CC BY
26
УДК 530.182:621.385.6
БЕЗРАЗМЕРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКИ В ПОЛУКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
© А.Г. Баланов, А.А. Короновский, В.А. Максименко, О.И. Москаленко, А.О. Сельский, А.Е. Храмов
Ключевые слова: полупроводниковая сверхрешетка; безразмерные уравнения; полуклассическое приближение. В работе описаны безразмерные нелинейные уравнения для описания динамики полупроводниковой сверхрешетки, являющиеся основой для моделирования состояния исследуемой наноструктуры.
Полупроводниковые сверхрешетки [1-2] представляют собой наноструктуры, состоящие из перемежающихся слоев нескольких (двух и более) полупроводниковых материалов. Из-за разницы в ширине запрещенной зоны в разных полупроводниках граница зоны проводимости идеальной сверхрешетки периодически модулируется, что создает условия для формирования энергетических «минизон». В присутствии внешних электрических и магнитных полей транспорт электронов в минизонах может иметь сложный характер и сопровождаться рядом интересных нетривиальных эффектов, включающих возникновение сверхвысокочастотных Блоховских колебаний, динамическую локализацию электронов, отрицательную дифференциальную дрейфовую скорость электронов, циклотрон-блохов-ские резонансы, динамический хаос и т. д. Таким образом, полупроводниковая сверхрешетка представляет для исследователей удобную и гибкую среду для изучения квантового транспорта в периодических потенциалах. С другой стороны, вышеупомянутые эффекты делают полупроводниковую сверхрешетку перспективным элементом в устройствах высокочастотной электроники, способной в потенциале работать в диапазоне до нескольких терагерц. Изучение сложной нелинейной динамики электронов и разработка принципов управления электронным транспортом в полупроводниковых сверхрешетках является в настоящее время важной и актуальной задачей на стыке физики полупроводников и нелинейной динамики и соответствует современному состоянию мировой науки в этих направлениях [3-5].
Важной и неизученной проблемой, связанной с исследованием сверхразмерных наноструктур, является изучение возможностей управления пространственновременной коллективной динамикой электронов в полупроводниковых сверхрешетках, находящихся под действием внешних электрического и наклонного магнитного полей. Разработка методов управления сложной динамикой электронов в этом случае позволит поставить вопрос о создании управляемых перестраиваемых генераторов терагерцового диапазона на основе полупроводниковых сверхрешеток. Основные фунда-
ментальные вопросы, которые требуют детального теоретического исследования, в этом направлении можно сформулировать следующим образом. Как будет меняться коллективная динамика электронов в сверхрешетке при наличии внешнего воздействия (как периодического, так и хаотического)? Возможна ли синхронная динамика блоховских осцилляций электронов и как следствие - установление синхронных пространственно-временных режимов? Существует ли возможность осуществить управление возникающими режимами с помощью внешних сигналов? Какое влияние будет оказывать температура на характеристики колебаний и можно ли использовать ее как управляющий параметр, позволяющий влиять на характер колебаний в полупроводниковой сверхрешетке? Ответить на ряд подобных вопросов можно с помощью численного моделирования динамики полупроводниковой сверхрешетки. При этом в рамках численного моделирования, оказывается, гораздо удобнее оперировать безразмерными уравнениями, описывающими динамику доменов заряда в полупроводниковой наноструктуре. В то же самое время после проведения расчетов полученные в безразмерных единицах величины могут быть приведены к размерному виду, например, для сопоставления с результатами экспериментальных исследований.
Для численного моделирования динамики полупроводниковой сверхрешетки рассмотрим дискретное представление такой системы. По аналогии с [4] разобьем сверхрешетку на достаточно большое число N узких слоев с шириной Ах . В пределах каждого т -го слоя концентрация электронов пт полагается постоянной.
Обозначим концентрацию электронов в слое т как
Пт .
Эволюция плотности заряда в слое т описывается уравнением непрерывности:
Нп еАх-Пт = Jm_ - 1т, т = 1...N,
м
где e >0 - заряд электрона; Fm и Fm+1 - значения напряженности электрического поля на левой и правой границе m -го слоя, соответственно; Jm_1 и Jm_1 -плотности тока, протекающего через левую и правую границу слоя. В рамках дрейфового приближения, пренебрегая диффузией, плотность тока J m_1 определяет-
(2)
где vd описывает дрейфовую скорость электрона в слое m, вычисленную для среднего значения напряженности электрического поля Ет в слое m [4]. Для каждого слоя m справедливо дискретное представление уравнение Пуассона
можно вычислить силу тока, протекающего через сверхрешетку:
I (0 =
N +
J„
(6)
соответствующий тому, который можно измерить в реальном эксперименте.
В безразмерном виде уравнения, описывающие поведение полупроводниковой сверхрешетки в продольном электрическом и наклонном магнитных полях, могут быть записаны в следующем виде. Уравнение непрерывности примет вид:
АХ~£ = *~т_1 _ ~т, т = 1. N,
(7)
*т+1
еАх
(пт _ ПВ )+ Р'т
т = 1... N,
(3)
в котором пв описывает равновесную концентрацию электронов, определяемую уровнем легирования, а е0 и ег обозначают электрическую постоянную и относительную диэлектрическую проницаемость материала, соответственно.
Если предположить омические контакты на эмиттере и коллекторе сверхрешетки, то плотность тока через эмиттер J0 будет определяться проводимостью контакта ст J0 = стЕ0 , а напряженность электрического поля ^ может быть найдена из уравнения Кирхгофа:
где АХ = АхШ - безразмерная ширина слоя; nm = пт1пв - безразмерная концентрация электронов
в слое m ; ,/т - безразмерная плотность тока в m -м
слое; і = ю В0 і - безразмерное время; юВ0 =-
edF 0
%
значение блоховской частоты, используемое для нормировки; F0 = 3,145 -106 В/м - нормирующее значение электрического поля. Безразмерная плотность электрического тока
J = ■
J
епН юВ0Н
(8)
связана с безразмерной концентрацией электронов и безразмерной дрейфовой скоростью как
Ах х—'
V = и +У Е^т + Fm+l),
т=1
N
(4)
где V - напряжение, приложенное к сверхрешетке; и описывает падение напряжения на контактах, с учетом формирования слоев повышенной концентрации заряда вблизи эмиттера и пониженной концентрации зарядов вблизи коллектора сверхрешетки [3]:
и = F0(АXl -Ах6.) + Fo (Ах, - Ах„) +
+ F1Ахs + ^+1Ахq +
(5)
en0(Ахq)
-0—^ + ^ЛЯС.
2є0є г
В соотношении (5) Ах1 определяет длину контактов, Ах6, и Ахд задают протяженность области повышенной и пониженной концетрации электронов вблизи контактов, п0 - концентрация электронов в контактном слое, А - площадь контакта, а Яс - контактное сопротивление, учитывающее сопротивление измерительной линии. Зная плотность тока в каждом слое,
.
(9)
Дискретное представление уравнения Пуассона в безразмерном виде записывается как
.4+1= К(~т _1)АХ + /т, т =1...N,
(10)
где Я =
еНпв
Р'о&о^г
- безразмерный параметр, характери-
зующий сверхрешетку (для выбранных значений параметров полупроводниковой сверхрешетки, использованных при проведении исследований, Я = 0,11460);
/ = - безразмерная напряженность электрическо-
го поля F .
Аналогично, соотношение (4), описывающее распределение напряжений на полупроводниковой наноструктуре и контактах, в безразмерных величинах будет записываться в виде:
АХ-
2
V = и +----Ъ(/т + /m+1),
(11)
0° г
Рис. 1. Зависимость безразмерной величины электрического поля от координаты в полупроводниковой сверхрешетке.
Кривая 1 соответствует напряжению V = 6,8956 (V = 180 мВ),
кривая 2 - V = 8,4280 (V = 220 мВ), кривая 3 - V = 9,9604
(V = 260 мВ), кривая 4 - V = 11,4930 (V = 300 мВ)
где V =
V F 0d
ное к сверхрешетке; U =
- безразмерное напряжение, приложен-
U
F 0d
безразмерное падение
напряжения на контактах, с учетом формирования слоев повышенной концентрации заряда вблизи эмиттера и пониженной концентрации зарядов вблизи коллектора сверхрешетки. В свою очередь, безразмерное падение напряжения на контактах с учетом формирования слоев повышенной концентрации заряда вблизи эмиттера и пониженной концентрации зарядов вблизи коллектора сверхрешетки примет вид:
SR
gRA
~d~
к = -
edn0
На рис. 1 приведены характерные распределения электрического поля в полупроводниковой сверхрешетке при различных величинах приложенного к ней напряжения (лежашдх ниже напряжения, соответствующего порогу генерации), полученные с помощью вышеописанных нелинейных безразмерных уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Esaki L., Tsu R. Superlattices and Negative Differential Conductivity in Semiconductors // IBM J. Res. Develop. 1970. V. 14. P. 61.
2. Шик А.Я. Сверхрешетки - периодические полупроводниковые структуры // ФТП. 1974. Т. 8. С. 1841.
3. Fromhold T.M., Patane A., Bujkiewicz S., Wilkinson P.B., Fowler D., Sherwood D., Stapleton S.P., Krokhin A.A., Eaves L., Henini M., San-keshwar N.S., Sheard F. W. Chaotic electron diffusion through stochastic webs enhances current flow in superlattices // Nature. 2004. V. 428. P. 726.
4. Greenaway M. T., Balanov A. G., Scholl E., Fromhold T.M. Controlling and enhancing terahertz collective electron dynamics in superlattices by chaos-assisted miniband transport // Phys. Rev. B. 2009. V. 80. P. 205318.
5. Баланов А.Г., Короновский А.А., Сельский А.О., Храмов А.Е. Влияние температуры на дрейфовую скорость электронов в полупроводниковой сверхрешетке в продольном электрическом и наклонном магнитном полях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. C. 128.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
Поступила в редакцию 11 июля 2012 г.
U = f0(Axl ~—Xs ) + f0(Axl ~—Xq ) +
+ f1Axs + fN+1—Xq + (I2)
X K(Axq )2
+ fN+\—Xq ~ + SRf0,
где U = U ; Axl = —Xl- ; AXq = —Xq ; Ax, = —^ ; F d d q d s d
Balanov A.G., Koronovskiy A.A., Maksimenko V.A., Moskalenko O.I., Selskiy A.O., Khramov A.E. DIMENSIONLESS NONLINEAR EQUATIONS FOR SIMULATION OF SEMICONDUCTOR SUPERLATTICE DYNAMICS IN SEMI-CLASSICAL APPROXIMATION
The dimensionless nonlinear equations for simulation of the semiconductor superlattice, which are the base for researched nanostructure condition modeling, are described.
Key words: semiconductor superlattice; dimensionless equations; semi-classical approximation.
