CC BY
76
2010_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3
МЕХАНИКА
УДК 539.43
КРИТЕРИЙ УСТАЛОСТИ,
ОСНОВАННЫЙ НА РЕЗУЛЬТАТАХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО СКРЫТОЙ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ*
А. Р. Арутюнян1, Р. А. Арутюнян2
1. С.-Петербургский государственный университет, инженер-электроник, Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
Введение. Согласно обзорным исследованиям [1] систематическое изучение усталостной прочности были выполнены немецким инженером Августом Велером в 60-70-х годах XIX столетия. Была построена экспериментальная кривая усталости — кривая Велера — и введено понятие предела выносливости. Во второй половине XIX столетия было опубликовано несколько десятков работ по проблеме усталости, в которых, в основном, развивались идеи Велера. В XX столетии проблема усталостной прочности стала весьма актуальной в связи с мощным техническим прогрессом в турбостроении и авиации и, соответственно, с участившимися усталостными разрушениями. Согласно мировой статистике число разрушений по причине усталости составляет до 90% от общего числа разрушений. В связи с этим существенно возрос и объем исследований по этой проблеме.
В работах [2-6], написанных известными учеными в области усталостной прочности, приводится исчерпывающая информация о полученных результатах за последнее столетие с обширными ссылками на литературные источники. В частности, в работе Мэнсона [2] дается наиболее полный обзор экспериментальных и теоретических исследований по проблеме усталости, выполненных в мировой науке до 1965 г. Современное состояние проблемы усталости детально обсуждается в статье Шийве [3].
В данной работе предложен энергетический метод построения критерия усталости, базирующийся на результатах исследований по скрытой энергии деформации.
Современные тенденции развития теории усталостной прочности. Традиционные расчеты на усталость базируются на стандартах, развитых в конце XIX и
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00513). © А. Р. Арутюнян, Р. А. Арутюнян, 2010
начале XX веков. Эти стандарты устанавливались по результатам циклических испытаний углеродистых сталей, для которых кривая усталости имеет горизонтальную асимптоту на уровне 106-107 циклов. Такая концепция применялась и для других материалов, например, цветных металлов, для которых на кривой усталости не наблюдается горизонтальный участок. В последние десятилетия в связи с многочисленными случаями эксплуатационных разрушений в различных областях промышленности (например, аварийный сход с рельсов высокоскоростных поездов в Германии и Англии), происходящих при низких, но длительно действующих циклических нагрузках, возникла необходимость коренного пересмотра стандартов усталостных расчетов для прогнозирования в область гигацикловой (108-109 циклов) и терацикловой (1010-1012 циклов) усталости. Отметим некоторые области современной инженерной практики, которые нуждаются в установлении новых стандартов по усталостной прочности [7]. Безопасность авиационной техники, в частности, определяется гигацикловой и терацикловой усталостью компонентов двигателей — турбинных дисков и лопаток. Элементы мостов, платформ и различных транспортных систем могут набирать 109 циклов и выше за десять лет, т. е. за минимальный срок их эксплуатации.
О необходимости пересмотра концепции существования бесконечной долговечности при напряжениях ниже предела усталости указывают многие авторы, в частности, этой проблеме посвящена статья Батиаса [8]. В статье дается подробный анализ наиболее известных экспериментальных и теоретических исследований по проблеме усталости и делается вывод о необходимости дальнейших исследований в области между 106 и 1010 циклов для создания более безопасной основы прогнозирования усталостной прочности. Испытания в области гигацикловой усталости были выполнены также японскими учеными [9-10], которые считаются основоположниками исследований в области гигацикловой усталости. По результатам отмеченных исследований можно сделать следующие выводы. При традиционном подходе считается, что при циклических испытаниях трещины возникают на поверхности образца как следствие необратимых сдвиговых процессов экструзии и интрузии. Современные исследования, выполненные на различных материалах, указывают на возникновение трещин усталости в гигацикловом режиме преимущественно внутри образца. Такой переход от поверхностных трещин к трещинам внутри образца обнаруживается четко при числе циклов нагружения более 107 циклов, а очаг разрушения (малая трещина) имеет вид «рыбьего глаза» с неметаллическим включением в центре. Эти результаты указывают, что включения и, соответственно, кинетика роста малых трещин оказывают значительное влияние на долговечность в гигацикловой области усталости. Поэтому многие авторы считают, что проблема гига-цикловой усталости — это проблема роста малых усталостных трещин [11].
Далее предлагается энергетическая формулировка критерия усталости, основанная на понятии скрытой энергии деформации.
Исследования по скрытой энергии деформации. В процессе пластической деформации в металлических материалах происходят значительные изменения, приводящие к увеличению внутренней энергии. Другая часть энергии деформации выделяется в виде тепла. Таким образом, работа деформации идет на изменение внутренней энергии и на нагревание образца. Научная литература по механике материалов располагает многочисленными экспериментальными данными по изучению скрытой энергии деформации, величина которой определяется разностью между работой деформации и количеством выделенного тепла [12-19]. На начальных этапах исследований считалось, что работа деформации полностью переходит в теплоту. Однако в конце XIX и начале XX веков появились первые работы (Треска, Хорт, 1906 г.) [1], в которых было экспе-
риментально показано, что часть работы остается в металле в виде скрытой энергии деформации. Как показали дальнейшие эксперименты, скрытая энергия деформации, в среднем, составляет 10-15% от общей работы деформации.
В публикациях [16-18] представлен дополнительный обзор экспериментальных и теоретических исследований по скрытой энергии деформации. Согласно этим исследованиям величина скрытой энергии составляет от менее одного процента до 90% от общей энергии деформации. В основном результаты группируются около 15% и ниже. Величина скрытой энергии зависит от степени деформации и величины деформационного упрочнения. Таким образом, величина скрытой энергии увеличивается с увеличением деформации, пока не будет исчерпана способность материала к упрочнению. В литературе имеются данные о необычно высоких значениях скрытой энергии, в особенности, для материалов с высокой степенью упрочнения, например, величина скрытой энергии для поликристаллического висмута составляет около 80% при величине деформации 0,2, и она уменьшается до 50% при деформации 0,6 от общей энергии деформации. Для кадмия изменения величины скрытой энергии деформации находятся в интервале от 80% до 15% [19]; для свинца — от 80% до 15% и для сплава кадмий-свинец — от 80% до 27% [20]. Результаты авторов статьи [20] дают теоретическое подтверждение для отмеченных высоких долей скрытой энергии деформации и указывают на существование зависимости скрытой энергии от величины деформации. Согласно экспериментальным данным статьи [19] поглощенная при деформации энергия изменяется от величины, близкой к 100% от затраченной на деформирование работы при малых деформациях, и монотонно уменьшается с увеличением степени деформации. То обстоятельство, что в области малых деформаций скрытая энергия достигает максимальной величины, объясняется следующим образом. Начальная стадия пластической деформации характеризуется образованием в кристаллической решетке искажений, устойчивых при температуре деформирования. Макроскопические перемещения в деформируемом образце невелики, поэтому работа деформации почти полностью переходит в потенциальную энергию искажений решетки. С увеличением деформации возрастает роль макроскопических перемещений, сопровождающихся выделением тепла, в результате понижается относительная доля скрытой энергии деформации.
В последние десятилетия наблюдается возросший интерес к исследованиям в области скрытой энергии деформации [21-24]. В работе [22] исследуется эволюция теплоты в алюминиевом сплаве 2024-Т3 и а-титане в процессе пластической деформации. В опытах при низких и высоких скоростях нагружений измерялись доли пластической работы, затрачиваемые на теплоту и скрытую энергию. Температура измерялась с помощью высокоскоростного фотопроводящего детектора. В этих работах вводится общепризнанная величина в, которая определяется как отношение скрытой энергии к величине пластической работы. Отмечается, что принимаемое во многих работах предположение о постоянстве параметра в = 0,9 для многих металлов нельзя считать корректным. Опыты показали, что в в общем случае являются функциями деформации и скорости деформации.
Экспериментальным исследованиям процессов накопления и диссипации энергии в железе и стали при активном упруго-пластическом нагружении посвящены работы [21, 24]. В этих работах также основное внимание уделяется экспериментальному определению параметра р. Показано, что скорость накопления энергии достигает максимума при переходе из упругого состояния в пластическое. Эволюции скрытой энергии в образцах из нержавеющей стали 304Ь в условиях многоцикловой усталости посвящена
работа [23]. В процессе опыта измерялась температура образца. Впервые показано, что накопление скрытой энергии деформации происходит даже в случае перехода материала в состояние циклического разупрочнения.
Критерий усталостного разрушения с учетом скрытой энергии деформации. Результаты опытов по скрытой энергии деформации, выполненных в последние годы [22, 25], показывают, что характер зависимости скрытой энергии от величины необратимой деформации может быть выражен аналитически в виде логистической функции. Как следует из опытов [26] над образцами из конструкционных материалов на циклическое нагружение, зависимости различных физико-механических характеристик от числа циклов нагружения, в частности, модуля упругости, имеют два четко выраженных участка, которые, как и в случае логистической функции, имеют выраженную точку перегиба. Результаты экспериментальных исследований других авторов [21, 23] показывают, что наряду с точкой перегиба на кривой скрытой энергии деформации имеется выраженный участок насыщения, после которого происходит разрушение образца.
Как известно, с помощью логистической функции описываются различные процессы, приводящие к насыщению, такие как рост популяций в заданной среде [27, 28], рекламная информация о распространении продукции и распределении технологических новшеств [27], накопление суммарной плотности дислокаций при деформации металлов [29]. Можно предположить, что циклическая прочность металлов определяется количеством накопленной в образце скрытой энергии деформации, которая согласно логистической кривой в момент разрушения будет достигать критической величины на участке насыщения. Данные положения используются для формулировки критерия усталостной прочности.
Известно, что логистическая функция является решением кинетического уравнения следующего вида:
J=A7(7*-7), (1)
где A, 7* —параметры, которые далее считаются постоянными. Заметим, что в общем случае эти параметры следует считать функциями напряжения A = A(<r), 7* = 7*(<г). Такое предположение связано со следующими обстоятельствами. Из опытов Бриджме-на известно, что пластическая деформация слабо зависит от гидростатического давления. В то же время гидростатическое давление может оказывать значительное влияние на изменение внутренней энергии материала, ускоряя процессы фазовых переходов, химических и других процессов. Учет этих изменений в кинетическом уравнении (1) может быть осуществлен через параметры A, 7*.
Будем считать, что параметр 7 в уравнении (1) характеризует относительное изменение скрытой энергии деформации: 7 = W/W*, где W —текущая, W* —предельная величины скрытой энергии деформации. Причем 70 < 7 < 7*, где 70, 7* —соответственно, начальное и предельное значения параметра 7, 70 <7* < 1.
Решение уравнения (1) при начальном условии е = 0, 7 = 70 имеет вид
__7*
1 + (7*/70 — 1) • е~А е 7*'
Таким образом, в начальном состоянии е = 0, 7 = 70 = W0/W*, где W0 —начальная величина скрытой энергии деформации, которая может быть определена экспериментально, например, по методу отжига.
Как видно, логистическая функция в виде соотношения (2) соответствует экспериментальным данным [22, 25] по накоплению скрытой энергии деформации в зависимости от необратимой деформации образца. Эта функция показана на рис. 1 сплошной линией. Кривой с точками на этом рисунке отмечены результаты соответствующих экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-Т351 согласно работе [22]. При этом приняты следующие значения параметров: А = 26,852, 70 =0,02 и 7* = 0, 94.
Величина параметра 7 = 70 (соответственно, Ш = Шо) при е = 0 обычно не приводится в известных экспериментальных работах. Принятое нами значение 70 = 0,02 связано с процедурой наилучшего описания опытных точек с помощью логистической функции согласно решению (2).
Как видно из рисунка, опытные точки накопления скрытой энергии деформации хорошо описываются с помощью соотношения (2).
Рис. 1. Логистическая функция согласно соотношению (2) — сплошная линия, кривая с точками — результаты экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-Т351 [22].
Считая, что в момент разрушения е = е*, 7 = к ■ 7*, где к -из (2) получаем критерий разрушения в виде
1
^7*
1п
к
1 - к
11_1
7о
постоянная,0,5 < к < 1,
(3)
Критерий (3) связывает предельную величину необратимой деформации с критической величиной скрытой энергии деформации. Формула (3) может быть использована для формулировки критерия разрушения при циклических нагружениях. С этой целью рассмотрим закономерности накопления циклической остаточной деформации в режиме «мягкого» цикла нагружения, когда в процессе опыта поддерживается постоянной нагрузка. Подобный режим нагружения является наиболее распространенным в инженерной практике, поэтому применяется в большинстве усталостных испытаний. Как показывают опыты [30], накопление остаточной деформации зависит от частоты нагружения. При высоких частотах нагружения время нахождения образца под нагрузкой в течение одного цикла сокращается, поэтому уменьшается и величина остаточной деформации, накопленной за один цикл нагружения. Для учета этого обстоятельства введем приведенное время г = £ ■ /-а [31] (£ — обычное время, / — частота нагружения, а — постоянная). Опыты также показывают, что характер изменения кривых накопления остаточной деформации при циклических нагружениях аналогичен кривым, по-
е
*
лученным в опытах на ползучесть. Поэтому некоторые авторы называют их кривыми «циклической ползучести». Подобные кривые получены, например, в работе [32] для образцов из малоуглеродистой стали. Для описания кривых накопления остаточной деформации используется степенной закон, связывающий скорость продольной деформации е = 1/1 • dl/dz (е = ln(1/1o), где lo, l —начальная и текущая длины образца соответственно) с напряжением а
где B, m — постоянные, Fo, F — соответственно, начальная и текущая площади поперечного сечения образца, а = P/F = aoFo/F, ао = P/Fo, P — максимальная величина нагрузки цикла.
Для рассмотрения общего случая вязко-хрупкого разрушения введем текущий коэффициент поперечной деформации v = —еу/ех = —ez/ex. Тогда, учитывая геометрическое соотношение Fo/F = (l/lo)2v, можно записать уравнение (4) в виде
=*<(£)'" <5>
Для решения уравнения (5) следует располагать опытными зависимостями изменения v при циклических нагружениях. В связи с отсутствием достоверных экспериментальных данных по изменению v при циклических нагружениях дадим некоторые приближенные оценки решения уравнения (5). Будем считать, что в условиях циклических нагружений выполняется приближенное соотношение v « v*, где v* « v*(ao) — величина коэффициента поперечной деформации в момент разрушения. Учитывая это предположение и принимая начальное условие z = 0 (N = 0), l = lo, получим следующее решение уравнения (5)
¿-(1 (6)
Таким образом, считается, что в начальном состоянии отсутствуют пластические деформации, поэтому величина начальной скрытой энергии деформации будет одинакова для всех образцов, т.е. Yo = const. Если начальная пластическая деформация не равна нулю, например, при испытаниях в режиме малоцикловой усталости, тогда нужно менять начальные условия. В то же время можно оставить принятые начальные условия, а начальные величины пластической деформации учитывать через величину скрытой энергии деформации, считая ее функцией максимального напряжении цикла Yo = Yo (а).
Согласно (6) деформация е = е* в момент разрушения z = zp выражается в виде
—1п(1 - 2щтВа^гРу1 . (7)
2v*m
Сравнивая формулы (3) и (7), получим следующий критерий усталостной прочно-i:
f (1+a)
Na,
m
0 2 vtmB
Y N N -2mv,/(A y*)
1 - к у 7o
(8)
Из формулы (8) можно получить критерии вязкого (малоциклового) и хрупкого (многоциклового) разрушения. В первом случае следует считать V* = 0, 5, тогда из (8)
Мат
f (1+а) тВ
1 -
1 - к
11- 1
7о
-т/(А 7»)'
(9)
Во втором случае выполняются приближенные соотношения ^0/^ ~ 1, V* « 0, тогда критерий многоцикловой усталости запишется в виде
f (1+а)
Ма"1 = - 1п
0 АЪВ
к
1к
11-1
7о
(10)
Далее, можно предположить, что с увеличением напряжения величина скрытой энергии деформации в момент разрушения будет уменьшаться. Действительно, под воздействием высоких напряжений энергия деформации в основном будет затрачиваться на процессы скольжения по дислокационному механизму с образованием значительного количества тепла. Доля скрытой энергии деформации будет минимальной. Иная картина имеет место в случае длительного воздействия относительно малых напряжений. В этом случае необратимая деформация будет накапливаться по вакансионному механизму, а доля скрытой энергии деформации будет значительной. Эти положения согласуются с выводами работы [19], где указывается, что при малых напряжениях работа деформации почти полностью переходит в потенциальную энергию искажений решетки. Подтверждением данного предположения являются также результаты экспериментальных исследований по поглощению энергии в процессе циклических нагру-жений [33], которые показывают, что с увеличением напряжения средняя температура образцов растет, соответственно, уменьшается величина скрытой энергии. Принимая во внимание результаты этих опытов, величину скрытой энергии деформации в момент разрушения будем задавать в виде убывающей степенной или экспоненциальной зависимости от величины напряжения:
7*
(1 + с • а)
-в
(11)
7*
(12)
где а, в, с — постоянные.
С учетом (11) и (12) критерий усталости (10) запишется, соответственно, в виде
Маот =
/(!+а) • (1 + ото У3 ( к ({1 + сао)-!3
АВ
f (1 + а)
N<7^ - —-
0 АВ • е-а а°
1п
1к
1
7о
1к
1
7о
(13)
(14)
Теоретические кривые усталости, согласно критериям (13) и (14), сравнивались с результатами опытов на осевое циклическое растяжение листовых образцов из алюминиевого сплава 2024-Т3 [34]. Механические характеристики этого сплава наиболее близки к соответствующим характеристикам сплава, используемого в работе [22] для измерения величины скрытой энергии деформации. Эти кривые показаны на рис. 2, соответственно, сплошной и штриховой линиями. При этом были приняты следующие значения коэффициентов: А = 26, 852, т = 4, В = 5 • 10-14[МПа]-4[ цикл]-1[Гц],
к
а а
е
к
а ао
е
а,МПа-1-г
О 2 4 6 8 10 12 14
log( M),ijwai.
Рис. 2. Кривые усталости согласно критериям (13) (сплошная линия) и (14) (штриховая линия), крестики — результаты экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-T3 [34].
k = 0, 9, а = 7, 5 • 10-3[МПа]-1, c =1, 0[МПа]-1, в = 0, 61, а = 0, f = 16, 7[Гц]. Крестиками на рисунке обозначены опытные точки. Как видно, теоретические кривые хорошо описывают экспериментальные точки на всем диапазоне кривых усталости.
Предварительные расчеты показывают, что общий критерий усталости (8) описывает качественную картину зависимости поведения металлических материалов от частоты нагружения [30].
Литература
1. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. М.: Наука. 1984. В 2-х ч. Ч. 1. 597 с. Ч. 2. 441 с.
2. Manson S. S. Fatigue: A complex subject — Some simple approximations. The William M. Murray Lecture. Exp. Mechanics. 1965. N 7. P. 193-225.
3. Schijve J. Fatigue of structures and materials in the 20th century and the state of the art // International Journal of Fatigue. 2003. Vol. 25. P. 679-702.
4. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Машиностроение. 1964. 276 с.
5. Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность. М.: Машиностроение. 1975. 488 с.
6. Коцаньда С. Усталостное растрескивание металлов. М.: Металлургия, 1990. 623 с.
7. Ботвина Л. А. Гигацикловая усталость — новая проблема физики и механики разрушения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2004. Т. 70. №4. С. 41-51.
8. Bathias C. There is no infinite fatigue life in metallic materials // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. 1999. Vol. 22. N 7. P. 559-565.
9. Murakami Y., Nomoto T., Ueda T. Factors influencing the mechanism of superlong fatigue failure in steels // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. 1999. Vol.22. N7. P. 581-590.
10. Murakami Y., Endo M. Effects of defects, inclusions and inhomogeneities on fatigue strength // International Journal of Fatigue. 1994. Vol. 16. April. P. 163-182.
11. Miller K. J. Materials science perspective of metal fatigue resistance // Materials science and technology. June 1993. Vol. 9. Р. 453-462.
12. Taylor G. I., Farren W. S. The heat developed during plastic extension of metals // Proc. Roy. Soc. (London). 1925. Ser. A. Vol.107. P. 422-451.
13. Taylor G. I., Qunnney H. The latent energy remaining in a metal after cold working // Proc. Roy. Soc. (London). 1934. Ser. A. Vol. 143. P. 307-326.
14. Большанина М. А., Панин В. Е. Скрытая энергия деформации // Исследование по физике твердого тела. М.: Изд-во АН СССР. 1957. С. 193-234.
15. Dillon O. W. The heat generated during torsional oscillations of copper tubes // Intern. J. Solids and Structures. 1966. Vol. 2. P. 181-204.
16. Titchener A. L., Bever M. B. The stored energy of cold work // Progress in Metal Physics. 1958. Vol. 7. P. 247-338.
17. Bever M. B., Holt D. L., Titchener A. L. The stored energy of cold work // Progress in Materials Science. 1973. Vol. 17. P. 5-177.
18. Aravas N., Kim K.-S., Leckie F. A. On the calculations of the stored energy of cold work // Journal of Engineering Materials and Technology. 1990. Vol. 112. P. 465-470.
19. Хоткевич В. И., Чайковский Э. Ф., Зашквара В. В. Скрытая энергия деформации металлов при низкой температуре // Доклады Академии Наук СССР. 1954. Т. XCVI. №3. С. 483486.
20. Хоткевич В. И., Сиренко Г. А. Скрытая энергия пластической деформации сплавов свинец-кадмий // Украинский физический журнал. 1969. Т. 14. С. 1558-1560.
21. Oliferuk W., Maj M., Raniecki B. Experimental analysis of energy storage rate components during tensile deformation of polycrystals // Materials Science and Engineering A. 2004. Vol. 374. P. 77-81.
22. Rosakis P., Rosakis A. J., Ravichandran G., Hodowany J. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2000. Vol. 48. P. 581-607.
23. Vincent L. On the ability of some cyclic plasticity models to predict the evolution of stored energy in a type 304L stainless steel submitted to high cycle fatigue // European Journal of Mechanics A / Solids. 2008. Vol. 27. P. 161-180.
24. Плехов О., Саинтье Н., Наймарк О. Экспериментальное исследование процессов накопления и диссипации энергии в железе при упруго-пластическом переходе // ЖТФ. 2007. Т. 77. №9. С. 135-137.
25. Кунин В. Н. Поглощение энергии металлом при пластическом растяжении // Физика металлов и металловедение. 1959. Т. VII. Вып. 5. С. 790-793.
26. Арутюнян А. Р., Зимин Б. А., Судьенков Ю. В. Исследование циклической долговечности конструкционных материалов методом оптико-акустической спектроскопии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2008. Сер. 1. Вып. 3. С. 88-96.
27. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985. 328 с.
28. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 158 с.
29. Орлов А. Н. Долговременная прочность и физика разрушения // Труды ЦКТИ. 1986. Вып. 230. С. 42-46.
30. Усталостные испытания на высоких частотах нагружения / В. А. Кузьменко, Л. Е. Ма-хотнюк, Г. С. Писаренко и др. Киев: Наук. Думка, 1981. 241 с.
31. Alexander R. Arutyunyan, Robert A. Arutyunyan. Fatigue fracture in the high cycle regime // Изв. НАН Армении. Механика. 2007. №1. С. 15-18.
32. Арутюнян Р. А. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 252 с.
33. Плехов О., Наймарк О., Валиев Р., Семенова И., Saintier N., Palin-Luc T. Экспериментальное исследование аномалий поглощения энергии в нанокристаллическом титане при циклическом нагружении // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 13. С. 33-40.
34. Форрест П. Усталость металлов. М.: Машиностроение, 1968. 352 с.
Статья поступила в редакцию 29 октября 2009 г.
