженностью Е0. В дрейфово-диффузионном приближении выражение для плотности тока ] через сверхрешетку будет иметь стандартный вид
j
enV — eD ——, дх
(1)
где п — концентрация носителей тока (в равновесном случае п = п0), V — дрейфовая скорость электро-
Е0/Есг
нов (в равновесном случае У0 = ур---[6],
1 + (Ео/Есг)2
Ур = Д</2Н, Д — ширина минизоны), В — коэффициент диффузии. Согласно соотношению Эйнштейна В = к^0/еЕ0.
Для нахождения критерия стабильности рассмотрим произвольную флуктуацию внутреннего поля в сверхрешетке
Е(х,г) = Е0 + 5Е(х,г); п(х,г) = п0 + 5п(х,г). (2)
Решение поставленной задачи требует использования уравнения Пуассона
dE 4пе.
их = —(———0)
(3)
и анализа изменения полного тока через сверхрешетку
•tot . + £ dE
j =j + 4ПдР
где £ — диэлектрическая проницаемость. Заметим, что jtot не зависит от координат.
64
ВМУ Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2018. №4
Подставим (2) в (1), получим с точностью до членов первого порядка малости
/т, дУ
3 = еп„ + ^
5Е + еУо5п -
кТУо д5п
Е—Ео
еЕо
где
дУ
дЕ
Ур 1 - (Ео/Е„)2
дх ' (4)
12 •
Е—Ео
[1 + (Ео/Е„)2]2 Уравнение Пуассона (3) и полный ток с учетом (2) преобразуются к виду
д5Е 4пе г —— =-
дх £ 3« = з + £д'Е
(5)
4п д^ (6)
Воспользуемся преобразованием Фурье по времени
5/(х,*)= ^ 5/(х,ш)е
2п'
Тогда для возмущения на частоте ш получим, комбинируя (4), (5) и (6),
53"»
£ дУ
4Пгш +епо дЕ
5Е(х,ш)+
Е—Ео
£Уо д5Е(х,ш) £кТУо д5п
+ — ч"'"у - "" ' " —, (7) 4п дх 4пеЕо дх ' w
где 53^ (ш) — преобразование Фурье для возмущения полного тока в сверхрешетке, включая ток смещения. Последнее слагаемое в (7) обусловлено диффузией носителей тока.
Используя омическое граничное условие на левой границе образца 5Е(0) = 0, получим
5^ = (1 -
к 1Х
) 53tot + С (ек2Х - 1) ' (8)
Здесь Ь —длина сверхрешетки
4пЬ
£Уо
£ дУ
— гш + епо тт^ 4п дЕ
Е—Ео
к
1,2
- Ь1 -1 ±
я (ш) =
(9)
где £о — площадь сечения сверхрешетки, а 5и фурье-образ падения напряжения на сверхрешетке
ь
5и(ш) = J 5Е(х,ш)йх
Подставляя (8) в (9), получим
Я (ш)
4пЬ2
+ 5 - 1
где
" 1 - Ь5
(10)
В режиме заданного напряжения нестабильность системы определяется нулями импеданса Я(ш) (или полюсами адмиттанса У(ш) = 1/Я(ш)), лежащими в нижней полуплоскости комплексной плоскости ш. Возникновение нулей импеданса означает нестабильность системы к возмущению на частоте ш при заданном напряжении.
Как следует из (10), нули импеданса определяются нулями функции
/ (х) =
+ х - 1'
(11)
Решая численно уравнение (11), получим набор нулей вп (п = 1,2 '''), действительная и мнимая части которых возрастают по модулю начиная с п = 1 . При этом каждому вп соответствует частота шп. Нестабильность возникает, когда хотя бы одна из частот шп, соответствующих данному вп, будет иметь отрицательную мнимую часть. Следовательно, нестабильности возникают, когда мнимая часть только ш1 станет отрицательной, то есть 1т (ш1) < 0.
Тогда получим следующее условие возникновения нестабильностей
©д < Ие 51 + [(йе 51)2 - (1т 51 )2] =
= -2'09 - 513— = -(2'09 + 513—V (12) 27 V 27/
Здесь
©д = а
где 7 = еЕоЬ/2кТ. Для определения константы С необходимо воспользоваться граничным условием при х = Ь. Однако можно заметить, что при типичных параметрах GaAs/AlGaAs сверхрешетки [7] |7| > 1 (Ео - Е„ - 20 кВ/см, й = 8'3 нм, т = 250 фс, Т = 100 К, Ь = 115 нм). В свою очередь это приводит к тому, что можно положить С = 0 из-за малости вклада в импеданс последнего слагаемого.
Запишем к1 с точностью до слагаемых порядка (в/7)2, получим
2
в в2
к1 =---1--'
1 Ь 27
Вычислим импеданс сверхрешетки на частоте возмущения
5и (ш)
1 - Е2 Е (1 + Е2)'
где а = 4пепоЬ/£Ест — безразмерный параметр,
Е = Ео/Ест.
Условие (12) может быть записано в следующем виде:
1 дУ
Уо дЕ
<-
(2'09 + 51'3Ь/27)£ 4пепоЬ
Е—Ео
Очевидно, что в этом случае условие возникновения ОДП выполняется автоматически при любых разумных параметрах сверхрешетки.
Условие (12) можно также записать в виде поЬ-кри-терия
поЬ < -
2'09 + 51'3— . + 27.
Е^ Е (1 + Е2) 4пе 1 - Е2 :
(13)
который согласуется с критерием устойчивости, полученным для объемных полупроводников.
е
2
е
в =
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
65
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учет омичности контакта дает критерий устойчивости (13), отличный от критерия, связанного с ОДП. В результате регион стабильности в случае, когда электронная плотность и длина сверхрешетки не слишком большие, может сдвигаться в область ОДП, где усиление высокочастотного, в частности терагерцо-вого излучения, становится возможным. Наши оценки показывают, что для типичных полупроводниковых сверхрешеток условие стабилизации соответствует п0Ь ~ 1012, тогда как для естественных сверхрешеток 81С п0Ь ~ 1013, что соответствует экспериментальным результатам, полученным в работе [8], в которой наличие терагерцовой люминисценции связывается со стабилизацией системы в условиях бло-ховских осцилляций электронов. Влияние эффектов диффузии сводится к некоторый стабилизации ситемы аналогично тому, как это происходит в случае объемных полупроводников.
Авторы благодарят К. Н. Алексеева. за обсуждение полученных результатов. Результаты данной статьи были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России, №3.6321.2017/8.9 и гранта РФФИ (проект № 17-02-00969).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schomburg E., Hofbeck K., Scheuerer R. et al. // Phys. Rev. 2002. B 65. 155320.
2. McCumber E., Ghynoweth A. G. // IEEE Transactions of Electron Devices. 1966. Ed-13. P. 4.
3. Kroemer H. // Proc. IEEE (Correspondence). 1964. 52. 1736.
4. Бонч-Бруевич В. Л., Звягин И. П., Миронов А. Г. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках. М.: Наука, 1972.
5. Sankin V.I., Andrianov A. V., Zakhar'in A. O., Petrov A. G. // Semiconductors. 2015. 49. P. 242.
6. Esaki L, Tsu R. // IBM J. Res. Dev. 1970. 14. P. 61.
7. Hramov A. E., Makarov V.V., Koronovskii A. A. // Phys. Rev. Lett. 2014. 112. 116603.
8. Санкин В. И., Андрианов А. В., Захарьин А. О., Петров А.Г // Письма в ЖЭТФ. 2011. 94. С. 393.
The Stability Criterion of a Semiconductor Superlattice in the Drift-Diffusion Approximation
V.Ch. Zhukovskii1a, N.S. Prudskikh2, S.E. Golovatyuk2, V.D. Krevchik3, M.B. Semenov3, A.V. Shorokhov2 b
1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. 2Department of Theoretical Physics, Institute of Physics and Chemistry, National Research Mordovia State University, Saransk 430005, Russia.
3Faculty of Instrument Engineering, Information Systems and Technologies, Penza State University, Penza 440026, Russia.
E-mail: avlchzh@gmail.com, balex.shorokhov@mail.ru.
A criterion for the electric stability of a semiconductor superlttice placed in a longitudinal electric field has been obtained
using the drift-diffusion approximation. It is demonstrated that the account for the contact ohmicity yields a stability
criterion that is different from that related to the negative differential conductivity.
Keywords: stability criteria, superlattice, Ohmic contact.
PACS: 74.50.+r, 74.81.Fa.
Received 19 July 2017.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2018. 73, No. 4. Pp. 398-400.
Сведения об авторах
1. Жуковский Владимир Чеславович — доктор физ.-мат. наук, профессор; e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.
2. Прудских Наталья Сергеевна — e-mail: natalia-pruds@rambler.ru.
3. Головатюк Сергей Евгеньевич — аспирант; e-mail: gol6361@yandex.ru.
4. Кревчик Владимир Дмитриевич — доктор физ.-мат. наук, профессор; e-mail: physics@pnzgu.ru.
5. Семенов Михаил Борисович — доктор физ.-мат. наук, профессор; e-mail: physics@pnzgu.ru.
6. Шорохов Алексей Владимирович — доктор. физ.-мат. наук, доцент, профессор; e-mail: alex.shorokhov@mail.ru.
