CC BY
138
УДК 539.43
Формулировка критерия усталости, основанного на концепции скрытой энергии деформации
А.Р. Арутюнян, P.A. Арутюнян
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Петродворец, 198504, Россия
Представлен обзор исследований по проблеме усталостной прочности и по измерению скрытой энергии деформации металлических материалов. Введен параметр поврежденности, характеризующий изменение скрытой энергии деформации. Зависимость этого параметра от деформации задается с помощью логистической функции. На основе данного параметра сформулирован критерий усталостной прочности. Конкретизированы параметры этого критерия и построены кривые критерия усталости. Дано сравнение с результатами опытов на осевое циклическое растяжение алюминиевого сплава.
Ключевые слова: многоцикловая усталость, скрытая энергия деформации, параметр поврежденности, логистическая функция, критерий усталостной прочности
Fatigue criterion based on the concept of latent strain energy
A.R. Arutyunyan and R.A. Arutyunyan
St. Petersburg State University, St. Petersburg, 198504, Russia
The paper provides a survey research on fatigue strength and latent strain energy of metal materials. A damage parameter for variation in latent strain energy was introduced. The strain dependence of the damage parameter was specified by a logistic function. This parameter was used to formulate a fatigue strength criterion. The parameters of the fatigue strength criterion were particularized and stress-cycle diagrams were plotted. The results were compared with experimental data on axial cyclic tension of Al alloy.
Keywords: high-cycle fatigue, latent strain energy, damage parameter, logistic function, fatigue strength criterion
1. Введение
Согласно обзорным исследованиям [1] систематическое изучение усталостной прочности было выполнено немецким инженером А. Велером в 60-70-х годах XIX столетия. Им были проведены натурные испытания осей железнодорожных вагонов, а также испытания на циклическое нагружение образцов различных сталей на изгиб, кручение и осевое нагружение. Была построена экспериментальная кривая усталости (кривая Велера) и введено понятие предела выносливости. В опытах Велера было обнаружено снижение предела выносливости при наличии концентраторов напряжений и изучались зависимости между усталостной прочностью и другими механическими характеристиками материала, полученными при статических испытаниях.
Во второй половине XIX столетия было опубликовано несколько десятков работ по проблеме усталости, в которых, в основном, развивались идеи Велера. В XX столетии проблема усталостной прочности стала весьма актуальной в связи с мощным техническим прогрессом в турбостроении и авиации и, соответственно, с участившимися усталостными разрушениями. Согласно мировой статистике число разрушений по причине усталости составляет до 90 % от общего числа разрушений. В связи с этим существенно возрос и объем исследований по этой проблеме. Однако полного решения данной проблемы до сих пор не найдено.
В течение XX века, в особенности во второй его половине, были выполнены многочисленные исследования по проблеме усталости. Они были обусловлены
© Арутюнян А.Р., Арутюнян P.A., 2010
необходимостью получения информации для проектирования инженерных конструкций во избежание усталостных разрушений, а также научным интересом к пониманию феномена усталости. Более того, существенный прогресс стал возможным благодаря фундаментальному развитию техники выполнения вычислений, экспериментов и измерений. Важными стимулами проведения исследований также стали катастрофические аварии по причине усталости. Однако характер понимания проблемы усталости остается лишь качественным. Из качественного понимания проблемы усталости может быть сделан следующий вывод: количественное предсказание усталостных свойств конструкций не может быть дано из-за сложности процесса накопления усталостных повреждений. Поэтому в расчетах необходимо использовать коэффициенты запаса, которые должны разумно выбираться, базируясь на опыте, информации об исходном уровне и спектре нагрузки, знании управляющих условий, статистического разброса усталостных разрушений.
В работах [2-4] приводится исчерпывающая информация о полученных результатах за последнее столетие с обширными ссылками на литературные источники. В работе С. Мэнсона [2] дается наиболее полный обзор экспериментальных и теоретических исследований по проблеме усталости, выполненных в мировой науке до 1965 г. Современное состояние этой проблемы детально обсуждается в статье [3]. Отмечая основные достижения в исследовании проблемы усталости, большинство авторов приходят к следующим выводам. Из-за сложности проблемы усталостного разрушения в ближайшее время не представляется возможным построение общей теории усталости. Поэтому единственный реальный путь — это проведение экспериментальных исследований и формулировка математических моделей при решении определенных технических вопросов. Этот путь способствовал значительному прогрессу в изучении проблемы усталости, который привел к формулировке эмпирических критериев усталостного разрушения, востребованных в инженерной практике.
В данной работе выполнен анализ существующих критериев усталостной прочности и предложен энергетический метод построения критерия усталости, базирующийся на результатах исследований по скрытой энергии деформации.
2. Экспериментальные кривые усталости
Главную цель большинства испытаний на усталость
составляет экспериментальное определение зависимости между числом циклов и действующими напряже-
ниями, необходимыми для разрушения исследуемого материала и образца. Типичные кривые таких испытаний показаны на рис. 1. У многих материалов, напри-
мер сплавов на основе железа и титана, имеется выраженный горизонтальный участок (рис. 1, кривая 1), соответствующий пределу усталости стг. Для таких материалов при амплитуде напряжения цикла ста < стг разрушение практически не происходит. Для других материалов (в основном, для цветных металлов и их сплавов) кривая усталости снижается (рис. 1, кривая 2), и эти материалы не обнаруживают предела усталости. В этом случае принимается условный предел усталости, определяемый на базе некоторого заданного числа циклов нагружения, которое условно считается равным 107 циклов.
Традиционно на кривой усталости выделяют две области: область малоцикловой (103 -105 циклов) и многоцикловой усталости (105 -107 циклов). В последние десятилетия исследуется также область гигацикловой усталости (108-109 циклов).
В случае малоцикловой усталости разрушение происходит путем возникновения и развития усталостной трещины, сопровождающихся заметными пластическими деформациями. Малоцикловая усталость наблюдается при напряжениях, близких к пределу текучести. Закономерности разрушения при малоцикловой усталости необходимы для оценки циклической работоспособности ряда конструкций: корпусов судов, летательных аппаратов, котлов, реакторов, сосудов высокого давления и глубокого погружения, строительных конструкций и др.
Область малоцикловой усталости детально изучалась в середине прошлого столетия в работах С.В. Се-ренсена, А.П. Гусенкова, Р.М. Шнейдеровича, Н.А. Ма-хутова [5], С.С. Мэнсона, Л.Ф. Коффина, Б.Ф. Лангера и др. [6]. Были установлены основные закономерности процесса малоциклового деформирования и разрушения.
3. Современные тенденции развития теории усталостной прочности
Традиционные расчеты на усталость базируются на стандартах, развитых в конце XIX и начале XX веков. Эти стандарты устанавливались по результатам цикли-
а .
Предел усталости ""
Усталостная прочность при N циклах
104
Рис. 1. Кривые усталости
ческих испытаний углеродистых сталей, для которых кривая усталости имеет горизонтальную асимптоту на уровне 106-107 циклов, далее материал не разрушается при неограниченном увеличении числа циклов нагружения. Такая концепция применялась и для других материалов, например цветных металлов, для которых на кривой усталости не наблюдается горизонтальный участок. В последние десятилетия в связи с многочисленными случаями эксплуатационных разрушений в различных областях промышленности (например аварийный сход с рельсов высокоскоростных поездов в Германии и Англии), происходящих при низких, но длительно действующих циклических нагрузках, возникла необходимость коренного пересмотра стандартов усталостных расчетов для прогнозирования в область ги-гацикловой (108-109 циклов) и терацикловой (10101012 циклов) усталости. Отметим некоторые области современной инженерной практики, которые нуждаются в установлении новых стандартов по усталостной прочности [7]. Безопасность авиационной техники, в частности, определяется гигацикловой и терацикловой усталостью компонентов двигателей—турбинных дисков и лопаток. Элементы мостов, платформ и различных транспортных систем могут набирать 109 циклов и выше за десять лет, т.е. за минимальный срок их эксплуатации.
На необходимость пересмотра концепции существования бесконечной долговечности при напряжениях ниже предела усталости указывают многие авторы, в частности, этой проблеме посвящена статья К. Батиаса [8], инициатора исследований гигацикловой усталости, озаглавленная «Не существует бесконечного предела усталости». В статье приведен подробный анализ наиболее известных экспериментальных и теоретических исследований по проблеме усталости и сделан вывод о необходимости дальнейших исследований в области между 106 и 1010 циклов для создания более безопасной основы прогнозирования усталостной прочности. Такие исследования стали реальными при использовании пьезоэлектрических испытательных машин. При частоте нагружения 20 кГц для достижения 1010 циклов требуется время меньше одной недели. Подобные испытания были также выполнены японскими учеными [9, 10], которые считаются основоположниками исследований в области гигацикловой усталости. По результатам отмеченных исследований можно сделать следующие выводы. При традиционном подходе считается, что при циклических испытаниях трещины возникают на поверхности образца, как следствие необратимых сдвиговых процессов экструзии и интрузии. Современные исследования, выполненные на различных материалах, указывают на возникновение трещин усталости в гига-цикловом режиме преимущественно внутри образца. Такой переход от поверхностных трещин к трещинам
внутри образца обнаруживается при числе циклов нагружения более 107 циклов, а очаг разрушения (малая трещина) имеет вид «рыбьего глаза» с неметаллическим включением в центре. Эти результаты указывают, что включения и, соответственно, кинетика роста малых трещин оказывают значительное влияние на долговечность в гигацикловой области усталости. Поэтому многие авторы считают, что проблема гигацикловой усталости — это проблема роста малых усталостных трещин [11]. Оценка снижения предела усталости в области больших долговечностей на основе анализа зарождения и роста малых трещин привела к выводу о том, что процесс зарождения малой трещины размером 100-500 мкм составляет не менее 90 % всей долговечности на базе 109 циклов.
Широкое распространение получила также модель Мураками и Эндо [10] для оценки предела усталости. С этой целью авторы использовали геометрический параметр — квадратный корень из площади дефекта. Этот параметр получен на основе микроскопического исследования зарождения трещины на малых поверхностных дефектах различной формы и численного трехмерного анализа напряженного состояния.
4. Исследования скрытой энергии деформации
Энергетические методы, наряду с деформационными и силовыми, являются наиболее фундаментальными основами получения и обоснования закономерностей деформирования и разрушения материалов и конструкций. Как известно, механика разрушения как наука возникла благодаря энергетической концепции Гриффитса, на базе которой был впервые сформулирован критерий прочности, учитывающий наличие в твердом теле дефектов в виде трещин. Поэтому в работе энергетические методы применяются при формулировке критерия усталостной прочности. При этом используются результаты теоретических и экспериментальных исследований по изучению скрытой энергии деформации, накопленной в металлических материалах в процессе активного и циклического нагружений. В процессе пластической деформации в металлических материалах происходят значительные изменения, приводящие к увеличению внутренней энергии. Другая часть энергии деформации выделяется в виде тепла. Таким образом, работа деформации идет на изменение внутренней энергии и на нагревание образца. Изменение внутренней энергии, т.е. скрытая энергия деформации, превращается в потенциальную энергию искаженной решетки.
Пластическая деформация приводит к изменению многих свойств металлов: усиливается фрагментация, изменяется структура, увеличиваются сопротивление деформации и электрическое сопротивление и т.д. Та-
ким образом, пластически деформированный металл находится в метастабильном состоянии, т.е. обладает дополнительной энергией. Знание законов поглощения энергии и их исследование могут дать ценные сведения
о природе искажений решетки и о температурной устойчивости этих искажений.
Научная литература по механике материалов располагает многочисленными экспериментальными данными по изучению скрытой энергии деформации, величина которой определяется разностью между работой деформации и количеством выделенного тепла [12-19]. На начальных этапах исследований считалось, что работа деформации полностью переходит в теплоту. Однако в конце XIX и начале XX веков появились первые работы [1], в которых было экспериментально показано, что часть работы остается в металле в виде скрытой энергии деформации. Как показали дальнейшие эксперименты, скрытая энергия деформации в среднем составляет 1015 % от общей работы деформации.
Обзор ранних публикаций по этой теме можно найти в книге [1]. В 70-х годах XIX века с помощью довольно грубых опытов над образцами из поликристаллической меди А. Треска показал, что свыше 90 % энергии пластического деформирования переходит в тепло, соответственно, 10 % энергии остается в материале в виде скрытой энергии деформации. Более тщательные опыты Тейлора и Феррена в 1925 г. [12] на простое растяжение образцов из поликристаллической стали, меди, алюминия и монокристаллического алюминия также показали, что около 90 % энергии деформации превращается в тепло. Остальная энергия идет на накопление в материале скрытой энергии деформации. В 1934 г. Дж. Тейлор и Г. Квини [13] провели опыты на кручение и сжатие для определения теплового поведения с использованием как термопар, так и калориметров. По измерениям с помощью обоих приборов они получили сравнимые результаты для отожженной чистой меди и мягкой стали. Порядок величины теплоты был одинаковым и соответствовал отмеченным экспериментальным величинам скрытой энергии деформации.
Значительные исследования по скрытой энергии деформации были выполнены М.А. Большаниной и
В.Е. Паниным с сотрудниками. Результаты этих исследований, а также полный обзор публикаций по этой теме, отражены в работе [14]. В дальнейшем, в 1966 г. О.Диллоном [15] были представлены результаты по изучению необратимой энергии деформации в опытах на циклическое нагружение кручением трубчатых образцов, изготовленных из меди. О. Диллон пришел к выводу, что и в случае циклического нагружения вывод Тейлора и Феррена, полученный в 1925 г., справедлив. Таким образом, основная часть необратимой энергии деформации для различных материалов и условий нагружения переходит в тепло, а доля скрытой энергии
деформации в зависимости от ряда факторов составляет в среднем от 10 до 15 % общей энергии деформации.
Принимая предположение, что скрытая энергия деформации связана с искажениями решетки и процессами фрагментации, следует ожидать, что ее величина будет зависеть от условий деформаций, в частности от скорости нагружения и температуры. При низких температурах на начальной стадии деформации скрытая энергия составляет почти 100% от работы деформации, однако с увеличением степени деформации доля скрытой энергии уменьшается. Как показывают обзорные исследования [14] (работы Федорова [16] и Студенок [17]), скрытая энергия при динамическом нагружении выше по сравнению с величиной скрытой энергии при статическом нагружении при одинаковых степенях деформации. Однако этот эффект нельзя считать универсальным, так как его проявление зависит от температуры испытания и истории нагружения. В то же время имеются различия по накоплению скрытой энергии деформации в чистых металлах и сплавах. В сплавах наблюдается высокий уровень скрытой энергии деформации, и она слабо зависит от скорости деформации. Например, скрытая энергия латуни Л62 в три раза больше, чем у меди.
В публикациях [18-20] представлен дополнительный обзор экспериментальных и теоретических исследований по скрытой энергии деформации. Согласно этим исследованиям величина скрытой энергии составляет от <1 % до 90 % от общей энергии деформации. В основном результаты группируются около 15 % и ниже. Величина скрытой энергии зависит от степени деформации и величины деформационного упрочнения. Таким образом, величина скрытой энергии увеличивается с увеличением деформации, пока не будет исчерпана способность материала к упрочнению. В литературе имеются данные о необычно высоких значениях скрытой энергии, в особенности для материалов с высокой степенью упрочнения, например, величина скрытой энергии для поликристаллического висмута составляет около 80 % при величине деформации 0.2 и она уменьшается до 50 % при деформации 0.6 от общей энергии деформации. Для кадмия изменения величины скрытой энергии деформации находятся в интервале от 80 до 15 % [21], для свинца — от 80 до 15 % и для сплава кадмий-свинец — от 80 до 27 % [22]. Результаты авторов статьи [22] дают теоретическое подтверждение для отмеченных высоких долей скрытой энергии деформации и указывают на существование зависимости скрытой энергии от величины деформации. Согласно экспериментальным данным статьи [21], поглощенная при деформации энергия изменяется от величины близкой к 100 % от затраченной на деформирование работы при малых деформациях и монотонно уменьшается с увеличением степени деформации. То обстоятельство, что в
области малых деформаций скрытая энергия достигает максимальной величины, объясняется следующим образом. Начальная стадия пластической деформации характеризуется образованием в кристаллической решетке искажений, устойчивых при температуре деформирования. Макроскопические перемещения в деформируемом образце невелики, поэтому работа деформации почти полностью переходит в потенциальную энергию искажений решетки. С увеличением деформации возрастает роль макроскопических перемещений, сопровождающихся выделением тепла, в результате понижается относительная доля скрытой энергии деформации.
В последние десятилетия наблюдается возросший интерес к исследованиям в области скрытой энергии деформации [23-26]. В работе [24] исследуется эволюция теплоты в алюминиевом сплаве 2024-Т3 и а-титане в процессе пластической деформации. В опытах при низких и высоких скоростях нагружений измерялись доли пластической работы, затрачиваемые на теплоту и скрытую энергию. Температура измерялась с помощью высокоскоростного фотопроводящего детектора. В этих работах используется общепризнанная величина в, которая определяется как отношение скрытой энергии к величине пластической работы. Показано, что предел текучести и величина в для алюминиевого сплава 2024-Т3 являются функциями деформации и не зависят от скорости деформации. В то же время для а-титана наблюдается существенная зависимость этих параметров от скорости деформации. Отмечается, что принимаемое во многих работах предположение о постоянстве параметра в = 0.9 для многих металлов нельзя считать корректным. Опыты показали, что в в общем случае является функцией деформации и скорости деформации.
Экспериментальным исследованиям процессов накопления и диссипации энергии в железе и стали при активном упругопластическом нагружении посвящены работы [23, 26]. В этих работах также основное внимание уделяется экспериментальному определению параметра в. В результате этих исследований показано, что скорость накопления энергии достигает максимума при переходе из упругого состояния в пластическое, затем монотонно убывает на участке упрочнения. Начальное состояние материала может приводить как к исчезновению основного максимума, так и к появлению дополнительных. Высокочувствительные инфракрасные детекторы, используемые в этих экспериментах, позволяют разрабатывать новые эффективные методы неразрушающего контроля, основанные на анализе термических предвестников локализации деформации и разрушения.
Эволюции скрытой энергии в образцах из нержавеющей стали 3 04L в условиях многоцикловой усталос-
ти посвящена работа [25]. В процессе циклических нагружений наблюдалось циклическое упрочнение в пределах 30 циклов, затем следовало циклическое разупрочнение в пределах 30 000 циклов с дальнейшим упрочнением до разрушения, которое наступало при 5 -106 циклов. В процессе опыта измерялась температура образца. Впервые показано, что накопление скрытой энергии деформации происходит даже в случае перехода материала в состояние циклического разупрочнения. Для интерпретации экспериментальных результатов использовалась модель изотропного и кинематического упрочнения.
5. Критерий усталостного разрушения с учетом скрытой энергии деформации
Результаты опытов по скрытой энергии деформации, выполненных в последние годы [24, 27], показывают, что характер зависимости скрытой энергии от величины необратимой деформации выражается в виде функции, которая может быть представлена аналитически в виде логистической функции. Как следует из опытов над образцами из конструкционных материалов на циклическое нагружение [28], зависимости различных физико-механических характеристик, в частности модуля упругости, от числа циклов нагружения имеют два четко выраженных участка, которые, как и в случае логистической функции, имеют выраженную точку перегиба. Результаты экспериментальных исследований других авторов [23, 25] показывают, что наряду с точкой перегиба на кривой скрытой энергии деформации имеется выраженный участок насыщения, после которого происходит разрушение образца.
Как известно, с помощью логистической функции описываются различные процессы, приводящие к насыщению, такие как рост популяций в заданной среде [29, 3 0], распространение рекламной информации о продукции и распределение технологических новшеств [29], накопление суммарной плотности дислокаций при деформации металлов [31]. Можно предположить, что циклическая прочность металлов определяется количеством накопленной в образце скрытой энергии деформации, которая в момент разрушения будет достигать критической величины согласно логистической кривой на участке насыщения. Данные положения используются для формулировки критерия усталостной прочности.
Известно, что логистическая функция является решением кинетического уравнения следующего вида:
^ = Ау(у*-у), (1)
ёе
где А, у* — параметры, которые далее считаются постоянными. Заметим, что в общем случае эти параметры следует считать функциями напряжения А = А(ст), У* =У* (ст). Такое предположение связано со следую-
щими обстоятельствами. Из опытов Бриджмена известно, что пластическая деформация слабо зависит от гидростатического давления. В то же время гидростатическое давление может оказывать значительное влияние на изменение внутренней энергии материала, ускоряя процессы фазовых изменений, химических и других процессов. Учет этих изменений в кинетическом уравнении (1) может быть осуществлен через параметры А, у».
Будем считать, что параметр у в уравнении (1) характеризует относительное изменение скрытой энергии деформации у = Ж/Ж*, где Ж и Ж* — текущая и предельная величины скрытой энергии деформации. Причем у0 <у<у*, где у0 и у* — соответственно начальное и предельное значения параметра у, у0 < у* < 1.
Решение уравнения (1) при начальном условии е = = 0, у = у0 имеет вид:
у = -
У*
(2)
1 + (У*/У0 -1)е Аеу*
Таким образом, в начальном состоянии е = 0 у = у0 = = Ж0/Ж», где Ж0 — начальная величина скрытой энергии деформации, которая может быть определена экспериментально, например методом отжига.
Как видно, логистическая функция в виде соотношения (2) соответствует экспериментальным данным [24, 27] по накоплению скрытой энергии деформации в зависимости от необратимой деформации образца. Эта функция показана на рис. 2 сплошной линией. Кривой с точками на этом рисунке отмечены результаты соответствующих экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-Т351 согласно работе [24]. При этом приняты следующие значения параметров: А = = 26.852, у 0 = 0.02 и у* = 0.94.
Величина параметра у = у0 (соответственно, Ж= = Ж0) при е = 0 обычно не приводится в известных экспериментальных работах. Принятое нами значение
Рис. 2. Логистическая функция согласно соотношению (2) — сплошная линия, кривая с точками — результаты экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-Т351 [24]
у0 = 0.02 согласовано с процедурой наилучшего описания опытных точек с помощью логистической функции согласно решению (2).
Как видно из рисунка, полученные экспериментально значения накопленной скрытой энергии деформации хорошо описываются с помощью соотношения (2).
Считая, что в момент разрушения е = е», у = £у*, где k — постоянная (0.5 < k < 1), из (2) получим критерий разрушения в виде:
-7, Л
1 , Є» =---------ІП
Ау»
1 - k
у» У о
-1
(3)
Критерий (3) связывает предельную величину необратимой деформации с критической величиной скрытой энергии деформации. Формула (3) может быть использована для формулировки критерия разрушения в условиях циклического нагружения. С этой целью рассмотрим закономерности накопления циклической остаточной деформации в режиме «мягкого» цикла нагружения, когда в процессе опыта поддерживается постоянная нагрузка. Подобный режим нагружения является наиболее распространенным в инженерной практике, поэтому применяется в большинстве усталостных испытаний. Как показывают опыты [32], накопление остаточной деформации зависит от частоты нагружения. При высоких частотах нагружения время нахождения образца под нагрузкой в течение одного цикла сокращается, поэтому уменьшается и величина остаточной деформации, накопленной за один цикл нагружения. Для учета этого обстоятельства введем приведенное время ю = tf~а [33] ^ — обычное время; f— частота нагружения; а — постоянная). Опыты также показывают, что характер изменения кривых накопления остаточной деформации при циклических нагружениях аналогичен ходу кривых, полученных в опытах на ползучесть. Поэтому некоторые авторы называют их кривыми «циклической ползучести». Подобные кривые получены, например, в работе [34] для образцов из малоуглеродистой стали. Для описания кривых накопления остаточной деформации используется степенной закон, связывающий скорость продольной деформации е = 1/1 ё1/ёю (е = 1п( 1/10), где 10 и I—начальная и текущая длины образца соответственно) с напряжением ст:
= вот = Вот [ р0
I ёю
(4)
где В, т — постоянные; Р0 и Р — соответственно начальная и текущая площади поперечного сечения образца; о = Р/Р = о0Р0/Р, о0 = Р/Р0, Р — максимальная величина нагрузки цикла.
Для рассмотрения общего случая вязкохрупкого разрушения введем текущий коэффициент поперечной де-
формации v = -еy| ех =-е2/ех. Тогда, учитывая геометрическое соотношение Р0/Р = (1/10)2'', можно записать уравнение (4) в виде:
1 Dam
------= Ba0
I dm 0
(5)
Для решения уравнения (5) необходимы опытные зависимости изменения V в условиях циклических нагружений. В связи с отсутствием достоверных экспериментальных данных по изменению V дадим некоторые приближенные оценки решения уравнения (5). Будем считать, что в условиях циклических нагружений выполняется приближенное соотношение V = V*, где V* = v* (ст0) — величина коэффициента поперечной деформации в момент разрушения. Учитывая это предположение и принимая начальное условие ю = 0 (И = = 0), I = 10, получим следующее решение уравнения (5):
1 /1 —/V те т \
(6)
a-2v*me\
- e * ) = Ba0 ю.
2v*m
Таким образом, считается, что в начальном состоянии отсутствуют пластические деформации, поэтому величина начальной скрытой энергии деформации будет одинакова для всех образцов, т.е. у0 = const. Если начальная пластическая деформация не равна нулю, например при испытаниях в режиме малоцикловой усталости, тогда нужно менять начальные условия. В то же время можно оставить принятые начальные условия, а начальные величины пластической деформации учитывать через величину скрытой энергии деформации, считая ее функцией максимального напряжения цикла: у о =Y о(а).
Согласно (6) деформация е = е* в момент разрушения ю = юр выражается в виде:
е* =—1—ln(1 - 2v*mBamrop )-1. (7)
2v*m
Сравнивая формулы (3) и (7), получим следующий критерий усталостной прочности:
N am =
f
(l+a)
2v*mB
—
l -
—
l - k
у» Y о
-1
2mv*
Ay*
(8)
Из формулы (8) можно получить критерии вязкого и хрупкого разрушения. В первом случае следует считать V* = 0.5, тогда из (8) имеем:
N am =
f
(l+a)
mB
—
1 -
—
1 - k
У» Y о
-1
Ay*
(9)
Во втором случае выполняются приближенные соотношения Р0/Р = 1, V* = 0, тогда критерий усталости запишется в виде:
N am =
f
(l+a)
Ay»B
-ln
1 - k
— у* -1. Yo
(10)
Далее можно предположить, что с увеличением напряжения величина скрытой энергии деформации в момент разрушения будет уменьшаться. Действительно, под воздействием высоких напряжений энергия деформации в основном будет затрачиваться на процессы скольжения по дислокационному механизму с образованием значительного количества тепла. Доля скрытой энергии деформации будет минимальной. Иная картина имеет место в случае длительного воздействия относительно малых напряжений. В этом случае необратимая деформация будет накапливаться по вакансионному механизму и доля скрытой энергии деформации будет значительной. Эти положения согласуются с выводами работы [21], где указывается, что при малых напряжениях работа деформации почти полностью переходит в потенциальную энергию искажений решетки. Подтверждением данного предположения об уменьшении величины скрытой энергии деформации в момент разрушения с ростом напряжения являются также результаты экспериментальных исследований по поглощению энергии в условиях циклических нагружений [35], которые показывают, что с увеличением напряжения средняя температура образцов растет, соответственно, уменьшается величина скрытой энергии.
С учетом рассмотренных обстоятельств величину скрытой энергии в момент разрушения будем задавать в виде убывающей степенной или экспоненциальной зависимости от величины напряжения:
у* = (1 + ест)-в, (11)
Y* = е-аст, (12)
где а, в, с — постоянные.
С учетом (11) и (12) критерий усталости (10) запишется соответственно в виде:
Рис. 3. Кривые усталости согласно критериям (13) (сплошная линия) и (14) (пунктирная линия), крестики — результаты экспериментов для образцов из алюминиевого сплава 2024-Т3 [36]
N am =
f (1+a)(1 + C"o) ß
N am =
f
ab
(1+a)
ln
ln
ABe~
к — 1
к—1
V
f —aa0 e 0
Yo
(1 + c"o) ß
— 1
Yo
— 1
(13)
(14)
Теоретические кривые усталости, согласно критериям (13), (14), сравнивались с результатами опытов на осевое циклическое растяжение листовых образцов из алюминиевого сплава 2024-Т3 [36]. Механические характеристики этого сплава наиболее близки к соответствующим характеристикам сплава, используемого в работе [24] для измерения величины скрытой энергии деформации. Эти кривые показаны на рис. 3 соответственно сплошной и пунктирными линиями. При этом были приняты следующие значения коэффициентов: А = = 26.852, т = 4, В = 5-10-14 МПа-4 • цикл-1 • Гц, k = 0.9,
а = 7.5 40—3 МПа—1,
с = 1.0 МПа-1, ß = 0.61, a = 0, f= = 16.7 Гц. Крестиками на рисунке обозначены опытные точки. Как видно, теоретические кривые хорошо описывают экспериментальные точки во всем диапазоне кривых усталости.
Предварительные расчеты показывают, что общий критерий усталости (8) описывает качественную картину зависимости поведения металлических материалов от частоты нагружения [32].
6. Заключение
Выполнены обзорные исследования по проблеме усталостной прочности и по измерению скрытой энергии деформации.
Введен параметр поврежденности как отношение текущей величины скрытой энергии деформации к ее предельному значению и сформулировано кинетическое уравнение для этого параметра, решение которого выражается в виде логистической функции.
Принимая предположение, что разрушение наступает при достижении параметром поврежденности критической величины, сформулирован критерий усталостной прочности.
Конкретизированы функции и параметры критерия и дано сравнение с результатами опытов на осевое растяжение листовых образцов из алюминиевого сплава 2024-T3. Получено хорошее согласие теоретических и экспериментальных кривых усталости.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00513).
Литература
1. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. В 2-х ч. - М.: Наука, 1984. - 1038 с.
2. Manson S.S. Fatigue: A complex subject - Some simple approximations. The William M. Murray Lecture // Exp. Mech. - 1965. - V. 5. -No. 7. - P. 193-226.
3. Schijve J. Fatigue of structures and materials in the 20th century and the state of the art // Int. J. Fatigue. - 2003. - V. 25. - No. 8. - P. 679702.
4. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. - М.:
Машиностроение, 1964. - 276 с.
5. Серенсен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность. - М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.
6. Коцанъда С. Усталостное растрескивание металлов. - М.: Металлургия, 1990. - 623 с.
7. Ботвина Л.А. Гигацикловая усталость — новая проблема физики и механики разрушения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2004. - Т. 70. - № 4. - С. 41-51.
8. Bathias C. There is no infinite fatigue life in metallic materials // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. - 1999. - V. 22. - No. 7. - P. 559565.
9. Murakami Y., Nomoto T., Ueda T. Factors influencing the mechanism of superlong fatigue failure in steels // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. - 1999. - V. 22. - No. 7. - P. 581-590.
10. Murakami Y, Endo M. Effects of defects, inclusions and inhomogeneities on fatigue strength // Int. J. Fatigue. - 1994. - V. 16. - No. 3. -P. 163-182.
11. Miller K.J. Materials science perspective of metal fatigue resistance // Mater. Sci. Technol. - 1993. - V. 9. - No. 9. - P. 453-462.
12. Farren W.S., Taylor G.I. The heat developed during plastic extension of metals // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1925. - V. 107. - P. 422451.
13. Taylor G.I., Qunnney H. The latent energy remaining in a metal after cold working // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1934. - V. 143. - P. 307326.
14. Болъшанина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформации // Исследование по физике твердого тела. - М.: Изд-во АН СССР, 1957. - С. 193-234.
15. Dillon O. W. The heat generated during torsional oscillations of copper tubes // Int. J. Solids Struct. - 1966. - V. 2. - No. 2. - P. 181-204.
16. Федоров А.А. Поглощение энергии металлами при пластическом сжатии в зависимости от температуры плавления // ЖТФ. - 1941. -Т. 11. - Вып. 11. - С. 999-1007.
17. СтуденокЮ.А. Влияние скорости предварительной деформации на поглощение энергии при сжатии меди // ЖТФ. - 1950. - Т. 20. -Вып. 4. - С. 431^39.
18. Ttchener A.L., Bever M.B. The stored energy of cold work // Progr. Met. Phys. - 1958. - V. 7. - P. 247-338.
19. BeverM.B., HoltD.L., Titchener A.L. The stored energy of cold work // Progr. Mater. Sci. - 1973. - V. 17. - P. 5-177.
20. Aravas N., Kim K.-S., Leckie F.A. On the calculations of the stored energy of cold work // J. Eng. Mater. Technol. - 1990. - V. 112. -No. 4. - P. 465^70.
21. Хоткевич В.И, Чайковский Э.Ф., Зашквара В.В. Скрытая энергия деформации металлов при низкой температуре // ДАН СССР. -1954. - Т. XCVI. - № 3. - С. 483^86.
22. Хоткевич В.И., Сиренко ГА. Скрытая энергия пластической деформации сплавов свинец-кадмий // Украинский физический журнал. - 1969. - Т. 14. - С. 1558-1560.
23. Oliferuk W., Maj M., Raniecki B. Experimental analysis of energy storage rate components during tensile deformation of polycrystals // Mater. Sci. Eng. A. - 2004. - V. 374. - No. 1-2. - P. 77-81.
24. Rosakis P., Rosakis A.J., Ravichandran G., Hodowany J. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals // J. Mech. Phys. Solids. - 2000. -V. 48. - No. 3. - P. 581-607.
25. Vincent L. On the ability of some cyclic plasticity models to predict the evolution of stored energy in a type 304L stainless steel submitted to high cycle fatigue // Eur. J. Mech. A/Solids. - 2008. - V. 27. -No. 2. - P. 161-180.
26. Плехов О., Saintier N.., Наймарк О.Б. Экспериментальное исследование процессов накопления и диссипации энергии в железе
при упругопластическом переходе // ЖТФ. - 2007. - Т. 77. - № 9.-С. 135-137.
27. Кунин В.Н. Поглощение энергии металлом при пластическом растяжении // ФММ. - 1959. - Т.7.- № 5. - С. 790-793.
28. АрутюнянА.Р, ЗиминБ.А., СудъенковЮ.В. Исследование циклической долговечности конструкционных материалов методом оптико-акустической спектроскопии // Вест. С.-Петерб. ун-та. -2008. - Сер. 1. - Вып. 3. - С. 88-96.
29. Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985. - 328 с.
30. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука, 1987. - 158 с.
31. Орлов А.Н. Долговременная прочность и физика разрушения // Труды ЦКТИ. - 1986. - Вып. 230. - С. 42-46.
32. КузьменкоВ.А., МахотнюкЛ.Е., ПисаренкоГ.С. и др. Усталостные испытания на высоких частотах нагружения. - Киев: Наукова думка, 1981. - 241 с.
33. Arutyunyan A.R., Arutyunyan R.A. Fatigue fracture in the high cycle regime // Изв. НАН Армении. Механика. - 2007. - № 1. - C. 15-18.
34. Арутюнян P.A. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во C.-Пе-терб. ун-та, 2004. - 252 с.
35. Плехов О., Наймарк О., Валиев Р., Семенова И., Saintier N., Palin-Luc T. Экспериментальное исследование аномалий поглощения энергии в нанокристаллическом титане при циклическом нагружении // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т. 34. - № 13. - С. 33-40.
36. Форрест П. Усталость металлов. - М.: Машиностроение, 1968. -352 с.
Поступила в редакцию 25.09.2009 г., после переработки 01.02.2010 г.
Сведения об авторах
Арутюнян Александр Робертович, инж.-электрон. СПбГУ, [email protected] Арутюнян Роберт Ашотович, д.ф.-м.н., проф., внс СПбГУ, [email protected]
