CC BY
13УДК 65-011-56
Критерий размерности множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений
Севастьянов С.И.
Аннотация. В статье разрешается проблема выбора и формализации критерия размерности множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений. Целью работы является разработка математического аппарата, позволяющего определять количественные значения критерия размерности множеств альтернатив. Новизна: разработана система критериев размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив. Выявлена вторая особенность парных сравнений, связанная с введенными понятиями «цикла парных сравнений» и «нижней и верхней границами цикла парных сравнений». Результат: формализованы исходные данные метода парных сравнений, приведены их определения. Формализованы особенности метода парных сравнений, выраженные в функциональной зависимости количества учитываемых альтернатив в экспертных оценках и количества сравниваемых альтернатив, которые упорядочивают, из состава учитываемых альтернатив, в блоки (матрицы) парных сравнений. Разработаны принципы упорядочения альтернатив и выражения расчетов значений критерия размерности, проработанного в качестве системы критериев размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив. Первая и вторая особенности парных сравнений иллюстрированы примерами. Представлены расчеты количественных значений критериев размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив, а также верхних и нижних границ циклов парных сравнений, исходя из выбираемого значения, от четырех до семи альтернатив, критерия психологического ограничения эксперта. Выводы: разработан математический аппарат, позволяющий определять количественные значения критерия размерности множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений. Практическая значимость заключается в том, что разработанный математический аппарат дает возможность не только теоретически обосновывать выбор и рассчитывать количественные значения критериев размерности множеств альтернатив для различных аспектов экспертных оценок, но и проводить экспертные оценки со множествами, которые по своей мощности могут намного превышать множества альтернатив, рассмотренных в статье.
Ключевые слова: экспертная оценка, критерий психологического ограничения эксперта; методы и особенности парных сравнений; малые, средние и большие множества альтернатив; критерий размерности; цикл парных сравнений; нижняя и верхняя границы цикла парных сравнений.
Введение
Парные сравнения [1] приобретают все большее значение, по мере распространения экспертных методов. Они лежат в основе многих методов упорядочения альтернатив. Вместе с тем, анализ литературы, посвященной экспертным парным сравнениям альтернатив, не дал определенного ответа, что понимается под количественными значениями критерия размерности множеств альтернатив для малых, средних и больших множеств альтернатив, хотя ссылки на малое число [2], большое число альтернатив [2, 3], широкий класс объектов [3], значительное количество учитываемых свойств [4] используются достаточно широко. Необходимость точного категорирования терминов, касающихся объемов множеств альтернатив, в ряде экспертных задач, и потребность в наглядном примере, в части расчетов количественных значений критерия размерности множеств альтернатив для малых, средних и больших множеств альтернатив, определяет актуальность статьи.
В ряде работ, рекомендуется количество альтернатив в экспертных оценках не превышать более: семи в [4-6]; девяти [3]; десяти [2]; двенадцати [7]; пятнадцати [8]. Рациональным количеством альтернатив, например, при применении метода расстановки приоритетов [2], считается 6, а для метода анализа иерархий - 7. В работе [2] под малым числом объектов в экспертных оценках, методом парных сравнений понимается количество
объектов, равное 4-6, в работе [3] допускаются количественные значения критерия размерности множеств альтернатив, равные 7 ± 2.
Все перечисленные рекомендации имеют ограничение сверху, которое, в той или иной степени, связанно с количественным значением критерия, определяющего психологическое ограничение эксперта, проводящего парные сравнения. Широко известно, что таковым является число семь [4-6]. В экспертных оценках при количестве альтернатив более семи могут иметь место грубые ошибки экспертов. Возможно, этот уровень количественного значения критерия психологического ограничения эксперта можно принять за количественное значение критерия размерности множеств альтернатив, разбивающего множество альтернатив на малые и средние, или малые и большие. Но как показывает анализ литературы, посвященной данному вопросу, и практика сравнительного анализа - критерий психологического ограничения эксперта применяется в качестве критерия размерности множества альтернатив далеко не всегда. Одним из объяснений этому является то, что критерий-константа не адекватен всем аспектам задач упорядочения альтернатив. На практике более приемлемым оказывается гибкий критерий (система критериев), динамика изменений количественного значения которого соответствует разнообразию аспектов задач упорядочения альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений. Реализация данного подхода требует разработки соответствующего математического аппарата.
В связи с этим, целью статьи является разработка математического аппарата, позволяющего в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений, определять количественные значения критерия размерности множеств альтернатив для малых, средних и больших множеств. Также актуально рассмотрение вопросов практической применимости полученных научных результатов.
Первая особенность метода парных сравнений.
Формализация исходных данных, определение терминов, пример
Наиболее известными и апробированными методами решения экспертных задач, в основе которых лежат парные сравнения, являются методы анализа иерархий и расстановки приоритетов [9]. Для упорядочения множеств с большим числом альтернатив в работе [2] приводится блочный метод решения задачи расстановки приоритетов, а в [3] - метод иерархической декомпозиции. В этих работах учитываемые альтернативы группируются (в качестве первой оценки) в сравниваемые блоки или «классы» (в дальнейшем будем использовать термин блоки) из шести или семи альтернатив в каждом, а каждый очередной блок альтернатив включает альтернативы с большими весами, в отличие от весов альтернатив предыдущего блока. Особенностью методов является то, что при этом альтернатива с наивысшим весом в блоке также включается в следующий блок с большими весами и как своеобразный стержень между двумя блоками придает однородность шкале оценок [3]. Вошедшие в блоки альтернативы, определенным образом обрабатываются в квадратных матрицах парных сравнений, количество которых равно количеству сравниваемых блоков: порядок этих матриц равен количеству альтернатив в этих блоках.
Особенности парных сравнений для большого числа альтернатив в формализованном виде в рассматриваемой литературе не приведены или имеют описательный характер. Тогда как для определения количественных значений критерия размерности множеств альтернатив в парных сравнениях эта формализация необходима. С этой целью в настоящей статье формализованы исходные данные метода парных сравнений для больших множеств, и приведены их определения в следующем виде:
а - учитываемая альтернатива. Это альтернатива, принятая к учету при постановке задачи упорядочения альтернатив;
а - сравниваемая альтернатива. Это альтернатива, из состава учитываемых альтернатив, упорядоченная методом парных сравнений в блоки (матрицы) парных сравнений;
AR - конечное множество учитываемых альтернатив AR = {ar g Ar / r = 1, R }, card Ar = R, где
R - мощность множества AR или количество учитываемых альтернатив, принятых к упорядочению перед их разбиением на «сравниваемые блоки» [2, 3];
bz - учитываемый полный блок, в котором количество учитываемых альтернатив, входящих в него, равно - rb (rb = const), bz g B;
B - множество учитываемых полных блоков, B = {bZ gB /z = 1, Z }; Z - мощность множества B или количество учитываемых полных блоков во множестве AR.
Под полным блоком будем понимать блок из множества блоков, на которые разбивается количество учитываемых альтернатив (R) или количество сравниваемых
альтернатив (R ), в котором количество альтернатив равно rb.
b
r - количество учитываемых или сравниваемых альтернатив в соответствующих полных блоках, равное константе (rb = const).
Множество Az - собственное подмножество множества Ar, где
Ar = {Az g Ar / z = 0, (Z +1) }. Подмножество Az включает в себя учитываемые альтернативы, которые составляют учитываемые блоки. Если z = 1, Z, то Az содержит в себе полный блок. Подмножество Az может включать в себя альтернативы количеством, меньшим чем rb (неполные блоки), если z = (0 v (Z+1).
Под учитываемым неполным блоком будем понимать блок, в котором число
b / ob\ ob
учитываемых альтернатив меньше r и равно учитываемому остатку (r ), где r -учитываемый остаток альтернатив, который равен количеству учитываемых альтернатив в неполном блоке, то есть мощности подмножества Az , если z = 0 v (Z+1).
При проведении парных сравнений в последнем блоке возможен остаток как для
* b
учитываемых, так и для сравниваемых альтернатив в случае, если R или R не кратно r , а
также остаток может быть в первом блоке, который одновременно является и последним 1, при г = 0 и R < гь.
Количество учитываемых полных блоков вычисляется путем деления количества аемых ал выражению (1):
блоком, при г = 0 и R < гь.
заемых полных блоков (^ вычисляется путем делени учитываемых альтернатив (К) на количество альтернатив в полном блоке (гь), согласно
Z = ] R / rb [ (1)
где знак ] [ означает целую часть числа. При этом,
если R - кратно rb, то R = Z rb ,
если R - не кратно rb, то R = Z rb + rob . (2)
Разница между учитываемыми и сравниваемыми альтернативами, множествами, подмножествами, остатками, полными и неполными блоками вносится особенностью парных сравнений, отмеченной в работах [2, 3].
Для сравниваемых альтернатив, в отличие от учитываемых, справедливо следующее:
А *
A r - конечное множество сравниваемых альтернатив в парных сравнениях,
н« * * * * *
Ar = {a rsA R\ r =1, R }, cardAR =R ,
*
где R* - мощность множества сравниваемых альтернатив или количество сравниваемых альтернатив, получаемое в путем учета в R* дважды одной и той же учитываемой альтернативы - ar (r = 1, R), которую таким образом включают в смежные сравниваемые
полные блоки (b ). При этом в ряду сравниваемых альтернатив эта учитываемая
альтернатива (ar) на стыке смежных блоков числится как две сравниваемые альтернативы,
* * -
но с разными индексами - a r и a r+1, где r = 1, R*;
*
b - сравниваемый полный блок, в котором количество альтернатив, входящих в него,
ь ъ * *
также равно - r (r = const), be B ;
B - множество сравниваемых полных блоков, B = {b Z e B \ z=1, Z };
* *
Z - мощность множества B или количество сравниваемых полных блоков во
л *
множестве A R.
* *
Множество A z - собственное подмножество множества A R ,
где A*r = {A*z e A*r \ z = 0,(Z*+1) }. *
A z включает в себя сравниваемые альтернативы, которые составляют z - ый сравниваемый полный блок - b Z , если z = 1, Z , или неполный блок, если z = 0 v (Z +1);
ob*
r - сравниваемый остаток альтернатив, который равен количеству сравниваемых
альтернатив в сравниваемом неполном блоке или мощности подмножества A z, если
*
z = 0 v (Z+1);
Количество сравниваемых полных блоков (Z ) вычисляется путем деления количества сравниваемых альтернатив (R ) на количество альтернатив в полном блоке (rb) согласно выражению (3):
При этом,
7* = ] Я* /гь [ . (3)
если Я* - кратно гь, то Я*= 7* гь ,
если Я* - не кратно гь , то Я*= 7* гь + гоЬ*. (4)
В отличие от учитываемых альтернатив, матрицы парных сравнений формируются методом парных сравнений только для сравниваемых альтернатив.
Порядок матриц парных сравнений равен количеству альтернатив в полном блоке (гь), а для неполных блоков - тоЪ . При этом в матрицах учитывается только тоЪ > 2. Поскольку ситуация когда, тоЪ = 1 означает, что из предыдущего смежного полного блока, согласно вышеуказанной особенности парных сравнений, в последующий неполный блок второй раз вносится и учитывается наибольшая альтернатива предыдущего блока. В этом случае данная процедура не имеет смысла - парные сравнения с одной и той же альтернативой не проводятся по определению.
Количество сравниваемых альтернатив в парных сравнениях (Я ), с учетом особенности парных сравнений, определяется через Я согласно выражению (5):
Я* = {(Я + 7 | гоь * 0) V ((Я + (7 - 1) | гоь = 0)}, (5)
где Я - количество учитываемых альтернатив множества АЯ;
7 - количество учитываемых полных блоков множества АЯ;
тоЪ - учитываемый остаток альтернатив.
Приведенные выражения можно проиллюстрировать на примере 1 (рис. 1), в котором в соответствии с выражениями (1), (3), (5) для гь = 4 показана первая особенность парных сравнений, выраженная в зависимости 7, а г, 7 , Я от выбираемого количества учитываемых альтернатив Я и количества альтернатив в полном блоке - г .
В приведенном примере 1, в строке А) - «Я (аг)», рассмотрим количество учитываемых альтернатив (например, Я = 1,48), которое разбивается на учитываемые полные блоки (7 = 0,12) по четыре альтернативы (гь = 4) в каждом полном блоке. Альтернативы, выделенные жирным шрифтом - наибольшие по весу в соответствующем учитываемом полном блоке альтернатив. В строке Е) - «7» показаны соответствующее Я(аг) количество учитываемых полных блоков (от 0 до 12 для Я = 1,48 ).
В строке Б) - «ar в блоках Z » показана первая особенность парных сравнений, когда одна и та же альтернатива ar (жирный шрифт), на стыке блоков, включается дважды, соединяя в одну шкалу смежные сравниваемые полные блоки.
В строке В) - «R (a r)» показана динамика изменения количества сравниваемых
JH * ---
альтернатив R (R =1, 59 ) относительно учитываемых альтернатив R (R = 1, 48 ).
Пример 1
Учитываемые альтернативы, разбитые подряд (по весу) на учитываемые полные блоки по 4 альтернативы_
Я (а,) I 1 I 2 I 3 I 4~ 5 I 6 I 7 I 8 9 110111112" 131 14|15|"1б" 17 118|1э|2о" 211 221 23 [¿А ...
7 | 8 | 9 | ЙГ 101 11112113^ 1з| 141151 ЙГ 16 11711з| 19~ ... Динамика изменения количества сравниваемых альтернатив в парных сравнениях относительно учитываемых альтернатив
К'(а'г) П | П 111|12|13^ Тб| 17118211 2212зТЯ 261 27128...
В ЕЯ шШ О шй ЕЭ
Количество (остаток) сравниваемых альтернатив (от 1 до 3) в каждом очередном неполном блоке сравниваемых альтернатив
Динамика изменения количества сравниваемых полных блоков относительно учитываемых полных блоков альтернатив
Первая особенность парных сравнений fl.BSnot3xZs| 1 | 2 I 3 |Т 4 I 5 I б |~7~
12 3 0
___ I 3 I О I 1
Полные блоки учитываемых альтернатив
3 0 12
0 12 3
2 3 0
2 3 0 1
| 0 0 0 ~1~|
т°т~п
тг ~тт
Продолжение примера 1
Учитываемые альтернативы, разбитые подряд (по весу) на учитываемые полные блоки по 4 альтернативы
К(аг) | 25 1 261 27 |дГ 291 301 31|Тг~ 331341 35|зб" 371 38|зэ|4о" 41142143144^ 45 14614714з"
Первая особенность парных сравнений _ _ _ _
о.вбЬиюдг*! 191 20 | 211 22 221 2з| 25 251261 271 »Г 281 29|зо|"зГ 311 321 Зз[з4^ 34 | 351 Зб|з7~
Динамика изменения количества сравниваемых альтернатив в парных сравнениях относительно учитываемых альтернатив (а г) | 311 321 33 ^Д 36 | 371 ЗвКН ~41.|42|4зН 4б|4714«И 511 52 |s3 pfl 56 157158Е
Количество (остаток) сравниваемых альтернатив (от 1 до 3) в каждом очередном неполном блоке сравниваемых альтернатив
Полные блоки учитываемых альтернатив
3 С
111
Динамика изменения количества сравниваемых полных блоков относительно учитываемых полных блоков альтернатив
М Т~ И I I . . I I 1Ц 1"1 М »III. ~
Рис. 1. Пример 1 учитываемых альтернатив
В строке Ж) - показана динамика изменения количества сравниваемых полных блоков «2 » относительно учитываемых полных блоков «2», а в строке Д) - количество (остаток -гоЬ ) сравниваемых альтернатив (от 1 до 3) в каждом очередном неполном блоке альтернатив.
Количества сравниваемых альтернатив в строках В) и Г), выделенные на черном фоне жирным белым шрифтом и связанные в этих строках по диагонали (между смежными блоками), образованы в результате двойного учета (с разными индексами) одной и той же сравниваемой альтернативы (первая особенность парных сравнений).
В строке З) для гь = 4 показано формирование дополнительных «пятых» (5, 10, 15 ...) сравниваемых полных блоков, получаемых в результате вышеприведенной первой особенности парных сравнений (двойного учета одной и той же альтернативы на стыке блоков).
Таким образом, приведенный пример 1 показывает первую особенность парных сравнений, выраженную в функциональной зависимости количества К (а г) относительно количества К(аг), и соответствующую динамику количественных изменений К и К , 2 и 2 .
Вторая особенность метод парных сравнений.
Формализация исходных данных, определение терминов
В ходе формализации исходных данных методом парных сравнений для больших множеств выявлена вторая его особенность, связанная с циклами парных сравнений (v).
Под циклом парных сравнений (v) понимается последовательный ряд из учитываемых или сравниваемых полных блоков, количество которых равно rb. Цикл имеет нижнюю границу цикла парных сравнений и верхнюю границу цикла парных сравнений. Количество альтернатив (rv) в цикле v, при v = 1,V определяется согласно выражению (6)
rv = (rb)2, rv = const. (6)
Так, в примере 1 количество альтернатив в циклах v равно 16 (rv = (rb)2 = 16).
Под нижней границей цикла парных сравнений понимается первая наименьшая по весу учитываемая (агИ1г) или сравниваемая (аг ип) альтернатива (количество альтернатив Яунт, и Я ШТу ) в цикле, начиная соответственно с первого полного блока цикла парных сравнений.
Под верхней границей цикла парных сравнений понимается последняя наибольшая по весу учитываемая (агИ5г) или сравниваемая (аг №г) альтернатива (количество альтернатив Яувту и Я увТу) в цикле, соответственно последнего полного блока цикла парных сравнений и, при которой для V = 1 разница между количеством сравниваемых и учитываемых альтернатив (АУЯ) равна гь (А1Я = Я* - Я = гь), где 7*1 - 71 = 1, или кратно гь при V >1, так что АУЯ вычисляется по выражению (7)
Ауя = V/, V = IV, (7)
где V - количество циклов парных сравнений.
При этом V рассчитывается по выражению (8):
V = 7*, - 7, , при гоь = гоь*. (8)
Например, для V = 2,3...V, А,Я будет соответственно равно 2гь, 3гь,..., Угь. Количество учитываемых или сравниваемых полных блоков парных сравнений и количество альтернатив нижних и верхних границ в , - х циклах парных сравнений вычисляются по выражениям (9) - (12):
__7, = V гь +1, (9)
где V = 1, V - количество полных циклов; ¡
блоке).
гь - количество полных блоков в цикле (равное количеству альтернатив в полном
7*, = 7, + V = V гь +1 + V = V (гь +1) + 1. ^ (10)
Для первого учитываемого или сравниваемого полного блока (2 = 2 = 1; V = 0), после которого начинается отсчет циклов парных сравнений, справедливо Я = Я*.
Для нижних и верхних границ полного цикла при V > 0 количество учитываемых и сравниваемых альтернатив вычисляется по выражениям (11) и (12):
Яшг,= гь (V гь + 1) + 1,
Я№г, = гь (V гь + 1). (11)
'Я*шг,= гь (V гь + V + 1) + 2,
Я*,г,= гь (V гь + V + 1). (12)
Вторую особенность парных сравнений, являющейся следствием первой (5) и приведенную в выражениях (6) - (12), можно рассмотреть на примере 2, для гь = 4.
Строки А) и В) примера 2 (рис. 2) соответствуют строкам А) и В) примера 1.
Для более наглядного представления циклов парных сравнений альтернатив, в примере 2 увеличено количество учитываемых альтернатив (Я = 1, 52), которое разбивается на учитываемые полные блоки (7 = 0, 13 ) по четыре альтернативы (гь = 4) в каждом полном блоке.
В строках Б) и Г) наглядно изображены три цикла парных сравнений для V и V*, а также количество альтернатив в циклах V и V*. Согласно выражений (7) и (8) АУЯ = 4, 8, 12 и соответственно равна первому, второму и третьему циклам, при заданном гь = 4.
В примере 2 изображены границы циклов аг , аг и аг , аг , которые определяют начало и конец первого, второго и третьего циклов.
В целом, приведенные примеры 1 и 2 достаточно наглядно иллюстрируют первую и вторую особенности метода парных сравнений и позволяют проверить правильность формализованных выражений (1) - (12).
Пример 2
Учитываемые альтернативы, разбитые подряд |по весу) на учитываемые полные блоки по4 альтернативы_
А) | J? (а,) | 1 | 2 | 3 | 4 5 | 6 | 7 |~8~ 9 110111112~ 13| 15|1б" 17 118119[2Ô" 2l|22| 23|24~
Количество альтернатив в циклах V
_ Уьг Унт Увг Укг
Границы цикла ar ar a r a r
/ У=0 4 в 1/=1 н Н У =2 Динамика изменения количества сравниваемых альтернатив в парных сравнениях относительно учитываемых альтернатив | &*(а*,) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1111121131141 1161 171181191 | 211 22123 | 241 | 2б| 271281291 Количество альтернатив в циклах V * * квг * Унт Увг Укг Границы цикла ат а г а, а, г"* | V* =0 4 | Ц V» =1 Щ 0 V* =2
Продолжение примера 2 Учитываемые альтернативы, разбитые подряд (по весу) на учитываемые полные блоки по4 альтернативы
| Я(а,) | 251 26 | 27 | 28 291 301 311 32 33|34|35|36 37| 331 391 40 41142143 | 44 45|4б|47|48 49|50 1511 52 ...
Количество альтернатив в циклах V У ВТ УНТ Границы цикла О г й г Увг ar
rv V =2 Я ЕЯ У=3 КЯ ...
Динамика изменения количества сравниваемых альтернатив в парных сравнениях относительно учитываемых альтернатив
1 R*(a*r) | 311 32 | 33 | 34 361 371 381 39 41142143144 461 47148149 511 S2153 | 54 5-6157| 58159 611 62 631 64 | ...
Количество альтернатив в циклах V * * Увг * У КГ Границы цикла й r û , Увг ar
rv* v* =2 H Ш ш...
Рис. 2. Пример 2 учитываемых альтернатив
Физический смысл второй особенности парных сравнений, приведенных выражений (9) - (12), состоит в том, что в конце каждого очередного цикла парных сравнений, для последнего в данном цикле полного блока, количество учитываемых полных блоков (7) продолжает монотонно увеличиваться на единицу, тогда как в количестве сравниваемых полных блоков (7) происходит «скачок», оно увеличивается на две единицы, и далее продолжает монотонно увеличиваться на единицу - до начала следующего цикла (до очередного скачка).
Формализация исходных данных, определение терминов, первой и второй особенностей метода парных сравнений позволяет выявить функциональные зависимости между исходными данными метода парных сравнений и перейти к определению критерия размерности альтернатив. Выражения (1) - (12) являются основой разработанного математического аппарата, предназначенного для определения критерия (критериев) размерности малых, средних и больших множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений.
Принципы упорядочения альтернатив
Анализ особенностей метода парных сравнений позволяет перейти к частным задачам: разработке принципов, условий, а в целом - алгоритма определения количественных значений критерия размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив в парных сравнениях.
Предлагается в методах упорядочения альтернатив при проведении парных сравнений альтернатив принять за основу следующие принципы:
количественные значения критерия размерности малых, средних и больших множеств альтернатив в парных сравнениях взаимоувязаны с количеством альтернатив в полном блоке (гь) и рассчитываются через гь;
количественные значения психологического ограничения эксперта определяют выбор
ь
диапазона г ;
в зависимости от выбираемых количественных значений гь, критерий размерности множеств альтернатив для малых, средних и больших множеств альтернатив в парных сравнениях приобретает соответствующую динамику изменений;
количество альтернатив в полном блоке (гь) равно количеству полных блоков в цикле парных сравнений;
за единицы шкал размерности множеств альтернатив при проведении парных сравнений могут приниматься количества альтернатив в полном блоке или количество
полных блоков в цикле парных сравнений. В этом случае АК будет включать в себя, в зависимости от выбранной единицы размерности шкалы, следующие подмножества:
Ar, Ar s(Ar е Ar | r = 3,rb },
Л, Ад е {А е Ад \ z = 0,(2 + 1) }, (13)
В результате проведенных исследований рекомендуется в парных сравнениях для малых, средних и больших множеств альтернатив применять шкалу с единицей размерности равной количеству альтернатив в полном блоке (гь). А начиная с больших и сверхбольших множеств альтернатив (в циклах первого, второго, третьего порядка ...) применять другую шкалу, где за единицу размерности может быть принято количество альтернатив в цикле (циклах) парных сравнений: Ау, АК е{Ау е АК \ V = 0,(У +1) }. В этом случае разница между количеством сравниваемых и учитываемых альтернатив может быть Ад = 2гь, 3гь , ..., Уть для
V = 2, 3, ..., V. Для сверхбольших множеств - АК = (гь)2, 2(гь)2, 3(гь)2 , ..., У(гь)2 и соответственно V2 = V - V, при 7?у= 7?^= 0 (7°у и 7?у - остаток полных блоков V -го цикла),
3 2* 2 2 3
V = V - V и т.д., где V, V ... - сверхциклы соответствующего порядка (циклы парных сравнений второго порядка, третьего порядка.). Работа с такими большими данными (множествами альтернатив) возможна только с применением искусственного интеллекта, и как предложение - с применением обобщенного экспертно-аналитического метода, ориентированного на многокритериальную экспертную оценку сложных систем без ограничения числа используемых альтернатив (показателей, параметров).
На основе вышеперечисленных выражений и принципов можно определить условия, при которых множества альтернатив парных сравнений разбиваются на малые, средние и большие.
Количество альтернатив (множество альтернатив) можно считать малым (с малой мощностью) при условиях:
7* = 7 = 0, (14)
0г> ^ ь г> г>* оь оь*
, К < г , К = К = г = г ;
" 7* = 7 = 1 и гоь = 0, (15)
0г> г>* ь оь* оь г\
, тогда К = К = г, г = г = 0.
Условия (14) и (15) выполняются, когда количество учитываемых альтернатив меньше или равно гь соответственно. Данное теоретическое положение отвечает логике проведения парных сравнений и обосновывает практику экспертных оценок.
Это подтверждается результатами анализа литературы [1-9], посвященной данному вопросу, в которых для малых множеств верхним количественным значением критерия размерности следует считать число семь, а нижним - четыре, соответствующие признанным критериям психологического ограничения эксперта (4 < гь < 7). Количество альтернатив, число которых в неполном блоке сравниваемых альтернатив составляет 2-3, согласно применяемым методам расстановки приоритетов и анализа иерархий уже упорядочены.
Количество альтернатив (множество альтернатив) можно считать средним (со средней мощностью), которые включены в первый цикл парных сравнений, при условиях
* * и
7 > 7 и К < К < К + г . (16)
Ак = К* - К = гь. (17)
В примере 2 (для гь = 4) этим условиям соответствуют границы цикла аг1нг = 5 и
1вг ЛЛ
аг = 20.
Тогда для больших множеств альтернатив в парных сравнениях предлагается условие
7* > 7, К* > К + гь (18)
В этом случае количество сравниваемых альтернатив большого множества будет находиться в пределах
К* = [К+ гь + 1, ..., К + 2гь]. (19)
Для V = 2, 3, ..., V;
Я* > (Я + 2/; Я + 3гь, ..., Я +Угь).
(20)
Предложенные условия (14)-(19) размерности множеств альтернатив отвечают вышеприведенным принципам и теоретически обосновывают требования, предъявляемые практике проведения парных сравнений.
На основе данного обоснования целесообразно формализовать принадлежность множеств альтернатив АЯ в качестве элементов (подмножеств) множества 2, где 2 е{Ая е 2 | г = }.
При этом для множества 2 его подмножества предлагается классифицировать следующими образом: 2 е{АМ, АС, АБ}, где АМ - есть подмножество малых множеств
С Б
альтернатив, АС - подмножество средних множеств альтернатив, АБ - подмножество больших множеств альтернатив. Это дает возможность формализовать следующее:
АЯ е АМ , если 3 < Я < г , АЯ е АС , если Я > ((Я* - гь) > 0), А е АБ , если Я < (Я* - гь ), где 3 < гь < 7, а Я* = Я + 7 при гоЬ > 0 и Я* = Я + (2 - 1) при гоЬ = 0. _
Исходя из выражения (21) критерий размерности (Я2 ) в парных сравнениях предоставляет собой систему количественных значений критериев размерности
(22)
ь
(21)
Я2 = <ЯМ ЯС, ЯБ>,
где ЯМ - критерий для малых подмножеств - А М;
С С
ЯС - критерий для средних подмножеств - А С;
Б *-» Б
Я - критерий для больших подмножеств А , при этом:
г Ая е АМ если 3 < ЯМ < гь ,
Ая е АС, если гь < ЯС < гь(гь + 1), гАЯ е Аб, если ЯБ > гь(гь + 1), где 3 < гь < 7.
Практическим результатом применения выражений (21)-(23) являются рассчитанные и приведенные в табл. 1 элементы малых (АМ), средних (АС) и больших (АБ) подмножеств
альтернатив для гь= 4, 7 .
(23)
№ п/п Количественное ь значение г Элементы множества АЯ
Элементы подмножества АМ Элементы подмножества АС Элементы подмножества А
1 7 {4, 5 , 6, 7} {8, 9,..., 55, 56} {57, 58,..., ЯБ}
2 6 {4, 5 , 6} {7, 8,..., 41, 42} {43, 44,..., ЯБ}
3 5 {4, 5 } {6, 7,..., 29, 30} {31, 32,..., ЯБ}
4 4 {4} {5, 6,..., 19, 20} {21, 22,..., ЯБ}
Я
Заключение
В результате работы формализованы исходные данные метода парных сравнений и приведены их определения. Формализованы особенности метода парных сравнений, выраженные в функциональной зависимости количества учитываемых альтернатив в экспертных оценках и количества сравниваемых альтернатив, которые упорядочивают, из состава учитываемых альтернатив, в блоки (матрицы) парных сравнений. Разработаны принципы упорядочения альтернатив и выражения расчетов значений критерия размерности, проработанного в качестве системы критериев размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив. Выявлена вторая особенность парных сравнений, связанная с введенными понятиями цикла парных сравнений и нижней и верхней границами цикла парных сравнений. Первая и вторая особенности парных сравнений иллюстрированы
примерами. Представлены расчеты количественных значений критериев размерности для малых, средних и больших множеств альтернатив, а также верхних и нижних границ циклов парных сравнений, исходя из выбираемого значения, от четырех до семи альтернатив, критерия психологического ограничения эксперта.
В целом разработан математический аппарат, позволяющий определять количественные значения критерия размерности множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений.
Частными результатами настоящей работы являются:
приведенные определения учитываемых и сравниваемых альтернатив, множеств и остатков альтернатив, полных и неполных блоков парных сравнений;
исследование второй особенности парных сравнений, а также приведенные определения цикла парных сравнений, нижней и верхней границ цикла парных сравнений;
формализованные способы расчета 2, 2 , R, R , v, AvR , 2V, 2 v , RVTv, R vrv, Rmrv,
г>*шг
R v,
формализация первой и второй особенности парных сравнений, характеризующихся соответственно полными блоками и циклами парных сравнений;
предложены единицы измерения множеств альтернатив в парных сравнениях, а именно: для малых и средних множеств это rb - количество альтернатив в полном блоке, а для больших - количество полных блоков в цикле парных сравнений.
Практическим результатом исследований являются рассчитанные и приведенные в табл. 1 элементы малых, средних и больших множеств альтернатив для rb= 4, 7 .
Применимость полученных результатов заключается в том, что разработанный математический аппарат дает возможность не только теоретически обосновывать выбор и рассчитывать количественные значения критериев размерности множеств альтернатив для различных аспектов экспертных оценок, но и проводить экспертные оценки со множествами, которые по своей мощности могут намного превышать множества альтернатив, рассмотренных в данной работе.
Литература
1. Дэвид Г. Метод парных сравнений. Пер. с англ. Н. Космарской и Д. Шмерлинга. Под ред. Ю. Адлера. М.: Статистика, 1978. 144 с.
2. Блюмберг В.А., Глущенко В.Ф. Какое решение лучше?: Метод растановки приоритетов. Л.: Лениздат. 1982. 160 с.
3. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. 224 с.
4. Азгальдов Г.Г., Райхман Э.П.. О квалиметрии. Издательство стандартов, 1972. 172 с.
5. Денисов А.А., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. Учебное пособие для вузов. -Л.: Энергоиздат, 1982. 288 с.
6. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973. 161 с.
7. Методические указания. Комплексная оценка технического уровня продукции. РД 45.091.000-90
8. Методические указания по оценке технического уровня систем и аппаратуры связи, передачи и обработки информации. М.: МО СССР, 1985. 45 с.
9. Бояринцев А.В. Основы оценки эффективности систем связи ВМФ. - СПб.: Региональная общественная организация научных работников «Центр Поддержки Научных Исследований», 2001. 54 с.
References
1. David G. Metod parnyh sravnenij [Method of paired comparisons]. Lane from English N. Kosmarskaya and D. Schmerling. Ed. Yu. Adler. With the attached to the Russian translation. Moscow, Statistics, 1978. 144 p. (in Russian).
2. Blumberg V.A., Glushchenko V.F. Kakoe reshenie luchshe? [What better solution?]. Method of prioritization. Lwningrad. Lenizdat, 1982. 160 p. (in Russian).
3. Saati T., Kearns K. Analiticheskoe planirovanie. Organizaciya sistem [Analytical planning. Organization of systems]. Per. from English. Moscow. Radio and communications, 1991. 224 p. (in Russian).
4. G.G. Azgaldov, E.P. Reichman. O kvalimetrii [About qualification]. Standards Publishing House, 1972, 172 p. (in Russian).
5. Denisov A.A., Kolesnikov D.N. Teoriya bol'shih sistem upravleniya [Theory of large control systems]. Textbook for universities. Leningrad. Energoizdat, 1982. 288 p. (in Russian).
6. Beshelev S.D., Gurvich F.G. Ekspertnye ocenki [Expert assessments]. Moscow. Science, 1973. 161 p. (in Russian).
7. Methodological guidelines. Kompleksnaya ocenka tekhnicheskogo urovnya produkcii [Comprehensive assessment of the technical level of products]. RD 45.091.000-90 (in Russian).
8. Metodicheskie ukazaniya po ocenke tekhnicheskogo urovnya sistem i apparatury svyazi, peredachi i obrabotki informacii [Methodological guidelines for assessing the technical level of communication systems and equipment, transmission and processing of information]. Moscow. MO SSSR. 1985. 45 p. (in Russian).
9. Boyarintsev A.V. Osnovy ocenki effektivnosti sistem svyazi VMF [Fundamentals of assessing the effectiveness of communication systems of the Navy]. St. Petersburg: Regional public organization of scientists «Center for Support of Scientific Research», 2001. 54 p. (in Russian).
Статья поступила 18 сентября 2020 г.
Информация об авторах
Севастьянов Степан Иванович - Кандидат технических наук. Начальник сектора ПАО «Интелтех». Адрес: 197342, Россия, г. Санкт Петербург, ул. Кантемировская, д. 8. Тел. 8-911-702-44-52.
Criterion of dimensionality of sets of alternatives in expert assessments carried out by the method of paired
comparisons
S.I. Sevastyanov
Annotation. The article addresses the problem of choosing and formalizing the criterion of the dimension of sets of alternatives in expert assessments conducted by the method ofpaired comparisons. The purpose of the work is to develop a mathematical apparatus that allows you to determine the quantitative values of the dimension criterion of sets of alternatives. Novelty: a system of dimensionality criteria has been developed for small, medium and large sets of alternatives. A second feature ofpaired comparisons was revealed, associated with the introduced concepts of a "cycle ofpaired comparisons" and "lower and upper boundaries of a cycle ofpaired comparisons." The result: the initial data of the method of paired comparisons are formalized, their definitions are given. Peculiarities of pair comparison method expressed in functional dependence of number of considered alternatives in expert estimates and number of compared alternatives, which are ordered, from composition of considered alternatives, into blocks (matrices) of pair comparisons, are formalized. The principles of ordering alternatives and expressing calculations of the values of the dimensionality criterion developed as a system of dimensionality criteria for small, medium and large sets of alternatives have been developed. The first and second features of paired comparisons are illustrated by examples. There are presented calculations of quantitative values of dimensionality criteria for small, medium and large sets of alternatives, as well as upper and lower boundaries of cycles ofpaired comparisons, based on the selected value, from four to seven alternatives, the expert's psychological restriction criterion. Conclusions: a mathematical apparatus has been developed that allows you to determine the quantitative values of the criterion for the dimensionality of sets of alternatives in expert estimates conducted by the method of paired comparisons. The practical significance is that the developed mathematical apparatus makes it possible not only to theoretically justify the choice and calculate quantitative values of the criteria for the dimensionality of sets of alternatives for various aspects of expert assessments, but also to conduct expert assessments with sets that can far exceed the many alternatives considered in the article.
Keywords: expert assessment, expert psychological restriction criterion; methods and features of paired comparisons; small, medium and large alternatives; dimension criterion; a cycle of paired comparisons; lower and upper boundaries of the pairwise comparison cycle.
Information about Authors
Sevastyanov Stepan Ivanovich - Doctoral. Head of Sector of the Inteltech. Tel.: +7-911-702-44-52. Address: Russia, 197342, Saint-Petersburg, Kantemirovskaya st., 8.
Для цитирования: Севастьянов С.И. Критерий размерности множеств альтернатив в экспертных оценках, проводимых методом парных сравнений // Техника средств связи. 2020. N° 3 (151). С. 80-90.
For citation: Sevastyanov S.I. Criterion of dimensionality of sets of alternatives in expert assessments carried out by the method of paired comparisons. Means of communication equipment. 2020. No 3 (151). Pp. 80-90 (in Russian).
